2 Teoria de membranas elásticas

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1 Teor de membrns elástcs teor de membrn pr mters ltmente deformáves dfere d elstcdde clássc, á que s deformções n superfíce méd d membrn deformd são em módulo mores que undde. Dentro dests crcunstâncs utlz-se teor d elstcdde pr grndes deformções no desenvolvmento d teor de membrn. lém d não lnerdde geométrc, não lnerdde dos mters hperelástcos tmbém deve ser consderd. Isso pode ser feto trvés do uso de um modelo consttutvo proprdo e váldo qundo se utlz teor de grndes deformções. Se o mterl é hperelástco e obedece um le consttutv não lner, s equções de equlíbro tornm-se ltmente não lneres, prtculrmente qundo geometr d membrn present curvturs e grndes deformções. ssm, present-se um breve explnção d teor d elstcdde pr deformções fnts usndo-se notção tensorl e vetorl proposts por Green e dkns (96). Consderções sobre o cso prtculr de membrns crculres são presentds n formulção do problem. Posterormente, lguns modelos consttutvos pr mters hperelástcos são presentdos... Relções Geométrcs Consdere um corpo trdmensonl ndeformdo B em um sstem crtesno fxo x em um nstnte t = t. O vetor posção de um ponto P pertencente B em relção à orgem é: onde k são os vetores untáros. r = (.) xkk Consdere que o corpo B sofre um deformção em um determndo nstnte t e o ponto P move-se pr um nov posção P. O vetor posção de P é:

2 Teor de membrns elástcs 38 R = (.) yk k y Consderndo-se que >, pode-se escrever que: x y = y ( x, x, x3, t) (.3) O corpo B pode tmbém ser descrto em um sstem de coordends curvlíneo, θ, tl que: x = x ( θ, θ, θ3) (.4) onde x são vlores úncos, dferencáves qunts vezes necessárs, exceto em possíves pontos sngulres. Supõe-se que o sstem de coordends curvlínes se move contnumente com o corpo e, qundo B é trnslddo pr o estdo deformdo B, tem-se que: y = y ( θ, θ, θ3, t) (.5) ssm, em B, o vetor covrnte dθ pode ser determndo utlzndo-se relção (.4): x dθ = x, dx = (.6) x Ds equções (.3) e (.4), obtém-se: y y dy = x = θ (.7) x ssm os vetores posção ssumem form: r =r( θ, θ, θ3) (.8) R = R( θ, θ, θ3, t) Os vetores bse e os respectvos tensores métrcos contrvrntes e covrntes (Green e dkns, 96) n confgurção ndeformd B são defndos, pr o sstem de coordends curvlínes θ, por: r g =, θ r g g r = δ x x g = g g = (.9) θ g = g g = x x

3 Teor de membrns elástcs 39 De form smlr, os vetores bse e os respectvos tensores métrcos covrnte e contrvrnte pr confgurção deformd B são defndos por: R G =, θ r G G r = δ y y G = G G = (.) G = G G = y y O tensor de deformções é defndo por (Green e dkns, 96): γ = ( G g ) (.) Pode-se nterpretr γ como sendo o tensor que mede dferenç do qudrdo do comprmento de um elemento nfntesml de rco nos corpos deformdo e ndeformdo. função densdde energ de deformção W é determnd em função dos nvrntes de deformção (I, I, I 3 ) e esses estão ssocdos os tensores métrcos presentdo ns equções (.9) e (.), como: sendo: I I = g G g G I 3 = (.) G I 3 = g g = g G = (.3) G.. Sstem de coordends pr membrns xssmétrcs Nest formulção ssume-se que o corpo lvre de tensões é composto de um mterl hperelástco e homogêneo onde há um complet smetr elástc e geométrc com relção o plno médo d espessur. Consder-se que membrn sofre um deformção fnt e smétrc o plno médo x 3 =, onde s coordends pós deformção (y ) de um ponto P d membrn, que orgnlmente possuí s coordends x, são referentes o mesmo

4 Teor de membrns elástcs 4 sstem crtesno. coordend trnsversl d membrn pós deformção y 3 é gerlmente descrt como um função de y e y. ssm, escolhe-se um sstem de coordends curvlínes, tl que: y 3 = θ3 y α = yα ( θ, θ) (.4) Dess form escreve-se pr confgurção ndeformd: αβ = g = λ λ αβ = = αβ λ (.5) onde αβ, αβ são os tensores métrcos covrntes e contrvrntes ssocdos à coordend θ α no plno médo d membrn deformd e λ é um função esclr em θ, θ que represent extensão do plno médo n dreção norml à espessur d membrn. Pr confgurção deformd escreve-se: = αβ αβ = G = = αβ (.6) αρ α ρβ = δβ onde αβ, αβ são os tensores métrcos covrntes e contrvrntes ssocdos à coordend θ α no plno médo d membrn deformd. Dess form, os nvrntes de deformção (I, I, I 3 ), ssocdos os tensores métrcos covrntes e contrvrntes, podem ser escrtos d segunte mner: αβ I = αβ + λ αβ I = αβ + (.7) I 3 = λ onde λ é extensão n dreção norml à superfíce méd d membrn. λ

5 Teor de membrns elástcs 4.3. Modelos Consttutvos Exstem n ltertur város modelos que defnem s propreddes mecâncs dos mters, entre eles estão os modelos de mters elástcos e nelástcos. Dentro d clsse dos mters elástcos, têm-se os mters hperelástcos. Os modelos consttutvos pr mters hperelástcos descrevem o comportmento do mterl trvés d energ de deformção. Exstem n ltertur várs forms específcs d função energ de deformção, tnto pr mters compressíves qunto ncompressíves, prncplmente sotrópcos. No estudo do comportmento de membrns de mters hperelástcos é necessár escolh de les consttutvs que descrevm s propreddes do mterl d melhor form possível. Dentre s formulções exstentes pr energ de deformção de mters hperelástcos ctm-se s teors de Mooney- Rvln, neo-hooken, Ogden e Polnoml, dentre outrs..3.. Modelo de Mooney Rvln por: função energ de deformção pel formulção de Mooney-Rvln é dd ( I ) + C ( 3) W = C 3 I (.8) onde C e C são prâmetros do mterl; I é o prmero nvrnte de deformção e I, o segundo nvrnte de deformções..3.. Modelo neo-hookeno form d função energ de deformção consderndo um mterl neo- Hookeno é um cso especl d função energ de deformção de Mooney-Rvln qundo C =, sendo express por: ( 3) W (.9) = C I

6 Teor de membrns elástcs Modelo de Ogden função energ de deformção propost por Ogden é bsed em resultdos experments pr mters hperelástcos. O modelo possu um número sufcente de prâmetros que podem ser determndos expermentlmente. O modelo de Ogden ssume que energ ntern de deformção pode ser descrt em termos ds três extensões prncps λ ( =,, 3), n segunte form: N µ W = = α α α α ( λ + λ + λ 3) onde µ, α e N são constntes relconds com s propreddes do mterl. 3 (.).3.4. Modelo Yeoh O modelo consttutvo pr mters hperelástcos ncompressíves proposto por Yeoh ssume que form d energ ntern de deformção é ndependente do segundo nvrnte de deformção e pode seepresentd como um sére n segunte form: N W = C ( I 3 ) (.) = onde N é o número de termos d sére e C são prâmetros do mterl. Pr um únco termo d sére, o modelo de Yeoh se reduz form neo-hooken. Os termos de ms lt ordem d sére possbltm obteesultdos ms próxmos dos ddos experments de deformção Modelo Polnoml Este modelo present segunte form d função energ de deformção: N W = C = ( I ) ( I ) (.) Os modelos de Mooney-Rvln e neo-hookeno podem ser obtdos trvés deste modelo escolhendo-se dequdmente os vlores de C.

7 Teor de membrns elástcs Modelo Bltz-Ko Usndo resultdos experments de mters hperelástcos compressíves, Bltz e Ko propuserm um função energ de deformção dependente do segundo e do tercero nvrnte de deformção d segunte form: G I W = + I3 5 (.3) I3 onde G é o módulo cslhnte elástco lner. Pr um mterl ncompressível bst consderr I 3 = n função de energ de deformção Modelo rrud-boyce rrud e Boyce (993) propuserm um modelo consttutvo bsedo ns grndes deformções de borrchs e consderndo o estdo de deformções trdmensonl dependente de um sstem retculdo. Comprndo seus resultdos experments com os ddos presentdos n ltertur, os utores chegrm à segunte função energ de deformção: W ( I 3) ( I 9) ( I 7) 9( I 8) 59( I 43) µ (.4) λm 5λm 7λm 67375λm = 8 onde µ e λ m são constntes relconds com s propreddes do mterl e I é o prmero nvrnte de deformção.