3. FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

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1 Sstems de Cotrole 3. FUNÇÕES DE TRNSFERÊNCI Em teor de cotrole, fuções chmd fuções de trsferêc são comumete usds r crcterzr s relções de etrd-síd de comoetes ou sstems que odem ser descrtos or equções dferecs. FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI fução de trsferêc de um sstem de equção dferecs leres é defd como relção d trsformd de Llce d síd r trsformd de Llce d etrd. Cosdermos o sstem defdo el segute equção dferecl: d y d y dy y b d m x m d x b b dx m m + m m bx Ode y é síd do sstem e x é etrd e m. fução de trsferêc do sstem é obtd tomdo-se trsformd de Llce de mbos os membros d equção. fução de trsferêc Gs ( ) L [ síd] [ etrd] L codções cs uls. m m Ys () bs m + bm s bs+ b Gs () X() s s + s s+ m bs s Usdo o coceto de fução de trsferêc, é ossível reresetr dâmc do sstem els equções lgébrcs em "s". lcbldde do coceto d fução de trsferêc é lmtd os sstems de equções dferecs leres vrtes o temo. Prof. Josemr dos Stos 6

2 Sstems de Cotrole FUNÇÕES DE TRNSFERÊNCIS DE SISTEMS DINÂMICOS Suoh segute equção dferecl de ordem : Vρ C dt wc( T T) + Q Se o rocesso está clmete o estdo estcoáro, ortto: T( ) T T ( ) T Q( ) Q síd T está relcod às etrds T e Q elo blço de eerg o estdoestcoáro. wc( T T ) + Q Pr elmr deedêc do modelo ds codções estcoárs, subtr-se relção o estdo-estcoáro d equção dferecl do modelo. [( ) ( )] ( ) Vρ C dt wc T T T T + Q Q Vρ dt ( T) w wc Q + [( T T) ( T T) ] ( Q ) fzedo T T T, T T T eq Q Q temos: V ρ dt [ T T ] + w wc Q Vρ Substtudo : τ w e temos: wc τ dt [ T T ] + Q lcdo Llce: τ [ st' ( s) + T' ( )] T' ( s) T' ( s) + Q' ( s) Prof. Josemr dos Stos 7

3 Sstems de Cotrole Como T'() etão: τ st' ( s) T' ( s) T' ( s) + Q' ( s) ( τs+ ) T' ( s) T' ( s) + Q' ( s) T' ( s) T ( s) Q ( s) ' + ' τ s + τ s + Portto: T' ( s) G ( s) T' ( s) + G ( s) Q' ( s) Ode: G ( s) G ( s) τ s + τ s + COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI - É um modelo mtemátco exresso trvés de um equção dferecl que relco síd com etrd. - Ideede d mgtude e d turez d etrd. 3- Iclu s uddes ds etrds e síds. 4- Não forece formções sobre estrutur físc do sstem. 5- Pode ser estbelecd exermetlmete troduzdo-se etrds cohecds e lsdo s síds. Prof. Josemr dos Stos 8

4 Sstems de Cotrole PROPRIEDDES DS FUNÇÕES DE TRNSFERÊNCI GNHO D FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI vrção d síd o estdo-estcoáro é clculdo dretmete, fzedo S O. Em G(s) dá o gho o estdo-estcoáro do rocesso, se ele exste. O gho o estdo-estcoáro é rzão etre vrção d síd com vrção d etrd. y y x x b Ode : e dcm dferetes estdos-estcoáros ( yex ). ORDEM D FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI ordem d fução de trsferêc é mor otêc de "s" o deomdor do olômo que é ordem d equção dferecl equvlete. O sstem é chmdo de -ésm ordem. CONSTNTE DE TEMPO D FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI Se mbos o umerdor e deomdor forem dvddos or o olômo crcterístco (deomdor) ode ser ftordo form de roduto ( τ s + ). O termo em "s" é chmdo costte de temo (τ) que dá um formção d velocdde e ds crcterístcs d resost do sstem. RELIZÇÃO FÍSIC Ddo um sstem descrto or m m bs m + bm s bs + b Gs () s + s s+ é fscmete ossível se m. PÓLOS E ZEROS Prof. Josemr dos Stos 9

5 Sstems de Cotrole Dd fução de trsferêc: m m bs m + bm s bs + b Gs () s + s s+ Est exressão ode ser ftord em bm Gs ( ) ( s z)( s z)...( s zm ) ( s )( s )...( s ) ode: z são os zeros d fução de trsferêc são os ólos de fução de trsferêc Os ólos e zeros tem um el mortte determção do comortmeto dâmco do sstem. Podemos vsulzr o to de comortmeto dâmco ssocdo cd to de ólo: dsttos e res; res comlexos e cojugdos ( ± b j); múltlos ólos res e egtvos - rízes form Lugr ds rízes ( ) yt Ce t Comort meto ólos res e ostvos ( ) yt Ce t 3 ólos comlexos cojugdos com rte rel egtv - + b - - b t ( ) ( cos + se ) yt e C bt C bt 4 ólos mgáros uros b - b yt ( ) Ccos bt+ Cse bt 5 ólos comlexos cojugdos com rte rel ostv + b - b t ( ) ( cos + se ) yt e C bt C bt Prof. Josemr dos Stos 3

6 Sstems de Cotrole PROCESSO Os rocessos res cosstem combção de sstems báscos elemetres. É fudmetl r o bom cohecmeto desses rocessos eteder o comortmeto dos sstems elemetres. SISTEMS DE PRIMEIR ORDEM Sstems de rmer ordem tem seu comortmeto dâmco descrto or equções dferecs de rmer ordem. Modelo dy + y bu Ode: y - Vrável síd u - Vrável etrd dy b y u dy + τ + y u Prâmetros de dâmc τ - costte de temo - gho do rocesso Fução de trsferêc No domío s temos: τ ( ) ( ) ( ) ( ) sy s + y s u s G s τ s + Prof. Josemr dos Stos 3

7 Sstems de Cotrole Exemlo Um retor de mstur erfet, com ível costte e reção de rmer ordem. Blço Mterl V dc ( ) + FC C + C V dc + ( F + ) C FC V dc + C F + F F C + τ dc + C C ode: F F e V τ + F + No domío "s" temos : sc ( s) + C ( s) C ( s) τ C ( ) s G( s) C ( s) τ s + resost dâmc de rmer ordem deede do to de etrd Resost o degru Prof. Josemr dos Stos 3

8 Sstems de Cotrole C ( ) s Gs ( ) C ( s) τ s + (Fução de trsferêc) C ( s) C ( s) τ s + M C ( s) (Degru) S M C ( s) τ s + S No domío t (trsformd vers de Llce) C ( t) M e t τ SISTEMS DE SEGUND ORDEM Sstem de segud ordem tem seu comortmeto dâmco descrto or equções dferecs de segud ordem. Modelo Tmbém ode ser comosto or dus fuções de trsferêc de ordem em sére. d y dy d y dy + + y bu + + y b u τ d y dy + ζτ + y k u se cosderrmos ω e multlcdo todos os termos or ω τ temos: Prof. Josemr dos Stos 33

9 Sstems de Cotrole d y dy + ζω + ω y kω u Prâmetros de dâmcos - Gho estcoáro do rocesso ξ - Ftor de mortecmeto τ - Determ velocdde d resost ( equvlete à costte de temo do rocesso ) ω - Freqüêc turl de osclção do rocesso. Fução de trsferêc ou No domío "s" temos τ sys ( ) + ζ τ sys ( ) + ys ( ) us ( ) ys ( ) Gs ( ) us ( ) τ s + ζτ s+ s y( s) + ζ ω sy( s) + ω y( s) ω u( s) ys ( ) Gs ( ) us ( ) s ω + ζω s+ ω Há três forms morttes ds fuções de trsferêc de segud ordem: Form Fx do Ftor de mortecmeto crcterístc de resost do sstem ζ > sobre mortecdo ζ crtcmete mortecdo 3 < ζ < sub mortecdo crcterístcs dos ólos (rízes) ólos res e dsttos ólos res e gus ólos comlexos e cojugdos O cso ms mortte é o sstem sub-mortecdo. Há um sére de râmetros de teresse resost do sstem. Prof. Josemr dos Stos 34

10 Sstems de Cotrole Freqüêc de Osclção mortecd ω ω ζ ou ω d d ζ τ Período de Osclção mortecd P d π ω d Rse Tme(tr) - temo de subd - Temo ode resost lcç o ovo estdo-estcoáro el vez. É um medd d de resost do sstem o degru. velocdde t r π ωd Tme to frst ek (t) - stte r o o co - Temo em que o sstem tge o o co. t π ωd Settlg Tme - temo de estblzção - Temo requerdo r que o rocesso teh resost bd de 5% do estdoestcoáro t s 4 ζω Prof. Josemr dos Stos 35

11 Sstems de Cotrole Overshoot - sobre-sl - Qutdde máxm qul resost ultrss o vlor do estdo-estcoáro. É reresetdo vlor em estdo-estcoáro. como um frção do Os e b πζ ζ Decy-rto - rzão de decmeto - Rzão etre s mltudes de dos cos cosecutvos. D r c ( Os) e πζ ζ SISTEMS COM TEMPO MORTO O temo morto é um crcterístc resete em mutos rocessos, é cohecd como dâmc de tubulção e roredde do sstem de resoder um etrd ós um certo temo, td. Modelo yt ( ) xt ( t d ) Prâmetros de dâmc td - Temo morto Fução de trsferêc G( s) ys ( ) xs ( ) e tds SISTEM COM RESPOST INVERS Prof. Josemr dos Stos 36

12 Sstems de Cotrole resost vers é o resultdo de dos efetos oostos. Fução de trsferêc Gs ( ) ( τ s+ ) ( τ s+ )( τ s+ ) ode τ < ou Gs ( ) ( τ s + ) ( τ s + ) suodo e ostvos, etão τ < τ. Prof. Josemr dos Stos 37

13 Sstems de Cotrole PROCESSOS DE INTEGRDORES Processos tegrdores são queles que ão estblzm com o temo. Um cso tíco é um sstem de ível de líqudo. Exemlo - Nível de Líqudo dh q q fzedo q q q temos: dh q No domío "s" temos sh( s) q ( s) hs ( ) ( ) s q s hs ( ) q ( s) s Prof. Josemr dos Stos 38