Sistemas de Equações Algébricas

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1 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Cpítulo 5 Sstems de Equções Algérs Cosderdo ovmete o prolem de um retor otíuo de tque gtdo (CSTR) ão-sotérmo, om propreddes físs osttes (, p ): F e, C Ae, T e F ws, T ws F we, T we F s, C A, T Ms gor pr o so de um reção de ordem : C A ( ) E RT r A = k, ode kt k e temos s segutes equções de lço de mss e eerg do modelo: dv dt d VC dt F F A e s FC F C kc V e Ae s A A dt Vp Fep( Te T) ( Hr) kcav UAt( T Tw ) dt

2 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ode F e e F s são s vzões volumétrs de etrd e síd, respetvmete, V é o volume do meo reol, C A é oetrção molr do regete, T e T w são s temperturs do meo reol e do fludo de refrgerção, respetvmete, H r é etlp de reção, U é o oefete glol de trsferê de lor e A t é áre de tro térm. No estdo estoáro: F e = F s F F C A e C A kc A V F UAt ( Hr) kc ( T Te) ( T Tw) A V C V C p Susttudo equção de lço de mss do ompoete A o lço de eerg: F UAt F( Hr ) ( T Te) ( T Tw) ( C C Ae A) V C V C V e defdo s vráves dmesos: CA T T e C T temos: Ae p e ( ) kcae DCAe ep = + ( ) ode,, e D estão defdos o pítulo teror. Ou sej, um sstem de equções lgérs: Ae ( ) f F e f (, ) D C ep (, ) ( ) Neste so em prtulr, segud equção poder ser susttuíd prmer pr elmr vrável, resultdo em um equção lgér um vrável, ms, pr efetos de lustrção, vmos mter omo um sstem de equções dus vráves. Pr o so sem reção quím ( = e D = ), result o sstem ler: F( ) A A, p p F() = A = A

3 5. PIVOTAMENTO E ELIMINAÇÃO DE GAUSS 3 Este um grde vredde de métodos pr solução de sstems leres, sedo mutos deles depedetes d estrutur d mtrz A (mtrz des, esprs, smétr, loodgol, et.). Os métodos ms ohedos pr solução de sstems leres são: métodos dretos: métodos tertvos: elmção Guss ftorções (LU, LL T, LDL T, QR,...) método de Thoms método de Jo método de Guss-Sedel métodos SOR mmzção Pr o so ão-ler, trtremos d solução do sstem de equções lgérs F() = pelos métodos: Susttuções suessvs Newto-Rphso Neste pítulo, o proedmeto de dmesometo ds vráves om o tuto de deá-ls om mesm ordem de grdez é rul pr o om desempeho dos métodos uméros. Por eemplo, o usrmos orm euld omo um medd d dstâ etre potos de um seqüê overgete: N ( ) E se ão dmesormos oetrção e tempertur pr o eemplo do retor CSTR; dgmos que oetrção é promdmete 5, 3 kmol/m 3 e tempertur 5 K, etão o lulr dstâ etre dos potos de um método tertvo: terção Coetrção (kmol/m 3 ) Tempertur (K) k 5, 3 5 k+ 6, 3 5 ( k) ( k) EA 6, 5, 55 ER ( k) ( k) EA ( k) ( k) 6 4, , 5

4 4 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Ou sej, se um erro reltvo de,% fosse etável, o proedmeto tertvo eerrr tes d overgê pr solução, pos hver um erro de % oetrção ( vezes mor que o desejdo). Supodo gor que C Ae = 5, 3 e T e = 4 K e pldo os dmesometos defdos pr o CSTR, terímos pr ests mesms terções: terção k,,5 k+,, EA,,,55,5 4 6, 5,,, ER,75 7,5%,693,,5 E, este so, o rtéro de overgê d ão ter sdo stsfeto. 5. Pvotmeto e elmção de Guss Elmção Guss: O propósto d elmção Guss é reduzr mtrz A um estrutur trgulr (métodos de trgulrzção) ou dgol (método de Guss-Jord) trvés de operções d álger elemetr. Detre os dversos lgortmos de elmção Guss temos os segutes: kj kj k,..., N kk j k,..., N,..., N( k) j j k kj kj kj k,..., N kk j k,..., N k,..., N j j k kj (Guss-Jord) (trgulrzção SAXPY) ode j são os elemetos d mtrz umetd: Ã = [A ]. No so do método de Guss- Jord, solução é eotrd (N+)-ésm olu d mtrz umetd, pós s operções de elmção Guss. Nos métodos de trgulrzção é eessáro d relzr operções de susttução (pr mtrz trgulr feror) ou retro-susttução (pr mtrz trgulr superor), sto é,

5 5. PIVOTAMENTO E ELIMINAÇÃO DE GAUSS 5 N,,,, N j j j,,,, =,...,N susttução N NN NN,,, N j j j N,,,, = N,..., retro-susttução De modo evtr prováves dvsões por zero (dos elemetos kk ) e tmém grtr estldde umér do lgortmo (devdo prolems de rredodmeto), fz-se eessáro o uso de tés de pvotmeto. Pvotmetos são operções de tros de lhs e/ou olus de modo oter um mtrz tedo dgol elemetos om mor vlor soluto. Qudo são efetuds somete tros de lhs, dz-se um pvotmeto prl. No pvotmeto totl tem-se tros de lhs e olus. As operções de pvotmeto podem ser represetds por mtrzes de permutções P e Q: P A = P B (pvotmeto prl) P A Q Q - = P B (pvotmeto totl) Eemplo: osdere o sstem de equções lgérs leres: permtdo detfr:, ssm mtrz umetd é: 6 9 e A ) Método de Elmção por Trgulrzção d Mtrz Aumetd Etp) Reposometo ds lhs (pvotmeto prl) de modo que prmer lh oteh o mor elemeto (em módulo) d prmer olu (pvô):

6 6 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Etp) Normlzção dos elemetos d prmer lh, dvddo-os pelo o elemeto d kj mesm: kj (k = e j = k,..., N+) kk -8/3-5/ Etp) Elmção dos elemetos d prmer olu d segud e terer lhs: (k =, j = k,..., N+ e = k+,..., N) j j k kj -8/3-5/3-35/3-3/ /3-5/3-35/3-3/3 3-5/3 /3 3 Repete-se o proedmeto pr próms lhs té trgulrzção d mtrz umetd: 4 Etp) Reposometo ds lhs de modo que segud lh oteh o mor elemeto (em módulo) d segud olu [sem levr em osderção prmer lh]: -8/3-5/3-35/3-3/3 3-5/3 /3 3 Não há eessdde do reposometo, pos o mor elemeto (em módulo) d segud lh, desosderdo-se prmer lh, já se eotr segud lh (pvô). 5 Etp) Normlzção dos elemetos d segud lh, dvddo-os pelo o elemeto d mesm: -8/3-5/3 - -3/35 9/35-5/3 /3 3 6 Etp) Elmção dos elemetos d segud olu d terer lh: -8/3-5/3 - -3/35 9/35 4/ 94/7

7 5. PIVOTAMENTO E ELIMINAÇÃO DE GAUSS 7 7 Etp) Normlzção dos elemetos d terer lh, dvddo-os pelo 3 o elemeto d mesm: -8/3-5/3 - -3/35 9/35 8 Etp) Determção reursv de, e 3, do om 3. Est últm form d mtrz umetd trduz o sstem ler: N NN, NN,,, N N j,, j, = N,..., (retro-susttução) j ssm: deste modo solução é: 4 3 Not: o eemplo m dgol d mtrz tmém fo dvdd pelos pvôs durte etp de elmção Guss e, por sso, etp de retro-susttução ão houve eessdde d dvsão pelos elemetos d dgol d mtrz, pos estes erm utáros. O lgortmo d trgulrzção SAXPY ão relz est dvsão, dedo- pr etp de retrosusttução. ) Método de Elmção por Dgolzção d Mtrz Aumetd Etp) Reposometo ds lhs (pvotmeto prl) de modo que prmer lh oteh o mor elemeto (em módulo) d prmer olu (pvô):

8 8 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Etp) Normlzção dos elemetos d prmer lh, dvddo-os pelo o elemeto d kj lh: kj (k = e j = k,..., N+) kk -8/3-5/ Etp) Elmção dos elemetos d prmer olu d segud e terer lhs: (k =, j = k,..., N+ e =,..., N om k) j j k kj -8/3-5/3-35/3-3/ /3-5/3-35/3-3/3 3-5/3 /3 3 4 Etp) Reposometo ds lhs de modo que segud lh oteh o mor elemeto (em módulo) d segud olu [sem levr em osderção prmer lh]: -8/3-5/3-35/3-3/3 3-5/3 /3 3 Não há eessdde do reposometo, pos o mor elemeto (em módulo) d segud lh, desosderdo-se prmer lh, já se eotr segud lh. 5 Etp) Normlzção dos elemetos d segud lh, dvddo-os pelo o elemeto d mesm: -8/3-5/3 - -3/35 9/35-5/3 /3 3 6 Etp) Elmção dos elemetos d segud olu d prmer e d terer lhs:

9 5. PIVOTAMENTO E ELIMINAÇÃO DE GAUSS 9-79/5-46/35-3/35 9/35 4/ 94/7 7 Etp) Normlzção dos elemetos d terer lh, dvddo-os pelo 3 o elemeto d mesm: -79/5-46/35-3/35 9/35 8 Etp) Elmção dos elemetos d terer olu d prmer e d segud lhs: 4 Est últm form d mtrz umetd trduz o sstem ler: 4 3 deste modo solução é: 4 3 Eemplo: método de elmção de Guss pr oteção d mtrz vers. Sej mesm mtrz do eemplo lustrtvo do eemplo teror: 7 4 A 9 6, este so desej-se determr mtrz: B A tl que: A B B A I, ode I é mtrz detdde om s mesms dmesões d mtrz A. Neste so mtrz umetd é: Apldo-se proedmeto de elmção álogo o teror (dgolzção), ou sej, o método de elmção por dgolzção d mtrz umetd:

10 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Etp) Reposometo ds lhs de modo que prmer lh oteh o mor elemeto (em módulo) d prmer olu: Etp) Normlzção dos elemetos d prmer lh, dvddo-os pelo o elemeto d lh: -8/3-5/3 -/ Etp) Elmção dos elemetos d prmer olu d segud e terer lhs: -8/3-5/3 -/3 35/3-3/3 / /3-5/3 -/3 35/3-3/3 /3-5/3 /3 /3 4 Etp) Reposometo ds lhs de modo que segud lh oteh o mor elemeto (em módulo) d segud olu [sem levr em osderção prmer lh]: -8/3-5/3 -/3 35/3-3/3 /3-5/3 /3 /3 Não há eessdde do reposometo, pos o mor elemeto (em módulo) d segud lh, desosderdo-se prmer lh, já se eotr segud lh. 5 Etp) Normlzção dos elemetos d segud lh, dvddo-os pelo o elemeto d mesm: -8/3-5/3 -/3-3/35 3/35 /35-5/3 /3 /3

11 5. PIVOTAMENTO E ELIMINAÇÃO DE GAUSS 6 Etp) Elmção dos elemetos d segud olu d prmer e d terer lhs: -93/35 8/35-9/35-3/35 3/35 /35 47/7 /7 5/7 7 Etp) Normlzção dos elemetos d terer lh, dvddo-os pelo 3 o elemeto d mesm: -93/35 8/35-9/35-3/35 3/35 /35 7/47 /47 5/47 8 Etp) Elmção dos elemetos d terer olu d prmer e d segud lhs: 93/35 67/35 6/35 3/35 /35 6/35 7/47 /47 5/47 As três últms olus dest últm form d mtrz é vers d mtrz orgl, sto é: A 93 / 35 3 / 35 7 / / 35 / 35 / 47 6 / 35 6 / 35 5 / 47 pr verfr se o vlor d vers é orreto deve-se lulr: A A A A I Ftorção LU: O proesso de ftorção LU deompõe mtrz A em um mtrz trgulr feror, L, e outr trgulr superor, U, om elemetos utáros dgol prpl d mtrz L (método de Doolttle) ou d mtrz U (método de Crout): A = L U k,..., N k,..., N j k,..., N k k kk j j k kj (Doolttle) U... L

12 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS om um posteror susttução: e um retro-susttução: L = U = As prps vtges d ftorção em relção à elmção Guss é redução do úmero de operções de 3 N O( N ) pr 3 N O( N ), e muteção ds 3 3 operções áss mtrz ftord (mtrz L, ftorção LU), que pode ser pld pr dferetes vetores. 3) Método de Ftorção LU d Mtrz Orgl Etp) Reposometo ds lhs (pvotmeto prl) de modo que prmer lh oteh o mor elemeto (em módulo) d prmer olu (pvô). Somete s etps de pvotmeto do-se mtrz de pvotmeto (lmete mtrz detdde) pr rmzer s operções de tros de lhs: Etp) Normlzção dos elemetos d prmer olu pós prmer lh, dvddo-os pelo o k elemeto d lh: k (k = e = k+,..., N) / /3-7 4 kk 3 Etp) Ftorção dos elemetos d segud e terer lhs pós prmer olu: j j k kj (k =, = k+,..., N e j = k+,..., N) /3 35/3-3/3 -/ /3 35/3-3/3 -/3-5/3 /3 4 Etp) Reposometo ds lhs de modo que segud lh oteh o mor elemeto (em módulo) d segud olu [sem levr em osderção prmer lh e prmer olu]:

13 5. PIVOTAMENTO E ELIMINAÇÃO DE GAUSS /3 35/3-3/3 -/3-5/3 /3 Não há eessdde do reposometo, pos o mor elemeto (em módulo) d segud lh, desosderdo-se prmer lh e prmer olu, já se eotr segud lh. 5 Etp) Normlzção dos elemetos d segud olu pós segud lh, dvddo-os pelo o elemeto d mesm: /3 35/3-3/3 -/3 -/7 /3 6 Etp) Ftorção dos elemetos d terer lh pós segud olu: /3 35/3-3/3 -/3 -/7 47/7 7 Etp) Etrdo s mtrzes L e U: Mtrz L (dos multpldores do proesso de elmção Guss) om dgol: -/3 -/3 -/7 Mtrz U: /3-3/3 47/7 Pr verfr se ftorção está orret, o produto P L U deve ser gul à mtrz A. 8 Etp) Tro ds lhs do vetor de ordo om mtrz de permutção, sto é: P. 9 6 mtrz P: 6 9

14 4 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 9 Etp) Determção reursv de, e 3, do om, do sstem L = : Etp) Determção reursv de, e 3, do om 3, do sstem U = : deste modo solução é: 4 3 Cso desejássemos resolver outro sstem somete modfdo o vetor, str repetr os pssos 8, pos mtrz A já está ftord. Do mesmo modo, pr oter vers d mtrz A, st repetr estes três pssos pr os três vetores olu d mtrz detdde.

15 5. PIVOTAMENTO E ELIMINAÇÃO DE GAUSS 5 ANÁLISE DA SOLUÇÃO DE SISTEMAS ALGÉBRICOS LINEARES É o ojetvo de est seção foreer os elemetos pr álse de sstems de equções lgérs leres d form: A, ode A é um mtrz qudrd (,) hmd de mtrz dos oefetes, hmdo de vetor ds osttes e hmdo de vetor ds ógts solução deste sstem só este se mtrz A for regulr e pode ser epress form: A. Este proedmeto já se eotr mplemetdo, om grde efê, em úmeros potes omputos (MATHCAD, MAPLE, MATLAB, et.) e dflmete hverá eessdde de reprogrmá-lo. Etretto dos spetos de turez qulttv d estrutur do sstem devem ser lsdos: Nem sempre o úmero de equções do sstem é gul o úmero de ógts. Neste so o sstem é desrto d mesm form presetd m: A, ms mtrz A é retgulr (m,) o vetor m e o vetor ds ógts, sto é m é o úmero de equções e o úmero de ógts. O sstem de equções pode tmém ser resrto form: A, ode k m pr k =,,..., são os vetores olus d mtrz A, dest form os elemetos do vetor podem ser terpretdos omo os ompoetes do vetor se formd pelos vetores,,..., sedo ssm orgtormete lermete depedete do ojuto. Sedo r o úmero de vetores lermete depedetes o ojuto de vetores [r ],,...,, este deve ser gul o úmero de vetores lermete depedetes do ojuto de +vetores,, A deve ser gul o posto, r, d...,,. Isto é o posto, r, d mtrz mtrz [hmd de mtrz umetd ] A. Qudo r postoa r posto etretto só dmte solução ú de r postoa A o sstem é dto osstete e dmte solução,. Se m (úmero de equções úmero de ógts) o posto(a) é o mámo, equto que se m < (úmero de equções < úmero de ógts) o posto(a) é o mámo m <, portto só há possldde do sstem presetr solução ú se m (úmero de equções úmero de ógts). Cso o sstem é dto homogêeo e omo este so r postoa será sempre gul r postoa o sstem será sempre osstete e so r = dmte omo solução ú solução trvl, deste modo pr o sstem homogêeo de equções e ógts A ode : A e, só preset solução ão trvl se r postoa, sto é mtrz A deve ser sgulr. O esquem de rterzção d osstê e d estê de solução de sstems lgéros leres é mostrdo o dgrm o:

16 6 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Sstem de Equções A = Cálulo dos postos de A e A respetvmete r e r r < r r : r r = r Sstem é Iosstete Sstem é Cosstete Sstem ão preset solução r = Solução Ú r : r < Número Ifto de Soluções Eemplos Ilustrtvos: () Alse osstê do sstem ler de equções lgérs: 3 3 A r e mtrz umetd: A r 3, - sstem osstete. Hver dus posslddes de orrgr este sstem: () susttudo o ldo dreto d segud equção por 6, e este so solução ser: = e = ; () susttudo o ldo dreto d prmer equção 3 por, este so solução ser =-,5 e = +,5. () Alse osstê e s possíves soluções do sstem ler de equções lgérs: 3 3 A r e mtrz umetd: A 3 r, ssm o sstem é osstete e omo r = = preset solução ú que é solução trvl = = pos o sstem é homogêeo. [Este eemplo lustr oservção fet terormete reltv sstems homogêeos].

17 5. PIVOTAMENTO E ELIMINAÇÃO DE GAUSS 7 () Alse osstê e s possíves soluções do sstem ler de equções lgérs: 3 4 A r e mtrz umetd: A preset o posto r, ssm o sstem é osstete (lás se m < e se r=m o sstem será sempre osstete, ddo que m vetores olu de A osttuem um se de m dest form o vetor eessrmete será lermete depedete destes vetores e, em oseqüê, mtrz A preset sempre posto gul o de A, lém dsto omo r = m < o sstem, este so, presetrá sempre um úmero fto de soluções). Como r = <3 o sstem preset um úmero fto de soluções, etretto ote que o sstem pode ser 3 4 reesrto form: defdo: z = +, tem-se: 33 8 z3 4 z 3. 3z3 8 3 Este eemplo lustr que em sstems osstetes om meos equções do que ógts ão se pode rtrr dsrmdmete (-m) vráves luldo s m resttes em fução dests, este proesso de esolh de (m-) etre s ógts deve ser fet de modo que mtrz do sstem pós est esolh teh posto =. Assm se o eemplo o vlor rtrdo de 3 fosse dferete de o sstem resultte ser osstete, pos om 3 =, por eemplo, tem-se: A r e mtrz umetd: A tem o posto r, sedo ssm o sstem osstete. Etretto se 3 6 vrável, por eemplo, tvesse um vlor rtrdo qulquer, ter-se-: A r e mtrz umetd: A tem o posto r depedete do vlor de, etão este so o sstem é sempre osstete. Mesmo o so em que m= e em que A é regulr solução do sstem post form: A ão ssegur que solução sej et [um prát reomedd é pós o progrm foreer o vetor lulr A que é o hmdo resíduo d solução. Quto ms prómo estver do vetor, ou sej:, mor é presão do resultdo] em tão pouo que oteção d vers d mtrz A sej fál [sto é espelmete verddero se os elemetos de A presetrem ordes de grdez muto dstts, este so mtrz é dt ml odod]. Estes dos ftos gerlmete oorrem devdo o mu odometo d mtrz A que é meddo pelos hmdos úmeros de odometo, vlores elevdos dos úmeros de odometo é um forte dtvo de dfulddes umérs resolução do sstem e versão d mtrz A. Os qutro úmeros o são usulmete osderdos: M = M(A) M(A - ), ode M(A) = m sto é, é o vlor do módulo do elemeto d mtrz A que preset o mor vlor soluto; N N A N A, ode N(A) é orm euld de A defd por:, j j

18 8 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS N T A tra A ; P ode e são, respetvmete, os vlores solutos do mor e do meor vlor rterísto de A em módulo (ou d prte rel dos mesmos). m A, ode (A) são os vlores sgulres de A ou rz qudrd dos A m vlores rterístos de A A T. Eemplo: o sstem ler é o hmdo prolem de T. S. Wlso: 78z7w3 756z5w3 86z9w33 759zw3 solução et deste sstem é = = z = w =, etretto dotdo-se = 6; = -7,; z =,9 e w = -, os resultdos de d um ds equções são 3,;,9; 3,9 e 3,; e dotdo =,5; =,8; z =,9 e w =,89 os orrespodetes resultdos são 3,;,99; 3,99 e 3, A mtrz rteríst deste sstem é: A uj vers é: A e os vlores rterístos dest mtrz são:,5; ,8437; 3,85857 e 3,88685, ssm s dus orms dests mtrzes são: M(A) = ; M(A - )=68, N(A)=3,545 e N(A - ) = 98,59, etão os úmeros de odometo são: M = M(A) M(A - ) = 4 68 = 7; N NA NA = 3,545 98,59 = 39,58 3, 887 P 984, 9, m m 3,887, 984, 9 (gul o so 3, pos mtrz A é smétr)

19 5. MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES 9 5. Métodos tertvos pr sstems leres D mesm form que os métodos dretos, este um grde vredde de métodos tertvos pr solução de sstems leres, detre estes: terções de Jo terções de Guss-Sedel terções SOR Mmzção terções ADI terções de Rhrdso terções de Cheshev Grdete Cojugdo (CG) Grdete Cojugdo Qudráto (CGS) Grdete BCojugdo (BCG) Grdete BCojugdo Estlzdo (BCGSTAB) Resíduo Mímo Geerlzdo (GMRES) Aordremos qu somete os qutro prmeros. Jo É um método tertvo pr solução de sstems leres epresso, form mtrl, por: k k M, k,,,... ode M = D - B, = D -, B = D - A. Sedo D dgol d mtrz A. O método esrto pr d elemeto do vetor preset segute form: N k j j k j( ),,..., N e k,,,... Guss-Sedel Este método é um modfção do método de Jo, ujo prípo é de usr os ovos vlores de tão logo eles estejm dspoíves. Neste so mtrz M = (D - L) - U e o vetor = (D - L) -, ode D, L e U são s mtrzes dgol, trgulr feror e trgulr superor, respetvmete, etríds d mtrz A = D - L - U. O método esrto pr d elemeto do vetor preset segute form:

20 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS k k j j j N j j k j,,..., N e k,,,... SOR O método ds sore-relções suessvs (SOR - suessve overrelto) é um vrção do método de Guss-Sedel pel trodução de um ftor de relção (): k k k k k ( ) ode é proveete do método de Guss-Sedel. Tto o método SOR, quto o método de Guss-Sedel, o otráro do método de Jo, depedem d ordem em que s equções são resolvds. A overgê destes métodos tertvos é rterzd pel mtrz de terção, M: k k M, k,,,... sedo overgetes se, e somete se, todos os vlores rterístos de M possuírem vlor soluto meor que. Um odção sufete pr overgê é: ode M l M m j N m j orm F N N T j ( ) j M m tr M M orm Froeus M m N m j j orm Mmzção A solução de sstems leres tmém pode ser otd por tés de otmzção, trvés d trsformção do prolem A = em: T T ou S ( ) A S ( ) ( A) ( A ) ode desej-se eotrr tl que S() é mímo. T o so de A ser smétr e postv defd,

21 5.3 SISTEMAS TRI-DIAGONAIS 5.3 Sstems tr-dgos Método de Thoms: Um so prtulr, muto omum, de sstems leres, é o sstem tr-dgol, que pode ser represetdo d form: d, =,,..., ode é su-dgol, é dgol e é super-dgol d mtrz A, om = e + = omo odções de otoro. A solução deste sstem pelo método de Thoms tem form: ode, = -, -,...,, d om e. d e, =,3,...,. Pr etedermos este proedmeto, temos: Prmer equção: d Últm equção: d Fzedo:,, d Pel prmer equção: d Logo, e Equção : ; d d d d

22 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS pr om,, d pr om,, d pr,,, Qudo e/ou + ão são ulos, sto é A X e B X, solução do sstem, usdo o prípo d superposção, é epress form: sedo solução do sstem presetd m (om, ms d X X X z B A X d ) os termos e z são soluções ds equções homogêes om odções de otoro ão-homogêes: () om e, ssm prmer equção ser:, usdo um form reursv d mesm form que resolução teror: omo, tem-se: e, em vst de: : e., ssm:, ms: e detfdo:, otedose mesm form reursv de determção de e. Deste modo: pr om,, pr om,, e pr,,, () om e z z z z z, ssm prmer equção ser:

23 5.4 MÉTODO DAS SUBSTITUIÇÕES SUCESSIVAS PARA SISTEMAS NÃO-LINEARES 3 z z z z, usdo um form reursv d mesm form que s resoluções terores: z z omo z, tem-se: z z : e. z z, ssm: z z z e, em vst de:, ms: z z z e detfdo: z z, otedo- se mesm form reursv de determção de e pr,, om pr,, om pr,,. Deste modo: z e z z pr,,, Oserve que s soluções dos tes () e () m tmém podem ser otds dretmete pels relções reursvs do sstem orgl stdo fzer: () d = - e d =, =,3,..., () d = - z + e d =, =,,...,- e osderr ms s odções de otoro uls ( = e + = ), pos els já form emutds em d e d, respetvmete. Ao fl deve-se lemrr que e z + são ddos. 5.4 Método ds susttuções suessvs pr sstems ão-leres Smlrmete o so moovrável, o método ds susttuções suessvs pldo sstems de equções lgérs tem form: k om rtéro de overgê tmém smlr: k k G( ), k,,, G ( ) G ( *) k *, < <.

24 4 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Eemplo: DC Ae ep g(, ) ( ) g(, ) 5.5 Geerlzção do método de Newto-Rphso A etesão do método de Newto o so multvrável mpl susttução d dervd d fução f() pel mtrz ds dervds prs de F() om respeto, deomd de mtrz Jo, J(). Assm, o método de Newto-Rphso preset segute form: ( k ) ( ) J ( ) F( ), k,,, ( k) ( k ) k ( k ) ( k ) F ( ) ode Jj ( ). A solução do sstem ler resultte pode ser resolvdo tto por j métodos dretos omo por métodos tertvos. Um modfção o método de Newto-Rphso é mter mtrz Jo f por um determdo úmero de terções: ( m) ( ) J ( ) F( ), k,,, ( k) ( k ) k ode mk e. O prâmetro, que depede d terção, é usdo pr ompesr o fto d mtrz Jo ser mtd f por lgums terções. Ovmete, = qudo m = k. Cso ão se teh dspoível epressão lít d mtrz Jo, est pode ser otd umermete por perturções em F(): J j ( ( k ) ( k ) F k ( je j ) F ( ) ( ) ) ode e j é o j-ésmo vetor utáro (vetor om vlor posção j e zero s dems) e j é (k ) ( k ) perturção vrável j, por eemplo, j = s ou j m( j, s, ), ode s é tolerâ solut pr e é presão d máqu. A mer usul de ostrur est mtrz é o preehmeto olu olu, ou sej, o perturr vrável j, ( k ) lul-se o vetor ds fuções F( je j ) e mot-se olu j d mtrz. Por outro ldo, estem város softwres dspoíves pr oteção lít d mtrz, tto por dfereção smól (MAPLE, MATHCAD, MAXIMA, et.) quto por dfereção utomát que pl regr d de (ADIFOR, ADOL-C, et.). A etesão do método d otução pr sstems de equções lgérs segue o mesmo mho do método de Newto-Rphso. j

25 5.5 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 5 Lst de eeríos ) O modelo estoáro do estágo de um olu de sorção de prto, qul oorre um reção quím rreversível fse líqud, é desrto pels equções de lço de mss o: L V L V Hk N (N: úmero totl de prtos) pr,,, L: vzão molr d fse líqud; V: vzão molr d fse gás; H: úmero de moles d fse líqud o prto ; k: ostte de velodde d reção [tempo - ]; : frção molr fse líqud; : frção molr fse gás. A relção de equlíro etre s fses é dd pel epressão: m. Utlzdo os segutes vlores ds vráves e de prâmetros: L = 4 kmol/h; V = 6 kmol/h; H = kmol; k = ½ h -, m =,75, =,5, N = 6; =,5437 e 7 =, s equções do modelo trsformm-se em: pr,, 3, 4, 5, ,75 ode,5 ; 7 e pr,, 3, 4, 5, 6.,5 Pr resolver este sstem, dotm-se lmete os vlores s que osttuem solução do prolem ler: () () () () pr,, 3, 4, 5, ode,5437 ; e,75 pr,, 3, 4, 5, 6 () () () () 7 Este sstem por ser ler e tr-dgol pode ser resolvdo reursvmete resultdo os vlores: (),6857 (),8744 (),437 3 (), (),87 5 (),669 6 ) Eplque sutmete omo estes vlores form determdos; ) Pr resolver o prolem plou-se o método de Newto-Rphso o sstem orgl, dque o omo ser este proedmeto ddo lrmete mtrz Jo orrespodete;

26 6 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ) Como pode ser provetd estrutur tr-dgol d mtrz Jo o método tertvo desevolvdo? d) N Tel segur presetm-se os vlores otdos s 3 prmers terções do proedmeto mplemetdo em omputdor. Comete estes resultdos! Chute Il Iterção Iterção Iterção 3,6857,6553,6543,6543,8744,788,787,787 3,437,3736,37356, ,8684,735,7347,7347 5,87,74,74,74 6,669,47,47,47 ) Em um ojuto de reções químs, pr determr o úmero de reções depedetes mot-se um mtrz ompost pelos oefetes estequométros ds reções osderdoos omo postvo qudo o ompoete for regete reção orrespodete e omo egtvo qudo o ompoete for produto reção (est mtrz se hm de mtrz estequométr). Assm pr o ojuto de reções químs: Reção: 4 NH O 4 NO + 6 H O Reção: 4 NH O N + 6 H O 3 Reção: 4 NH NO 5 N + 6 H O 4 Reção: NO + O NO 5 Reção: NO N + O 6 Reção: N + O NO A mtrz estequométr orrespodete este esquem de reções é: A O úmero de reções depedetes é gul o posto (rk) d mtrz A, sedo este eemplo gul 3 (três). Bsedo est formção dque 3 reções do esquem presetdo que sejm depedetes etre s, justfdo su esolh pelo álulo do posto d mtrz estequométr ds reções esolhds.

27 5.5 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 7 3) O método de Guss-Jo osste em resolver de form tertv o sstem ler de equções: j pr,,, j j k ( r) ( r) j j j j j jk form: ( r) k pr,,,. Sedo ( r ) j é o vlor d vrável j k j terção r. Este proedmeto tem overgê grtd se: pr,,,. j k j k Bsedo ests formções desrev lrmete um proedmeto tertvo, equvomete overgete, resultte d plção do método de Guss-Jo o sstem ler o: ) Um olu de sorção é ompost por N estágos de equlíro. As fses gsos e líqud perorrem olu em otrorrete, osder-se fse gsos ompost de um gás erte e ão solúvel fse líqud trsportdo um soluto um oetrção [mss de soluto/mss de gás erte] e fse líqud é ompost por um líqudo erte e ão volátl que trsport o mesmo soluto um oetrção [mss de soluto/mss de líqudo erte]. A relção de equlíro de fses em d estágo é supost ler: = K. Cosderdo que o líqudo lmet olu seto do soluto e sedo s suposções heg-se às equções de lço do soluto: Estágo : XX Estágo [ =,..., N]: Estágo N: X ode N XN K ; X L N X X X G, G: vzão máss de gás erte (ostte) e L: vzão máss de líqudo erte (ostte). 4) Mostre que solução deste sstem ler e tr-dgol é epress por: X epressão pr =? N N pr,, N. Como remover prete sgulrdde dest 4) Pr um olu om estágos [N = ] desej-se lulr o vlor de que fz om que hj remoção de 9% do soluto d orrete gsos, sto é desej-se determr que orrespod X =,. Deste modo o prolem reduz-se à resolução d equção ão ler: X,,

28 8 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Ao se preset o gráfo de X versus. z k ( sol )..5 z, sol k Aplou-se est equção o método de Newto-Rphso otedo-se os resultdos: hute l =,8 hute l =,5 hute l =,4 terção k terção k terção k k k k,8,5,4,74,936 68,475,5,94-4, ,97 3,97 3 DIVERGIU 4,96 4,96 5,96 5,96 Desrev o proedmeto tertvo pldo e omete os resultdos presetdos, em prtulr, epldo por que om hute l =,4 o proedmeto tertvo ão overgu. 5) Um olu de destlção de 3 prtos é operd de form otíu pr destlr um mstur ár, segudo o esquem: Codesdor [Estágo 4] D, d = 4 V 3 L, 4 Prto 3 V L, 3 F, z Prto (lmetção) V L+F, Prto V L+F, Refervedor B, B = [Estágo ]

29 5.5 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 9 Ode s omposções m se referem à frção molr do elemeto ms leve. Cosder-se est mstur ár om voltldde reltv ostte, sto é: ou pr =,, e 3. Os lços molres do elemeto ms volátl os estágos são desrtos por: F D R F R D Refervedor (estágo ""): R R Prto : Prto (prto de lmetção): F F R R R3 z D D Prto 3: R R Codesdor (estágo 4): Sedo: R = L/D: rzão de refluo; V=(+R).D: vzão molr do vpor. Além destes lços têm-se os lços glos: Sedo: B = e D = 4. BD F B B D D F z Sedo-se que F = kmol/h e z =,5, osdere os dos prolems: 5) Ddos D = 8 kmol/h e R = 5 lulr s vzões molres B, L e V e s omposções ters d olu; 5) Ddos D =,8 e B =,5 lulr s vzões molres D, B, L, V e R e s omposções ters d olu. Desrev de form detlhd os proedmetos uméros que deverm ser mplemetdos pr resolver d um dos prolems, eftzdo em su desrção s odções s serem dotds. Ao se presetm os resultdos overgdos pldo proedmetos uméros dequdos: Prolem : B = kmol/h; L = 4 kmol/h e V = 48 kmol/h 3,9,34,7,9 (produto de fudo),35,,347,63 (produto de topo)

30 3 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Prolem : D = 6,538 kmol/h; B = 38,46 kmol/h; L = 489,7 kmol/h; V = 55,6 kmol/h e R = 7,958 3,,7,,5 (produto de fudo),75,36,533,8 (produto de topo) 6) No sstem hdráulo o, um om etrífug é utlzd pr trsferr líqudo de um tque outro, estdo os tques o mesmo ível p p 3 p Q A om elev pressão do líqudo de p (pressão tmosfér) p, ms oorre um perd de rg tuulção que lg os dos tques e pressão síd d tuulção pr p 3 ovmete pressão tmosfér. A elevção d pressão devdo à om etrífug é dd por su urv rteríst e é epress por: p p Q Sedo e osttes rterísts d om e Q vzão volumétr. fm LQ A perd de rg tuulção é epress por: p p3 8 5 D Sedo: f M : ftor de trto de Mood do teror d tuulção (suposto ostte); : mss espeíf do líqudo; L : omprmeto d tuulção; D: dâmetro tero do tuo. 3/

31 5.5 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 3 Clule vzão de líqudo e pressão síd d om os dos sos o: Ddos Ddos D (polegds),49,469 L (pés) 5,,6 f M (dmesol),3,6, ps 6,7 38,5, ps/(gpm).5,5,96 Resolver o prolem pr os dos ojutos de ddos e pr os dos líqudos: () águ: = 6,4 l m /ft 3 ; () querosee: =5,4 l m /ft 3. 7) N reldde o ftor de trto de Mood o teror d tuulção é fução do úmero de Du Q Reolds, Re ode u : velodde méd o teror do tuo e : D / vsosdde do líqudo, e d rugosdde ter do tuo em ordo om: 64 () Pr Re : fm ; Re () Pr Re >, o vlor de f M é solução d Equção de Colerook epress por:,5 log fm 3, 7 D Re f M ode : rugosdde ter do tuo; D: dâmetro tero do tuo. Um om hute l pr ess equção é equção de Blssus epress por: f M Re que é váld pr tuulções lss (=) e esometo turuleto. Refç tods s stuções do prolem om esss ovs osderções. 8) As prps reções que oorrem produção de gás de sítese trvés d odção prl do meto om ogêo são: CH 4 O CO H CH 4 H O CO 3H H CO CO H O Clule relção etre s vzões molres de ogêo e meto lmetção de um retor de gás de sítese operdo dtmete, tl que tempertur de equlíro d mstur o teror do retor sej gul o F. A pressão de operção do retor é gul tm e tempertur de etrd dos regetes é gul o F.

32 3 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Cosderdo o omportmeto d mstur reol omo del s segutes relções de equlíro prevleem: 3 pco ph p CO ph 5 Reção : K, 3 Reção : K p p,7837 p p CH4 O CH4 HO pco p Reção 3: K 3 p p H O C H, 658 Sedo: pco; pco ; pho ; ph ; pch 4 e po são s pressões prs, respetvmete, do CO, CO, H O, H, CH 4 e O. As etlps dos dversos ompoetes evolvdos o proesso e o F estão lstds o: Compoete F H o (BTU/lmol) F H o (BTU/lmol) CH H O CO CO H 897 O Um qurt reção quím tmém oorre lts temperturs: Reção 4: C CO CO pco K 4 39,5 p C C C é tvdde do roo o estdo sóldo (seu vlor pode ser osderdo omo utáro). Cosderdo em prmer stâ estê d reção 4 e s segutes vráves: : úmero de moles do CO o equlíro/mol de CH 4 lmetção ; : úmero de moles do CO o equlíro/mol de CH 4 lmetção ; 3 : úmero de moles do H O o equlíro/mol de CH 4 lmetção ; 4 : úmero de moles do H o equlíro /mol de CH 4 lmetção; 5 : úmero de moles do CH 4 o equlíro /mol de CH 4 lmetção; 6 : úmero de moles do O lmetção /mol de CH 4 lmetção; 7 : úmero de moles totl dos produtos /mol de CH 4 lmetção. Devdo o vlor elevdo d ostte de equlíro d prmer reção, pode-se osderr omo se todo o ogêo lmetdo o sstem fosse osumdo, sto é: p O, om ess osderção os lços de mss de d elemeto químo presete e o lço de eerg oduzem o sstem de equções:

33 5.5 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 33 Blço de ogêo: 6 3 Blço de hdrogêo: Blço de roo: 5 Blço glol do produto: Equlíro d segud reção: P, totl Equlíro d terer reção: 3, 6584 Blço de eerg: Resolv este sstem de equções lgérs. Após resolver o sstem lule: pco Ptotl K om C. Se K K4 39,5 há p C C 7 possldde de formção de rvão sóldo o teror do retor, so otráro tl ão oorre. Verfque qul ds posslddes prevlee! 6 9) Refç o prolem 3 osderdo possldde d prmer reção ão ser omplet, sto é, osdere possldde de hver ogêo ão regdo o produto. ) Cosdere o sstem hdráulo esquemtzdo o: Bom B Bom A Tuo D Tuo C Tuo E As pressões p e p 5 os potos e podem ser osderds omo gus à pressão tmosfér. As equções que desrevem o esometo em d treho do sstem são: Poto de jução : QE Q D Q C Bom A : p p Q ; Bom B : p3 p B B QD A A C

34 34 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Perd de rg o tuo C: Perd de rg o tuo D: p p f L Q M C C p4 8 5 D f L Q M D D 3 p4 8 5 DD M E E DE Perd de rg o tuo E: p p g z z f L Q Ode z z ft(elevção d tuulção), f M =,79, = 6,43 l m /ft 3 (águ), p = p 5 =, tm e Bom A (ps) A ps/(gpm) A 56,6,75 B 7,,47 Tuo D (h) L (feet) C,78 5 D,67 5 E, Clule p, p 3, p 4, Q C, Q D e Q E. ) Resolv o sstem ler o: ) Resolv equção de dfereçs: u 4 u u pr,, 3,, om u e u.

35 5.5 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 35 Resolv pr = 4, 5 e 6. 3) O modelo estoáro do estágo de um olu de sorção de prto é desrto pel equção de lço de mss: L V L V pr,,, N (N: úmero totl de prtos) L: vzão molr d fse líqud; V: vzão molr d fse gás; : frção molr fse líqud; : frção molr fse gás. Sedo-se que relção de equlíro etre s fse é ler e dd pel epressão: = m., sugr um proedmeto tertvo pr resolver este sstem oheedo-se: L, V, m, e N+. Pr lustrr seu proedmeto dote: L = 4; V = 65; m =,7; N = 6; =,5 e 7 =. Avle o que oorre om s omposções de síd [ e N ] qudo N tede fto.