Capítulo III - Resolução de Sistemas. Como sabemos os sistemas podem ser classificados em possíveis. (determinados ou indeterminados) e impossíveis.

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1 Cpítulo III - Resolução de Sstems Vmos estudr métodos umércos pr: - resolver sstems de equções leres ão leres (; - Resolução de Sstems de Equções eres Cosdere-se o sstem ler de equções cógts: b b b usdo otção mtrcl, temos A.b ode A, e b b b b, sedo A mtrz dos coecetes do sstem, o vector ds cógts e b o vector dos termos depedetes. trclmete: Ab. Como sbemos os sstems podem ser clsscdos em possíves (determdos ou determdos e mpossíves. Pág de 8 - Resolução de Sstems de Equções

2 No osso estudo, pes os teressm sstems possíves determdos. Os métodos umércos pr resolver sstems leres podem dvdr-se em drectos e tertvos.. - étodos Drectos São queles que, meos de erros de rredodmeto, orecem solução ect, pós um úmero to de operções. - étodo de elmção de Guss - étodo de elmção de Guss-ord. - étodos Itertvos Permtem obter solução (com um dd precsão medte utlzção de processos de cálculos que germ um sucessão de promções covergetes pr solução do problem. Estes métodos estão sujetos um erro de tructur pelo cto de, determd ltur, termos de prr o processo de gerção dests promções. Os métodos tertvos são utlzdos, prcplmete, pr sstems de grdes dmesões possm precer em problems de várs cêcs, como egehr, ecoom, ísc. A su prcpl vtgem é cldde com que podem ser mplemetdos lgum sotwre (est questão será vst s uls prátcs. Pág de 8 - Resolução de Sstems de Equções

3 A (promção à solução de um sstem Ab obtd por um método tertvo, cosste em clculr um sequêc (, (,..., de promções de. Em gerl, será ecessáro escolher um promção cl ( que drá orgem tods s resttes: ( ( ( ( (4 (5 (6... Pretede-se que est sucessão de promções sucessvs sej covergete pr solução ect do sstem e esse cso é ecessáro estbelecer crtéro pr trucr sucessão, sto é, estbelecer um crtéro que permt prr o processo de cálculo, medte um precsão pré-ded. Os crtéros de covergêc ms utlzdos são: m (k- ε m - (k- ε ode ε é o erro dmtdo. Pág de 8 - Resolução de Sstems de Equções

4 .. - étodo de cob Sej A.b um sstem de equções leres de equções, com cógts e supohmos que :,,..., e det(a. Cosderemos mtrz A, decompost d orm segute: AD - E - F ode D é mtrz dgol: ; E é mtrz trgulr eror: ; F é mtrz trgulr superor: sto é, se j se j Ej e Fj. - j se j < - j se j > O sstem A.b é equvlete (D-E-F. b, ms (D-E-F. b D. - (E F. b D. b (E F. D - [ b (E F.] Pág 4 de 8 - Resolução de Sstems de Equções

5 A relção teror tem como bse órmul de recorrêc do método de cob: D - [ b (E F. ], em que é promção gerd terção k. Ou sej, dode,... b b b ( b... ( b... ( b Em gerl, -ésm promção é dd por:. (b j j,,..., j Fórmul de recorrêc Pág 5 de 8 - Resolução de Sstems de Equções

6 Pág 6 de 8 - Resolução de Sstems de Equções Eemplo: Cosderdo promção cl ( [ ] T, resolv pelo método de cob (dus terções o sstem ler: - 4 z z y z y

7 Pág 7 de 8 - Resolução de Sstems de Equções.. - étodo de Guss -Sedel Derv do método de cob, com o objectvo de celerr covergêc do método teror. Sej A.b um sstem de equções leres de equções, com cógts e supohmos que :,,..., e det(a. Cosderemos, como trás, decomposção d mtrz A, AD-E-F. O sstem A.b é equvlete (D-E-F. b, e (D-E-F. b (D-E. - F. b (D-E. b F. Cosderdo (D-E. b F. ( é o vlor de terção k D. b E. F. D - (b E. F. Ou sej, (k (k (k (k (k (k b b b.

8 dode... ( b... ( b... ( b Em gerl, -ésm promção é dd por: (b j j j j,,..., j j Fórmul de recorrêc Pág 8 de 8 - Resolução de Sstems de Equções

9 Pág 9 de 8 - Resolução de Sstems de Equções Eemplo: Cosderdo promção cl ( [ ] T, resolv pelo método de Guss - Sedel (dus terções o sstem ler: - 4 z z y z y

10 .. Covergêc dos métodos tertvos Tto o método de cob como o de Guss - Sedel são métodos do tpo:. C À mtrz chm-se mtrz de terção. Em cd um destes métodos: (k étodo de cob: D [ b ( E F. ], logo D.( E F. étodo de Guss - Sedel: (D-E. bf. (D-E - (b F.. ogo: (D-E -.F Se à equção. (k- C subtrrmos em mbos os membros. C, obtemos: -. (k- C - (. C -. (k ( (k- - e.e (k-. (eq. em que e represet o erro cometdo terção k. ogo, e (k-.e (k- é o erro cometdo terção k-, e substtudo e (k- (eq., obtemos e.e (k-. Procededo sucessvmete dest orm obtemos: e k.e (, k,,... Pág de 8 - Resolução de Sstems de Equções

11 Deção - O método tertvo é covergete se lm e. k Teorem : É codção ecessár e sucete pr que o método tertvo, de mtrz de terção, sej covergete que: lm k k. Teorem : Dd mtrz de terção, s sucessvs potêcs k, k,,... covergem pr mtrz ul se e só se os vlores própros de orem em módulo meores que um. Isto é, o método tertvo que teh como mtrz de terção será covergete se e só se ρ ( < ode ρ ( m{ λ }. A ρ ( chm-se ro espectrl d mtrz. Como prátc, ão cohecemos os vlores própros d mtrz, é útl cohecer codções sucetes de covergêc. Um dels é est: Teorem : Se mtrz dos coecetes do sstem A.b é estrtmete dgol domte por lhs ou por colus (EDD ou EDDC etão o método tertvo coverge. Pág de 8 - Resolução de Sstems de Equções

12 Estrtmete dgol domte por lhs (EDD: > j, pr,..., Estrtmete dgol domte por colus (EDDC: j j jj > j, pr j,..., j Eemplo: 4 y z y z - z Pág de 8 - Resolução de Sstems de Equções

13 - Resolução de Sstems de Equções Não eres Cosdere-se o sstem de equções ão leres com cógts segute: (,,...,... (,,...,... (,,..., Com X [... ] T e [... ] T Podemos brevr escrevedo F(X. ( F. Ao cotráro dos sstems de equções leres, é muto dícl em gerl demostrr estêc e ucdde dos zeros de F(X. O sstem ( só em csos ecepcolmete smples é que dmte um solução lítc, dí que os métodos hbtulmete empregues são métodos tertvos ou umércos. Estes sstems reuem certs dculddes: estêc de covergêc, ou ão, rpdez de covergêc (cso hj, ecessdde de ter um estmtv cl, dmesoldde do sstem... Pág de 8 - Resolução de Sstems de Equções

14 Pág 4 de 8 - Resolução de Sstems de Equções. - étodo de Newto Vmos, o cpítulo teror, o método de Newto-Rphso pr resolução de equções (, com um vrável. Este método cosste em promr ução pelo seu desevolvmeto em sére de Tylor trucd prtr do termo que evolve prmer dervd Geerlzdo o cso -dmesol: Se z é rz do sstem F( (, Sej o jcobo ssocdo o sstem ( e h o cremeto terção k. Por smplcdde remos deotr F( por F. Etão, ( otção mtrcl h F, org equção F h. ( - (. ( - ( ( ' ξ ξ (. -.(z ( ( ( j j j j z j j j ( ( (

15 Se ôr vertível, h - F (, ms h -, pelo que (k - F - (, (k - ( F, k,,,... órmul de recorrêc Do poto de vst computcol, o cálculo d vers de um mtrz é sempre descoselhável, dí que ( é ms ecz por morr o úmero de operções ecessárs à obteção de. N prátc, o método de Newto (k - ( F, k,,,... obtem-se resolvedo e, lmete: h F (k h, k,,,... Pág 5 de 8 - Resolução de Sstems de Equções

16 Algums dculddes deste método: clculr dervds (pr clculr o jcobo ; resolver, em cd terção, um sstem de equções lgébrcs (o que requer muts operções rtmétcs por terção, se or eto por métodos drectos; dculdde em estbelecer um bo estmtv cl, o que pode ser determte pr ssegurr covergêc do método. Em cotrprtd, O método de Newto possu um covergêc rápd. Pág 6 de 8 - Resolução de Sstems de Equções

17 Pág 7 de 8 - Resolução de Sstems de Equções Eemplo: Aplcr o método de Newto à resolução do sstem ão ler, 6, utlzdo ( [ ] T. Resolução: Começmos por der F( e ( 4 ( ; F( ª Iterção: ( [ ] T ( e 5 F( F ( ( ( ( De F h pr k, temos que 5 h F h ( ( ( ( - F ( ( h ( ( ( -

18 De h pr k, temos que ( ( h ( - ( ( ( Erro: h má { -,, } ª Iterção: ( [ ] T 4 - F( e ( 4 8 De h F pr k, temos que ( h ( F ( 4 8 h ( h ( ( ( - ( F ( De h pr k, temos que ( ( h ( ( ( ( Erro: h má {.88, -.47, -.5 }.47 Pág 8 de 8 - Resolução de Sstems de Equções