MODELO PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE LAYOUT DE INSTALAÇÕES COM A TECNOLOGIA

Transcrição

1 4 MODELO PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE LAYOUT DE INSTALAÇÕES COM A TECNOLOGIA DAS RESTRIÇÕES Desde os fns dos nos otent tecnolog d PLR, e em prtculr PLR(DF), tem vndo ser plcd n resolução de problems, com ssnlável sucesso, em áres devers dverss, onde outrs tecnologs cducrm. No que se refere às plcções ndustrs, o plnemento e o esclonmento d produção têm sdo s áres de eleção. Mutos destes problems presentm crcterístcs comuns os problems de nturez combntór e, portnto, são de dfícl resolução. Como se demonstrou, os PPLIs (problems de proecto de lout de nstlções) são tmbém problems de grnde compledde e, portnto, de dfícl resolução. Dí que se tenh decddo eplorr tecnolog d PLR(DF) n resolução dos PPLI. 83

2 84 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções A resolução dos PPLI com recurso tecnolog d PLR(DF) requer, no entnto, defnção de novos modelos ou mesmo dptção de lguns modelos á usdos com outrs tecnologs. Um componente fundmentl deste cpítulo destn-se descrever um modelo forml pr resolução de PPLI, com destque pr os relcondos com s nstlções ndustrs, tendo sdo desenvolvdo consderndo tecnolog d PLR(DF). Este modelo nspr-se em lrg medd nos modelos pr problems de trbução de espço dus dmensões, descrtos no cpítulo 2. A outr componente fundmentl relcon-se com dentfcção ds vráves do problem bem como com defnção dos seus domínos e, fundmentlmente, com especfcção ds restrções, que obvmente são de crácter geométrco. 4.1 Requstos de Informção pr Resolução de PPLI Est secção destn-se dentfcr nformção necessár pr plcção do modelo proposto à resolução de PPLI, usndo met-nterpretdores de PLR(DF). Estes requstos de nformção são lustrdos com um eemplo de um PPLI, que v sendo descrto à medd que s norms utlzds forem dscutds. Interess, no entnto, começr por um bordgem não vncultv à problemátc dos PPLI Modelos pr PPLI No cpítulo 2 form presentdos lguns dos modelos ms representtvos pr resolução de PPLI. Globlmente, todos estes modelos enfermm de problems de compledde. Em termos geométrcos, estão-se consderr nstlções cuos requstos espcs correspondem um áre f, qul é frcção mínm do espço dsponível n plnt d undde fbrl trbur à nstlção. Tenh-se em tenção que o espço dsponível pr dspor s nstlções, usulmente um edfíco ou um frcção deste, é qu desgndo por plnt. Regr gerl os requstos espcs ds nstlções colocr n plnt podem ser grupdos n form de: () áres gus e orentção f; () áres dferentes e orentção f; () áres dferentes e orentção vrável; (v) áres dferentes e form vrável. As promções () e ()

3 4.1 Requstos de Informção pr Resolução de PPLI 85 mplcm pens escolh do locl destndo cd nstlção. Em () crescent-se um nov dmensão à compledde do problem pelo fcto de ser necessáro escolher tmbém orentção ds nstlções n plnt. Fnlmente, em (v), dmensão reltv à orentção d nstlção é substtuíd por outr que obrg à escolh d form d nstlção. Ddo que se consderm áres rectngulres pr s nstlções, crcterzção d form d nstlção reduz-se à defnção do seu comprmento e lrgur. Est clssfcção tem em lnh de cont pens nstlções fbrs de um só pso. No entnto, como nterormente fo referdo (secção 2.6), ssste-se o surgmento de vrntes que consderm város psos, o que, obvmente, crescent outr dmensão o problem, logo umentndo compledde do mesmo. Refr-se, no entnto, que neste trblho consderm-se pens s nstlções fbrs com um só pso. Pr lém dos spectos geométrcos, é nd necessáro consderr os spectos relcondos com o processo produtvo. Este é escolhdo, fundmentlmente, em função dos produtos fbrcr e d cpcdde produtv nstlr pr stsfzer procur. Gerlmente, em PPLI consder-se, drectmente ou ndrectmente, um estmtv d procur de produtos. É est estmtv d procur de produtos que permte efectur vlção e escolh d melhor solução pr cd nstânc do problem. Um dos prâmetros que nfluenc quldde ds soluções é o fluo entre nstlções, e este prâmetro é função do processo e d cpcdde produtv nstlr. And reltvmente os processos de fbrco, mport referr que s soluções pontds não consderm, normlmente, nstlções lterntvs pr relzr s operções. O modelo que se propõe dmte estênc dests nstlções lterntvs. As nstlções lterntvs pr mesm operção são grupds em clsses de nstlções. Embor s nstlções d mesm clsse sem cpzes de efectur s mesms operções, ests podem não s relzr com s mesms crcterístcs (e.g., velocdde, quldde). Fnlmente, há nd que referr um specto de grnde mportânc, e que se relcon com o tpo de vráves usds em PPLI e dscutds no cpítulo 2, e o tpo

4 86 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções de vráves usds com os met-nterpretdor de PLR(DF). Nos modelos pr PPLI coestem vráves de decsão que tomm vlores res, e vráves de decsão que com vlores nteros. Um eemplo dest últm stução é o modelo de proposto por Montreul et l, (1993), e presentdo n secção Num modelo em que h recurso met-nterpretdores pr PLR(DF) devem-se consderr pens vráves de decsão que tomm vlores em ntervlos de vlores nteros, sendo necessáro, por consegunte, efectur um conversão de vlores res pr vlores nteros que grntm um precsão dequd. Est conversão tem de ser efectud não pens pr s vráves de decsão relconds com spectos geométrcos, como tmbém pr os vlores relcondos com o processo e procur de produtos, os qus em últm nstânc, condconm o fluo de mters entre s nstlções Plnt d Instlção Conhecer s dmensões d plnt não é, n mor prte ds stuções, essencl pr procurr melhor solução de um PPLI, qundo o espço dsponível não consttu um lmtção. No entnto, o conhecmento do comprmento e d lrgur dest pode udr encontrr melhor solução. Por outro ldo, o espço físco dsponível n plnt pode não ser comptível com melhor solução encontrd, devdo à form d plnt, dí que, em prncípo se conselhe que s dmensões d plnt devm ser tomds em lnh de cont As soluções pr o problem que consderm o comprmento e lrgur d plnt ssumem de form mplíct um nstlção fbrl cu plnt possu form rectngulr com comprmento C e lrgur L, (ou se, posção de tods s nstlções é condcond por ests dmensões). É óbvo que nem tods s plnts possuem est form rectngulr. Nests stuções consder-se um rectângulo que envolve plnt rel (Fgur 4-1). Est bordgem tem como nconvenente possbldde de orgnr soluções em que dsposção de lgums ds nstlções ultrpsse lnh de fronter que delmt o nteror d plnt. Est stução pode, no entnto, ser evtd, o que pss pel crção de um número sufcente de nstlções fctícs cu dsposção é forçd à prtd pr s áres não pertencentes à plnt rel e de form que esss áres sem ndsponblzds.

5 4.1 Requstos de Informção pr Resolução de PPLI 87 Fgur 4-1: Eemplo de um rectângulo que envolve form d nstlção fbrl. Podem-se consderr outrs lterntvs de modo evtr crção de nstlções fctícs, porém bordgem segud neste trblho ssume-se como ms nteressnte, sendo de cert form ms nturl, tendo em cont o prdgm d PLR. Tudo pss por se colocrem restrções que eclum s áres não pertencentes à plnt do espço dsponível pr dspor s nstlções. Este tpo de restrções serão dscutds com mor detlhe, ms à frente, neste cpítulo. Por outro ldo, est bordgem, lém de permtr eclur s áres do rectângulo que envolve plnt rel, (Fgur 4-1), permte nd eclur áres nterores que não estão dsponíves pr dsposção de nstlções. Consderndo o que fo dscutdo cerc d form plnt, representção dest deve então ter em consderção que: C é o comprmento do rectângulo que envolve plnt; L é lrgur do rectângulo que envolve plnt; NAP é o número de áres probds; {AP } é o conunto de áres probds, e que relmente não pertencem à plnt rel. Por convenção, o comprmento C é meddo sempre segundo o eo dos enqunto lrgur é medd segundo o eo dos. As áres probds são áres rectngulres que se podem sobrepor. A ntersecção do rectângulo envolvente d plnt rel com unão dests áres probds deve

6 88 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções resultr no espço dsponível d plnt rel pr dsposção ds nstlções. Ests áres probds, pelo fcto de serem rectngulres, são descrts em termos dos prâmetros: X é o vlor d coordend reltvmente à orgem d áre ; Y é o vlor d coordend reltvmente à orgem d áre ; C é o comprmento d áre rectngulr ; L é lrgur d áre rectngulr Instlções Sob o ponto de vst dos PPLI s nstlções consttuem espços d plnt destndos os ms vrdos fns, como, por eemplo, os destndos contemplr prestção de servços (por eemplo, os servços dmnstrtvos), rmzéns e/ou processos produtvos. No conteto deste trblho têm um prtculr nteresse s nstlções que se relconm com o processo produtvo. Ests nstlções podem ser consttuíds por um smples estção de trblho, que se refere um máqun que, opconlmente, pode contemplr um pequen áre pr rmzenmento temporáro de mters, ou então por um colecção de estções de trblho. Um colecção de estções de trblho pode consttur-se, el própr, num subproblem de lout. Estes subproblems seguem um dos dversos tpos de lout de produção: de produto, de processo, de grupo ou híbrdo. Em tods s stuções dscutds consderm-se conhecds à prtd qus s nstlções onde ocorrem s operções, embor não se consdere que estm nstlções lterntvs pr s operções efectur. No sstem que qu se descreve podem ser consderds nstlções lterntvs pr s dferentes operções. As nstlções são grupds em clsses de nstlções de cordo com s operções que relzm. Um clsse de nstlções é o conunto ds dferentes nstlções que podem relzr s mesms operções e, por esse motvo, um nstlção é completmente dentfcd não só pelo seu nome ou códgo como pel su clsse. Cd nstlção é dentfcd por um conunto de propreddes que estão relconds com su form. Estem nd outrs propreddes reltvs à

7 4.1 Requstos de Informção pr Resolução de PPLI 89 cpcdde ds nstlções pr relzção de operções, ms ests relconm-se drectmente com o processo produtvo. A descrção de um nstlção tem, por consegunte, que tender que: T é clsse de nstlções ; NI é número de nstlções d clsse ; I u é nstlção u d clsse ; A u represent áre mínm necessár I u ; {RA u } é um conunto de vlores que dá o quocente entre lrgur e o comprmento de I u, em que cd um dos vlores é desgndo por rzão de specto 1 ; C u é o comprmento de I u ; L u é lrgur de I u ; F u é o vlor opconl d folg 2 de I u e represent dstânc mínm que s nstlções vznhs devem estr colocds (Fgur 4-2). Folg d Instlção Folg d Instlção Fgur 4-2: O mor vlor de folg de um pr de nstlções estbelece dstânc mínm que ests devem ser dsposts n plnt. Algums dests crcterístcs de um nstlção encontrm-se representds n 1 Est desgnção tem ver com su contrprtd em língu ngles e dd n form de spect rto. 2 Este vlor é referdo n ltertur em língu ngles como clernce.

8 90 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções Fgur 4-3. As relconds com o comprmento e lrgur ssm como relcond com o conunto de vlores d rzão de specto (RA), são equvlentes, sendo portnto redundntes. As epressões (4-1) e (4-2) permtem relconr estes vlores d rzão de specto com os vlores do comprmento e d lrgur d nstlção. L = RA A (4-1) u u u u A = C L (4-2) É clro que o se consderrem um conunto de vlores d RA então devem-se consderr tmbém város vlores pr C e pr L. Por outro ldo, qundo áre necessár pr s nstlções é f, bst pens conhecer os vlores de C ou de L, um vez que (4-2) permte clculr o outro vlor. Qundo form de um nstlção é conhecd à prtd, é sufcente conhecer o vlor do seu comprmento e d su lrgur, sendo pens necessáro decdr qul melhor orentção. Se os requstos de form de um nstlção são fleíves, então, e de um form gerl, devem ser fornecdos como ddos de entrd o conunto de vlores d RA e o vlor mínmo d áre necessár pr nstlção. Nest stução nteress escolher não só posção pr nstlção como tmbém qus são de fcto os melhores vlores pr o seu comprmento e lrgur. u Comprmento Folg Lrgur Áre Fgur 4-3: Apromção d form de um nstlção por um rectângulo. Gerlmente, o vlor d áre necessár e o conunto de vlores d RA (rzão entre lrgur e o comprmento) são sufcentes pr trtr tods s stuções, mesmo quels em que form d nstlção é f. Qundo form e orentção é

9 4.1 Requstos de Informção pr Resolução de PPLI 91 f é necessáro pens um vlor d RA. Se pens orentção é vrável então são necessáros dos vlores d RA, sendo um dos vlores o nverso do outro. N stução gerl são necessáros tntos vlores d RA qunto s forms possíves pr nstlção. A Tbel 4-1 mostr como é consttuído o conunto de vlores d RA qundo orentção ds nstlções n plnt são fs, vrável ou qundo possuem um form vrável. Ests stuções encontrm-se lustrds no eemplo presentdo n Tbel 4-2. Tbel 4-1: Grus de lberdde pr form ds nstlções. Form d nstlção Possblddes RA Orentção f 1 {v} Orentção vrável 2 1 {v, } v Form vrável N {v 1,..., v n} Tbel 4-2: Um eemplo de requstos de espço pr um totl de 24 nstlções correspondentes dez clsses (de nstlções). Instlção A B Áre L/C 2,5 0,36; 2, , ,33; 3,0 0,33; 3,0 0,33; 3,0 Folg Instlção C D E Áre L/C 0,2..5,0 0,2..5,0 0,5..1,2 0,5..1,2 0,8..1,2 0,8..1,2 Folg Instlção F G Áre L/C 0,9..1,5 0,9..1,5 0,625; 1,6 0,625; 1,6 0,5; 2,0 0,5; 2,0 Folg Instlção H I J Áre L/C 0,5; 1,0; 1,5 0,4; 2,5 0,75; 1, ,67; 1,5 0,67; 1,5 Folg

10 92 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções Produtos A rzão de ser de um compnh deve-se à estênc de um mercdo com petênc pr consumr um vsto e dversfcdo número de produtos, tendo est cpcdde pr stsfzer prte ou tods s necessddes do mercdo, num determndo ncho de produtos. Nest secção mostr-se como compnh poderá ver procur do mercdo pr os produtos que fbrc sob o ponto de vst do lout e como est procur fect o processo que ocorre n plnt que se pretende proectr. Um mercdo del pr um compnh é quele que regst um procur constnte o longo do tempo pr os produtos que est í coloc. No entnto, um mercdo destes não este, tendo compnh de se dptr às sus constntes mudnçs. Est stução mplc que o proecto de um nov fábrc, ou reformulção de um á estente, obrgue que se estme o volume d procur dos produtos durnte o tempo de vd útl d fábrc. O volume d procur é ddo pel quntdde de produtos de um ddo tpo produzr por undde de tempo. O conhecmento dos produtos que vão ser produzdos n nov fábrc é determnnte n escolh do processo usr. No entnto, é o volume prevsto de produtos produzr que determn cpcdde d plnt, condconndo tomd de decsões que fzem com que plnt se efcente n produção, nomedmente n escolh d melhor dsposção pr s nstlções no nteror d plnt. A escolh d melhor dsposção ds nstlções depende essenclmente do fluo de mters ou d frequênc de vgens efectuds pelo equpmento de trnsporte entre s nstlções, e este fluo depende por su vez ds quntddes produzr de cd produto. Pr clculr o fluo entre nstlções, é necessáro, pr lém do conhecmento do volume de produtos produzr, efectur decomposção dos produtos ns várs prtes que os compõem. É óbvo que est decomposção se lmt às prtes que são processds n plnt. Est decomposção dos produtos ns sus prtes é fet de

11 4.1 Requstos de Informção pr Resolução de PPLI 93 cordo com o Plno Necessddes de Mterl 3. Pr cd um dests prtes deve ser clculd quntdde necessár (vlor d procur d prte), sendo est proporconl o somtóro ds prtes que prtcpm em cd um dos produtos fns. Dest form, e de form ntern à plnt, os produtos fns e s prtes que prtcpm no fbrco dos produtos, são trtdos smplesmente por prtes. A nformção que descreve s prtes é dd n form: NP é o número de prtes processds n plnt; P k é prte k ; C k é cpcdde de produção pr prte k de cordo com estmtv d su procur; O kl é o número de ordem d operção l que se relz n nstlção d clsse, à prte k, n sequênc de operções Processo de Produção Conhecendo qus são s prtes fbrcr n plnt e qul quntdde produzd de cd um por undde de tempo, é necessáro conhecer sequênc ds operções pr determnr o fluo de mters entre s nstlções. A decomposção de todos os produtos ns sus prtes ms smples result em sequêncs de operções de vst às nstlções. A Tbel 4-3 mostr um eemplo smples onde se dentfc procur pr cnco prtes produzds n plnt e onde se descreve ordem de vst dests às clsses de nstlções onde são relzds s respectvs operções. Refr-se que nstlção concret de cd clsse de nstlções pr relzr s operções não é conhecd n fse de proecto de lout qundo estr ms do que um nstlção d mesm clsse. Pr especfcr s sequêncs de operções, tendo em cont complet decomposção dos produtos ns sus prtes ms smples, processds n plnt, os ddos em ogo são ddos n form: 3 Do termo em nglês Mterl Requrements Pln (MRP).

12 94 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções NO k é o número de operções relzr à prte k ; NO k é o número de operções relzr à prte k n nstlção d clsse ; O kl é o número de ordem d operção l que se relz n nstlção d clsse, à prte k, n sequênc de operções; {C ku } é um lst com vlores que representm o número de prtes k processds n nstlção u, d clsse, por undde de tempo; L k é o tmnho do lote de trnsporte d prte k ; T k é o vlor que dá o custo de trnsporte pr cd prte k. Este vlor pode ser um ddo qulttvo ou um ddo quntttvo, como por eemplo o tempo gsto por cd prte e por undde de dstânc. Tbel 4-3: Necessddes e sequênc de operções pr s prtes. Prtes Procur Instlções vstds Lote de Trnsporte Composção P1 800 A B D E F 16 - P2 400 B C G D I E 10 - P3 400 B G C F I J 10 2 P1 + 1 P2 P4 200 G B F A F 6 2 P3 P5 100 E B J H I 8 1 P3 O vlor do fluo entre s clsses de nstlções pode gor ser clculdo. A epressão (4-3) permte o cálculo do fluo pr um dd prte k entre s nstlções d clsse e. De notr que este vlor de fluo é dferente de zero, pens qundo os pres de operções consderdos correspondem operções consecutvs. O vlor totl do fluo entre s nstlções d clsse e pr tods s prtes, é ddo pel epressão (4-4). F k Tk Ck se Lk = 0 cso O kl O contráro kw = 1 (4-3)

13 4.1 Requstos de Informção pr Resolução de PPLI 95 NP k = F k= 1 1 f (4-4) Este cálculo dos vlores de fluo entre clsses de nstlções concde com o fluo entre nstlções pens qundo este um nstlção de cd clsse. Qundo este ms do que um nstlção d mesm clsse, é necessáro determnr como se dstrbu o fluo entre s dferentes nstlções. N fse do proecto de lout o encmnhmento de mterl não é completmente conhecdo, só podendo ser determndo num fse posteror de operção d plnt nstld, pós resolução de problems de esclonmento. Durnte est fse de dsposção ds nstlções n plnt só são conhecds qus s clsses de nstlções que um prte tem de vstr. Deste modo, consder-se que o fluo pr s nstlções d mesm clsse é proporconl à quntdde de prtes processds por cd nstlção e por undde de tempo. O fluo entre nstlção u d clsse e nstlção v d clsse, relcondo com prte k, é clculdo segundo epressão (4-5), sendo que C k e C k são dds pel epressão (4-6). Estes vlores C k e C k representm o número totl de prtes k processds em tods s nstlções d clsse e, respectvmente. O fluo totl de tods s prtes entre nstlção u d clsse e nstlção v d clsse, é então clculdo pel epressão (4-7). C C F k uv k uk vk = F (4-5) C k C k NI = C k C uk u= 1 (4-6) NP k uv = F uv k= 1 1 f (4-7) Os vlores de fluo que form referdos té o momento relconm-se pens com o trnsporte entre nstlções pr operções relzds à mesm prte. O trnsporte de subprtes pr um nstlção que relz um operção que grup subprtes num prte ms comple, não é drectmente trtdo (Fgur 4-4). Qundo o custo deste tpo de trnsporte não é desprezável é sempre possível consderr que últm operção de processmento de um subprte consste no seu

14 96 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções rmzenmento num ddo locl de rmzengem (nstlção), e que prmer operção de um prte que rá ncorporr subprtes consste em retrr s subprtes do rmzém. No entnto, nem sempre é possível efectur est promção e, como tl, é necessáro consderr nformção dconl que trte o fluo devdo à ncorporção de subprtes num prte ms comple. Est nformção dconl é dd n form: k é prte k que é compost por subprtes; NSP k é o número de subprtes que compõem prte k; {P l } é lst de subprtes que compõem prte k ; {q kl } é um lst de vlores, correspondendo cd um à quntdde de subprtes l que prtcpm n prte k. P1 P4 A B D E F G B F A F 2 P3 2 B G C F I J 1 1 B C G D I E E B J H I P2 P5 Fgur 4-4: Incorporção herárquc de subprtes em prtes ms comples ou mesmo em produtos fns. Com est nformção o cálculo do fluo resultnte d ncorporção num prte, de várs subprtes, é relzdo usndo epressão (4-8). O fluo totl, d ncorporção de tods s subprtes em tods s prtes, pode então ser clculdo usndo epressão (4-9). O conunto de todos os vlores de fluo entre todos os pres de nstlções, permte construr mtrz de fluo (4-10). F kl uv Tl = C L k l q 0 l C C uk k C C vk k se O ku = 1 e cso contráro O kv = NO l (4-8) NP NSP k 2 kl f = F (4-9) uv M uv uv k= 1 l {P l } f = f + f (4-10) 1 uv 2 uv

15 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 97 De referr que, qundo um prte é ncorpord num outr prte ou possvelmente em ms prtes, cpcdde (C k ), pr processr ess prte n plnt, deve ser cpz de stsfzer s necessddes desss prtes. Atendendo à form descrt de cálculo do fluo entre pres de nstlções, o custo de um solução, pr dsposção ds nstlções n plnt, é dd pel epressão (4-11), em que d é dstânc entre s nstlções e, sendo est dd usulmente, por um métrc eucldn ou rectlíne. Est dstânc depende, obvmente, do locl em que são colocds s nstlções. n 1 n NI NI M Custo = f d (4-11) = 1 = + 1 u= 1 v = 1 uv uv 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) Depos de estbelecer qus são os requstos de nformção pr resolução de PPLI e form como plnt, s nstlções e os processos são modeldos de cordo com os problems de lout, é necessáro defnr como este tpo de problems pode ser solucondo usndo PLR(DF) Vráves O resultdo d resolução de um PPLI consste, de um form smplfcd, n escolh do melhor locl pr posconr s dferentes nstlções n plnt. Este locl é especfcdo pels coordends crtesns ds nstlções reltvmente à plnt. O modelo usdo pr s nstlções ssume tmbém que ests possuem um form rectngulr. Est form rectngulr é conhecd prtr de vlores de comprmento e de lrgur, que como se referu, podem não ser constntes, o contráro do vlor d áre mínm que é sempre constnte. Deste modo, é tmbém necessáro determnr qus os melhores vlores pr o comprmento e pr lrgur. Como consequênc, resolução de PPLI requer qutro vráves de decsão pr cd nstlção, o que corresponde crr qutro vráves de domíno n PLR(DF). Reltvmente às coordends ds nstlções, é nd necessáro defnr qul o

16 98 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções ponto de referênc d nstlção. Normlmente, podem-se encontrr dus stuções. N prmer stução o ponto de referênc ds nstlções concde com o cnto nferor esquerdo, como nos trblhos devdos Hergu e Kusk (1991). N outr stução o ponto de referênc ds nstlções concde com o ponto centrl, sendo est v segud, por eemplo, por Montreul et l. (1993). A prmer stução fo tmbém segud nos trblhos á publcdos por Tvres et l. (1998; 1999; 1999b) n resolução de PPLI usndo PLR(DF). Nest tese opt-se por segur um promção em que o ponto de referênc ds nstlções concde com o ponto centrl ds mesms. Os modelos de PPLI, como os descrtos no cpítulo 2, consderm vráves de decsão que tomm vlores no conunto dos números res. N PLR(DF) s vráves de decsão podem tomr pens vlores num subconunto de números nteros. Os requstos de nformção dscutdos n secção 4.1 sugerem, por outro ldo, vráves de decsão com vlores res. É mportnte, por consegunte, ter em cont este specto, n medd em que é necessáro efectur conversão de vlores res pr vlores nteros, com consequente perd de precsão. Dependendo d precsão que se pretende, por vezes será necessáro fectr os vlores por um ddo fctor de escl, ntes de se efectur conversão. Reltvmente às coordends ds nstlções, o seu domíno tem de contemplr s dmensões d plnt, que como se referu possu um form rectngulr. Deste modo, o domíno ds coordends é condcondo pels restrções: X u 0.. C-1 (4-12) Y u 0.. L-1 (4-13) em que: X u represent coordend d posção d nstlção u d clsse ; Y u represent coordend d posção d nstlção u d clsse ; C é o comprmento do rectângulo que envolve plnt; L é lrgur do rectângulo que envolve plnt. Como se consder que o ponto centrl ds nstlções concde com o seu

17 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 99 ponto de referênc, pens metde do comprmento e d lrgur ds nstlções necesstm de serem consderdos, como contece no modelo proposto por Montreul et l. (1993). Atendendo os requstos de nformção á referdos, podem-se dentfcr três stuções: o comprmento e lrgur d nstlção são conhecdos, sendo pens necessáro escolher su melhor orentção n plnt; é especfcd áre mínm e um ntervlo de vlores d RA pr form d nstlção (rzão de specto); é especfcd áre mínm e um conunto dscreto de vlores pr form d nstlção. N prmer stução trt-se orentção d nstlção de um form mplíct. O domíno ds vráves ssocds o comprmento e à lrgur d nstlção possu no mámo dos vlores. Qundo os vlores do comprmento e d lrgur são gus, então o domíno ds vráves que lhes está ssocdo é crdo com um só vlor e, portnto, ests fcm nturlmente nstncds. No cso gerl, em que o vlor do comprmento é dferente do d lrgur, o domíno ds respectvs vráves é ddo n form: C u [c u, l u] (4-14) L u [c u, l u] (4-15) onde C u é vrável de domíno que represent metde do vlor do comprmento d nstlção u d clsse ; L u é vrável de domíno que represent metde do vlor d lrgur d nstlção u d clsse ; c u é metde do vlor do comprmento d nstlção u d clsse ; l u é metde do vlor d lrgur d nstlção u d clsse. Se os vlores c u e l u não são gus, então deve ser dcond restrção (4-16), com o obectvo de se ssegurr que nstlção não terá um form qudrd, e

18 100 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções com um áre dferente d necessár. C u L u (4-16) Reltvmente à segund stução, em que se pretende encontrr qul melhor form pr nstlção prtr de conunto de forms possíves, ddo sob form de um ntervlo, às vráves de domíno pr o comprmento e lrgur ds nstlções são ssocds s restrções: C c.. cs (4-17) u u u L l.. ls (4-18) u onde: c u é o vlor mínmo do domíno pr vrável que represent metde do comprmento d nstlção u d clsse ; l u é o vlor mínmo do domíno pr vrável que represent metde d lrgur d nstlção u d clsse ; cs u é o vlor mámo do domíno pr vrável que represent metde do comprmento d nstlção u d clsse ; ls u é o vlor mámo do domíno pr vrável que represent metde d lrgur d nstlção u d clsse. O cálculo dos vlores c u, l u, cs u e ls u é efectudo consderndo epressões smlres às epressões (4-1) e (4-2). Como o conunto de vlores RA u é ddo sob form de um ntervlo de vlores, estes qutro vlores c u, l u, cs u e ls u, que defnem os lmtes dos domínos pr s vráves C u e L u (denotr que há rredondmentos 4 que se têm de efectur) são ddos pels epressões seguntes: u 4 Os rredondmentos podem ser fetos tnto pel função tecto, que retorn o menor vlor ntero superor ou gul, ou pel função chão, que retorn o mor vlor ntero nferor ou gul

19 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 101 mn{ra u} Au l u = (4-19) 2 m{ra u} Au ls u = (4-20) 2 A 1 u m{rau} c u = 2 (4-21) A 1 u mn{rau} cs u = 2 (4-22) Após defnção dos domínos pr s vráves L u e C u, é nd necessáro ter em cont restrção: 4 C u L u = A u (4-23) que ssegur que áre mínm d nstlção é consderd. Est restrção (4-23) é um restrção com termos não lneres, ddo que é dd por um produto entre dus vráves de domíno. Este fcto contrbu pr que propgção d restrção, efectud por um met-nterpretdor de PLR(DF) n resolução de problems, nem sempre se melhor. Verfc-se que n mor prte dos met-nterpretdores de PLR(DF) s restrções com termos não lneres presentm um quldde de propgção ms frc que s restrções que possuem pens termos lneres. Um specto mportnte que se deve relçr com mplcções n form ds nstlções, qundo est é determnd prtr de um ntervlo de vlores d RA, relcon-se com o domíno ds vráves que ssnlm o comprmento e lrgur ds nstlções. Consderndo restrção (4-23) e o fcto de que n PLR(DF) os domínos são consttuídos por ntervlos ou conuntos de vlores nteros, pens lguns vlores do domíno ncl ds vráves relconds com o comprmento e lrgur ds nstlções são consderdos. Como consequênc pens lgums

20 102 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções soluções são vlds pr escolh d melhor form ds nstlções. Pr lustrr est dscretzção d form ds nstlções consdere-se, por eemplo, um ds nstlções d clsse C d Tbel 4-1. Est possu como requstos um áre de 3000 unddes e dmte forms com um RA que v de 0,20 té 5,0. A Tbel 4-4 mostr os vlores pr os lmtes do domíno ds vráves que denotm o comprmento e lrgur d nstlção consderndo esclonmentos de 1 e 10. Tbel 4-4: Lmtes pr o domíno ds vráves ssocds o comprmento e lrgur dum nstlção d clsse C. Escl l u ls u c u cs u 1:1 12 (12,247) 62 (61,237) 12 (12,247) 62 (61,237) 10:1 122 (122,474) 613 (612,372) 122 (122,474) 613 (612,372) Ddo que s vráves de domínos fntos pens podem tomr vlores dscretos (ntervlo de vlores nteros), pens lgums forms pr s nstlções são válds. Pr um fctor de escl de 1 são possíves qutro forms, como se mostr n Tbel 4-5 e n Fgur 4-5, enqunto com um fctor de escl de 10 são possíves oto forms (Tbel 4-6). Fgur 4-5: Qutro possblddes pr form de um nstlção cuos vlores do comprmento e d lrgur podem vrr entre 12 e 62. Tbel 4-5: As dmensões possíves pr um dd nstlção. Áre = 3000 C L

21 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 103 Tbel 4-6: As dmensões possíves pr um dd nstlção. Áre = C L Fnlmente, qundo os vlores RA u são fornecdos sob form de um conunto de vlores, é necessáro consderr, n defnção dos domínos pr C u e L u, cd um ds forms do conunto. Pr sso, em função d áre e do conunto de forms, elbor-se um conunto com todos os comprmentos possíves pr nstlção ({c u }) ssm como um outro com tods s lrgurs correspondentes ({l u }). Com o conunto de vlores de comprmento e o conunto de vlores de lrgur são colocds s restrções (4-24) e (4-25). Ests restrções 5 permtem estbelecer um dependênc funconl entre os vlores de comprmento e os vlores de lrgur de um nstlção pelo uso d vrável de domíno ulr I u, e, como tl, ordem dos vlores no conunto é mportnte. element(i u, {c u }, C u ) (4-24) element(i u, {l u }, L u ) (4-25) Pr o cálculo de cd pr comprmento-lrgur é necessáro consderr s questões de rredondmento e que os vlores reter são metde do vlor totl do comprmento e d lrgur ds nstlções. Pr cd um ds forms d nstlção, o rredondmento pode ser ddo trvés do lgortmo: 1. determnr os vlores ds epressões (4-26), (4-27), (4-28) e (4-29) que denotm os vlores nteros (mínmos e mámos) ms prómos do vlor 5 A restrção element/3 fo á descrt n secção

22 104 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções rel do comprmento e d lrgur d nstlção; 2. pr cd combnção possível dos vlores ds epressões referds em 1 (l c), clculr áre d nstlção; 3. escolher combnção de vlores que dá menor áre que é porem superor à áre mínm trbuíd à nstlção correspondente. + RAu Au l u = (4-26) 2 RAu Au l u = (4-27) 2 A 1 u + RAu c u = 2 (4-28) A 1 u RAu c u = 2 (4-29) Pr lustrr construção dos domínos ds vráves que denotm o comprmento e lrgur de um nstlção qundo su form é dd sob form de um conunto dscreto de vlores de RA, consdere-se, como eemplo, nstlção d clsse H (Tbel 4-1). Est possu como requstos um áre de 2800 unddes e dmte três forms {0,5; 1,0; 1,5}. Consderndo os cálculos ndcdos n Tbel 4-7, e de cordo com o crtéro referdo, os vlores escolhdos pr o domíno ds vráves são queles que n tbel surgem negrto. O domíno dests vráves é então especfcdo com s restrções lustrds pelo segmento de códgo segunte: element( I, [18, 26, 32], L ), element( I, [39, 27, 22], C ) O domíno ds vráves que representm s coordends, defndos por (4-12) e (4-13), não sufcentes pr mpedr que prte do espço ocupdo por cd um ds nstlções não pertenç à plnt. Pr que s nstlções sem posconds dentro d plnt devem ser consderds s vráves de decsão C u e L u (comprmento e

23 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 105 lrgur). Dest form, devem ser consderds s seguntes restrções: X u C u (4-30) X u + C u C (4-31) Y u L u (4-32) Y u + L u L (4-33) Tbel 4-7: Escolh dos vlores pr o domíno ds vráves correspondentes o comprmento e à lrgur de um nstlção. Form l u + l u - c u + c u - Áre , , , Fnlmente, rest referr que s áres que não pertencem à plnt, qundo est possu um form rel que não é rectngulr, não são trtds com form como se crcterzou os domínos ds vráves de decsão efectud nest secção. Ests áres serão ecluíds ds possíves soluções pr o problem, prtr d utlzção de um tpo especfco de restrções, que será borddo n secção segunte Restrções N resolução de um PPLI, s nstlções devem ser dsposts n plnt de modo

24 106 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções stsfzer determnds restrções. Algums dests restrções são comuns pr tods s nstâncs do problem, tl como é o cso ds restrções que mpedem que s nstlções se sobreponhm no espço que ocupm n plnt. Há outrs restrções como s que devem trduzr s especfcddes e requstos de cd nstânc prtculr do problem. Estes requstos específcos podem-se crcterzr em restrções tecnológcs, geométrcs, espcs, mbents e estrtégcs, entre outrs, e devem ser ndcds pelo proectst o sstem 6. É nd possível consderr um tercero grupo de restrções que podem drgr o processo de procur ds melhores soluções. Ests restrções podem trduzr tnto prtculrddes do problem em nálse, como eperênc dos pertos. De modo trtr s ms vrds nstâncs de PPLI, tendo em cont s três ctegors de restrções dscutds, e em especl s relconds com especfcdde de cd nstânc do problem, fo dentfcdo um conunto de restrções tpo. Consderndo que os PPLI têm como obectvo obter soluções pr rrnos espcs de nstlções, ests restrções são fundmentlmente restrções geométrcs, sendo presentds segur: Não sobreposção; ou se, s nstlções dsposts n plnt não se devem sobrepor; Vznhnç; ou se, dsposção de dus nstlções n plnt deve ser fet de modo que ests fquem ldo ldo; Dstânc; ou se, há que ssegurr que s nstlções sem posconds de cordo com um dd relção de dstânc ou que um dd nstlção se poscond um dd dstânc de um ddo ponto. Por eemplo, se se tem um stução em que um determnd nstlção precs de operr num mbente de tempertur controld, não necessrmente comptível com o de outrs nstlções que de outr form poderm ser colocds n vznhnç; Posção bsolut; ou se, tem que ser possível forçr que um dd 6 Neste conteto entende-se por sstem um ou ms procedmentos computcons bsedos n tecnolog ds restrções destnd soluconr PPLI.

25 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 107 nstlção se poscond dentro ou for de um determnd áre d plnt. É ssm possível reservr espços pr dferentes propóstos, como, por eemplo, pr escrtóros ou rmzéns. Est restrção é tmbém usd pr mpedr que s nstlções sem colocds em áres que não pertencem à plnt, qundo est não é rectngulr; Posção reltv ; ou se, stução que envolve sempre dus nstlções e permte trtr stuções do tpo dspor nstlção A à dret d nstlção B. Há qutro possblddes pr estes tpo de restrção: à dret de, à esquerd de, à frente de e trás de. Orentção; ou se, medd que é usd pr restrngr orentção dum nstlção n plnt, ou pr ssegurr um relção de orentção entre dus nstlções, sto é, dus nstlções devem ter mesm orentção ou orentção dferentes. Um nálse ms detlhd deste tpo de restrções, nomedmente no que se refere às relções que estbelecem entre s dferentes vráves do problem, é dd ns subsecções seguntes. A notção segud pr descrção ds restrções é um versão smplfcd d mencond nterormente que não consder s clsses de nstlção, ntes s trtndo sem dstngur que clsse cd um pertence. Impedr Sobreposção de Instlções Como se referu, restrção que estrá sempre presente, é quel que mpede sobreposção ds nstlções n plnt. A consderção dest restrção pr todos os pres de nstlções possíves, ssegur gerção de soluções em que s nstlções não se sobrepõem, com pens um smples procedmento de etquetgem de tods s vráves do problem. A nomeção dest restrção é fet consderndo dus nstlções, nstlção e nstlção, e é colocd pr todos os pres possíves de nstlções. Pr lém ds vráves de domíno relconds com s coordends, comprmento e lrgur, deve-se nd consderr o espço de folg de cd nstlção, como lustr Fgur 4-6. N su form ms smples est restrção é dd por (4-34), sendo o vlor de f

26 108 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções ddo pel epressão (4-35). De um form semelhnte à restrção (3-10) do problem dos qudrdos perfetos, est restrção f que nstlção deve estr ou à esquerd, ou à dret, ou à frente ou trás d nstlção. ( + c + f c ) ( + c + f c ) ( + l + f l ) ( + l + f l ) ( f, f ) (4-34) f = m (4-35) Um lterntv pr formulção d restrção de não sobreposção pss por se usrem qutro novs vráves (boolens). N reldde, usndo PLR(DF), ests são vráves cuo domíno é ddo pelo conunto {0,1}. A restrção é então dd pels produções (4-36) (4-40). Est v pr restrção de não sobreposção, permte elmnr s dsunções, que usulmente dão orgem um propgção de por quldde. Fgur 4-6: Dsposção de dus unddes de produção ldo ldo, tendo em cont s sus folgs. ( b = + c + f c ) ( b = 0 + c + f > c ) 1 (4-36) ( b = + c + f c ) ( b = 0 + c + f > c ) 1 (4-37) ( b = + l + f l ) ( b = 0 + l + f > l ) 1 (4-38) ( b = + l + f c ) ( b = 0 + l + f > l ) 1 (4-39) 1 b + b + b + b 2 (4-40)

27 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 109 Embor est últm formulção d restrção não sobreposção preç à prtd ms comple, pode, no entnto, ser ms efcente em termos de propgção. Recorde-se que o met-nterpretdores d PLR(DF) são ncompletos e, portnto, forms dferentes de especfcr mesm restrção podem orgnr um quldde d propgção bstnte dvers. Adconlmente, usndo um bo heurístc pr escolh d ordem ds vráves nstncr no procedmento de etquetgem ds vráves de domíno, que nclu s vráves boolens referds em epígrfe podem-se obter gnhos computcons sgnfctvos. Dstânc A restrção de dstânc envolve o cálculo d dstânc entre um pr de nstlções ou o cálculo d dstânc de um nstlção um ponto. A colocção dest restrção cr um nov vrável de domíno, que denot dstânc entre dus nstlções ou dstânc de um nstlção um ponto. O domíno dest vrável é ddo pelo ntervlo de vlores que dstânc pode tomr cd momento. Um specto mportnte qu consderr tem ver com métrc utlzd. Ds dverss lterntvs que se poderm vsonr, e por rzões de smplcdde, são equconds pens s métrcs rectlíne e eucldn. A determnção de um dstânc entre nstlções envolve normlmente o cálculo do vlor bsoluto d dferenç entre dos vlores, especlmente no que se refere à métrc rectlíne. Por este motvo, é necessáro defnr um restrção módulo ou vlor bsoluto d dferenç entre dos vlores. A formulção dest restrção é dd pels epressões (4-41), (4-42) e (4-43): + + ( b u) ( b v ) + ( b v ) ( b u) u v = + + ( b = u v ) ( b = 0 u < v) (4-41) 1 (4-42) ( b = u < v ) ( b = 0 u v) 1 (4-43) Dstânc entre Pres de Instlções Por vezes é deseável, ou mesmo necessáro, que dus nstlções sem

28 110 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções dsposts de form que estem um cert dstânc. Est stução pode ocorrer, por eemplo, qundo lgums nstlções precsm de operr num mbente de tempertur controld, o que não é comptível com operção de outrs que poderm ser dsposts n vznhnç. Est stução de ncomptbldde obrg que se posconem s nstlções um dstânc entre els, que se mor possível. Pr formulr restrção de dstânc entre dus nstlções, pr lém d escolh d melhor métrc, é necessáro defnr um referencl. Ds dus stuções que são consderds, prmer consder que dstânc é medd reltvmente o centro ds nstlções, enqunto que n segund stução dstânc é medd reltvmente à perfer ds nstlções. A Fgur 4-7 mostr como é medd dstânc, consderndo o centro ou perfer como referênc. dc dl dl dc Fgur 4-7: Dstânc entre dus nstlções segundo cd um dos eos coordendos e consderndo como referênc o seu centro ou su perfer. Começndo pel prmer stução, relção de dstânc reltvmente o centro ds nstlções é ms smples de estbelecer. As produções (4-44) e (4-45) estbelecem relção de dstânc segundo cd um dos eos coordendos. A produção (4-46) estbelece relção de dstânc reltvmente o centro d nstlção usndo um métrc rectlíne, enqunto que produção (4-47) estbelece

29 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 111 mesm relção de dstânc usndo um métrc eucldn. dc = (4-44) dc = (4-45) dc = dc + dc (4-46) dc dc = dc dc + dc dc (4-47) N segund stução, relção de dstânc reltvmente à perfer ds nstlções é lgermente ms comple de estbelecer. A dstânc à perfer consder s dstâncs medds reltvmente os ldos ms prómos de cd um ds nstlções que se presentm prlelos entre s, bem como o comprmento e lrgur dests. Pr melhor compreender em que consste est form de cálculo de dstânc, bem como est pode ser relzd, consdere-se o eemplo d Fgur 4-8, que mostr três possíves forms de dsposção de dus nstlções. N prmer stução nstlção está completmente à esquerd d nstlção, e n segund stução nstlção está completmente à dret d nstlção, e portnto, dstânc segundo é dferente de zero. N tercer stução dstânc em é zero porque nenhum ds nstlções está completmente à esquerd ou completmente à dret d outr. Um nálse smlr pode ser efectud pr s dstâncs em. () (b) (c) Fgur 4-8: Posções reltvs determnntes pr o cálculo d dstânc reltvmente à perfer. Nos csos () e (b) dstânc é som ds dstâncs em e em, enqunto no cso (c) dstânc totl é gul à dstânc em. Fce o eposto, pode-se dzer que dus nstlções estão seprds em se um está dspost completmente à esquerd ou completmente à dret d outr. De gul modo dus nstlções estão seprds em, se um está dspost

30 112 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções completmente à frente ou completmente trás d outr. Pr estbelecer est relção de dstânc consdere-se, em prmero lugr, dstânc em e em, ndependentemente de s dus nstlções estrem seprds em e em. Ests dstâncs são dds, respectvmente, pels produções (4-48) e (4-49). dl = c c (4-48) dl = l l (4-49) Pr clculr dstânc totl entre dus nstlções é necessáro consderr dus vráves boolens, um que determn se s nstlções estão seprds em e outr que determn se estão seprds em. As produções (4-50) e (4-51) dão, respectvmente, corpo ess pretensão. ( b = 1 ( + c < c ) ( c > + c ) ( b = 0 ( + c c ) ( c + c ) ( b = 1 ( + l < l ) ( l > + l ) ( b = 0 ( + l l ) ( l + l ) (4-50) (4-51) A prtr do conhecmento ds dstâncs em e em, ssm como dos respectvos vlores de seprção, é possível clculr dstânc entre dus nstlções. A produção (4-52) estbelece relção de dstânc reltvmente à perfer, usndo um métrc rectlíne e produção (4-53) estbelece mesm relção de dstânc, usndo um métrc eucldn. ( b dl ) + ( b dl ) dl = (4-52) ( b dl dl ) + ( b dl dl ) dl dl = (4-53) Dstânc um Ponto Tl como fo consderd dstânc entre dus nstlções, é possível consderr dstânc do centro d nstlção um ponto, ou dstânc d su perfer um ponto.

31 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 113 Começndo-se por consderr-se o centro d nstlção como o ponto de referênc pr medd de dstânc um ponto p( p, p ), tem-se que s dstâncs em e em são dds, respectvmente, pels produções (4-54) e (4-55). dc p = (4-54) p dc p = (4-55) p A dstânc em lnh rect é então dd pel equção (4-56), enqunto que dstânc eucldn é dd pel equção (4-57). p p dc = dc + dc (4-56) p p p ( dc dc ) + ( dc dc ) dc dc = (4-57) p p O cálculo d dstânc de um nstlção um ponto p( p, p ), tendo como referênc perfer d nstlção, é obtd trvés do cálculo d dstânc em e em, em termos ds produções (4-58) e (4-59). p p dl p = c (4-58) p dl p = l (4-59) p Tmbém neste cso é usd um form de seprção, que vem n lnh d seprção entre dus nstlções. Aqu seprção é entre um nstlção e um ponto. As produções (4-60) e (4-61) permtem obter, respectvmente, o vlor de seprção em e em. ( bp = 1 ( + c < p ) ( c > p ) ( b = 0 ( + c ) ( c ) p ( bp = 1 ( + l > p ) ( l < p ) ( b = 0 ( + l ) ( l ) p p p p p (4-60) (4-61) As dstâncs rectlíne e eucldn entre perfer d nstlção e o ponto p, são então dds pels equções (4-62) e (4-63). ( b dl ) + ( b dl ) dl = (4-62) p p

32 114 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções ( b dl dl ) + ( b dl dl ) dl dl = (4-63) p p Vznhnç de Instlções Em lgums stuções é deseável dspor dus nstlções ldo ldo. Um stução deste tpo pode surgr qundo este um grnde fluo de mters entre s dus nstlções. Refr-se que, qunto menor for dstânc percorrd no trnsporte de mterl, menor é o custo de operção. Epressr este fcto, pelo recurso restrções, permte potencr um redução sgnfctv do espço de soluções. Um restrção cu fnldde se de mpor que dus nstlções sem dsposts n plnt o ldo um d outr, permte que ests stuções sem trtds. No entnto, pode contecer que dsposção de lgums nstlções ldo ldo não se só deseável, como se um requsto do problem, que necesst de ser trtdo pelo proectst do lout. O uso dests restrções requer, no entnto, um utlzção ponderd e crteros por prte do proectst, ddo que pode trnsformr o problem orgnl num novo problem pr o qul não é possível encontrr qulquer tpo de soluções. A restrção de vznhnç que qu é mencond surge sob dus forms. A prmer f pens que dus nstlções devem ser dsposts ldo ldo. A segund é um form ms restrt d prmer, sendo desgnd por restrção de dcênc. No que se refere à prmer form d restrção de vznhnç, est é dd pel produção (4-64). Note-se que s questões reltvs à sobreposção á se encontrm ssegurds, pel restrção de não sobreposção, ddo que est últm está sempre presente, qulquer que se o problem. ( + c + f c ) ( + c + f c ) ( + l + f l ) ( + l + f l ) (4-64) Qunto à restrção de dcênc, est é, como se referu, um versão ms restrt d restrção de vznhnç. Tl como restrção de vznhnç, est mpõe que dus nstlções devem ser vznhs. Não entnto, o gru de vznhnç é ms forte, obrgndo que s nstlções sem dsposts n plnt de tl form que os

33 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 115 centros geométrcos ds nstlções fquem um dstânc mínm. A Fgur 4-6 mostr um cso que stsfz um restrção de vznhnç, ms não stsfz um restrção de dcênc, o contráro do eemplo lustrdo n Fgur 4-9, que stsfz mbs s restrções. Est restrção de dcênc pode ser formuld em termos d produção (4-65) em que função m() dá o mor vlor do domíno de.. Fgur 4-9: Um eemplo de dsposção de dus nstlções que stsfzem restrção de dcênc. = c = m + l + f = l + l + f = l ( c ) c = m( c ) = l = m( l ) l = m( l ) + c + c + f + f = = c c (4-65) Um form lterntv pr equconr restrção de dcênc us vráves boolens e recorre o operdor de crdnldde. Est form lterntv é dd em termos ds produções (4-66) (4-73). ( b,[ c = m( c ) c m( c )], b ) # = = (4-66) + ( b,[ + l + f = l ], b ) # ( b,[ + l + f = l ], b ) # ( b,[ l = m ( l ) l m ( l )], b ) (4-67) (4-68) # = = (4-69) + ( b,[ + c + f = c ], b ) # ( b,[ + c + f = c ], b ) # (4-70) (4-71)

34 116 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções + + b + b + b + b = 1 (4-72) b + b = 1 (4-73) Posção ds Instlções Dos tpos de restrções relcondos com posção de nstlções podem ser defndos. Um prmero tpo, desgndo por restrções de posção bsolut, mpõe que s nstlções sem dsposts em locs ou áres específcs d plnt. O outro tpo, desgndo por restrções de posção reltv, permte relconr posção dum nstlção com d outr. Posção Absolut As restrções de posção bsolut permtem não só obrgr à dsposção ds nstlções em determnds áres d plnt, ou então, eclur esss áres d plnt dos locs possíves pr dsposção ds nstlções. Um stução á referd, que us este tpo de restrções, ocorre qundo plnt é envolvd por um rectângulo. As áres que n reldde não pertencem à plnt são ecluíds com recurso ests restrções. A restrção de posção bsolut ms smples é quel que obrg que o ponto centrl de um nstlção concd com um determndo ponto p( p, p ) d plnt. A trdução deste fcto é ddo pel produção (4-74). = = (4-74) p p A equção (4-74) é um versão smplfcd de um restrção que obrg dsposção de um nstlção dentro de um determnd áre (,, c, l ), em que e representm s coordends do ponto centrl dess áre e c e l são, respectvmente, metde do seu comprmento e metde d su lrgur. A restrção que mpõe que um nstlção se poscond dentro dum determnd áre é dd pels produções (4-75) e (4-76). ( c c ) ( + c + c ) (4-75)

35 4.2 Resolução de PPLI Recorrendo à PLR(DF) 117 ( l l ) ( + l + l ) (4-76) Outr restrção que obrg à dsposção ds nstlções em áres específcs d plnt, é quel que eclu esss áres. Um form smples de colocr est restrção pss pel produção (4-77), que obrg que nstlção se poscond for d áre (,, c, l ). ( + c < c ) ( c > + c ) ( + l < l ) ( l > + l ) (4-77) Est fórmul pode ser modfcd de modo remover s dsunções em (4-77) pelo uso de vráves boolens. A su utlzção dá orgem o precmento ds produções (4-78) (4-82). ( b = + c < c ) ( b = 0 + c c ) 1 (4-78) ( b = c > + c ) ( b = 0 c + c ) 1 (4-79) ( b = + l < l ) ( b = 0 + l l ) 1 (4-80) ( b = l + c ) ( b = 0 l + l ) 1 (4-81) 1 b + b + b + b 2 (4-82) Posção Reltv A colocção de restrções de posção reltv envolve sempre dus nstlções. São possíves qutro restrções de posção reltv: à frente de, trás de, à esquerd de e à dret de. A formulção dests restrções é bstnte smples. No entnto, é necessáro dstngur stuções de posção reltv do tpo prcl e complet. N prmer stução pens s vráves reltvs às coordends ntervêm, enqunto n segund stução, pr lém ds coordends, tmbém prtcpm s vráves reltvs o tmnho ds nstlções. A formulção de que nstlção deve ser dspost à dret, esquerd, à frente ou trás de de um form prcl é dd, respectvmente, pels produções (4-83), (4-84), (4-85) ou (4-86).

36 118 Modelo pr Resolução de Problems de Lout de Instlções com Tecnolog ds Restrções > (4-83) < (4-84) > (4-85) < (4-86) De gul form, formulção de que à nstlção deve se dspost à dret, esquerd, à frente ou trás de, de um form complet é dd, respectvmente, pels produções (4-87), (4-88), (4-89) ou (4-90). c > + c (4-87) + c < c (4-88) l > + l (4-89) + l < l (4-90) Orentção ds Instlções Em últmo lugr surgem s restrções que lmtm orentção ds nstlções. As restrções de orentção podem ser restrções de orentção bsolut, envolvendo pens um nstlção, ou então são restrções de orentção reltv, neste cso envolvendo pelo menos dus nstlções. No que se refere às restrções de orentção bsolut, dz-se que um nstlção está dspost de um form prlel o eo dos, se o seu comprmento for superor à su lrgur. De gul modo, dz-se que um nstlção está dspost prlelmente o eo dos, se o seu comprmento for nferor à su lrgur. Recorrendo vráves boolens é possível formulr ests dus stuções com s produções (4-91) e (4-92), respectvmente. Ests restrções são bdreccons, no sentdo em que é possível mpor um dd orentção, trvés d vrável boolen e, por outro ldo, sber qul orentção d nstlção pel consult ds vráves boolens.