Análise de Variância

Transcrição

1 9//06 Uversdde Federl do Prá Isttuto de Tecolog Esttístc Aplcd I Prof. Dr. Jorge Teóflo de Brros Lopes mpus de Belém urso de Egehr Mecâc /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teor ds Probblddes Uversdde Federl do Prá Isttuto de Tecolog pítulo VIII Aálse de Vrâc mpus de Belém urso de Egehr Mecâc /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses

2 9//06 VIII Aálse de Vrâc Itrodução Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses VIII Aálse de Vrâc Itrodução Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses

3 9//06 8. Itrodução osderções cs Aálse de Vrâc (ANOVA) é um método esttístco, desevolvdo por Fsher, que por meo de testes de guldde de méds, verfc se ftores propostos produzem mudçs sstemátcs em lgum vrável de teresse (vrável depedete). Os ftores cosderdos podem ser vráves qutttvs ou qulttvs; etretto, vrável depedete deve ser qutttv (tervlr) e é observd detro ds clsses dos ftores, deomdos trtmetos. /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses 8. Itrodução osderções cs EXEMPLO: No cso de cosumo de combustível dos veículos, pode-se dmtr como ftores de fluêc mrc, dde e potêc. A álse de vrâc permte verfcr se ts ftores, ou um combção deles, produzem efetos precáves sobre o cosumo, ou se coclur que ão têm fluêc lgum. Se for cosderdo somete mrc do veículo, com teresse em pes dus dels, esse expermeto poder ser plejdo e lsdo usdo os testes t de hpóteses pr dus mostrs. Nesse cso, tem-se um úco ftor de teresse mrc do veículo e há somete dos íves do ftor dus mrcs. /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses

4 9//06 8. Itrodução osderções cs Mutos expermetos com um úco ftor, o etto, requerem que ms de dos íves do ftor sejm cosderdos. Neste cso, álse de vrâc poderá ser usd pr comprr méds, qudo houver ms de dos íves de um úco ftor. As dverss téccs de plejmeto e álse de expermetos com város ftores deverão ser estudds em cursos de pós-grdução. /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses 8. Itrodução Aletoredde ds corrds expermets Um expermeto completmete letorzdo com um úco ftor e qutro íves (íves = trtmetos), e cd trtmeto com ses observções (ou réplcs) vão gerr corrds. Fzedo letoredde d ordem ds corrds, o efeto de qulquer vrável perturbdor, que poss fluecr vrável de estudo (vrável depedete), é proxmdmete blcedo. /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses

5 9//06 8. Itrodução Aletoredde ds corrds expermets EXEMPLO: Se desej verfcr fluêc de um cert codção em um propredde do mterl. Supodo que o quecmeto d máqu de teste poss fluecr os resultdos, quto ms tempo máqu fcr lgd, mor será su tempertur. Dess form, se os testes form relzds por íves do ftor, tempertur d máqu rá umetr do prmero o últmo ível do ftor, e s dfereçs observds os resultdos pr cd ível poderão ser tmbém devds o efeto de quecmeto. /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses 8. Itrodução Aálse gráfc dos ddos de um expermeto plejdo Os dgrms de cx, por exemplo, permtrão vsulzr vrbldde ds observções detro (wth) de um trtmeto (ível do ftor) e vrbldde etre (betwee) os trtmetos. /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses

6 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Sej um procedmeto expermetl ode se relzou esos com dferetes íves (ou trtmetos) de um úc vrável de fluêc (ftor smples), com réplcs pr cd ível, como mostrdo segur: Nível (Trtmeto) Observções Tots Méds... y y... y y y... y y y... y y. y.... y. y. y.... y. Σ y.. y.. /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves Ode y j é o j-ésmo elemeto obtdo o trtmeto (ível). Esses elemetos podem ser defdos pelo modelo esttístco ler y j,..., j j,,..., ode méd gerl prâmetro que defe o efeto de cd trtmeto compoete devdo erros letóros j /09/06 : 6

7 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves O objetvo deste estudo é vlr os efetos dos trtmetos e estmá-los trvés do teste de hpóteses dequdo. Pr esse teste, ssume-se que os erros do modelo são ormlmete e depedetemete dstrbuídos com méd zero e vrâc σ². Esse modelo é deomdo álse de vrâc de um ftor úco e, pr que álse sej objetv é ecessáro que o procedmeto expermetl sej completmete letorzdo. /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves Aálse dos efetos dos trtmetos pode ser fet de dus mers: Aálse de um modelo de efetos fxos - Os trtmetos são escolhdos de form específc e, dest form, o teste de hpóteses refere-se às méds dos trtmetos, e s coclusões extríds são plcáves somete os íves cosderdos álse, ão podedo ser esteddos outros íves ão lsdos. /09/06 : Aálse de um modelo de efetos letóros - Os trtmetos lsdos represetm um mostr letór de um populção de trtmetos, e s coclusões fets pr ess mostr podem se esteder pr todos os outros trtmetos d populção. 7

8 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Efetos dos trtmetos τ são defdos como desvos prtr d méd gerl, de modo que: 0 /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves D tbel teror, tem-se que y y... j y j j y j y y y.. y... N ode N úmero totl de observções y méd gerl de tods s observções.. /09/06 : 8

9 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves A méd estmd do -ésmo trtmeto é dd por E( y j ),,,..., ( méd gerl crescd do efeto do trtmeto ) Fz-se o teste de hpóteses pr verfcr se s méds dos trtmetos são gus H H o :... : j ( pelo meos pr um pr j ) /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves ou H H o :... 0 : 0 ( pelo meos pr um ) /09/06 : Se H o for verdder (todos os trtmetos tem méd gul μ), mudç os íves do ftor ão tem efeto respost méd. Pr ess verfcção, álse de vrâc é que melhor se plc. O termo álse de vrâc derv d dvsão d vrbldde totl em seus compoetes. 9

10 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves A vrbldde totl dos resultdos é represetd pel som corrgd dos qudrdos T (ou som qudrátc totl), mostrd bxo: T ( yj y.. ) j que pode ser reescrt como j T ( yj y.. ) [( y. y.. ) ( yj y. )] j /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves ou T j ( y y ) j.. ( y y ). j.. ( y. y.. j )( y ( y j j y y. ). ) O últmo termo d expressão é ulo, pos j ( yj y. ) y. y. y. ( y. ) 0 /09/06 : 0

11 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : Assm, ou T T j ( y j Trtmetos y.. ) E ( y. y.. ) j ( y j y omo se observ, som corrgd dos qudrdos (que represet vrbldde dos ddos) é represetd pel somtór dos qudrdos ds dfereçs etre s méds dos trtmetos e méd gerl de todos os elemetos, dcod à somtór dos qudrdos ds dfereçs etre s observções e s méds dos trtmetos.. ) 8. Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : ode Trtmetos deom-se som dos qudrdos devdos os trtmetos (etre trtmetos) e E é deomd som dos qudrdos devdos o erro (detro dos trtmetos). T preset N- grus de lberdde, Trtmetos preset -, e E, N- grus de lberdde. A rzão MQ Trtmetos = Trtmetos /, chmd de méd qudrátc dos trtmetos, é um estmtv d vrâc etre os trtmetos, e rzão MQ E = E /N, deomd méd qudrátc do erro, é um estmtv d vrâc detro de cd um dos trtmetos.

12 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves osdere gor que cd um d populções poss ser modeld como um dstrbução orml. Usdo ess suposção, pode-se mostrr que se hpótese ul for verdder, sto é, ão há dfereç etre s méds dos trtmetos, rzão MQ Fo MQ Trtmetos E Trtmetos E /( ) /( N ) Num De /09/06 : terá um dstrbução F com e N grus de lberdde. 8. Plejmeto letorzdo por íves No cso d hpótese ul ser verdder, tto o umerdor quto o deomdor d expressão são estmdores cofáves de σ². No etto, se hpótese for fls, etão o vlor esperdo do umerdor será mor do que σ². Por cosegute, se o vlor esperdo pr o umerdor é mor que o vlor esperdo pr o deomdor, deve-se rejetr H o pr vlores do teste de hpóteses que sejm muto grdes, ou sej, hpótese ul será rejetd se F o F,,N /09/06 :

13 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves A álse d vrâc pode ser fet costrudo-se tbel segur: Fote de vrção Som dos qudrdos Grus de lberdde Méd dos qudrdos F o Etre trtmetos Erro (detro dos trtmetos) Trtmetos MQ Trtmetos E N MQ E MQ MQ Trtmetos E Totl T N /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves Qudo o úmero de observções ão pode ser mtdo costte em todos os trtmetos, tem-se ess stução N ode é o tmho d mostr pr cd trtmeto, e s expressões ds soms fcm: T j y.. y j N e Trtmetos y. y.. N /09/06 :

14 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : Deve-se preferr o uso de trtmetos com mostrs do mesmo tmho, pos hpótese de que s vrâcs sejm gus pr todos os trtmetos é ms fclmete verfcd qudo = e tmbém porque cpcdde do teste é mxmzd ess stução. OMPARAÇÃO DAS MÉDIAS INDIVIDUAIS DOS TRATAMENTOS: O método teror permte verfcr se s méds de dversos trtmetos são dferetes ou ão, ms ão possblt dzer qus dels dvergem. 8. Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : Pr tto, há ecessdde de se comprr s somtórs ds observções de cd trtmeto (y. ) ou de sus méds ( y. ). Esss comprções são fets trvés dos deomdos métodos de comprção múltpl. Mutos desses métodos usm o coceto de cotrste. Que são comprções de méds de trtmetos ou ds somtórs ds observções de cd trtmeto por G.L. dvdus álse de vrâc.

15 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves otrste é comprção, equto ortogol, este cso, quer dzer depedete. Assm, o cotrste ortogol é um form de estudr os trtmetos em um sére de comprções. A ortogoldde dc que vrção de um cotrste é termete depedete d vrção de outro qulquer que lhe sej ortogol. /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves O poto chve dos cotrstes é que se cosegue jutr todos os trtmetos em pes dos grupos, e com sto o teste de F já é completmete stsftóro. Pode-se fzer tts comprções quto se desejr, té o lmte de grus de lberdde dos trtmetos, já que este é o máxmo de formção que exste sobre os trtmetos. A som dos vetores deve ser ul pr ser um cotrste. No etto, pr ser ortogol, deve-se multplcr um pelo outro e su som deve ser zero. /09/06 :

16 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves otrste ou comprção é um fução ler dos tots de trtmetos y. (ou de sus méds) do tpo: c y. c y. c y.... c y. se /09/06 : c 0 c 0 pr trtmetos com gus pr trtmetos com dferetes 8. Plejmeto letorzdo por íves Os cotrstes c y e B são ortogos (depedetes etre s) se. b y. b c 0 b c 0 pr trtmetos com gus pr trtmetos com dferetes /09/06 : 6

17 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves EXEMPLOS: São cotrstes y y. y.. y y.. y. y. y. y. y. Não é cotrste y. y. y. /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves EXEMPLOS: São ortogos : e, pos ()() (0 )() ( )( ) 0 Não são ortogos : e, pos ()() ( )(0 ) (0 )( ) 0 e, pos ()() (0 )() ( )( ) 0 /09/06 : 7

18 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves som dos qudrdos pr qulquer cotrste é dd por /09/06 : c y. c c c y. pr trtmetos com gus pr trtmetos com dferetes 8. Plejmeto letorzdo por íves Um cotrste é testdo comprdo-se / com E /(N ), que deve ser dstrbuído como F α,,n- cso hpótese ul sej verdder, ou sej, com H o será rejetd se / Fo /( N ) F E o F,,N /09/06 : 8

19 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : Exemplo 0: Um egehero está teressdo em mxmzr resstêc à trção de um ov fbr stétc que será usd cofecção de roups. Ele cohece de stuções terores que resstêc à trção é fetd pel porcetgem de lgodão fbr. Além dsso, ele suspet que o umeto do coteúdo de lgodão elev resstêc. Ele tmbém sbe que o coteúdo de lgodão deve estr etre 0% e 0% pr que s roups tehm o fl um quldde desejável. O egehero decde testr fbrs com cco íves de porcetgem de lgodão:, 0,, 0 e %. Ele tmbém decde testr cco corpos de prov pr cd ível de coteúdo de lgodão. 8. Plejmeto letorzdo por íves Solução: Este é um exemplo de um plejmeto de um úco ftor com = íves e = réplcs. Os esos devem ser fetos em ordem letór, como por exemplo: Porcetgem de lgodão Número de esos /09/06 : 9

20 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Sequêc do eso Nº do eso % lgodão Sequêc do eso Nº do eso % lgodão /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves % de lgodão Tesões de escometo observds (lb/pol²) Tots y. Méds y y.. = 76 9,8, 7,6,6 0,8 y..,0 /09/06 : 0

21 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves % de lgodão Tesões de escometo observds (lb/pol²) Tots y. Méds y y.. = -, 0,,6 6,6 -, y.. 0,0 /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : T E ( 76 ) (7 ) (7 )... () 66,96 y y... y. ( 76 ) s N Trtmeto T j y.. y j N ( 9 )... ( ) Trtmetos 66,96 7, 76 6,0 j ( 76 ) y j ( 76 ) 7, 76

22 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Fote d vrção % de lgodão Erro Totl Som dos qudrdos 7,76 6,0 66,96 Grus de lberdde 0 * Sgfctvo o ível de % (F 0.0,,0 =,) Méd dos qudrdos F o 8,9 8,06,76 * F o F,,N Um vez que F o > F 0,0;;0, rejet-se H o, cocludo-se que o ível de % porcetgem de lgodão fbr fet sgfctvmete su resstêc à trção. /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves H H H H o o o o : : Hpóteses : : otrstes 0 y 0 y 0 y y y y 0 y y y y y 0 y y 0 y 0 y y y y y y /09/06 : Pode-se verfcr, pel codção bxo, que todos os pres de cotrstes são ortogos. bc 0

23 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves 0( 9 ) 0(77 ) 0( 88 ) (08 ) ( ) ( 9 ) 0(77 ) ( 88 ) (08 ) ( ) ( 9 ) 0(77 ) ( 88 ) 0(08 ) 0( ) 9 ( 9 ) (77 ) ( 88 ) (08 ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) ( ) 9,60,,0 ( 9 ) 0,8 ( 0 ) /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves Fote d vrção Som dos qudrdos Grus de lberdde Méd dos qudrdos F o % de lgodão otrstes ortogos :μ = μ :μ + μ = μ + μ :μ = μ :μ = μ + μ + μ + μ Erro Totl 7,76 (9,60) (,) (,0) (0,8) 6,0 66,96 0 8,9 9,60,,0 0,8 8,06 F o =,76 6,8 *,88 8,87 * 0,0 * Sgfctvo o ível de % (F 0.0,,0 =,) oclusão: Há um sgfcte dfereç etre s porcetges de lgodão e e e, ms s méds de e ão dferem ds méds de e, e ão dfere ds méds ds outrs qutro porcetges. /09/06 :

24 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Exemplo 0: Desej-se verfcr se modfcção ds codções de trtmeto térmco fluem tesão lmte de escometo de um lg metálc. Form esds qutro codções dstts, obtedo-se os resultdos mostrdos tbel segur: odção de trtmeto Tesão lmte de escometo (MP) /09/06 :,9 00,0 86, 89,0 0,0 0,0 97,,0 80,0 90,0 98, 0,0 60,0 70,0 60,0 76, A modfcção ds codções de trtmeto fet propredde mecâc d lg metálc? (use α = 0,0) 8. Plejmeto letorzdo por íves Qudro de álse de vrâcs Trtmetos TLE (MP) Tots Méds,9 00,0 86, 89,0 0,0 0,0 97,,0 80,0 90,0 98, 0,0 60,0 70,0 60,0 76, 88, 6, 7, 066, 97,,6 9, 66,6 690,6 9, N =. = 6 T = 66, Trt /(-) = 6, Trt = 897, E /(N-) = 8, E =9, F o =,7 F 0,0;; =,9 /09/06 :

25 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : omo F o > F 0,0;; tem-se que hpótese ul é rejetd, ou sej, o ível de % os trtmetos fetm tesão lmte de escometo d lg metálc Pr comprr s méds dos dversos trtmetos serão verfcds s segutes hpóteses uls: ) H o ) H ) H ) H ) H o o o o : : : : : y y y 0 y 0 y y y y y y 0 y y 0 y y y 0 y 0 y y y 0 y 8. Plejmeto letorzdo por íves Verfc-se se codção bxo é stsfet pr todos os cotrstes c 0 : : : 0 0 : : 0 Portto, todos os cotrstes propostos stsfzem o crtéro. /09/06 :

26 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Dos cco cotrstes propostos, qutro pres são ortogos, ou sej, depedetes etre s..,.,.,. Alsdo-se prmer hpótese H o :μ = μ, tem-se: (88, ) (6, ) 0(7, ) 0(066, ) 7, ( 7,) ( ) 686, /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves Portto, como = 686, e E /(N ) = 8,.: / Fo /( N ) E 686, / 8,, omo F 0,0;; =,7, tem-se que F o > F 0,0; ;, ssm, pode-se coclur que, o ível de %, exste dfereç sgfctv etre s méds dos trtmetos e. /09/06 : 6

27 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Exemplo 0: Um fbrcte de televsores está teressdo o efeto de qutro dferetes tpos de recobrmetos pr tubos ctódcos sobre codutvdde desses tubos. Após o plejmeto expermetl, obtverm-se os segutes resultdos: Tpo de recobrmeto odutvdde /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves ) O tpo de recobrmetos dos tubos fet codutvdde os mesmos? b) Estme méd gerl e os efetos dos trtmetos. c) Determe o tervlo de cofç de 9% o estmr méd do tpo de recobrmeto. d) Assumdo que o tpo está tulmete em uso, qus sus recomedções pr o fbrcte que desej reduzr codutvdde? /09/06 : 7

28 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Solução: Trt-se de um plejmeto letorzdo por íves, que preset íves completos (blcedos), modelo de efetos fxos. A vrável de fluêc é o tpo de recobrmeto pr tubos ctódcos, e vrável de respost é codutvdde, ão exstdo fotes de vrbldde. /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves Tpo de recobrmeto odutvdde y. ȳ y.. = 07,00,00,, 9, ȳ.. = 7,9 /09/06 : 8

29 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Tpo de recobrmeto -6 - odutvdde y. ȳ ,00, -7,7-0,7 y.. = - ȳ.. = -,06 /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves /09/06 : T E ( ) ( ) ()... ( ) 080,9 6 y. y.. s N Trtmeto y.. y j N ( 0 ) T j... ( ) Trtmetos 080,9 8,69 6, ( ) 6 8,69 9

30 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves Fo F E ;;N Trt ( ) ( N ) F 0,0;; 8,69 / 6, /,9, ) omo F o > F 0,0;;, rejet-se H o pr o ível de sgfcâc de %, cocludo-se que o tpo de recobrmeto dos tubos fet codutvdde os mesmos. b) ȳ.. = 7,9 Trtmetos = 8,69 /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves c) φ =,% 9%,%? 9,? t y 9, s,06,% 9%,% -,8 t α/;φ =,8 t y t s t 0,0;,8 /09/06 : 0

31 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves P y S t ; y S t ;,06,06 P9,,8 9,,8 9% P(6,,8 ) 9% Ou sej, o tervlo [6,;,8] cotém verdder méd do recobrmeto, com 9% de cofç. /09/06 : 8. Plejmeto letorzdo por íves d) Ho : y 0y 0y y c y. [.0.( )] [( ) ( ) ] c Fo ( N ) E 96, / 6, / 96,,0 /09/06 : F ;;N F 0,0;;, 7

32 9//06 8. Plejmeto letorzdo por íves oclusão: omo F o > F 0,0;;, rejet-se H o pr o ível de sgfcâc de %, cocludo-se que que exste dfereç sgfctv etre s méds dos trtmetos e. /09/06 : VIII Aálse de vrâc FIM /09/06 : ESTATÍSTIA APLIADA I - Teste de Hpóteses