CAP. VI Integração e diferenciação numéricas. 1. Introdução

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1 CAP. VI Integrção e dferencção numércs. Introdução Se um função f é contínu num ntervlo [ ; ] e é conecd su prmtv F, o ntegrl defndo dquel função entre e pode clculr-se pel fórmul fundmentl do cálculo ntegrl: I f d F F. 6. No entnto, em mutos csos, o processo nteror pode ser compleo ou mesmo não ser possível de relr porque é mpossível encontrr um prmtv de f epress nltcmente, ou f pode pens ser conecd num número fnto de pontos como, por eemplo, no cso de ddos eperments. Em qulquer dos csos é mprescndível oter métodos numércos, pr um cálculo promdo de 6.. A ntegrção numérc de um função permte o cálculo de um promção do ntegrl defndo epresso em 6. com se em pens lguns vlores d função ntegrr. A técnc normlmente utld consste em susttur função ntegrnd f por outr, g, que prom f no ntervlo [ ; ], e sej ms fclmente ntegrável, e estelecer f d g d. Os polnómos consttuem promções roáves e são de fácl ntegrção. Estes fctos justfcm grnde mportânc dos polnómos no âmto dos métodos numércos. Estem númers póteses de ntegrção numérc, e serão vsts neste cpítulo três forms de o fer, tods els pertencendo o grupo ds Págn de Integrção e Dferencção Numércs

2 fórmuls de Newton-Côtes que empregm vlores de f, onde os vlores de são gulmente espçdos. Serão estudds regr dos trpéos e ª e ª regrs de Smpson, Pr otenção ds fórmuls de Newton-Côtes, é utldo o polnómo nterpoldor de Gregor-Newton: Pn!! n... n n! onde. Apromndo função f em 6. pelo polnómo de Gregor-Newton, e ntegrndo-o, oter-se-ão s fórmuls de Newton-Côtes.. Regr dos trpéos No cso ms smples de ntegrção de Newton-Côtes, função f é promd pel rect que une os pontos, f e, f. Geometrcmente regr trpeodl prom áre so curv de f mednte áre de um trpéo. O erro será ddo pel áre que fc entre s dus curvs. Anltcmente Pr determnr regr dos trpéos consder-se o polnómo de Gregor- Newton de gru, ou sej, rect. Fendo n em 6. e susttundo em 6. tem-se: I f d P d d. Págn de Integrção e Dferencção Numércs

3 Como temos que dd. Efectundo um mudnç no ntervlo de ntegrção, sto é, pssndo do ntervlo [, ] pr o ntervlo [, ] tem-se: Ou sej, Ms, I d d. então, I I, 6. que é fórmul dos trpéos ou regr dos trpéos. Erro de Trunctur A dferenç entre o ntegrl ecto de f áre so curv de f e o ntegrl promdo é o erro de ntegrção. Tl erro é devdo o erro de trunctur cometdo n promção d função ntegrnd pelo polnómo de Gregor-Newton. Pr determnr este erro st ntegrr o erro de trunctur do polnómo nterpoldor. Tem-se que f '' ξ E T <!, < ξ Págn de Integrção e Dferencção Numércs

4 Então, E f '' ξ d f '' ξ d!! f ''! E ξ E f '' ξ! E O erro de trunctur é então ddo por: E f '', ξ f '' ξ 6 E f '' ξ, ξ. 6. ξ ou Nots:. Se f ξ> tem-se um erro por ecesso e se f ξ< tem-se um erro por defeto.. Pelo fcto de o erro depender d ª dervd de f, conclumos que o erro é ero se f fôr um polnómo de gru, sto é, regr dos trpéos ntegr, de form ect, polnómos de gru. Fórmul Compost A equção 6. mostr que o erro d fórmul dos trpéos é proporconl f pens se nul qundo f se nul,.e., qundo f for lner e dmnu proporconlmente qundo - é pequeno. No cso de - não ser sufcentemente pequeno o erro de ntegrção E pode não stsfer precsão desejd. Pr dmnur o erro pode-se Págn de Integrção e Dferencção Numércs

5 sudvdr o ntervlo ncl [ ; ] em n suntervlos [ ; ] de mpltude constnte e plcr fórmul 6. cd suntervlo. n Tem-se então que I... n n I... n n I... n n, que é regr dos trpéos compost. Erro de Trunctur O erro totl cometdo é som dos erros cometdos n plcção d fórmul dos trpéos cd suntervlo. EE E...E n-, onde E é o erro cometdo o plcr regr dos trpéos em cd suntervlo [ ; ], ou sej, E f '', ξ ξ. n Tem-se então que E f '' ξ. Como f é contnu este ξ, tl que nf '' ξ f '' ξ. n Ou sej, tem-se, n E f ''ξ, ξ. Como E f ''ξ, ξ. n n Págn 5 de Integrção e Dferencção Numércs

6 Como o erro é nversmente proporconl o qudrdo de n, o erro tende pr ero à medd que o número de suntervlos ument. Eemplo : Utlndo regr dos trpéos compost e consderndo ses suntervlos clcule I.6. d.6. Utlndo ses suntervlos temos:.. 6 Ou sej, Então, I 5. I.6768 I Vlor ecto do ntegrl:.6. 6 I d ln.8... Págn 6 de Integrção e Dferencção Numércs

7 Págn 7 de Integrção e Dferencção Numércs O erro cometdo no cálculo numérco do ntegrl é: Erro Regrs de Smpson N tenttv de melorr promção trpeodl poder-se-á utlr polnómos de ordem superor. As regrs de Smpson otêm-se promndo função f por polnómos nterpoldores de gru superor ou gul. Assm, se se utlr um polnómo nterpoldor de Gregor-Newton de gru dos, P, pr promr f,.e.,! P f tem-se que d d P d f I!. Efectundo um mudnç de vrável tem-se que: dd, e lém dsso, Ou sej, d d I!!! I 8 I.

8 Ms, então,, I I que não é ms do que fórmul de Smpson smples ou regr de Smpson smples. Enqunto regr trpeodl prom, em cd ntervlo de mpltude, áre so curv f pel áre de um trpéo, regr de Smpson utl áre so um práol pr promr áre so curv em dos ntervlos djcentes. Erro de Trunctur Tl como pr regr dos trpéos, pr determnr o erro cometdo o utlr regr de Smpson, st ntegrr o erro de trunctur d promção polnoml. f ''' ξ Tem-se que E T, < ξ <.! Assm, o erro cometdo n ntegrção é ddo por E d f ''' ξ f ''' ξ d!! E f ''' ξ! Ou sej, tem-se que o erro de ntegrção é nulo, pode-se ssm conclur que o erro não depende de Págn 8 de Integrção e Dferencção Numércs f ''' ξ E T <!, < ξ.

9 Clcule-se então E ET d v f ξ com ET, < ξ <,! sto é, clcule-se o erro de ntegrção com um erro de trunctur d promção polnoml menor. Neste cso tem-se E f ξ d! v 5 E 9 f v ξ, ξ, que é o erro cometdo qundo se utl fórmul de Smpson n ntegrção numérc. Ser de esperr que, tl como regr dos trpéos é ect pr polnómos do prmero gru, regr de Smpson fosse ect pr polnómos de gru ou menor. A dedução d fórmul do erro mostrou que regr de Smpson tmém é ect se f é um polnómo de gru ou nferor. Fórmul Compost Pr oter fórmul compost de Smpson deve-se sudvdr o ntervlo de ntegrção [, ] em n suntervlos de gul mpltude, e cd pr de suntervlos plcr regr de Smpson smples. Otém-se então, I... n n n I... n n n, que é regr de Smpson compost, tmém conecd pel regr do. Págn 9 de Integrção e Dferencção Numércs

10 Note-se que regr de Smpson é plcd pres de suntervlos, como tl pr se poder plcr referd regr o número de suntervlos dsponíves tem de ser pr. Erro de Trunctur Tl como pr regr dos trpéos compost, o erro totl pr regr de Smpson compost, otém-se somndo os erros cometdos n plcção d regr de Smpson cd pr de suntervlos. Tem-se então que 5 n / v E f, ξ 9 ξ. Como f v é contnu este ξ, tl que Ou sej, n f v n / v ξ f ξ. 5 v E f ξ, ξ. 8n Eemplo Clcule um vlor promdo de π, sendo que: π plcndo regr de Smpson com qutro suntervlos. Pr n tem-se que.5. Dvdndo o ntervlo [, ] em suntervlos e clculndo f otém-se segunte tel de vlores: Págn de Integrção e Dferencção Numércs / d

11 .5 Então, π /. Logo: π.6. Do mesmo modo que se deduu regr de Smpson nteror, utlndo um polnómo nterpoldor de Gregor-Newton de gru dos, é possível dedur outrs regrs utlndo polnómos nterpoldores de Gregor-Newton de gru superor. Por eemplo, se utlrmos um polnómo de Gregor- Newton de gru três pr nterpolr função f, otemos segunte regr de Smpson: I... n n 8 que é conecd pel regr dos /8. n Págn de Integrção e Dferencção Numércs

12 Dferencção Numérc A dervd de um função f num ponto defne-se por: f f lm. O ojectvo nest secção é clculr um promção este vlor sem ter de clculr o respectvo lmte e controlr o erro cometdo ness promção. Consderemos o polnómo nterpoldor de Lgrnge de gru, P, sej [; ] um ntervlo de números res e f um função contínu, tl que f e f tmém são contínus. Sejm ]; [ e um número rel tl que ]; [. Então: f P e f f f α,! erro pr lgum α ] ; [. Dervndo epressão nteror, otem-se f f f Susttundo nest epressão por fcmos com f α f α f f f }{{ f α. } promção erro cometdo Reescrevendo fórmul d promção cegmos : f f f, que cmmos fórmul de dferencção de dos pontos. Este é o cso ms smples, em que pens são conecdos pontos. Com um rcocíno nálogo, dedumos o cso em que são conecdos n pontos: f k n f j L j k f n α n k j k j n! j j promção erro NOTA: em gerl, otemos resultdos tnto ms precsos quntos ms pontos utlrmos.

13 Anlsemos o cso em que n, ou sej, qundo conecemos pontos, que vmos supôr gulmente espçdos:,,... Otemos, pel fórmul nteror: f k j f j L j k f α k! n k j k j, j e susttundo k por, e otemos, respectvmente: f [ f f f ] f α ; f [ f f ] 6 f α ; c f [ f f f ] 6 f α Procedendo às mudnçs de vrável em e em c e otemos pens dus epressões dstnts: f [f f ] promção f [f f f ] promção 6 f α ; erro f α. erro que são s epressões de três pontos pr promr f Com um rcocíno deste tpo, poderímos clculr outrs epressões pr outros números de pontos. Por eemplo, pr 5 pontos: f [f 8f 8f f ] promção f 5 α ; erro f [5f 8f 6f 6f f ] promção 5 f α. erro

14 Dervd de ordem superor à prmer Como no cso d prmer dervd, podemos clculr promções à dervd de ordem de um função, prtndo do polnómo de Tlor de gru em torno do ponto,, onde queremos clculr dervd. Neste cso temos: f [f f f ] promção f α ; erro Eercíco: Consdere função f, d qul se conecem os seguntes vlores: Clcule promções o vlor de f. utlndo s fórmuls de dos pontos; três pontos; c cnco pontos.. A tel fo construíd com se n função f e. Compre os resultdos otdos n líne nteror com o vlor rel de f... Clcule um promção do vlor de f. e compre com o seu vlor rel.