2. Resolução Numérica de Equações Não-Lineares

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1 . Resolução Numéric de Equções Não-Lieres. Itrodução Neste cpítulo será visto lgoritmos itertivos pr ecotrr rízes de fuções ão-lieres. Nos métodos itertivos, s soluções ecotrds ão são ets, ms estrão detro de um critério de tolerâci o mis eto quto possível.. Represetção Mtemátic Ecotrr um riz de um fução f (, sigific resolver equção f (. Ou sej ecotrr um C, tl que f (. Eemplos: l( c e 4c c si( pr it eiro Pode-se oservr que pr os eemplos ddos solução é eplícit e lític. Cheg-se um solução et. Etretto em sempre é possível chegr-se um solução lític. Nestes csos podemos chegr vlores pr s rízes, com de um determid etidão, utilizdo-se métodos itertivos. Eemplos compleos: e si( c tg ( tgh( d ( e, 9 Nestes csos solução eplícit é difícil ou prticmete impossível. É estes csos compleos que se utilizm métodos itertivos de solução. As rízes de um equção podem ser reis ou comples. No cso de rízes de políômios é muito comum ocorrêci de rízes comples. Iicilmete será visto rízes reis. As rízes reis são represetds pelos potos em que curv d fução f ( cort o eio dos s.

2 Pr o eemplo d figur tem-se dus rízes reis. No cso de rízes comples curv ão cort o eio dos s. Métodos Itertivos A idéi cetrl dos métodos itertivos é ecotrr um proimção iicil e e, seguid refiá-l trvés de um processo itertivo. O processo ormlmete é relizdo em dus fses: Isolmeto: Ecotr-se um itervlo [,] que coteh um e somete um ríz de f(=. Refimeto: Escolhid um proimção iicil em [,], melhorá-l té um etidão pré-fid. Forms de Isolmeto Aálise ds proprieddes físics do prolem. Trçr o gráfico de f(. Aplicr proprieddes lgérics e/ou geométrics de f( Teorem Sej f( um fução cotíu rm [,]. Se f ( f (, etão pelo meos um [, ], tl que f (. 4

3 ' Oservção: Se f ( eistir e preservr o sil em [,] riz é úic em [,]. Teorem Se sustituir-se f ( por um equção f ( f (, etão tod sciss d itersecção de f ( com f ( é riz de f ( e vice-vers. Eemplo: Sej loclizr s rízes reis ds seguites equções: l( f ( f ( l( f( f(

4 f ( f ( si( Gráfico - Prte Positiv f( f( Gráfico - Prte Negtiv - - f( - f( c f ( f ( si( 5 f( 5 rízes 5. Métodos de Refimeto f(

5 .. Método d Bissecção Sej f( um fução cotíu o itervlo [,] e f ( f (. O ojetivo do método d issecção é reduzir mplitude do itervlo que coteh s rízes, té chegr um vlor que stisfç etidão requerid. Ou sej:, sedo etidão requerid. f( tl que Algoritmo Psso Escolh estimtivs iferior ( o e superior ( o, sedo que f ( o f ( o. Psso - Um primeir estimtiv d riz é dd por: o o Psso Fç s seguites vlições pr determir em qul suitervlo riz está: Se f o f ( o, ] [, ] e vá o psso 4. ( [ Se f o f (, o ] [, ] e vá o psso 4. ( [ Se f ( o f (, fim. Psso 4 Clcule um ov estimtiv pr riz: Psso 5 Decid se ov estimtiv é et o suficiete. Se positivo, fim. Em cso cotrário repetir o processo té covergêci. 7

6 Aálise d Covergêci: É ituitivo perceer que se f( for cotíu o itervlo [,] e f ( f ( o método d issecção vi gerr um sequêci que coverge pr riz. N -ésim iterlção, o comprimeto do itervlo será: Pr Assim: Rest ser se. é ríz.. Como f f ( e f( é cotíu: ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( Portto: [ f ( ] f ( é ríz. Como viu-se, pr iterção : A prtir dest epressão pode-se estimr o úmero de iterções ecessáris pr chegr-se covergêci com tolerâci. l[( / ] Pr tem-se que. l Critérios de Prd Pr iterromper um processo itertivo, pode-se dotr um dos seguites critérios. Estipulr um erro tolerável (positivo e pequeo e iterromper o processo qudo: ou f ( ode i represet i-ésim iterção. i i i 8

7 Fir um úmero máimo de iterção. Num processo itertivo é prudete se estipulr um úmero máimo de iterção de form que o processo sej ortdo qudo ão cosegue covergêci. Comir os critérios e e iterromper o processo qudo um deles for lcçdo. Eercícios: Oter estimtiv de riz d equção e prtir de 5 iterções do Método d Bissecção. Determie prtir de qutro iterções do Método d Bissecção riz d equção cos e, situd o itervlo [,]. 9