Sistemas de Equações Algébricas

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1 CURSO DE NIVELAMENTO 00 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. ARGIMIRO SISTEMA DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Mtemát Aul Sstems de Equções Algérs Cosderdo o prolem de um retor otíuo de tque gtdo (CSTR) ãosotérmo, om propreddes físs osttes (, p ): F e, C Ae, T e F ws, T ws F we, T we F s, C A, T Pr o so de um reção de ordem : C A ( ) 0 E RT r A = k, ode kt k e temos s segutes equções de lço de mss e eerg do modelo: dv dt d VC dt F F A e s FC F C kc V e Ae s A A dt Vp Fep( Te T) ( Hr) kcav UAt( T Tw ) dt

2 . SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ode F e e F s são s vões volumétrs de etrd e síd, respetvmete, V é o volume do meo reol, C A é oetrção molr do regete, T e T w são s temperturs do meo reol e do fludo de refrgerção, respetvmete, H r é etlp de reção, U é o oefete glol de trsferê de lor e A t é áre de tro térm. No estdo estoáro: F e = F s F F C A e C A kc A V F UAt ( Hr) kc ( T Te) ( T Tw) A V C V C p Susttudo equção de lço de mss do ompoete A o lço de eerg: F UAt F( Hr ) ( T Te) ( T Tw) ( C C Ae A) V C V C V e defdo s vráves dmesos: CA T T e C T temos: Ae p e ( ) kcae DCAe ep = + ( ) ode,, e D estão defdos o pítulo teror. Ou sej, um sstem de equções lgérs: Ae ( ) f F e f (, ) D C ep 0 (, ) 0 ( ) Neste so em prtulr, segud equção poder ser susttuíd prmer pr elmr vrável, resultdo em um equção lgér um vrável, ms, pr efetos de lustrção, vmos mter omo um sstem de equções dus vráves. Pr o so sem reção quím ( = 0 e D = 0), result o sstem ler: F( ) A 0 A 0 0, 0 p p F() = A = A

3 . MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES 3 Este um grde vredde de métodos pr solução de sstems leres, sedo mutos deles depedetes d estrutur d mtr A (mtr des, esprs, smétr, loodgol, et.). Os métodos ms ohedos pr solução de sstems leres são: métodos dretos: métodos tertvos: elmção Guss ftorções (LU, LL T, LDL T, QR,...) método de Thoms método de Jo método de Guss-Sedel métodos SOR mmção Pr o so ão-ler, trtremos d solução do sstem de equções lgérs F() = 0 pelos métodos: Susttuções suessvs Newto-Rphso Pr sstems de equções lgérs, o proedmeto de dmesometo ds vráves om o tuto de deá-ls om mesm ordem de grde é rul pr o om desempeho dos métodos uméros. Por eemplo, o usrmos orm euld omo um medd d dstâ etre potos de um seqüê overgete: N ( ) E se ão dmesormos oetrção e tempertur pr o eemplo do retor CSTR; dgmos que oetrção é promdmete 5,0 0 3 kmol/m 3 e tempertur 500 K, etão o lulr dstâ etre dos potos de um método tertvo: terção Coetrção (kmol/m 3 ) Tempertur (K) k 5, k+ 6, ( k) ( k) EA 6,0 0 5, ER ( k) ( k) EA ( k) ( k) 6 4 0, ,

4 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Ou sej, se um erro reltvo de 0,% fosse etável, o proedmeto tertvo eerrr tes d overgê pr solução, pos hver um erro de 0% oetrção (00 vees mor que o desejdo). Supodo gor que C Ae = 50,0 0 3 e T e = 400 K e pldo os dmesometos defdos pr o CSTR, terímos pr ests mesms terções: terção k 0,000 0,500 k+ 0,00 0, EA 0,00 0,000 0,55 0, , 50 0,00 0,00 0,00 ER 0,075 7,5% 0,693 0,000 0,500 E, este so, o rtéro de overgê d ão ter sdo stsfeto.. Métodos tertvos pr sstems leres D mesm form que os métodos dretos (vsto ul teror), este um grde vredde de métodos tertvos pr solução de sstems leres, detre estes: terções de Jo terções de Guss-Sedel terções SOR Mmção terções ADI terções de Rhrdso terções de Cheshev Grdete Cojugdo (CG) Grdete Cojugdo Qudráto (CGS) Grdete BCojugdo (BCG) Grdete BCojugdo Estldo (BCGSTAB) Resíduo Mímo Geerldo (GMRES) Aordremos qu somete os qutro prmeros. Jo

5 . MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES 5 É um método tertvo pr solução de sstems leres epresso, form mtrl, por: k k M, k 0,,,... ode M = D - B, = D -, B = D - A. Sedo D dgol d mtr A. O método esrto pr d elemeto do vetor preset segute form: N k j j k j( ),,..., N e k 0,,,... Guss-Sedel Este método é um modfção do método de Jo, ujo prípo é de usr os ovos vlores de tão logo eles estejm dspoíves. Neste so mtr M = (D - L) - U e o vetor = (D - L) -, ode D, L e U são s mtres dgol, trgulr feror e trgulr superor, respetvmete, etríds d mtr A = D - L - U. O método esrto pr d elemeto do vetor preset segute form: k k j j j j j N k j,,..., N e k 0,,,... SOR O método ds sore-relções suessvs (SOR - suessve overrelto) é um vrção do método de Guss-Sedel pel trodução de um ftor de relção (): k k k k k ( ) ode é proveete do método de Guss-Sedel. Tto o método SOR, quto o método de Guss-Sedel, o otráro do método de Jo, depedem d ordem em que s equções são resolvds. A overgê destes métodos tertvos é rterd pel mtr de terção, M: k k M, k 0,,,... sedo overgetes se, e somete se, todos os vlores rterístos de M possuírem vlor soluto meor que. Um odção sufete pr overgê é: ode M l M m j N m j orm F N N T j ( ) j M m tr M M orm Froeus

6 6. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS M m N m j j orm Mmção A solução de sstems leres tmém pode ser otd por tés de otmção, trvés d trsformção do prolem A = em: T T ou S ( ) A S ( ) ( A) ( A ) ode desej-se eotrr tl que S() é mímo. T o so de A ser smétr e postv defd,. Sstems tr-dgos Método de Thoms: Um so prtulr, muto omum, de sstems leres, é o sstem tr-dgol, que pode ser represetdo d form: d, =,,..., ode é su-dgol, é dgol e é super-dgol d mtr A, om 0 = 0 e + = 0 omo odções de otoro. A solução deste sstem pelo método de Thoms tem form: ode, = -, -,...,, d om e. d e, =,3,...,. Pr etedermos este proedmeto, temos: Prmer equção: d Últm equção: d Fedo:,, d Pel prmer equção:

7 . SISTEMAS TRI-DIAGONAIS 7 d Logo, e Equção : ; d d d pr,, om d d pr,, om d pr,,, Qudo 0 e/ou + ão são ulos, sto é X 0 A e X B, solução do sstem X X X d, usdo o prípo d superposção, é epress form: X A B sedo solução do sstem presetd m (om 0, 0 ms d ) os termos e são soluções ds equções homogêes om odções de otoro ão-homogêes: () 0 om e 0, ssm prmer equção ser: 0 0, usdo um form reursv d mesm form que resolução teror: omo 0, tem-se: e, em vst de: : e., ssm:, ms:

8 8. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 0 e detfdo:, otedose mesm form reursv de determção de e. Deste modo: pr om,, pr om,, e pr,,, () om e 0 0 0, ssm prmer equção ser: 0, usdo um form reursv d mesm form que s resoluções terores: omo, tem-se: e, em vst de: : e 0., ssm:, ms: 0 e detfdo:, otedose mesm form reursv de determção de e. Deste modo: pr om,, pr om,, 0 0 pr,, e pr,,, Oserve que s soluções dos tes () e () m tmém podem ser otds dretmete pels relções reursvs do sstem orgl stdo fer: () d = - 0 e d = 0, =,3,...,

9 .3 MÉTODO DAS SUBSTITUIÇÕES SUCESSIVAS 9 () d = - + e d = 0, =,,...,- e osderr ms s odções de otoro uls ( 0 = 0 e + = 0), pos els já form emutds em d e d, respetvmete. Ao fl deve-se lemrr que 0 e + são ddos..3 Método ds Susttuções Suessvs No método ds susttuções suessvs pr um vrável, o proesso tertvo é pldo à equção lgér form modfd: = g() d equção f() = 0, que pode ser otd por um rerrjo tero dest equção ou pel smples dção de em mos os ldos d guldde. Assm, (k+) = g( (k) ), k = 0,,,... g() 45 * 0 que overgrá pr solução * se, pr lgum ostte 0 < <, g g ( k) ( k) ( ) ( *) * Isto é, se g() for um mpemeto otrtvo. Est relção pode ser vst epddo f ( ) g( ) em sére de Tlor em toro d solução * e trudo o segudo termo: Como f(*) = 0, etão: g ( ) f( ) f( *) f( *)( *) g( ) ( g( *))( *) ( *) g( *)( *) Como * é um poto fo, sto é, * = g(*), otemos: g ( ) g ( *) g( *)( *) Note que este resultdo tmém pode ser otdo pel epsão em sére de Tlor de g() em toro de *. Apldo o módulo est epressão e omprdo om desguldde m, hegmos :

10 0. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS g ( ) g ( *) g( *) ( *) g(*) Portto, se g(*) o proesso tertvo ão overge. Além dsto, epressão m esrt pr k-ésm terção: * ( *) ( *) ( k) ( k) g mostr que o método ds susttuções suessvs preset overgê ler. O gráfo segur lustr um stução ode g(*) e g( *) 0, ode prmer odção lev ão overgê e segud um seqüê osltór em toro d solução. g() 45 * 0 Eemplos: ) Apldo o método ds susttuções suessvs o so do retor CSTR: D ep D ep g( ) D ep ( ) D ep e g( )

11 .3 MÉTODO DAS SUBSTITUIÇÕES SUCESSIVAS 0,6 0,4 g() 0, 0,0-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6-0, Prtdo de dus estmtvs s dstts, (0) = 0, e (0) = 0,, verfmos que segud r ão pode ser otd por est esolh de g(), pos g(*) este poto. 0,6 0,4 g() 0, 0,0-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6-0, Iterção (0) = 0, (0) = 0, (0) 0, ,0000 () 0, ,064 () 0,0750 0,0787 (3) 0, ,8 (4) -0,0058 0,3870 (5) -0, ,798 (6) -0, ,597 (7) -0, ,4875 (8) -0, ,773 (9) -0, ,774 (0) -0, ,3067 () -0, , () -0, ,37509 (3) 0, (4) 0, (5) 0, (6) 0,38069 (7) 0,38066 (8) 0,38067 (9) 0,38068 (0) 0,38068

12 . SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ) f ( ) e se( ) ) g ( ) lse ) g e rse ) Newto-Rphso e se( ) g ( ) e os() CASO (0) 0, , , () 0, ,5097 0,30908 () 0, , ,35737 (3) -0, ,3490 0,35737 (4) ARGUMENTO INVÁLIDO 0,3633 0,35737 Smlrmete o so moovrável, o método ds susttuções suessvs pldo sstems de equções lgérs tem form: k om rtéro de overgê tmém smlr: k G( ), k 0,,,

13 .4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 3 k G ( ) G ( *) k *, 0 < <. Eemplo: DC Ae ep g(, ) ( ) g(, ).4 Método de Newto-Rphso No método de Newto-Rphso um vrável, o proesso tertvo é pldo dretmete sore equção lgér f() = 0 form: f, k = 0,,,... f ( k) ( k) ( ) ( ) f() * 0 Isto é, fução é lerd em toro d estmtv l e o prómo poto é eotrdo de modo stsfer est fução lerd. Dferete d overgê do ( k) ( k) método ds susttuções suessvs, que overge lermete (pos * * pr 0 < < ), o método de Newto overge qudrtmete: ( k) ( k) * * ode 0 < <. Pr verfr tl overgê, epde-se f( (k) ) em toro d solução *: (*) f ( ) f( *) f( *)( *) ( *) ( k) ( k) f ( k) e susttu-se est epressão equção de Newto-Rphso, osderdo que (k) estej prómo d solução de modo que se pode fer promção f ( ) f( * ) e sedo que f(*) = 0:

14 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ( k) f(*) ( k) f(*)( *) ( *) f(*) ( *) ( *) f(*) f(*) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) que rerrjdo result em: f(*) * ( *) f( *) ( k) ( k) Apldo-se o módulo equção resultte, heg-se : ode f(*) f( *) ( k) f(*) ( k) * * f( *). A epressão m mostr que o método de Newto-Rphso preset overgê qudrát. Epressdo o método de Newto-Rphso omo um mpemeto: ( k) ( k) f( ) ( k) g( ) f( ) podemos lsr overgê de mer smlr o método ds susttuções suessvs. Etão epddo g() em sére de Tlor em toro de *: g(*) g ( ) g ( *) g( *)( *) ( *) f(*) f(*) Como g(*) 0, é eessáro utlr o termo de segud ordem dest [ f( *)] f (*) epsão ode g(*), hegdo o mesmo resultdo d álse teror. f (*) Algortmo: Newto-Rphso e Susttução Suessv Ddos, k mámo e 0 k 0 Fç g( 0 ) f( ) 0 0 k k + equto ( > ou > ) e k < k mámo

15 .4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 5 Ao fl do lgortmo, se k < k mámo etão 0 otém r eotrd de f() e otém o vlor de f( 0 ), seão o úmero mámo de terções fo tgdo sem overgê, devedose modfr estmtv l, 0, ou tror de fução g(). A fução g() deve ser esolhd de ordo om o método: ) Método ds Susttuções Suessvs: g() é esolhd pelo usuáro tomdo o uddo em ssegurr que g( ) em todo o tervlo de us d r; ) Método de Newto-Rphso om dervd lít: f ( ) g ( ) f ( ) ; 3) Método de Newto-Rphso om dervd umér: g ( ) f( ). f ( ) f( ) Newto-Rphso modfdo Um modfção smples o método de Newto é osderr ostte dervd d fução f() durte todo, ou prte, do proesso tertvo: f, k = 0,,,... f ( k) ( k) ( ) ( m) ( ) ode m k. Se m = 0, tods s rets que tereptm fução f() os potos ds terções são prlels. f() * 0 Est modfção tem vtgem de lulr um úmero meor de dervds d fução, ms preset um meor t de overgê. A etesão do método de Newto o so multvrável mpl susttução d dervd d fução f() pel mtr ds dervds prs de F() om respeto,

16 6. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS deomd de mtr Jo, J(). Assm, o método de Newto-Rphso preset segute form: ode J ( j ) F j ( ) ( ) J ( ) F( ), k 0,,, ( k) k. A solução do sstem ler resultte pode ser resolvdo tto por métodos dretos omo por métodos tertvos. Um modfção o método de Newto-Rphso é mter mtr Jo f por um determdo úmero de terções: ( m) ( ) J ( ) F( ), k 0,,, ( k) k ode mk e 0. O prâmetro, que depede d terção, é usdo pr ompesr o fto d mtr Jo ser mtd f por lgums terções. Ovmete, = qudo m = k. Cso ão se teh dspoível epressão lít d mtr Jo, est pode ser otd umermete por perturções em F(): J j ( F k ( je j ) F ( ) ( ) ) ode e j é o j-ésmo vetor utáro (vetor om vlor posção j e ero s dems) e j é (k ) perturção vrável j, por eemplo, j = s ou j m( j, s,00 ), ode s é tolerâ solut pr e é presão d máqu. A mer usul de ostrur est mtr é o preehmeto olu olu, ou sej, o perturr vrável j, lul-se o vetor ds fuções F( je j ) e mot-se olu j d mtr. Por outro ldo, estem város softwres dspoíves pr oteção lít d mtr, tto por dfereção smól (MAPLE, MATHCAD, MAXIMA, et.) quto por dfereção utomát que pl regr d de (ADIFOR, ADOL-C, et.). A etesão do método d otução pr sstems de equções lgérs segue o mesmo mho do método de Newto-Rphso. j Lst de eeríos ) O modelo estoáro do estágo de um olu de sorção de prto, qul oorre um reção quím rreversível fse líqud, é desrto pels equções de lço de mss o: L V L V Hk N (N: úmero totl de prtos) pr,,, L: vão molr d fse líqud; V: vão molr d fse gás; H: úmero de moles d fse líqud o prto ; k: ostte de velodde d reção [tempo - ]; : frção molr fse líqud;

17 .4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 7 : frção molr fse gás. A relção de equlíro etre s fses é dd pel epressão: m. Utldo os segutes vlores ds vráves e de prâmetros: L = 40 kmol/h; V = 60 kmol/h; H = 0 kmol; k = ½ h -, m = 0,75, = 0,05, N = 6; 0 = 0,5437 e 7 = 0, s equções do modelo trsformm-se em: 0 pr,, 3, 4, 5, ,75 ode 0 0,5 ; 7 0 e pr,, 3, 4, 5, 6. 0,05 Pr resolver este sstem, dotm-se lmete os vlores s que osttuem solução do prolem ler: (0) (0) (0) (0) 0 pr,, 3, 4, 5, ode 0,5437 ; 0 e 0,75 pr,, 3, 4, 5, 6 (0) (0) (0) (0) 0 7 Este sstem por ser ler e tr-dgol pode ser resolvdo reursvmete resultdo os vlores: (0) 0,6857 (0) 0,08744 (0) 0, (0) 0, (0) 0, (0) 0, ) Eplque sutmete omo estes vlores form determdos; ) Pr resolver o prolem plou-se o método de Newto-Rphso o sstem orgl, dque o omo ser este proedmeto ddo lrmete mtr Jo orrespodete; ) Como pode ser provetd estrutur tr-dgol d mtr Jo o método tertvo desevolvdo? d) N Tel segur presetm-se os vlores otdos s 3 prmers terções do proedmeto mplemetdo em omputdor. Comete estes resultdos! Chute Il Iterção Iterção Iterção 3 0,6857 0,6553 0,6543 0,6543 0, , , , , , , , , , , , , ,0074 0, , , ,0047 0,0047 0,0047

18 8. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ) O método de Guss-Jo osste em resolver de form tertv o sstem ler de equções: j pr,,, j j k ( r) ( r) j j j j j jk form: ( r) k pr,,,. Sedo ( r) j é o vlor d vrável j k j terção r. Este proedmeto tem overgê grtd se: pr,,,. j k j k Bsedo ests formções desrev lrmete um proedmeto tertvo, equvomete overgete, resultte d plção do método de Guss-Jo o sstem ler o: ) Resolv o sstem ler o: ) Resolv equção de dfereçs: u 4 u u pr,, 3,, om u 0 e u. Resolv pr = 4, 5 e 6. 5) O modelo estoáro do estágo de um olu de sorção de prto é desrto pel equção de lço de mss: L V L V pr,,, N (N: úmero totl de prtos) L: vão molr d fse líqud; V: vão molr d fse gás; : frção molr fse líqud; : frção molr fse gás.

19 BIBLIOGRAFIA 9 Sedo-se que relção de equlíro etre s fse é ler e dd pel epressão: = m., sugr um proedmeto tertvo pr resolver este sstem oheedo-se: L, V, m, 0 e N+. Pr lustrr seu proedmeto dote: L = 40; V = 65; m = 0,7; N = 6; 0 = 0,5 e 7 =0. Avle o que oorre om s omposções de síd [ e N ] qudo N tede fto. Blogrf Cálulo Numéro: Crterísts Mtemáts e Computos dos Métodos Numéros - D. Sperdo, J.T. Medes e L.H.M. Slv - Perso-Prete Hll, 003. Mtr Alss d Appled Ler Alger - C.D. Meer, SIAM, 000. Mtr Computtos - G. H. Golu e C. F. V Lo - Johs Hopks, 996. Álger Ler Aplções - C.A. Cllol, H.H. Domgues e R.C.F. Cost - Atul Edtor, 6ª ed., 989.