Universidade do Vale do Rio dos Sinos UNISINOS Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Ajuste de equações

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Igor Bastos Monteiro
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1 Unversdde do Vle do Ro dos Snos UNISINOS Progrm de Pós-Grdução em Engenhr Mecânc Ajuste de equções

2 Ajuste de curvs Técnc usd pr representr crcterístcs e comportmento de sstems térmcos. Ddos representdos por um curv que pss prómo ou trvés dos pontos e equção d curv pode ser usd pr obter vlores em pontos ntermedáros e modelr o sstem Conhecmento físco pode ser usdo n escolh do tpo de curv empregd pr o juste A equção obtd pode ser empregd: - pr representr um ddo equpmento ou sstem e ser usd n smulção e otmzção - n seleção de equpmentos como soprdores, compressores e bombs Útl n representção de resultdos de clbrção e ddos de propreddes

3 Abordgens pr o juste de curvs Ajuste eto: determn um curv que pss trvés dos pontos Se plc : Ddos precsos (clbrção, propreddes de mters e substâncs, resultdos computcons) ou poucos ddos. Melhor juste: curv que não pss trvés de cd ponto, ms se prom dos ddos Se plc : Precsão não muto lt, grnde número de ddos, resultdos eperments 3

4 Ajuste eto. Polnômos: É form de representção de equção ms óbv e ms útl. Se deve ser representdo em função de, form polnoml é: n n onde té n são constntes determnds pelo juste d curv os ddos. O gru d equção é o mor epoente de, no cso n. Qundo o número de ddos dsponíves é precsmente o mesmo que o gru d equção ms um, n+, o polnômo epress etmente esses pontos. Qundo o número de ddos dsponíves eceder n+, deverá ser buscdo um polnômo que melhor juste esses ddos. 4

5 Polnômo com um vrável e n+ pontos: Equção Lner Dos pontos dsponíves são dequdos pr descrever um equção de prmero gru (ou lner), cuj form é: Os pres de pontos dos dos pontos conhecdos (, ) e (, ) podem ser substtuídos n equção nteror, fornecendo dus equções com dus ncógnts, e : Fg.. 5

6 6 Equção de segundo gru ou qudrátc Três pontos são necessáros. Os três pres de pontos dos pontos conhecdos podem ser substtuídos n equção gerl, fornecendo: Ou: A solução desses três equções lneres smultânes fornecem os vlores ds três constntes,, e. Fg..

7 Propreddes dos mters: dependem de vráves como tempertur e concentrção E: juste de curv pode ser usdo pr representr vrção d propredde condutvdde térmc em função d tempertur: k(t) polnoml k(t) k o [ (T T o ) b(t To) ] Ou lner k(t) ko[ T)] 7

8 8 Os coefcentes dos termos de lt ordem em um polnômo podem ser bstnte pequenos, prtculrmente se vrável ndependente for grnde. E: entlp do vpor sturdo h função d tempertur T T T T T h se f de T estende-se em centens de grus, os vlores de 5 e 6 podem ser muto pequenos, surgndo problems de precsão. Um solução pr esses csos é trblhr com um nov vrável ndependente, por eemplo T/: T T T T h

9 p (kp) p (m colun d águ). Função de dus vráves: A vrável desempenho de um componente é gerlmente um função de dus outrs vráves. E: o ncremento d pressão desenvolvd por um bomb centrífug, mostrd bo, é função tnto d rotção ou do dâmetro, qunto d vzão. rotção efcênc (%) dâmetro (mm) Q (m³/s) Q (l/s) Fg. 3. Fg. 4. 9

10 p (kp) rotção Pr desenvolver um equção polnoml pr epressr p por um equção de segundo gru em S (velocdde ou rotção) e Q (vzão), pode-se escrever equções seprds pr cd um ds três curvs p p p Q (m³/s) b Q cq 3 3 b b 3 Q c Q Q c3q Três pontos n curv S = 3 r/s fornecem s constntes pr equção: Equções smlres podem ser obtds pr s dus outrs velocddes, S=4 r/s e S=6 r/s:

11 Agor, s constntes podem ser representds por um equção de segundo gru em termos de S, usndo três pres de pontos (, 3), (, 4) e ( 3, 6). Ess equção ter form: e smlrmente pr b e c: A A S A S b c B C B S C S B C S S Colocndo esss constntes n form gerl d equção: p A B B S B S Q C C S C S A S A S Q As constntes A, B e C podem ser clculds dspondo-se de 9 pres de pontos.

12 Outros eemplos: O desempenho de um compressor de refrgerção pode ser representdo trvés de um equção de segundo gru com dus vráves, como: Fg. 5.

13 3. Forms em potênc: A dependênc de um vrável em relção um segund vrável elevd um epoente é um relção físc muto frequente n prátc d engenhr. Assm: m b onde e m são constntes. Ess equção, qundo representd em um gráfco log-log, será um lnh ret onde m é su nclnção e b nterceptção em =. Fg. 6. 3

14 A form d Eq. nteror pode ser estendd pr nclur um constnte: b m Ess equção permte representções de curvs smlres às presentds n Fg Form eponencl: Fg. 7. ep(b) 4

15 Método de solução: Método dos mínmos qudrdos: Se m coefcentes devem ser determndos em um equção, m pontos são necessáros. Se ms que m pontos são dsponíves é possível encontrr os coefcentes que forneçm o melhor juste entre equção e ddos. Um ds defnções de melhor juste é um onde som dos qudrdos dos desvos é mínmo. O método em s não grnte os bons resultdos no juste ds equções desejds. 5

16 Fg. 8. Um ret pode ser encontrd como resultdo do uso do método dos mínmos qudrdos pr representr os pontos d Fg. 8. No entnto, correlção entre e prece bstnte questonável e o método não melhorrá o juste. D mesm form, os ddos d Fg. 8b não precem ser melhor representdos por um ret. 6

17 Procedmento do método dos mínmos qudrdos pr equção lner: b onde m pres de ddos são dsponíves: (, ), (, ),..., ( m, m ). O desvo do conjunto de ddos em relção os clculdos pel equção é: +b -. Pel plcção do método, desej-se obter um e um b, cujo resultdo é: m b mínmo O mínmo rá ocorrer qundo s dervds prcs d Eq. nteror, com respeto e b forem gus zero. Assm: m b b m b b b 7

18 8 Dvdndo s equções nterores por e seprndo em termos ndvdus : b e b m Eemplo: consderndo os ddos bo, juste equção = e m

19 9 c b Consderndo m conjunto de pontos, o somtóro ser mnmzdo é: mínmo c b m Dferencndo prclmente em relção, b e c result em 3 equções smultânes, que podem ser resolvds como: c b m Procedmento do método dos mínmos qudrdos pr equção de º gru:

20 Método dos mínmos qudrdos: O método dos mínmos qudrdos pode ser plcdo pr forms não polnoms desde que contenhm coefcentes constntes. Por eemplo: sn bln cuj mnmzção será obtd pelo somtóro: m sn bln Conforme comentdo nterormente, um crcterístc crucl pr plcção do método é que os coefcentes d equção sejm constntes.

21 A rte do juste de equções: Apesr os métodos estentes pr o juste de equções os ddos, ntução é prtculrmente necessár pr decdr que form de equção, sso é, escolh ds vráves ndependentes que devem ser ncluíds e form com que deverão precer. z 3 Qundo um curv tem um curvtur revers (ponto de nfleão), como mostrdo n fgur bo, um polnômo de tercero gru, no mínmo, prece um bo escolh.

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