UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

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1 O MÉTODO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS PARA PROBLEMAS DA ELASTICIDADE LINEAR Engª. MSc. GLAUCENY CIRNE DE MEDEIROS ORIENTADOR: PAUL WILLIAM PARTRIDGE TESE DE DOUTORADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL FACULDADE DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

2 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL O MÉTODO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS PARA PROBLEMAS DA ELASTICIDADE LINEAR ENG MSc. GLAUCENY CIRNE DE MEDEIROS ORIENTADOR: PAUL WILLIAM PARTRIDGE TESE DE DOUTORADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL PUBLICAÇÃO: E.TD 009A/05 BRASÍLIA SETEMBRO/005

3 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL O MÉTODO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS PARA PROBLEMAS DA ELASTICIDADE LINEAR ENG MSc. GLAUCENY CIRNE DE MEDEIROS TESE DE DOUTORADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR. APROVADA POR: PAUL WILLIAM PARTRIDGE, PhD (UnB) (ORIENTADOR) LUCIANO MENDES BEZERRA, PhD (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) WILLIAM TAYLOR MATIAS SILVA, Dr. Ing. (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) JOSÉ CLAUDIO DE FARIA TELLES, PhD (COPPE/UFRJ ) (EXAMINADOR EXTERNO) PAULO SOLLERO, PhD (UNICAMP/SP ) (EXAMINADOR EXTERNO) BRASÍLIA/DF, 30 DE SETEMBRO DE 005

4 FICHA CATALOGRÁFICA MEDEIROS, GLAUCENY CIRNE DE O Método ds Soluções Fundments pr Problems d Elstcdde Lner, 77p., 97 mm (ENC/FT/UnB, Doutor, Estruturs, 005). Tese de Doutordo Unversdde de Brsíl. Fculdde de Tecnolog. Deprtmento de Engenhr Cvl.. Método ds Soluções Fundments. Recprocdde Dul 3. Polyhrmonc Splnes 4. Elstcdde I. ENC/FT/UnB II. Título (sére) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA MEDEIROS, G. C. (005). O Método ds Soluções Fundments pr Problems d Elstcdde Lner. Tese de Doutordo, Publcção Nº: E.TD-009/05, Deprtmento de Engenhr Cvl, Unversdde de Brsíl, DF, 77 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Gluceny Crne de Mederos TÍTULO DA TESE DE DOUTORADO: O Método ds Soluções Fundments pr Problems d Elstcdde Lner GRAU/ANO: Doutor/005 É concedd à Unversdde de Brsíl permssão pr reproduzr cóps dest tese de doutordo e pr emprestr ou vender ts cóps somente pr propóstos cdêmcos e centífcos. O utor reserv outros dretos de publcção e nenhum prte dest tese de doutordo pode ser reproduzd sem utorzção por escrto do utor. Gluceny Crne de Mederos AC 0 Lt / Bloco B Apt. 6 Cond. V Argu Rcho Fundo I - DF / Brsl gluceny@ucb.br v

5 DEDICATÓRIA Ao meu esposo, Vlter, que vvencou 00% deste Doutordo, desde su concepção, té conclusão, nos bons e mus momentos, sempre me dndo poo e o equlíbro de que tnts vezes precse. A você, mnh etern grtdão e reconhecmento, pel pcênc e compreensão em tods s usêncs motvds pelo trblho; pelo sonho que comprtlhou comgo e, neste momento de relzção, quero que vbre comgo por ms um desfo que vencemos juntos. v

6 AGRADECIMENTOS Mutos contrbuírm pr que este trblho fosse concluído: mnh fmíl, meus professores, mgos e lunos. Há nstntes em que chmos que não vmos consegur superr determndos obstáculos, e é muto bom poder olhr pr o ldo e contr com pessos que estão pronts nos judr segur em frente. Não há plvrs nem gestos que possm fzer jus o meu profundo grdecmento por queles que me porm em ms est conqust n mnh vd. Neste momento, gostr de ctr lgums desss pessos... Mnh mãe, ncnsvelmente compnher, ncentvdor e presente em todos os momentos. Espero poder mostr-lhe cd d que tod su lut e esforço vlerm à pen... Lís, pelo seu crnho, mzde e presenç, não me dendo trblhr soznh... T Nenznh, meu njo d gurd, sempre presente em mnh memór e meu corção; Gluce, mnh rmã e etern compnher, com quem comprtlho tnts dés, pel crtvdde que lhe permte contrbuções tão vloss; T Romld, pel legr que fz nos contmnr cd encontro... André Mederos, mnh prm, pel bondde, humldde e presenç de espírto; Meus rmãos, sobrnhos, p, mgos e dems fmlres, pelos momentos de legr que nos dão corgem de estr sempre contnundo; Meu orentdor Pul, pel orentção, pcênc e poo com que encrou noss pesqus e s dfculddes de percurso; Os mgos Nélvo, Ptríc, Fred, Arlndo, Rento, Glberto, Gláuco, Isur, Mguel, Alne, Petrúco e outros; pelo bom convívo que tornrm nossos ds ms menos e que possm ter colocdo mzde e bons sentmentos cm de qulquer cos; Os colegs de trblho, pelo constnte poo e torcd; Os professores do curso, em especl, Pul, Lucno, Wllm, Eldon, Gulherme, Tetne; que lém ds contrbuções centífcs, nos mostr, n prátc, eemplos de étc e cráter. A cd um que fez prte d mnh hstór e represent um peç essencl do mosco dest grnde e mportnte conqust, o meu MUITO OBRIGADA! v

7 EPÍGRAFE Ms é clro que o sol V voltr mnhã Ms um vez, eu se Escurdão já v por De endodecer gente sã Esper que o sol já vem Tem gente que está do mesmo ldo que você Ms dever estr do ldo de lá Tem gente que mchuc os outros Tem gente que não sbe mr Tem gente engnndo gente Vej noss vd como está Ms eu se que um d gente prende Se você quser lguém em quem confr Confe em s mesmo Quem credt sempre lcnç Nunc dee que lhe dgm Que não vle pen credtr no sonho que se tem Ou que seus plnos nunc vão dr certo Ou que você nunc v ser lguém Tem gente que mchuc os outros Tem gente que não sbe mr Ms eu se que um d gente prende Se você quser lguém em quem confr Confe em s mesmo Quem credt sempre lcnç (Rento Russo e Flvo Venturn - Ms Um Vez) v

8 RESUMO O Método ds Soluções Fundments (MSF), é um técnc de contorno ndret, qul evt sngulrddes por utlzr um superfíce de pontos fctícos envolvendo todo o domíno do problem. O MSF não requer mlh nem ntegrção, presentndo lgums vntgens, por eemplo, fcldde de mplementção, em relção o Método dos Elementos de Contorno (MEC). Além dsso, o método permte obter resultdos pr s tensões em pontos do contorno e do nteror sem necessdde de plcção de técncs especs. Neste trblho, problems d elstcdde lner, com e sem forç de corpo, em D e 3D serão consderdos. Neste cso, pr modelr os termos não homogêneos, o MSF é combndo com o Método de Recprocdde Dul (DRM), de form nálog o MEC, empregndo como função de promção s Polyhrmonc Splnes, crescds de termos de té 3ª ordem. Aqu, são consderds três superfíces fctícs dferentes: o círculo em D (esfer em 3D), e dus superfíces dervds d geometr do problem. Resultdos são comprdos com s soluções ets e, em lguns csos, com resultdos obtdos utlzndo outros métodos, podendo-se observr um bo precsão. De um form gerl, verfcou-se que, no cso de usr um círculo ou esfer, os resultdos são promdmente constntes dentro de um gm de vlores pr o ro d superfíce fctíc, tendo forte vrção for deste ntervlo, eceto pr problems que possum smetr n geometr e crregmento, pr os qus qulquer ro pode ser utlzdo. Nos csos em que o ro d superfíce fctíc é consderdo um vlor grnde, observ-se que o lgortmo SVD (Sngulr Vlue Decomposton) produz melhores resultdos pr os coefcentes desconhecdos, devdo à nturez quse sngulr do sstem mtrcl. Resultdos smlres são observdos com os dems tpos de superfíces fctícs empregds. v

9 ABSTRACT The Method of Fundmentl Solutons (MFS) s n ndrect boundry technque whch vods sngulrtes wth the use of surfce of fcttous ponts enclosng the entre domn of the problem. The MFS needs no mesh or ntegrton nd hs some dvntges n relton to the Boundry Element Method (BEM), for emple, ese of mplementton. In ddton, the method permts tht results for stresses to be obtned t boundry nd nteror ponts wthout the need for specl technques. Here lner elstc problems wth nd wthout body forces n D e 3D re consdered. For hndlng body force terms, the MFS s combned wth the Method of Dul Recprocty (DRM) n wy nlogous to tht used n BEM. Polyhrmonc splne ppromton functons re used wth ugmentton terms of up to thrd order. Here three dfferent methods for fng poston of the fcttous surfce re consdered, crcle n D (sphere n 3D) nd two surfces derved from the geometry of the problem. Results re compred wth ect solutons nd n some cses wth results obtned usng other methods, t s observed tht the results re ccurte. In most cses t ws found when crcle or sphere ws employed for the fcttous surfce tht the results re ppromtely constnt over rnge of vlues of the rdus, vrng strongly outsde ths ntervl. In the cse of problems wth symmetrc geometry nd lodng however, ny rdus my be used. In cses where lrge vlue s used for the rdus t s observed tht the SVD (Sngulr Vlue Decomposton) lgorthm produces better results for the unknown coeffcents due to the nerly sngulr nture of the system mtr. Smlr results re observed wth the order types of the fcttous surfce employed.

10 ÍNDICE CAPÍTULO INTRODUÇÃO.... MOTIVAÇÃO.... DESCRIÇÃO DO TRABALHO OBJETIVOS ORIGINALIDADE... 6 CAPÍTULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS MÉTODO DESINGULARIZADO DE ELEMENTOS DE CONTORNO FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO... 6 CAPÍTULO 3 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DO MÉTODO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS PARA ELASTICIDADE INTRODUÇÃO ELASTICIDADE LINEAR MSF PARA EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS EM D MSF PARA EQUAÇÕES NÃO HOMOGÊNEAS EM D MSF COM O MÉTODO DE RECIPROCIDADE DUAL EM D Funções de Apromção Funções serem Adconds Montgem do Sstem Mtrcl no DRM MSF COM O MÉTODO DE RECIPROCIDADE DUAL EM 3D O MSF COM A TÉCNICA DE SUB-REGIÕES EM D... 4

11 CAPÍTULO 4 RESULTADOS NUMÉRICOS PARA ALGUNS PROBLEMAS DA ELASTICIDADE LINEAR EM D INTRODUÇÃO PROBLEMAS ELÁSTICOS SEM FORÇA DE CORPO EM D Bloco Qudrdo com Crg Unformemente Dstrbuíd Vg em Blnço Clndro sob Pressão Intern Bloco Consttuído de Dos Mters Dferentes PROBLEMAS ELÁSTICOS COM FORÇAS DE CORPO EM 3D Crg Grvtconl Crg Centrífug Crg Térmc CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS PARA ALGUNS PROBLEMAS DA ELASTICIDADE LINEAR EM 3D INTRODUÇÃO PROBLEMAS ELÁSTICOS SEM FORÇA DE CORPO EM D Bloco Qudrdo com Crg Unformemente Dstrbuíd Vg em Blnço PROBLEMAS ELÁSTICOS COM FORÇAS DE CORPO EM 3D Crg Grvtconl Crg Centrífug Crg Térmc... CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA CONTINUAÇÃO DO TRABALHO... 8

12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 9 APÊNDICE A O MÉTODO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS PARA PROBLEMAS DE POTENCIAL A. INTRODUÇÃO A. DESENVOLVIMENTO MATEMÁTICO DO MSF - POTENCIAL A.. Equções Homogênes A.. Equções Não Homogênes A.3 MSF COM O MÉTODO DE RECIPROCIDADE DUAL EM D... 4 A.3. Funções de Apromção A.3. Funções serem dconds A.3.3 Equções do Tpo u b(, y) A.3.4 Equções do Tpo u b(, y, u) A.4 MSF COM O MÉTODO DE RECIPROCIDADE DUAL EM 3D A.5 RESULTADOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE POTENCIAL EM D... 5 A.6 RESULTADOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE POTENCIAL EM 3D... 69

13 LISTA DE TABELAS Tbel Conteúdo Págn. Funções de Apromção utlzds em Prtrdge et l (99) Clssfcção ds Funções de Apromção Deslocmentos u e u y pr os pontos nternos e do contorno Solução pr dferentes vlores do ro Méd d solução pr flech obtd pr dferentes ntervlos do ro Resultdos pr Clndro sob Pressão Intern Resultdos pr Problem com mters Deslocmentos no Ponto P pr o Problem Grvtconl Tensões o longo d lnh OP pr o Problem Grvtconl Erro RMS pr tensões pr dferentes combnções de ro ordem d função de promção Erro RMS pr deslocmentos pr dferentes combnções de ro ordem d função de promção Erro RMS pr tensões, pr dferentes combnções de prâmetros, empregndo rotn LU Erro RMS pr deslocmentos, pr dferentes combnções de prâmetros, empregndo rotn LU Tensões o longo d lnh y 0 pr s dferentes superfíces fctícs Deslocmento o longo d lnh y 0 pr s dferentes superfíces fctícs Erro RMS pr tensões o longo d lnh y 0 pr s dferentes superfíces fctícs e vlores do prâmetro d Erro RMS pr tensões o longo d lnh y 0 pr s dferentes superfíces fctícs e vlores do prâmetro d... 7

14 4.6 Resultdos pr problem com crg centrífug Resultdos pr problem com crg centrífug pr dferentes superfíces fctícs Erro reltvo mámo pr tensões e deslocmentos obtdos pr s dferentes superfíces fctícs Erro RMS pr dferentes combnções de prâmetros Superfíce () Erro RMS pr dferentes combnções de prâmetros Superfíce () Erro RMS pr dferentes combnções de prâmetros Superfíce (3) Vlores de em 0 pr Cso () pr dferentes ordens n d função Polyhrmonc Splnes f r n logr Vlores de em 0 pr Cso () pr dferentes ordens dos termos serem dcondos do trângulo de Pscl Vlores de em 0 pr Cso () pr dferentes vlores pr o ro do círculo fctíco Erros RMS pr combnção entre dferentes ordens d função de promção Ro, empregndo IORD Erros RMS pr combnção entre dferentes ordens ds funções de promção termos dcondos, empregndo Ro Erros RMS pr combnção entre dferentes ordens dos termos dcondos Ro, empregndo função f r logr Vlores de em 0 pr o Cso (), empregndo função f r logr, IORD 4 e Ro 50, utlzndo os solvers LU e SVD Vlores de em 0 pr Cso (), pr dferentes ordens n d função Polyhrmonc Splnes, crescd de termos lneres e com L Pontos Internos Vlores de em 0 pr Cso (), pr função TPS, crescd de termos de ordem cúbc e com L Pontos Internos Vlores de em 0 pr Cso (), empregndo função ATPS, d 50 e dferentes superfíces fctícs Erro reltvo mámo pr tensão obtdo pr s dferentes superfíces fctícs e número de pontos nternos v

15 4.33 Erro RMS obtdo pr tensão consderndo dferentes ordens d função de promção e superfíces fctícs - Cso () Erro RMS obtdo pr tensão consderndo dferentes termos serem dcondos e superfíces fctícs - Cso () Vlores de em 0 pr problem com crg térmc utlzndo o MSF e o DBEM Vlores de em 0 pr Cso (), empregndo função TPS, crescd de termos, lner ou senodl, e com L pontos nternos Erro RMS obtdo pr tensão consderndo dferentes ordens d função de promção e superfíces fctícs - Cso () Erro RMS obtdo pr tensão consderndo dferentes termos serem dcondos e superfíces fctícs - Cso () Erro RMS pr deslocmentos obtdos pr s dferentes superfíces fctícs e dstâncs d Flech no ponto (0,0,0) Superfíce () Flech no ponto (0,0,0) Superfíce () Flech no ponto (0,0,0) Superfíce (3) Tensão e Deslocmento o longo do eo, pr função ATPS e Ro Erro RMS obtdo pr tensões o longo do eo pr dferentes vlores do ro e ordem d função de promção Erro RMS obtdo pr deslocmento o longo do eo pr dferentes vlores do ro e ordem d função de promção Tensão o longo do eo consderndo dferentes superfíces fctícs Deslocmento o longo do eo consderndo dferentes superfíces fctícs Tensão e Deslocmento o longo do eo, pr função ATPS e Ro Solução pr tensão o longo do eo pr s dferentes superfíces fctícs Solução pr deslocmento o longo do eo pr s dferentes superfíces fctícs Tensão o longo eo y pr função ATPS e Ro v

16 5.4 Tensão o longo eo y pr s dferentes superfíces fctícs Erro RMS pr tensão o longo eo y pr dferentes superfíces fctícs e vlores do prâmetro d... 4 A. Solução Prtculr pr os termos do Trângulo de Pscl A. Solução d Equção u em D A.3 Erros obtdos pr solução d equção u consderndo dverss vrções de prâmetros A.4 Erros obtdos pr solução d equção u empregndo s funções CS-PD y A.5 Erros obtdos pr solução d equção u e empregndo s funções CS-PD A.6 Solução d Equção u em D pr N 6 e L A.7 Solução d Equção u 400 em D A.8 Erros obtdos pr solução d equção u u consderndo dverss vrções de prâmetros A.9 Solução d Equção u u em D comprd com obtd usndo o MEC... 6 A.0 Erros obtdos pr solução d equção u u pr dverss combnções de número de pontos empregdos... 6 A. Solução d Equção u u em D consderndo condções msts de contorno A. Solução d Equção u u em D pr N 6 e L u A.3 Erros obtdos pr solução d equção u u consderndo dverss vrções de prâmetros u A.4 Erros obtdos pr solução d equção u u pr dferentes vlores de L u A.5 Solução d Equção u u em D consderndo condções msts de contorno v

17 A.6 Solução d Equção u em 3D A.7 Solução d Equção u em 3D consderndo condções msts de contorno... 7 A.8 Solução d Equção u em 3D A.9 Solução d Equção u u em 3D A.0 Solução d Equção u u em 3D consderndo condções msts de contorno A. Solução d Equção u u em 3D u A. Solução d Equção u u em 3D v

18 LISTA DE FIGURAS Fgur Legend Págn. Superfíce Fctíc () Superfíce Fctíc () Superfíce Fctíc (3) Círculo Fctíco S Trângulo de Pscl Montgem do Sstem Mtrcl pr o cálculo dos coefcentes Esfer Fctíc Tetredro de Pscl Problem com Dus Sub-Regões Montgem d Mtrz com Sub-Regões Bloco Qudrdo Vg em Blnço Flech no ponto (L,0) pr dferentes vlores de ro e N pontos no contorno Flech no ponto (L,0) obtdos com rotn LU Flech no ponto (L,0) pr dferentes superfíces fctícs Clndro sob Pressão Intern Sub-Regões Empregds no Eemplo Erro RMS, pr tensões e deslocmento, consderndo dferentes vlores do ro Superfíce () Erro RMS, pr tensões e deslocmento, consderndo dferentes vlores d dstânc d Superfíce () Erro RMS, pr tensões e deslocmento, consderndo dferentes vlores d dstânc d Superfíce (3) v

19 4. Problem com Mters Dferentes Dferenç entre s soluções obtds com o MSF e MEF pr dferentes densddes de pontos Superfíce () Dferenç entre s soluções obtds com o MSF e MEF pr dferentes densddes de pontos Superfíce () Dferenç entre s soluções obtds com o MSF e MEF pr dferentes densddes de pontos Superfíce (3) Geometr pr Problem com Crg Grvtconl (D) Erro reltvo pr tensões empregndo função TPS, crescd do termo constnte, ro gul 0 e 9 pontos nternos Erro reltvo pr tensões empregndo função TPS, crescd do termo constnte, ro gul 0 e 63 pontos nternos Comprção entre os erros bsolutos obtdos pr tensões empregndo rotn LU e SVD Comprção entre os erros bsolutos obtdos pr deslocmentos empregndo rotn LU e SVD Dsco com Crregmento Centrífugo Sub-regões empregds pr Problem com Crg Centrífug Erro RMS pr tensões, empregndo função f r logr, pr dferentes vlores do ro Erro RMS pr deslocmentos, empregndo função f r logr, pr dferentes vlores do ro Erro RMS pr tensões, empregndo função f r logr, pr dferentes vlores do ro Erro RMS pr deslocmentos, empregndo função f r logr, pr dferentes vlores do ro Erro RMS pr tensões, empregndo função f r logr, pr dferentes vlores do ro Erro RMS pr deslocmentos, empregndo função f r logr, pr dferentes vlores do ro Erro bsoluto pr tensão o longo do eo 0, empregndo dferentes superfíces fctícs... 79

20 4.9 Erro bsoluto pr tensão rr o longo do eo 0, empregndo dferentes superfíces fctícs Erro bsoluto pr o deslocmento u r o longo do eo 0, empregndo dferentes superfíces fctícs Geometr pr Problem com Crg Térmc Erro bsoluto obtdo pr s tensões, empregndo-se dferentes ordens n d função Polyhrmonc Splnes f r n logr Erro bsoluto obtdo pr s tensões, empregndo-se dferentes ordens pr os termos do trângulo de Pscl serem dcondos Erro bsoluto obtdo pr s tensões, empregndo-se dferentes vlores pr o ro do círculo fctíco Erro reltvo pr tensões empregndo função ATPS, ro gul 50 e 9 pontos nternos Erro reltvo pr tensões empregndo função ATPS, ro gul 50 e 63 pontos nternos Erro RMS obtdo pr dferentes vlores do ro, empregndo L pontos Internos - Cso () Erro reltvo (%) obtdo pr s dferentes superfíces fctícs, empregndo L 9 pontos nternos - Cso () Erro reltvo (%) obtdo pr s dferentes superfíces fctícs, empregndo L 63 pontos nternos - Cso () Erro RMS obtdo pr tensão, empregndo função ATPS, pr dferentes superfíces fctícs e dstânc d - Cso () Comprção entre o erro bsoluto obtdo pr tensão empregndo os métodos MSF e DBEM Erro bsoluto pr tensões empregndo função TPS, crescd de termos, lner ou senodl, e com L pontos nternos Erro reltvo pr tensões empregndo função ATPS, ro gul 000 e 9 pontos nternos Erro reltvo pr tensões empregndo função ATPS, ro gul 000 e 63 pontos nternos Erro RMS obtdo pr dferentes vlores do ro, empregndo L pontos Internos - Cso () Erro RMS obtdo pr tensão, empregndo função ATPS, pr dferentes superfíces fctícs e dstâncs d - Cso ()... 03

21 5. Cubo sob crregmento dstrbuído Vg em Blnço Geometr pr problem com crg grvtconl (3D) Solução pr tensão o longo do eo pr s dferentes ordens n d função de promção Solução pr deslocmento o longo do eo pr s dferentes ordens n d função de promção Erro RMS obtdo pr tensão o longo do eo pr dferentes vlores do ro e ordem d função de promção Erro RMS obtdo pr deslocmento o longo do eo pr dferentes vlores do ro e ordem d função de promção Erro RMS obtdo pr tensão o longo do eo pr dferentes superfíces fctícs e dstâncs d Erro RMS obtdo pr deslocmento o longo do eo pr dferentes superfíces fctícs e dstâncs d Geometr pr problem com crg térmc... A. Montgem do Sstem Mtrcl A. Elpse modeld com N6 e L A.3 Geometr do Problem u A.4 Geometr do problem u u com N3 e L A.5 Geometr do problem u u com N3 e L A.6 Geometr do problem u u com N4 e L A.7 Geometr do Problem u u u com N34 e L A.8 Geometr do Problem em 3D A.9 Confgurção dos Pontos de um Fce do Cubo A.0 Fces do Cubo... 7

22 LISTA DE SÍMBOLOS. Mtrzes e Vetores y A b F Vetor de constntes nclmente desconhecds Vetor que contém s condções de contorno Mtrz defnd pel solução fundmentl Vetor que contém o termo não homogêneo - forçs de corpo Vetor de constntes nclmente desconhecds no DRM Mtrz defnd pel função de promção f utlzd. Esclres Contorno d Geometr Domíno do Problem Geométrco Pontos fos no contorno j Pontos pertencentes à superfíce fctíc k Pontos de Colocção u Deslocmento ou Potencl p Forç de Superfíce Tensão u Solução Fundmentl pr o Deslocmento ou Potencl p Solução Fundmentl pr Forç de Superfíce q Solução Fundmentl pr Fluo Solução Fundmentl pr Tensão û Solução Prtculr pr o Deslocmento ou Potencl pˆ Solução Prtculr pr Forç de Superfíce qˆ Solução Prtculr pr o Fluo u Condção de contorno conhecd pr o Deslocmento

23 p r f Uˆ Pˆ n N L IORD IA NI e µ Condção de contorno conhecd pr Forç de Superfíce Dstânc Euclden entre dos pontos Função de promção utlzd no Método de Recprocdde Dul Solução Prtícul promd pr o Deslocmento Solução Prtculr promd pr Forç de Superfíce Ordem ds funções Polyhrmonc Splne Número de pontos no contorno d geometr Número de pontos no nteror d geometr Número d lnh do trângulo de Pscl correspondente ordem ds funções serem utlzds Número de termos do trângulo de Pscl serem crescdos Número de nós n nterfce de um geometr Constntes de Lmè Mss específc ) Coefcente de Posson E Módulo de Elstcdde Longtudnl 3. Abrevturs ATPS CS-PD DBEM DRBEM DRM MEC MDF MEF MRM MSF RMS SVD TPS Augmented Thn Plte Splne Compctly Supported Postve Defnte Método Desngulrzdo de Elementos de Contorno Método dos Elementos de Contorno com Recprocdde Dul Método de Recprocdde Dul Método dos Elementos de Contorno Método ds Dferençs Fnts Método dos Elementos Fntos Multple Recprocty Method Método ds Soluções Fundments Root Men Squres Sngulr Vlue Decomposton Thn Plte Splne

24 CAPÍTULO INTRODUÇÃO

25 INTRODUÇÃO. MOTIVAÇÃO O Método ds Soluções Fundments (MSF) fo ntroduzdo por Kuprdze & Aleksdze, (964). Trt-se de um método de contorno ndreto tendo um vntgem óbv de smplcdde de mplementção sobre o Método dos Elementos de Contorno (MEC), já que evt ntegrção em gerl e, em prtculr, necessdde de ntegrção sngulr trvés d defnção de um superfíce de pontos fctícos. Apesr dests vntgens o MSF não teve devd consgrção e um dos ftores que contrbuu bstnte pr sto é defnção d superfíce fctíc. Várs forms form consderds e os resultdos obtdos mostrrm-se dependentes d dstânc entre geometr do problem e superfíce fctíc, podendo ser de bo quldde ou não. Entretnto, fo mostrdo por Bogomolny (984), que melhor defnção pr est superfíce é um círculo pr problems em D e um esfer pr problems em 3D, obtendo-se bons resultdos, em mbos os csos, pr ros crescentes. N su form orgnl o método só se plc problems homogêneos pr os qus um solução fundmentl complet é dsponível. Recentemente, plcções problems ms gers têm sdo fets, onde o MSF é combndo com o Método de Recprocdde Dul (DRM), pr modelr termos de forçs de corpo, onde no MEC, dá orgem um ntegrl de domíno. No conteto d pesqus sobre mtemátc d Recprocdde Dul, o MSF tem sdo revsto e os resultdos encontrdos, ncorporndo o trblho de Bogomolny (984), tem despertdo grnde nteresse por serem, nos csos consderdos, ms precsos que queles obtdos usndo o MEC, (Chen, 995; Golberg, 995b; Golberg et l, 996). A prtr dsto, um trblho de dssertção de mestrdo (Mederos, 00) fo desenvolvdo, com o ntuto de plcr o MSF problems de potencl e, de um cert form, de verfcr tods ests vntgens ctds n ltertur, bem como, confrmr os resultdos presentdos. O método fo plcdo um gm de eemplos, consderndo vrção de dferentes prâmetros, ts como: vlor do ro, densdde de pontos, ordem d função de promção empregd, número de termos serem dcondos à função de promção;

26 e os resultdos obtdos presentrm ecelente precsão (Mederos et l, 000; Mederos & Prtrdge, 00). Contudo, tornou-se fundmentl contnução do trblho, bordndo outros tpos de problems, como por eemplo, os d Elstcdde Lner.. DESCRIÇÃO DO TRABALHO Aqu o Método ds Soluções Fundments (MSF) é plcdo pr resolver lguns problems d elstcdde lner, descrtos pel equção gerl de Nver, em D e 3D, pr csos com e sem forçs de corpo. Pr os csos com forç de corpo, consderm-se crregmentos provenentes de crgs centrífugs, grvtcons e térmcs. Neste cso, o DRM será empregdo, com s funções de promção Polyhrmonc Splnes, crescd de termos polnoms de té 3ª ordem, conforme nturez ds crgs serem promds, (Prtrdge & Sensle, 997). E, fnlmente, em lguns modelos será empregd técnc de sub-regões pr nvestgr nfluênc dests nos resultdos. Resultdos são obtdos pr três tpos de superfíces fctícs sugerds n ltertur, descrts como segue, pr o cso em dus dmensões. Um dstânc que crcterz o posconmento de cd superfíce fctíc é defnd pelo prâmetro d, que represent o ro d superfíce fctíc (), o ftor de mplção d geometr orgnl pr superfíce fctíc () e o deslocmento dos pontos do contorno d geometr o longo d norml pr superfíce fctíc (3). Vej lustrção ns Fgurs Superfíce (): Círculo de pontos fctícos, como defndo por Bogomolny (984). d ro Fgur.: Superfíce Fctíc () 3

27 - Superfíce (): Versão mpld d geometr orgnl (Ptterson & Shekh, 983; Redekop & Thompson, 983), onde d represent o ftor de mplção. d Fgur.: Superfíce Fctíc () - Superfíce (3): Superfíce obtd prtr de um deslocmento unforme (d) de todos os pontos d geometr do problem n dreção norml o ldo que pertence (Alves & Antunes, n press). d d Fgur.3: Superfíce Fctíc (3) Pr o cso em três dmensões, s defnções são s mesms, sendo que Superfíce, pssrá ser um esfer de pontos fctícos. Neste trblho, consderou-se que o centro d geometr concdsse com o centro d superfíce fctíc. Os resultdos obtdos são comprdos com s soluções ets e/ou os presentdos n ltertur utlzndo outros métodos, fm de se estbelecer às vntgens reltvs de cd um. 4

28 A tese é dvdd em 6 cpítulos, cujo conteúdo é dstrbuído n form descrt bo. No cpítulo, será presentd um revsão bblográfc, descrevendo lgums ds contrbuções centífcs estentes n ltertur com respeto o MSF, DRM, entre outros ssuntos relevntes o estudo proposto neste trblho. No cpítulo 3, present-se formulção mtemátc do MSF, plcd elstcdde, consderndo problems descrtos por equções homogênes e não homogênes, em dus e três dmensões. Pr os csos de equções não homogênes, o MSF é combndo com o DRM pr modelr os termos devdo às forçs de corpo, cuj técnc tmbém é detlhd. No cpítulo 4, estão presentdos lguns resultdos numércos obtdos pr problems de elstcdde em D, com e sem forçs de corpo. Em mbos os csos, prte homogêne d equção de Nver é modeld com o MSF, empregndo s três dferentes superfíces fctícs, defnds nterormente. Os problems com forçs de corpo são provenentes de crgs grvtcons, centrífugs e térmcs. Neste cso, os termos não homogêneos são modeldos usndo o DRM, empregndo função de promção Polyhrmonc Splne, crescd de termos polnoms de té 3ª ordem, conforme nturez ds crgs serem promds. Dferentes vlores pr o prâmetro d de cd superfíce fctíc são consderdos, mostrndo que, em lguns csos, os resultdos ndependem do mesmo. Em outros csos, pode-se observr que os resultdos permnecem prtcmente constntes dentro de um gm de vlores pr este prâmetro. No cpítulo 5, resultdos pr elstcdde em 3D são presentdos, consderndo tmbém eemplos com e sem forçs de corpo. De form nálog, os problems em D, será verfcd precsão dos resultdos pernte vrção dos prâmetros relcondos o método. Fnlmente, no cpítulo 6, s conclusões referentes est prmer prte do trblho são presentds, lém de lgums sugestões pr trblhos futuros. No Apêndce, será presentdo um breve relto do trblho desenvolvdo no mestrdo (Mederos, 00), em que se plcou o Método ds Soluções Fundments (MSF) pr problems de potencl. Dess form, presentm-se, nclmente, formulção do método e su utlzção combnd com o Método de Recprocdde Dul (DRM). Em segud, são mostrdos lguns eemplos, em dus e três dmensões, pr os qus vlores no contorno do potencl e do fluo são clculdos, lém dos vlores nternos 5

29 do potencl, permtndo consderr tmbém condções msts de contorno Neumnn- Drchlet. Resultdos form obtdos utlzndo superfíce fctíc defnd por Bogomolny (984), modelndo os termos não homogêneos trvés do DRM com s funções de promção Polyhrmonc Splnes, crescds de funções polnoms de té qunt ordem. Alguns novos resultdos são tmbém presentdos, utlzndo com o DRM s funções de promção Compctly Supported Postve Defnte (CS-PD)..3 OBJETIVOS O presente trblho tem como objetvo gerl à plcção do método ds soluções fundments pr problems em elstcdde lner em dus e três dmensões, bem como, vlção dos resultdos obtdos em função dos prâmetros relcondos o método, ts como: o ftor d, que defne posção d superfíce fctíc, função de promção e ordem dos termos dcondos à mesm. Testes são fetos pr s três dstnts superfíces fctícs sugerds n ltertur, especfcds n seção. deste trblho. Os resultdos obtdos são comprdos com s soluções ets e/ou os presentdos n ltertur utlzndo outros métodos, fm de se estbelecer às vntgens reltvs de cd um..4 ORIGINALIDADE segue: Est tese trt de lguns tópcos nédtos, no âmbto d pesqus, descrtos como () Aplcção do Método ds Soluções Fundments problems de Elstcdde Lner, em D e 3D, consderndo, tmbém, eemplos com forçs de corpo. Este tpo de problem prece n ltertur, sendo resolvdo pens com o Método dos Elementos de Contorno. E, os eemplos estentes nest áre com o Método ds Soluções Fundments, consderm pens problems descrtos por equções homogênes e geometrs smétrcs. (b) Resultdos comprtvos pr os problems qu propostos, são obtdos pr s três dferentes superfíces fctícs empregds. 6

30 CAPÍTULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 7

31 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. MÉTODOS NUMÉRICOS Ns últms décds, pesquss sobre métodos numércos têm chmdo tenção de físcos e engenheros. Estes, têm se torndo um poderos ferrment n resolução de problems governdos, em gerl, por equções dferencs. Os métodos numércos permtem resolver equções dferencs trvés de soluções promds, com um lto gru de precsão, o que se torn muto mportnte, um vez que poucos problems d engenhr possuem soluções nlítcs conhecds. Assm, o vnço verfcdo nos computdores dgts e o uso de métodos numércos efcentes, têm permtdo os engenheros resolver um grnde vredde de problems compleos. Mutos destes métodos são bsedos no prncípo de se obter equções que descrevm o comportmento de um prte nfntesml de um corpo e, com sso, descrever o comportmento do corpo como um todo. Em gerl, qunto menor for o tmnho dests prtes, ms precso serão os resultdos, em compensção, mor será o custo computconl. N ltertur, os métodos numércos ms conhecdos são: Método ds Dferençs Fnts (MDF); Método dos Elementos Fntos (MEF); Método dos Elementos de Contorno (MEC). O Método ds Dferençs Fnts (MDF) fo o prmero método numérco mplmente conhecdo e bstnte utlzdo pelos pesqusdores. Não utlz ntegrção numérc, trblh com mtrzes esprss, sendo bsedo em um formulção mtemátc smples. No MDF, um conjunto de pontos é locdo no nteror do domíno, que são grupdos em moléculs que descrevem o comportmento locl de um equção. Isto result num sstem de equções lneres que dá orgem um únc solução desde que s condções de contorno do problem tenhm sdo stsfets. Apesr d fácl mplementção e de produzr soluções estáves, o MDF present dfculddes em se modfcr o tmnho d dferenç entre os pontos em lgums regões, não sendo, portnto, dequdo pr modelos de domínos rregulres (Jchun et l, 00). 8

32 No Método dos Elementos Fntos (MEF), equção dferencl que govern o problem é trnsformd em um sstem de equções ntegrs equvlentes que contém s ncógnts serem determnds. Ests equções ntegrs são promds trvés d dscretzção de todo o domíno em elementos, onde s ncógnts são nterpolds usndo funções smples, substtundo s funções desconhecds por seus vlores nods. N engenhr, o MEF já é consgrdo, sendo plcdo mutos problems prátcos, nclusve de geometr comples. Um de sus grndes desvntgens é que pr se obter resultdos precsos há necessdde de refnmento d mlh, o que mplc em um número mor de elementos e, conseqüentemente, de ncógnts, gerndo grndes sstems mtrcs. Além dsso, utlzção do MEF necesst o uso de tbels de conectvdde, cujo procedmento é dfícl de se utomtzr. O Método dos Elementos de Contorno (MEC) tem sdo presentdo como um método numérco efcente pr solução de problems de engenhr e como um bo lterntv pr fugr ds desvntgens presentds pelo MDF e MEF (Brebb et l, 984; Brebb & Domngues, 989). N formulção clássc, o MEC bse-se em um equção ntegrl que envolve ncógnts pens do contorno. Um ds grndes vntgens do MEC sobre o MDF e o MEF é que pens o contorno é dscretzdo. A dscretzção processd só no contorno ger sstems de equções com um menor número de grus de lberdde e, portnto, requer um menor tempo computconl, dndo mor estbldde numérc às soluções. Todv, se equção ser resolvd não é homogêne, o MEC torn-se menos trtvo, devdo à formulção ntegrl que envolve um ntegrl de domíno, que requer técncs especs pr ser trnsformd em ntegrs de contorno. Além dsso, problems de conectvdde, pr plcção do MEC em dus dmensões, são fclmente resolvdos, no entnto, em três dmensões, utlz-se elementos de superfíce e questão d conectvdde deve ser consderd. Contudo, é de grnde nteresse desenvolver métodos numércos que não requerm dscretzção do domíno nem do contorno e, portnto, que evtem conectvdde. Neste conteto, lguns métodos sem mlh relcondos os prncps métodos numércos têm precdo, chmndo bstnte tenção dos pesqusdores. Como por eemplo, tem-se em Snchéz (004), o Método ds Dferençs Fnts Generlzds, dervdo do MDF; o Glerkn sem mlh, dervdo do MEF e, o Método ds Soluções Fundments (MSF) que tem sdo um lterntv ltmente efcente pr o trdconl MEC, o qul é borddo com detlhes n próm seção. 9

33 . MÉTODO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS O Método ds Soluções Fundments (MSF), proposto pel prmer vez n décd de sessent, por Kuprdze & Aleksde (964), tem, recentemente, reprecdo n ltertur. Trt-se de um técnc de contorno ndret, que não requer elementos nem ntegrção, e permte obter resultdos pr pontos nternos sem plcção de técncs especs, presentndo, portnto, grndes vntgens de mplementção sobre o Método dos Elementos de Contorno (MEC). O MSF é conhecdo n ltertur por dferentes nomes, como por eemplo: Método de Smulção de Potencl Chrge Smulton Method (Amno, 994; Rmchndrn & Rjmohn, 996) e o Método de Colocção no Contorno, Boundry Colocton Method (Levn & Tl, 986) e Método d Superposção Superposton Method (Koopmn et l, 988; Burgess & Mhjern, 984). A prncpl crcterístc do MSF é utlzr um superfíce de pontos fctícos envolvendo tod geometr do problem, evtndo, dess form, s sngulrddes. A loclzção dos pontos fctícos tem sdo trtd de dus mners: () fndo os pontos em posções pré-estbelecds, () determnndo posção de cd ponto utlzndo otmzção. No prmero cso, város trblhos form publcdos, por eemplo (Ptterson & Shekh, 983; Redekop & Thompson, 983), consderndo que superfíce fctíc fosse d mesm geometr do problem ser resolvdo, porém mor, envolvendo todo o domíno. Entretnto, fo sugerdo por Bogomolny (984), que superfíce ótm é um círculo pr problems em D e um esfer pr problems em 3D, obtendo-se melhores resultdos, em mbos os csos, pr ros crescentes. Em várs publcções recentes (Chen, 995; Golberg, 995b; Golberg et l, 996; Prtrdge & Sensle, 000; Mederos et l, 000; Mederos & Prtrdge, 00), o método tem sdo usdo com êto, pr problems de potencl, empregndo-se est defnção d superfíce fctíc. O cso (), referente à plcção de otmzção pr determnr posção dos pontos fctícos, fo ntroduzdo por Mthon & Johnston (977), e bstnte plcd por lguns pesqusdores, ts como: Krgeorghs & Frwether (987), Krgeorghs & Frwether (989), Krgeorghs (99), Frwether & Krgeorghs (998), Poullkks et l (998), Berger & Krgeorghs (999), Krgeorghs & Frwether (999), Krgeorghs & Frwether (999b). Embor este segundo enfoque tmbém produz 0

34 resultdos de bo precsão, o custo computconl é muto elevdo, (Frwether & Krgeorghs, 998; Berger & Krgeorghs, 999), um vez que são necessárs numeross vlções d função. N su form orgnl, o MSF, semelhnte o MEC, é plcável problems descrtos por equções homogênes, pr os qus um solução fundmentl complet sej dsponível, tendo sdo utlzdo com êto pr resolver equções elíptcs homogênes, (Kuprdze & Aleksde, 964; Mthon & Johnston, 977; Bogomolny, 984; Krgeorghs & Frwether, 987). Devdo à smplcdde de mplementção e rpdez de convergênc é de grnde nteresse estender est técnc pr resolver problems descrtos por equções dferencs não homogênes. Recentemente, o MSF tem sdo plcdo problems de potencl ms gers, como csos não lneres e problems dependentes do tempo, utlzndo soluções prtculres pr modelr termos não homogêneos, (Golberg, 995b). No cso em que o termo não homogêneo é um função conhecd, um solução prtculr et pode ser obtd de form dret, cso contráro, um solução prtculr promd pode ser clculd usndo o Método de Recprocdde Dul (DRM). O DRM fo ntroduzdo por Nrdn & Brebb (98), pr levr termos do domíno o contorno em MEC e, um lvro sobre o método fo publcdo por Prtrdge et l (99). Após publcção do lvro, mutos trblhos form fetos sobre s funções de promção empregds com o método, tendo níco com o trblho de Ymd et l (994). Ultmmente, muts funções lterntvs tem sdo proposts pr serem utlzds com o Método de Recprocdde Dul (Prtrdge, 000), porém tem sdo mostrdo que s funções f r n log r, conhecds como Polyhrmonc Splnes, tem sdo melhor opção pr problems em D, mostrndo convergênc lner com o crescmento d ordem n (Golberg & Chen, 994b; Prtrdge & Sensle, 000). Em segud, present-se um relto de lgums contrbuções mportntes no desenvolvmento do MSF e do DRM, com eemplos de trblhos com este enfoque. Ptterson & Shek (983), Redekop & Thompson (983): Utlzrm o MSF pr problems d elstcdde lner, descrtos por equções homogênes, em dus e três dmensões, bordndo csos ssmétrcos e nsotrópcos plnos. Consderrm que superfíce fctíc fosse d mesm geometr do problem ser resolvdo, porém mor, envolvendo todo o domíno. Resultdos pr est defnção mostrrm-se dependentes d

35 dstânc entre geometr do problem e superfíce fctíc, podendo ser de bo quldde ou não (Redekop, 98; Ptterson & Shekh, 983; Redekop & Thompson, 983; Johnston & Frwether, 984; Redekop & Cheung, 987). Bogomolny, (984): Mostrou que superfíce fctíc ótm fosse um círculo pr problems em D e um esfer pr problems em 3D, podendo-se obter bons resultdos em mbos os csos pr ros crescentes. Aplcou o Método ds Soluções Fundments (MSF) pens problems de potencl, descrtos por equções homogênes. Em várs publcções recentes (Chen, 995; Golberg, 995b; Golberg et l, 996; Prtrdge & Sensle, 000; Mederos et l, 000; Mederos & Prtrdge, 00), o MSF tem sdo usdo com êto, pr problems de potencl, empregndo-se est defnção d superfíce fctíc. Mthon & Johnston (977): Introduzrm ns pesquss sobre o MSF consderção que posção dos pontos d superfíce fctíc fosse determnd trvés de técncs de otmzção. Em seus trblhos, empregm o MSF pr problems de potencl lner e homogêneo, (Mthon & Johnston, 977; Johnston & Frwether, 984). Krgeorghs, Berger & Frwether (987): Aprovetndo s pesquss de Mthon & Johnston (977), estes utores consderm, em seus trblhos com o MSF, que posção de cd ponto que compõe superfíce fctíc sej defnd utlzndo técncs de otmzção. Este processo requer um lto custo computconl (Frwether & Krgeorghs, 998; Berger & Krgeorghs, 999), um vez que tpcmente várs ml vlções d função são necessárs. Trblhm com est técnc desde 987, tendo ncdo sus pesquss utlzndo o MSF pr problems de potencl, por eemplo, Krgeorghs & Frwether (989), Krgeorghs (99), Berger & Krgeorghs (999), Krgeorghs & Frwether (999), Krgeorghs & Frwether (999b), governdos pels equções de Lplce e Helmholtz, em dus e três dmensões, cujs soluções fundments são conhecds. Outrs plcções tmbém form bordds, ts como: ) Problems de elstcdde lner sem forçs de corpo (Krgeorghs & Frwether, 000; Berger & Krgeorghs, 00);

36 b) Resolução de problems descrtos por equções Hrmôncs e B-hrmôncs, por eemplo, Krgeorghs & Frwether (987), Krgeorghs & Frwether (988), Krgeorghs & Frwether (989b), Poullkks et l (998), Poullkks et l (998b); c) Análse de propgção de onds sonors em meos fludos e sóldos (Johnston & Frwether, 984; Kondpll et l, 99, Frwether et l, 003). Dentro ds plcções ctds, lgums vrções form consderds, como por eemplo: problems com sngulrddes no contorno, bem como, condções de contorno não lneres, problems ssmétrcos e problems estconáros de condução de clor em bmters nsotrópcos. Um trblho coletndo s dferentes plcções do método fo publcdo em 998, vej Frwether & Krgeorghs (998). Nrdn & Brebb (98): Introduzrm o Método de Recprocdde Dul (DRM) pr plcção junto com o Método dos Elementos de Contorno (MEC) pr csos onde solução fundmentl complet do problem não sej conhecd, permtndo o uso de um solução fundmentl ms smples e epressndo os termos restntes como ntegrl de contorno. No trblho ponero, o método é utlzdo pr trtr s dervds no tempo pr o problem elstodnâmco, utlzndo função de promção f r, pr vblzr plcção do método. Posterormente, o DRM fo plcdo um grnde gm de problems, nclundo problems não lneres. Prtrdge, Brebb, & Wrobel (99): Este lvro reunu os trblhos sobre o método de Recprocdde Dul publcdos té então, nclundo s contrbuções dos utores Brebb & Wrobel (987), Prtrdge & Brebb (989), Prtrdge & Brebb (990), Prtrdge & Brebb (990b), Prtrdge & Brebb (990c), Prtrdge & Brebb (990d), Prtrdge & Wrobel (990). Neste trblho, o DRM é presentdo de form sstemátc, utlzndo soluções fundments smples, dndo orgem muts novs plcções do método. Nos eemplos consderdos contnu-se empregndo, n mor dos csos, função de promção f r. Além de novs plcções, o lvro deu orgem mutos trblhos sobre s funções de promção serem utlzds com o método, começndo com o trblho de Ymd t l (994), que sugere o uso d função f r 3. 3

37 Golberg & Chen (994): Estes utores contrbuírm consdervelmente pr pesquss sobre s funções de promção serem utlzds com o DRM, podendo ser verfcdo nos trblhos Golberg & Chen (994), Golberg & Chen (994b), Golberg & Chen (996), Golberg (996), Golberg et l (996), Golberg et l (999), Golberg et l (999c). Inclmente, utlzrm função Thn Plte Splnes (TPS) que consste d função f r logr, culmnndo com sére de funções f r n logr, conhecd n ltertur mtemátc por Polyhrmonc Splnes. Em segud, ntroduzrm função de promção Augmented Thn Plte Splnes (ATPS), onde função TPS ( f r logr ) é empregd, crescd dos termos lneres do trângulo de Pscl (,, y). N seção.4 deste trblho, s funções de promção utlzds com o DRM serão bordds com ms detlhes. Em sus publcções, utlzrm o MSF, nclmente, pr problems de potencl e homogêneos, (Golberg & Chen, 998; Chen, 995), governdos pels equções de Lplce e Helmholtz, empregndo superfíce fctíc defnd por Bogomolny (984). Posterormente, deu um mor enfoque em plcções do MSF problems não homogêneos e não lneres, descrtos pels equções de Posson (Golberg, 995b) e de dfusão (Golberg et l, 999b; Muleshkov et l, 999), utlzndo o DRM pr conduzr os termos não homogêneos, trvés de um solução prtculr promd. Resultdos presentdos com s consderções qu descrts são de bo precsão. Recentemente, publcrm um rtgo de resumo, descrevendo várs publcções e plcções sobre o MSF, vej Golberg & Chen (998). Prtrdge & Mederos (000). Empregm superfíce fctíc defnd por Bogomolny (984), combnndo o MSF com Recprocdde Dul pr modelr os termos não homogêneos, utlzndo função de promção Polyhrmonc Splnes. Est combnção é fet, nclmente, pr resolver problems de potencl, governdos pel equção de Posson, em dus e três dmensões, consderndo condções msts de contorno, Neumnn- Drchlet. Em segud, um problem dnâmco é borddo, governdo pel equção de dfusão. Testes relzdos mostrm que precsão dos resultdos melhor com o crescmento, d ordem ds funções Polyhrmonc Splnes, bem como, d ordem dos termos polnoms serem dcondos à função de promção. Resultdos não dependem do ro do círculo fctíco. Os mesmos são de muto bo precsão, nclusve pr 4

38 o problem dnâmco consderdo. (Prtrdge & Sensle, 000; Mederos et l, 000; Mederos, 00). Recentemente, o MSF tem sdo plcdo pr problems de elstcdde lner com e sem forçs de corpo, (Mederos & Prtrdge, 00; Prtrdge & Mederos, 00; Mederos et l, 00; Mederos e Prtrdge, 00; Mederos et l, 00; Mederos & Prtrdge, 003; Mederos et l, 004). Em lguns eemplos observ-se que os resultdos são dependentes do ro do círculo fctíco, sendo possível determnr um gm de vlores fctível pr este prâmetro..3 MÉTODO DESINGULARIZADO DE ELEMENTOS DE CONTORNO Os métodos de contorno que não empregm ntegrção sngulr podem ser dvddos em dretos e ndretos. O método ndreto ms conhecdo é o MSF. Um método de contorno dreto sem ntegrção sngulr pode ser obtdo trnsferndo os pontos sngulres pr for do contorno, (Co et l, 99), retendo dscretzção do contorno em elementos. O método nest form tem sdo chmdo do Método Desngulrzdo de Elementos de Contorno (DBEM), tendo su formulção muto precd com o MEC clássco, (Brebb et l, 984; Brebb & Domngues, 989). As equções usds são tods regulres e o Método de Recprocdde Dul (DRM) pode ser empregdo pr modelr os termos não homogêneos, como em MEC (Prtrdge et l, 99). A fm de estbelecer s vntgens reltvs de cd método, um trblho fo feto por Mederos & Prtrdge (00), comprndo resultdos pr lguns problems de elstcdde lner, com e sem forçs de corpo, utlzndo os dos métodos ctdos nterormente, o MSF e o DBEM. Em mbos os csos, empregou-se o DRM pr modelr os termos de forçs de corpo, com função de promção Polyhrmonc Splne, crescd de termos polnoms, evtndo s sngulrddes utlzndo superfíce de pontos fctícos proposto por Bogomolny (984). Resultdos são presentdos no cpítulo 4 deste trblho, comprdos com os obtdos com o MSF. Observou-se que plcção do DBEM, pesr de possur um bo precsão nos resultdos presentdos, não é vntjos, um vez que se mostrou ms dependente do vlor do ro do círculo de pontos fctícos, egndo, portnto, o uso de otmzção pr 5

39 su determnção. Além dsso, o método requer ntegrção, tornndo o cálculo ds tensões, no nteror ou no contorno, bem ms comple. O MSF presentou resultdos de muto bo precsão, nclusve comprdos com outros métodos, como o MRM (Multple Recprocty Method), tdo como o método ms precso dsponível pr trtr de problems de ntegrs de domíno no Método dos Elementos de Contorno. E, nd, fornece um gm de vlores do ro do círculo de pontos fctícos onde solução permnece prtcmente constnte, não sendo necessáro, portnto, o uso de otmzção..4 FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO O Método de Recprocdde Dul (DRM) é um técnc bem estbelecd pr clculr soluções prtculres promds combnd com o MEC e, recentemente, com o MSF. Um ds grndes dfculddes em su utlzção tem sdo escolh d função de promção ser utlzd, onde várs pesquss têm sdo desenvolvds no sentdo de obter um função de melhor convergênc. Nrdn e Brebb (984) qundo ntroduzrm o DRM, consderrm s funções de promção descrts pelos elementos do trângulo de Pscl, por séres trgonométrcs e por funções de r, que represent dstânc usd n defnção d solução fundmentl. A função r fo prmer ser dotd, por vblzr o uso do método, presentndo vntgem de smplcdde de mplementção. Est função tem mostrdo bo precsão pr lgums plcções. Um combnção de funções deste tpo f + r + r r consderd. Assm, em Prtrdge et l (99), consder os seguntes csos: m tmbém pode ser. f r. f +r 3. f pr um nó e f r pr os dems. 4. f +r+r 5. f +r+r + r 3 Tbel.: Funções de Apromção utlzds em Prtrdge et l (99) 6

40 As funções descrts pelos csos, e 3 form plcds pr resolver problems governdos pel equção de Posson, sendo o cso o ms recomenddo. Os csos 4 e 5 form consderdos pr problems de convecção e não lneres, cujs equções governntes são ms comples. Nestes csos, os resultdos encontrdos presentrm pequen dferenç dqueles obtdos utlzndo função f +r que fc sendo ms efcz pel smplcdde de mplementção. Desde então, publcção do lvro Prtrdge et l (99), o número de pesqusdores nteressdos em desenvolver funções de promção serem utlzds com o DRM, cresceu consdervelmente. N ltertur, s funções de r form dentfcds como sendo Rdl Bss Functons ou RBF, muto bem conhecds pelos mtemátcos (Powell, 990). As RBF s são referencds como funções locs e, s funções polnoms e epnsões trgonométrcs, como funções globs. N mor dos trblhos ncs, empreg-se função de promção r, conhecd com RBF lner. Em segud, sugeru-se que função r 3 (RBF Cúbc) ser melhor (Ymd et l, 994). Outr RBF é Thn Plte Splnes (TPS) que consste d função f r log r, tendo sdo empregds, por eemplo, Golberg & Chen (994b); Krur & Rmchndrn (994), Chen (995), Golberg (995), pr modelr forçs de corpo descrts por termos de lt ordem. Outrs RBF s utlzds com o DRM envolvem defnção prév de constntes, por eemplo RBF Multqudrc e Gussn. Teorcmente, RBF multqudrc ( r + c ) ser melhor função de promção, tendo um elevdo gru de convergênc, todv est função envolve constnte c cujo vlor depende do problem em estudo e nenhum lgortmo gerl é conhecdo pr determnr est constnte. Dess form, um problem dconl de otmzção ser necessáro. Posterormente, os mtemátcos Golberg & Chen (994b) presentrm RBF denomnd por Augmented Thn Plte Splne (ATPS), que refere-se função f r log r crescd dos termos lneres do Trângulo de Pscl (, e y). Neste cso, função ATPS combn funções locs e globs (Ymd et l, 994; Prtrdge et l, 99). Golberg defne est função sendo ótm pr o DRM, tendo sdo usd com êto n resolução de város problems, por eemplo em Krur & Rmchndrn (995), Brdges & Wrobel (996). Em um outro rtgo, Golberg revê su posção, ntroduzndo Augmented Multqudrc como tendo um melhor performnce, (Golberg et l, 996). 7