TÓPICOS. Exercícios. Os vectores que constituem as colunas da matriz, 1 = [ 2 0 1] T

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1 Note em: letur destes pontmentos não dspens de modo lgum letur tent d logrf prncpl d cder Chm-se tenção pr mportânc do trlho pessol relzr pelo luno resolendo os prolems presentdos n logrf, sem consult pré ds soluções proposts, nálse comprt entre s sus respost e resposts proposts, e posteror eposção junto do docente de tods s dúds ssocds. ÓPICOS Eercícos. UL 9 9. Eercícos. DEERMINR MELHOR PROXIMÇÃO UM VECOR NUM SUBESPÇO 9.. Consderemos mtrz Os ectores que consttuem s coluns d mtrz, [ ] u [ ], são lnermente ndependentes. Ddo o ector [ ] u e, melhor promção do ector no suespço W, gerdo por u e u, ou sej, melhor promção do ector no espço colun de poderímos erfcr que não pertence o espço colun, mostrndo que é mpossíel, não pode ser determndo prtr de proj e proj porque u e u não são ortogons. u proj proj proj W u u É necessáro encontrr um se ortogonl do espço gerdo por u e u, por eemplo, recorrendo à ortogonlzção de Grm-Schmdt. emos então u [ ] u u proj u u / Podemos gor determnr melhor promção do ector no espço colun de u Prof. Isel Mtos & José mrl LG

2 L G E B R L I N E R Prof. Isel Mtos & José mrl LG [ ] proj proj proj W >> u[ ]'; >> u[ - ]'; >> [u u]; >> [ ]'; >> u; >> u-u'*/'**; m'*/'**'*/'** m.. DEERMINR SOLUÇÃO DE MÍNIMO ERRO QUDRÁICO DE UM SISEM DE EQUÇÕES LINERES 9.. O sstem de equções, com form mtrcl,, é, como podemos erfcr, um sstem mpossíel. Como mtrz que é mesm dos eercícos nterores tem coluns lnermente ndependentes, solução de mínmo erro qudrátco do sstem é únc, sendo Pr etr nersão d mtrz no cálculo de, é ms prátco resoler o sstem de equções norms. emos

3 L G E B R L I N E R Prof. Isel Mtos & José mrl LG e, resolendo o sstem ~, donde, >> [ ; - ; ]; >> [ ]'; >> mn'**'* m. -. Note que mgem de no espço colun de, corresponde à projecção ortogonl de no espço colun de., pelo que o eercíco nteror pode ser resoldo por est, sto é, dd mtrz e o ector [ ], melhor promção do ector no espço colun de é proj W >> [ ; - ; ]; >> [ ]'; >> m*n'**'* m..

4 L G E B R L I N E R Prof. Isel Mtos & José mrl LG DEERMINR OS PRÂMEROS DE UM MODELO LINER QUE MELHOR SE DP UM CONJUNO DE PONOS 9.. Ddos os pontos de R,,,,, e,, podemos determnr os prâmetros m e d rect m sendo m o decle d rect e, o ponto em que rect ntersect o eo dos que melhor se dpt o conjunto dos pontos, segundo um crtéro de mnmzção do erro qudrátco cometdo. O sstem de equções m m m que, n form mtrcl é m é possíel e determndo se os pontos forem colneres. No cso presente, m, não sendo os pontos colneres, pos o sstem é mpossíel ~ >> [ ; ; ]; >> [ ]'; >> rref[ ] Vmos procurr solução do sstem que mnmz o erro qudrátco cometdo n determnção dos prâmetros m e, clculndo [ ] m p. emos e

5 L G E B R L I N E R pelo que, p m 67 >> sn'**'* s /7 6/7 emos então 7 e m 6 7, ou sej, rect que melhor se dpt o conjunto de pontos é fgur mostr o conjunto de pontos e rect que melhor se lhes dpt, no sentdo d mnmzção do erro qudrátco, ou sej, o somtóro do qudrdo ds dstâncs entre rect e os pontos ddos é menor do que pr qulquer outr rect que pudéssemos defnr. Pr etr nersão d mtrz p no cálculo de Fgur 9. podemos resoler o sstem de equções norms p erímos então e 9 8 de onde result o sstem m 8, que fclmente se resole, Prof. Isel Mtos & José mrl LG

6 L G E B R L I N E R Prof. Isel Mtos & José mrl LG , de onde result solução encontrd nterormente m >> [ ; ; ]; >> [ ]'; >> rref['* '*] ns /7 6/7 Podemos nd ter em tenção que N 6 8 8, em que N é o número de pontos, e 8 9, pelo que podemos escreer s equções norms p n form N p 9.. Ddos os pontos de R,.,,,,,, e.,., determnr os prâmetros,, e d práol que melhor se dpt o conjunto dos pontos, segundo um crtéro de mnmzção do erro qudrátco cometdo. Ddo o sstem de equções

7 L G E B R L I N E R Prof. Isel Mtos & José mrl LG Fgur 9., n form mtrcl, e, no cso presente,....., podemos determnr os lores dos prâmetros d práol que melhor se dpt o conjunto de pontos, do ponto de st d mnmzção do erro qudrátco, resolendo s equções norms p emos então , e , de onde result o sstem e, resolendo o sstem, os prâmetros..8.9, ou sej, práol de equção.8.9 >> [-. ]'; >> [- ]'; >> [ ]'; >> [..]';

8 L G E B R L I N E R Prof. Isel Mtos & José mrl LG >> X[ ]; >> [[ ]' X,:' X,:.^' ]; >> X,:'; >> pn'**'* p.9.8. CLCULR MRIZ DE PROJECÇÃO NUM SUBESPÇO 9.. Dd mtrz clculr mtrz de projecção no seu espço colun. mtrz de projecção no espço colun de, que concde com mtrz de projecção no suespço gerdo pelos ectores [ ] u e [ ] u que consttuem s sus coluns, é emos,, e, fnlmente, 6 Conhecd mtrz de projecção ortogonl no espço colun de um mtrz, clculr mgem de qulquer ector nesse suespço é trl. Por eemplo, consderndo de noo o ector [ ], temos

9 L G E B R L I N E R Prof. Isel Mtos & José mrl LG >> [ ; - ; ]; >> *n'**' /6 /6 / /6 /6 -/ / -/ / >> m* m / / CLCULR PSEUDO INVERS DE UM MRIZ 9.6. Clculr mtrz pseudo-ners d mtrz mtrz pseudo-ners de um mtrz é, por defnção, No cso presente, como já mos em eemplos nterores, é nertíel, pelo que temos de medto, e, fnlmente, Conhecd mtrz pseudo-ners d mtrz, o cálculo d mtrz de projecção no seu espço colun,, ou d solução de mínmo erro qudrátco do sstem,, é trl. Por eemplo, ddo o sstem

10 L G E B R L I N E R Prof. Isel Mtos & José mrl LG , solução de mínmo erro qudrátco do sstem é >> [ ; - ; ]; >> [ ]'; >> pn ns / / /6 -/ -/ /6 >> mpn* m / -/