Integração Numérica Regras de Newton-Cotes

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1 Integrção Numérc Regrs de Newton-Cotes Aproxmr função ntegrnd por um polnómo nterpoldor, utlzndo pr nós de nterpolção os extremos do ntervlo e nós gulmente espçdos no nteror do ntervlo If ( ) fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) I( f) n prmtvr o polnómo n0 (nterpolção gru zero) regrs do rectângulo à esquerd, à dret e do ponto médo f(x) f(x) f(x) I (f) I (f) I (f) (+)/ ( ) I ( ) ( ) f f ( ) ( ) + I f f( ) I( f) ( ) f

2 Integrção Numérc Regrs de Newton-Cotes n (nterpolção lner) regr do trpézo f(x) p(x) I (f) f ( ) + f ( ) I( f) ( ) f( ) + f( ) [ ] n (nterpolção qudrátc) regr de Smpson p(x) f(x) I (f) f ( ) + 4 f(( + )/) + f ( ) I( f) ( ) 6 + f ( ) 4 f f ( ) (+)/

3 Integrção Numérc Dedução d regr de Smpson n (nterpolção qudrátc) Formul de Lgrnge p ( x) y L ( x) + y L ( x) + y L ( x) 0 0 ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) p ( x) y + y + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x0 x x0 x x x0 x x x x0 x x ( x x) ( x x) ( x x0) ( x x) ( x x0) ( x x) p( x) y0 + y + y x 0 II p(x) f(x) I (f) x x II ( x x) ( x x) ( x x0) ( x x) ( x x0) ( x x) I( f) p( x) dx y0 dx+ y dx+ y dx ( x x) ( x x) ( x x0) ( x x) ( x x0) ( x x) dx dx dx???

4 Integrção Numérc Dedução d regr de Smpson Introduzndo vrável uxlr z x x (z édstâncx ) z x x x z x x x z+ x x z+ x x z x x z x 0 II x x II + ( ) ( ) ( ) dx dz ( z z) dz ( ) x x x x z z z z dx dz ( z ) dz ( z ) ( x x ) ( x x ) ( z ) ( z ) z ( x x0) ( x x) ( + ) dx dz ( z z) dz ( ) z z z z + +

5 Pelo que Integrção Numérc Dedução d regr de Smpson ( x x) ( x x) + ( x x0) ( x x) + ( x x0) ( x x) I( f ) p( x) dx y0 dx y dx y dx / 4 / / 4 I( f) p( x) dx y0 + y + y Fnlmente, tendendo que ( )/, result p(x) f(x) I (f) 4 ( ) I( f) y0 + y + y x 0 II x x II + I( f) f( ) 4 f f( ) 6 + +

6 Integrção Numérc Regrs de Newton-Cotes Pr clculrmos o erro ssocdo cd regr de Newton-Cotes podemos ntegrr o erro d proxmção efectud f( x) p ( x) E( x) f( x) p ( x) f[ x, x,..., x, x] W ( x) n n 0 n n fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) E fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) fx [, x,..., x, x] W( xdx ) ( ) n n 0 n n Em fce do vlor deste ntegrl é possível deduzr um expressão específc pr cd um ds regrs Ponto médo: rpézo: Smpson: E f''( ξ) ( ) 4 E f''( ξ) ( ) E f''''( ξ) ( ) ξ [, ]

7 el com lgums regrs de Newton-Cotes n+ pontos 0 n +, f f( ) n Rectângulo à esquerd, à dret I ( f) ( ) f( ), I ( f) ( ) f( ) ( ) '( ) E ± f ξ Ponto médo I f f( + ) ( ) ( ) ( )/ ( ) () ( ) E f ξ 4 rpézo Smpson /8 (de Smpson) Boole I( f) + f + [ f ( ) f ( ) ] ( f ) I( f) f + 4f + f 6 ( ) 0 I( f) f + f + f + f 8 ( ) 0 0 I( f) 7f + f + f + f + 7f 90 ( ) 0 4 ( ) () ( ) E f ξ 5 (4) E ( ) f ( ξ) (4) E ( ) f ( ξ) (6) E ( ) f ( ξ) 9560 Not: Algums formuls de ordem superor exem pesos negtvos, fcto consderdo ndesejável

8 Integrção Numérc Gru de um regr Um regr dz-se de gru n se ntegrr sem erro todos os polnómos de gru n eexstr pelo menos um polnómo de gru n+ que não é ntegrdo exctmente. Exemplos: Regr do rpézo (polnómo nterpoldor de gru ) Atendendo o gru do polnómo nterpoldor, regr ntegr (pelo menos) funções lneres. f(x) p(x) E ( ) f ''( ξ ) I (f) D nálse (d ordem d dervd) d expressão do erro, constt-se que funções de gru (logo com segund dervd nul) são ntegrds sem erro e que funções de gru (logo com segund dervd não nul) são ntegrds com erro, logo regr do trpézo tem gru

9 Integrção Numérc Gru de um regr Exemplos (cont.): Regr do ponto médo (polnómo nterpoldor de gru 0) f(x) Atendendo o gru do polnómo nterpoldor, regr ntegr (pelo menos) funções constntes. I (f) () E ( ) f ( ξ ) 4 (+)/ Contudo, d nálse (d ordem d dervd) d expressão do erro, constt-se que funções de gru (logo com segund dervd nul) são ntegrds sem erro e que funções de gru (logo com segund dervd não nul) são ntegrds com erro, logo regr do ponto médo tem gru f(x) I (f) (+)/

10 Exemplos (cont.): Integrção Numérc Gru de um regr Regr de Smpson (polnómo nterpoldor de gru ) Atendendo o gru do polnómo nterpoldor, regr ntegr (pelo menos) funções qudrátcs. p(x) f(x) I (f) 5 (4) E ( ) f ( ξ) 880 (+)/ Contudo, d nálse (d ordem d dervd) d expressão do erro, constt-se que funções de gru (logo com qurt dervd nul) são ntegrds sem erro e que funções de gru 4 (logo com qurt dervd não nul) são ntegrds com erro, logo regr do ponto médo tem gru

11 Dedução lterntv d regr de Smpson Exercíco: ) Deduzr o vlor dos pesos A de modo à regr segunte ter o mor gru possível If ( ) fxdx ( ) ( ) A f( ) A f(0) A f ( ) I( f) ) Indcr o gru d regr e expressão do erro. p(x) I (f) f(x) Not: Devdo à lnerdde do operdor ntegrl, se regr ntegrr semerroosmonómos,x, x,..., x n, então ntegr sem erro todos os polnómos de gru n 0 n p ( x) dx + x+ x x dx dx+ xdx+ x dx x dx n n 0 n 0 n Resolução: + If ( ) fxdx ( ) ( ) I ( f) A f( ) A f(0) A f( ) + + emos ncógnts (A, A, A ) necesstmos de equções

12 fx ( ) Dedução lterntv d regr de Smpson + + If ( ) fxdx ( ) ( ) dx ( ) x I ( f) A f( ) A f(0) A f( ) A A A + A + A+ A fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) xdx ( ) 0 I ( f) A f( ) + A f(0) + A f( ) A ( ) + A 0+ A A + A 0 A A fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I ( f) A f( ) + A f(0) + A f( ) A ( ) + A 0 + A A + A A+ A

13 Dedução lterntv d regr de Smpson Result o sstem de equções lneres ( ncógnts) A+ A+ A A A A+ A Gru d regr de Smpson Solução A A 6 A 4 6 Ou sej, I ( f) A f( ) + A f(0) + A f( ) I( f) f + 4 f Pelo modo como fo construíd, regr tem (pelo menos) gru. erá gru? ( ) ( ) f( ) fx ( ) x x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 If fxdx x dx I( f) f + f + f ( ) ( ) ( ) If ( ) 0 I( f), pelo que tem gru

14 Dedução lterntv d regr de Smpson erá gru 4? fx ( ) 4 x + + ( ) ( ) ( ) x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I( f) f + f + f If ( ) I( f) 5 6 pelo que não tem gru 4, ou sej regr de Smpson tem gru Qul expressão do erro? A plcção d regr um polnómo de gru não orgn erro, ms um polnómo de gru4jáorgn.entãoexpressãodoerroserádotpo,e C.f (4) (ξ) Qul o vlor de C? Se f(x)x 4,entãof (4) 4, pelo que E 4C. 4 Então, 4 C C ( ) Por outro ldo, E I( f) I( f) (4) resultndo, E ( ) f ( ξ) 5

15 Integrção Numérc Regrs de Guss Regrs de ntegrção de Newton-Cotes N If ( ) fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) A fx ( ) I( f) n nós de nterpolção Em Newton-Cotes os nós de nterpolção estão defndos à prtd (nós equdstntes), o que lmt o gru de exctdão d regr de ntegrção Regrs de ntegrção de Guss - Ns regrs de Guss posção dos nós de nterpolção é escold do melor modo possível I( f) A f( x) Os pesos A e loclzção x são prâmetros defnr Dspomos de N prâmetros (os vlores dos pesos A e loclzção dos pontos x ) N regr terá gru N

16 Regr de Guss com pontos Exercíco: ) Deduzr o vlor dos pesos A e loclzção ds csss x de modo à regr segunte ter o mor gru possível. ) Indcr o gru d regr. + + If ( ) fxdx ( ) ( ) A fx ( ) A fx ( ) I( f) Not: Devdo à lnerdde do operdor ntegrl, se regr ntegrr sem erro os monómos, x, x,..., x n, então ntegr sem erro todos os polnómos de gru n n p ( x) dx + x+ x x dx dx+ xdx+ x dx x dx n n 0 n 0 n Resolução: + If ( ) fxdx ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x + emos 4 ncógnts (A, A, x, x ) necesstmos de 4 equções

17 fx ( ) Regr de Guss com pontos If ( ) fxdx ( ) ( ) dx ( ) x + + I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A A A + A f ( x) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) xdx ( ) I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x A x+ A x 0 fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x A ( x) + A ( x)

18 fx ( ) x Regr de Guss com pontos x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 If fxdx x dx I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x + + A ( x ) + A ( x ) 0 Result o sstem de 4 equções não lneres ( 4 ncógnts) A+ A A x+ A x 0 A ( x) + A ( x) A ( x) + A ( x) 0 Solução A A x x Ou sej, I( f) A f( x) + A fx ( ) I( f) f + f +

19 Gru d regr de Guss com pontos fx ( ) 4 x Regr de Guss com pontos Pelo modo como fo construíd, regr tem (pelo menos) gru. erá gru 4? ( ) ( ) ( ) ( ) + 5 x If fxdx x dx I( f) f + f If ( ) I( f) 5 9 pelo que não tem gru 4, ou sej regr de Guss com pontos tem gru s regrs de Guss com N pontos tem gru N

20 Comprção d regr do trpézo com regr de Guss rpézo ( pontos) f(x) I (f) I( f) f( ) + f( ) Gru [ ] Guss com pontos f(x) I f A f x A f x ( ) ( ) ( ) + Gru I (f) Pr [, ] [, + ] x x I( f) f + f+

21 Regrs de Guss-Legendre If ( ) fxdx ( ) A fx ( ) I( f) Pr Guss-Legendre os pesos A e loclzção dos pontos x encontr-se teldo pr o ntervlo [,][,+]. + + N Pr utlzrmos nformção ds tels é necessáro efectur um mudnç de vrável pr o ntervlo [,+], ( ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ II If ( ) fxdx ( ) f x( ) J( ) d F( ) d A F( ) I( f) dx dξ F ( ξ ) Mudnç de vrável pr o ntervlo [,+] N - + ξ x ξ + ξ dx x( ξ) +, J dξ

22 Regrs de Guss-Legendre no ntervlo [-,+] + If ( ) F( ξ) dξ N I( f) A F( ξ) Nº de pontos, N Acsss ξ Pesos A 0 ± ± 0 / ± ( 6 / 5) / 7 ± ( + 6 / 5) / 7 (8 + 0) 6 (8 0) 6 O erro ssocdo às formuls de Guss-Legendre (com N pontos) é, 4 N+ ( N) ( N!) E CN ( ) f ( η), CN, η [, ] (N+ ) (( N)!)

23 Regrs de Guss regr de Guss-Lotto As regrs de Guss são um fmíl de regrs, à qul regr de Guss-Legendre pertence. Guss-Legendre N If ( ) fxdx ( ) A fx ( ) I( f) escoler melor loclzção possível Exstem outrs regrs de Guss, pertencentes est fmíl Guss-Legendre-Lotto regr de Guss-Legendre que nclu os nós extremos do ntervlo If ( ) fxdx ( ) A f ( ) + B f( ) + A fx ( ) I( f ) N escoler melor loclzção possível Os coefcentes A, B, A e posção dos pontos x são prâmetros determnr Not: Pr pontos regr de Guss-Lotto é dêntc à regr do trpézo e pr pontos édêntcàregrdesmpson

24 Regr de Guss-Lotto com 4 pontos Exercíco: ) Deduzr o vlor dos pesos A 0 e A e loclzção d css ξ de modo à regr segunte ter o mor gru possível. ) Indcr o gru d regr. + [ f f ] [ ξ ξ ] If ( ) fxdx ( ) ( ) A0 ( ) + ( + ) + A f( ) + f( + ) I( f ) Resolução: + If ( ) fxdx ( ) ( ) [ ] [ ξ ξ ] I ( f) A0 f( ) + f() + A f( ) + f( ) emos ncógnts (A 0, A, ξ ) necesstmos de equções f ( x ) If ( ) fxdx ( ) ( ) dx ( ) x [ ] [ ξ ξ ] I( f) A0 f( ) + f() + A f( ) + f( ) A ( + ) + A ( + ) A + A 0 0 A + A

25 fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) xdx ( ) 0 [ ] [ ξ ξ ] I ( f) A f( ) + f() + A f( ) + f( ) Regr de Guss-Lotto com 4 pontos 0 A0 ( + ) + A ( ξ + ξ) fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I( f) A0 [ f( ) + f() ] + A [ f( ξ) + f( ξ) ] A0 ( + ) + A (( ξ) + ξ ) A0 + A ξ A + A ξ fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) 0 4 I( f) A0 [ f( ) + f() ] + A [ f( ξ) + f( ξ) ] A0 ( + ) + A ( ξ + ξ ) 0 0 0

26 fx ( ) 4 x Regr de Guss-Lotto com 4 pontos x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) 5 5 I( f) A0 [ f( ) + f() ] + A [ f( ξ) + f( ξ) ] A0 ( + ) + A (( ξ) + ξ ) A0 + A ξ 4 A + A ξ 5 Result o sstem de equções não lneres ( ncógnts) A0 + A A0 + A ξ 4 A0 + A ξ 5 Solução A0 A ξ ± Ou sej, 5 ( ) 0 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ] I f A f + f + + A f ξ + f + ξ f + f + + f f

27 Regr de Guss-Lotto com 4 pontos Gru d regr de Guss-Lotto com 4 pontos Pelo modo como fo construíd, regr tem (pelo menos) gru 4. erá gru 5? fx ( ) 5 x x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 If fxdx x dx 5 [ ] I( f) f( ) + f( + ) + f f ( + ) + ( + ) / 5/ , ou sej, If ( ) I( f) pelo que regr de Guss-Lotto com4pontostemgru5

28 Regr de Guss-Lotto com 4 pontos erá gru 6? fx ( ) 6 x ( ) ( ) ( ) ( ) + 7 x If fxdx x dx [ ] I( f) I( f) f( ) + f( + ) + f f ( + ) + ( + ) + + 6/ 6/ If ( ) I( f) 7 75 pelo que não tem gru 6, ou sej regr de Guss-Lotto com 4 pontos tem gru 5 s regrs de Guss-Lotto com N pontos tem gru N O erro ssocdo às formuls de Guss-Lotto (com N pontos) é, N ( N ) (( N )!) E C f C (N ) ((N )!) 4 N (N ) N ( ) ( η), N, η [, ]

29 Regr do trpézo corrgd O polnómo nterpoldor pode nterpolr tmém dervd(s) d função. O cso ms usul é consderr um nterpolção de Hermte utlzndo pr nós os extremos do ntervlo [,] Regr do rpézo corrgd (polnómo nterpoldor de gru ) Aproxmndo função ntegrr por um polnómo de Hermte, com nformção d função e d prmer dervd, consderndo pr nós de nterpolção os pontos extremos do ntervlo result, f(x) ( ) I ( ) [ ( ) ( )] [ '( ) '( )] p(x) f f + f + f f A formul possu dos termos: um termo que tem os vlores d função, e que é dêntco à regr do trpézo, e um termo que têm os vlores ds dervds. O termo ds dervds pode ser entenddo como um correcção o termo que têm os vlores d função. Por ess rzão regr desgn-se por regr do trpézo corrgd I (f) A regr possu gru e expressão do erro correspondente é, ( ) 5 (4) ( ) E f ξ 70

30 Regrs composts Um modo de reduzr o erro cometdo no cálculo proxmdo do ntegrl é sudvdr o ntervlo [,] emn suntervlos e plcr s regrs áscs nterormente estudds. Ex: Regr do trpézo compost com suntervlos gus (N) If ( ) fxdx ( ) fxdx ( ) + fxdx ( ) + fxdx ( ) [ f ( ) f( )] [ f( ) f( )] [ f( ) f( )] 0 f(x) ( )/N f( ) f( ) f( ) f( ) II II f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) I( f ) Em termos genércos regr do trpézo compost pode ser presentdo como 0 II II N I + + ( f) f ( ) f ( ) f ( )

31 Regrs composts Pr determnrmos o erro cometdo podemos somr contrução do erro cometdo em cd um dos suntervlos. E[, ] E[ + + ξ ξ ξ 0, ] E[, ] E[, ] ( 0) f''( ) ( ) f''( ) ( ) f''( ) f''( ξ) f''( ξ) f''( ξ) N f''( ξ ) ''( ξ) N f ( ) f ''( ξ) Resumndo, o erro d regr do rectângulo compost é ( ) E f''( ξ), ξ [, ] 0 II f(x) ( )/ N N II

32 el com lgums regrs composts N ntervlos 0 n, + N Rectângulo à esquerd, à dret compost N I ( f) f( ), I ( f) f( ) N E ± f'( ξ) Ponto médo compost N I( f) f( + ) E f''( ξ) 4 rpézo compost Smpson compost N I + + ( f) f( ) f( ) f( ) N N I ( f) f ( ) f ( ) f ( ) 4 f ( + ) 6 E f''( ξ) E f ( ξ) 880 (4) 4 rpézo corrgd compost N I + + ( f) f( ) f( ) f( ) + [ f'( ) f'( ) ] E f ( ξ) 70 (4) 4

33 Integrção com splnes ntegrção com splnes cúcos Um modo de oter regrs de ntegrção semelnte às composts é utlzndo splnes. A utlzção de splnes de gru zero conduz às regrs do rectângulo composts, enqunto ntegrção com splne de gru conduz à regr do trpézo compost. A utlzção de splnes de gru superor conduz regrs dferentes ds regrs composts nterormente estudds. Integrção com splnes cúcos x x - N I( f ) f ( x) dx S( x) dx S( x) dx I( S) x x S (x) S (x) S (x) No troço o splne cúco é ddo por ( x x) ( x x ) S x M + M + ( ) 6 6 x x x x + y M + y M 6 6 x 0 II x x x II

34 Integrção com splnes ntegrção com splnes cúcos Prmtvndo x x x ( x x) ( x x ) x x x x ( ) x S x dx M M y M y M dx ( x x) ( x x ) ( x x) ( x x ) M + M y M + y M x x M + M + y M + y M ( y y ) ( M M ) Somndo contrução de todos os troços result N IS ( ) Sx ( ) dx y + y M + M ( ) ( ) 4 Not: expressão tem um prte dêntc à regr do trpézo compost ms um termo correctvo com se nos momentos ( s dervds)

35 Há vrntes d ntegrção dpttv: Integrção dpttv Integrção dpttv método que procur que o resultdo otdo ten um erro nferor um tolerânc ε especfcd pelo utlzdor II II Consderr um sudvsão ncl do ntervlo [,] 0 Dstrur tolerânc dsponível pelos troços endo em cont expressão teórc do erro, estmr pr cd troço correspondente dervd Estmr o erro cometdo em cd troço No cso do erro exceder tolerânc truíd esse troço, então sudvdr devdmente o troço ε ε ε p E C f ( ξ ), f ( ξ ) D ( k ) ( k) ( k ) O método tenderá colocr ms suntervlos onde correspondente dervd for mor não tertv o número de vezes que se efectum sudvsões é de pens um tertv o número de vezes que se efectum sudvsões não é defnd à prtd (é resultdo d verfcção do crtéro do erro) E ε ( ) C D k ε ε p

36 Integrção dpttv não tertv Exemplo: Utlzndo regr do trpézo compost N I( f) f( ) + f( ) [ ] f(x) Pr o troço [ -, ]dedmensão E f''( ξ ) N ntegrção dpttv não tertv, gerlmente, dervd é proxmd por um dferenç fnt proprd 0 II II f''( ) D f ( ) f ( + ) + f ( ) II ξ ( ) A estmtv de erro pr o troço éotdtrvésde E D II - - +/

37 Integrção dpttv não tertv Se estmtv de erro E for superor à tolerânc ε que está dsponível pr esse troço, então esse troço é sudvddo em m suntervlos de modo o erro nesse troço pssr ser nferor à tolerânc dsponível. Erro pr o troço pós sudvsão em m suntervlos m suntervlos E m expressão onde se dmtu que II D - dervd em cd suntervlo é proxmd por D m II II E m D E D m m E E m Pretendemos que, pós sudvsão do troço, o erro nesse troço sej nferor à tolerânc dsponível pr esse troço, E E < ε E < ε m > ε m E Recuperndo expressão do erro pr o ntervlo result m > D II ε

38 Integrção dpttv não tertv A expressão nteror pode ser reescrt em termos d tolerânc totl ε ε ε II D > II m D ε ε II m > D ε II m > D ε Sudvsão ncl II II 0 troço troço troço D II D II D II m suntervlos m suntervlos m suntervlos Sudvsão fnl 0 clculr I clculr I clculr I I I +I +I

39 Integrção dpttv tertv Comprtvmente o método não tertvo, o lgortmo tertvo descrto em segud possu s seguntes dferençs: estmtv do erro não recorre dferençs fnts em cd troço o erro é estmdo recorrendo proxmções do ntegrl pr esse troço se estmtv do erro for superor à tolerânc permtd esse troço, então o troço é dvddo o meo troço em vlção E α ( I I ) sudvsão em troços estmtv de erro é ctulzd pr os novos troços o número de vezes que se efectum sudvsões não é defndo à prtd (é resultdo d verfcção do crtéro do erro) troço em vlção E α ( I I ) sudvsão em troços

40 Integrção dpttv tertv Exemplo: Clculr I(f) utlzndo regr do trpézo dpttv tertv com um tolerânc ε 0 Regr do trpézo dedução d estmtv do erro E f E f Pr suntervlo, N ( ) ''( ) E f ξ Pr suntervlos, N ( ) ''( ) E f ξ ( ) ''( ξ) ''( ξ) N N ( ) E I I D'' D'' f''( ξ ) D'' f''( ξ ) ( ) E I I D'' 4 Sutrndo s expressões ( ) (*) (**) I I D'' 4 (*) (**) If ( ) fxdx ( ), fx ( ) 0 D'' N suntervlos suntervlo suntervlos c exp(5 x) 90 I I ( ) 4

41 Integrção dpttv tertv Susttundo proxmção d dervd n expressão do erro pr troços E D'' I I ( ) ( ) I 4 I E ( ) ( ) 4 D'' 4 4 Resumndo, pr um troço de dmensão, ovlordregr do trpézo com e com suntervlos é E I I ( ) suntervlo I f( ) + f( ) / / I f( ) f( c) f( ) + + suntervlos c e o erro (pr suntervlos) pode ser estmdo por E I I ( )

42 Integrção dpttv tertv Opção: dvsão ncl em troços ε ε 0 II tolerânc ε x0 II / / 0 tolerânc ε 5x0 / / tolerânc ε 5x0

43 Integrção dpttv tertv roço [0, /], /, tolerânc ε 5x0 If ( ) fxdx ( ), fx ( ) 0 exp(5 x) 90 suntervlo 0 / I f(0) f( ) suntervlos 0 /4 / I f(0) f( 4) f( ) Estmtv de erro E I I E ( ) E < ε OK

44 Integrção dpttv tertv roço [/, ], /, tolerânc ε 5x0 If ( ) fxdx ( ), fx ( ) 0 exp(5 x) 90 suntervlo / I f( ) f() suntervlos / /4 I f( ) f( 4) f() Estmtv de erro E I I E ( ) E 5 0 > 5 0 ε dvdr o troço [, ] em dos troços

45 Integrção dpttv tertv 0 II tolerânc ε x0 II ε ε / / 0 tolerânc ε 5x0 / / tolerânc ε 5x0 erro E x0 erro E 5x0 /4 /4 / ε.5x0 /4 /4 ε.5x0

46 Integrção dpttv tertv roço [/, /4], /4, tolerânc ε.5x0 suntervlo / /4 I f( ) f( 4) suntervlos / 5/8 /4 I f( ) f(5 8) f( 4) Estmtv de erro E I I E ( ) E < ε OK

47 Integrção dpttv tertv roço [/4, ], /4, tolerânc ε.5x0 suntervlo /4 I f( 4) f() suntervlos /4 7/8 I f( 4) f(7 8) f() Estmtv de erro E I I E ( ) E >.5 0 ε dvdr o troço [ 4, ] em dos troços

48 Integrção dpttv tertv 0 tolerânc ε x0 0 ε 5x0 / / ε 5x0 E x0 E 5x0 /4 /4 / ε.5x0 /4 /4 ε.5x0 E.x0 E 7.4x0 /8 /8 /4 ε.5x0 7/8 7/8 ε.5x0

49 Integrção dpttv tertv roço [/4, 7/8], /8, tolerânc ε.5x0 suntervlo /4 7/8 I f( 4) f(7 8) suntervlos /4 /6 7/8 I f( 4) f( 6) f(7 8) Estmtv de erro E I I E ( ) E < ε OK

50 Integrção dpttv tertv roço [7/8, ], /8, tolerânc ε.5x0 suntervlo 7/8 I f(7 8) f() suntervlos 7/8 5/6 I f(7 8) f(5 6) f() Estmtv de erro E I I E ( ) E < ε OK

51 Integrção dpttv tertv 0 tolerânc ε x0 0 ε 5x0 / / ε 5x0 E x0 E 5x0 / ε.5x0 /4 /4 ε.5x0 E.x0 E 7.4x0 /4 ε.5x0 7/8 7/8 ε.5x0 E 0.7x0 E.4x0

52 Vlor otdo pr o ntegrl Integrção dpttv tertv 0 I [0, ]? 0 I [0, /] / / / /4 /4 I [/, /4] /4 I [/4, 7/8] /8 7/8 I [7/8, ]

53 Vlor otdo pr o ntegrl Integrção dpttv tertv 0 / /4 7/8 I I + I + I + I [0, ] [0, ] [, 4] [ 4, 7 8] [7 8, ] I x e Vlor excto 5 x If dx ( 5 ) ( ) e e Erro efectvo Eefectvo Iexcto I proxmdo E efectvo < 0 ε (tolerânc)

54 Pr regr do trpézo corrgd compost Método de Romerg N I( f) f( ) + f( ) + f( ) + [ f'( ) f'( ) ] I I+ E (4) 4 E I I f ( ξ) 70 N (4) 4 [ ] ξ I I+ E f ( ) + f ( ) + f ( ) + f'( ) f'( ) + f ( ) 70 n Se fx ( ) C + é possível demonstrr que,0 C,0 regr do trpézo 4 O( ) 4 ou sej, I,0 + C +O( ) regr do trpézo I + C + C + C + + C + O( + ) 4 6 n n n

55 Método de Romerg 0 Consdere-se um sequênc k e plque-se regr do trpézo k I + C + C + O k 4 k, 0 k k 6 ( k ) (*) 4 k k k 6 k+ k+, O( k ) I C C Elmnndo o termo do erro d proxmção 4 6 I k+,0 + Ck + C k + O( k ) 4 4 (**) (**) (*) 4 I I 4 k+,0 k, 0 + Ck + O ( k ) 4 4 I 4 k+,0 k, C k + O k k, 4 ( ) Ou sej, proxmção do ntegrl com erro de ordem 4 é 4 6 I k, C k + O( k ) 4, k, 4 k+,0 k,0 4

56 Método de Romerg De modo nálogo o nteror, consderndo gor k+ e k+ 4 k k k 6 k+ k+, O( k ) I C C 4 k k k 6 k+ k+, O( k ) I C C I k+,0 + Ck + C k + O( k ) 4 4 (*) 4 6 I k+,0 + C k + C 4 k + O( k ) 4 4 (**) Elmnndo o termo do erro d proxmção k +,0 k +, (**) (* ) 4 I I 4 k+,0 k+,0 + C k + O( k ) I C k + O( k ) k+, Ou sej, proxmção do ntegrl com erro de ordem 4 é 4 6 I k +, C k + O( k ) 4, k+, 4 k+,0 k+,0 4

57 Método de Romerg Comnndo s expressões de k, e de k+,, com o ntuto de elmnr o termo 4, 4 6 I k, C k + O( k ) (*) I k+, C k + O( k ) (**) 4 Elmnndo o termo 4 do erro d proxmção 4 ) 6 4 (**) (*) 4 I I k+, k, + O( k 4 k+,0 k+, 0 6 I + O( ) k 4 k, Ou sej, proxmção do ntegrl com erro de ordem 6 é I + O k, 6 ( k ), 4 k+, k, k, 4

58 Método de Romerg O procedmento efectudo pode ser generlzdo, de modo elmnr-se os sucessvos termos de m, consegundo-se ssm proxmções com erro de ordem m+. I + O km, m+ ( k ), km, 4 m k+, m k, m m 4 A formul de recorrênc pr k,m surge por vezes escrt n form k+, m k, m km, k+, m + m 4 A formul de recorrênc poder ter sdo deduzd trvés d formul de Atken-Nevlle (tl como se efectuou pr o método de Rcrdson) O método de Romerg é normlmente plcdo com regr do trpézo, ms tmém pode ser plcdo com outrs regrs ts como regr do ponto médo ou de Smpson (este últmo cso requerer um redefnção d formul de recorrênc)

59 Método de Romerg el 0 0,0,0,0,0 0,,, Erro de ordem 4 0,, Erro de ordem 6 0, Erro de ordem 8 Formul de recorrênc km, 4 m k+, m k, m m 4 Erro de ordem Regr dos trpézos Formul de recorrênc

60 Método de Romerg Ex: Aplcr método de Romerg (utlzndo regr do trpézo) ocálculodontegrl x I e dx Opção: ncr processo com suntervlos Not: resolução em precsão smples 0 Regr dos trpézos N 0 0, k, k, 0 f ( ) + f ( ) + f ( ) k k 0, N, 0, 0,0 f(0) f f() / k, N 4,,,0 f(0) f f f f() k, N 8,,, /4 / /4 0 /4 / /4 k, N 6,,, /4 / /4

61 Método de Romerg m 4 k+, m k, m Formul de recorrênc km, m 4 Pr m 4 k+,0 k,0 k, 4 0,, 4,0 0, ,0, , 4,0, el , , , , 0 0,,,

62 Método de Romerg m 4 k+, m k, m Formul de recorrênc km, m 4 Pr m 4 k+, k, k, 4 0,, 6, 0, ,, el ,0 0, 0, ,0, , ,0, ,0

63 Método de Romerg m 4 k+, m k, m Formul de recorrênc km, m 4 Pr m 4 k+, k, k, 4 0, 64, 0, el ,0 0, , 0, ,0, , ,0, , 0

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