Quadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS.

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1 Qudrtur por interpolção DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico

2 Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3

3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f (x) no domínio de integrção [, b]. Dess form integrl pode ser proximd pel integrl f (x)dx p(x) dx. Se o integrndo f (x) é conhecido em n pontos distintos x 1,...,x n, podemos utilizr lgum dos métodos desenvolvidos pr encontrr um polinômio p(x) que interpole f (x i ), i = 1,...,n.

4 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )l i (x)dx.

5 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i ) l i (x)dx.

6 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i ) l i (x)dx.

7 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )C i.

8 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )C i. A proximção d integrl de f (x) é dd então por f (x)dx n i=1 C i f (x i ), onde os coeficientes C i são ddos pels integris (que podem ser resolvids extmente). Expressões dess form são denominds fórmuls de qudrtur. De um mneir gerl, tods s proximções de operções de integrção numéric podem ser descrits ness form nturlmente, o coeficiente C i vi depender do método utilizdo.

9 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção A chve pr determinr os coeficientes é o fto de que os polinômios de Lgrnge, l i (x), dependem pens dos pontos x i. Então, qulquer que sej o integrndo f (x), um vez fixdos os pontos x i, os polinômios de Lgrnge serão são sempre os mesmos. Se escolh de f (x) for um polinômio de gru menor ou igul n 1, interpolção é ext, ou sej, f (x) p(x) e portnto f (x)dx = p(x)dx = n i=1 C i f (x i ). Como integrl indefinid de f é conhecid, então expressão nterior torn-se um equção pr os n coeficientes C i. A escolh de funções f d form f j (x) = x j pr j = 0,...,n 1 dá origem um sistem liner pr os coeficientes.

10 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Assim, prtir de um conjunto de pontos {x i } n i=1distribuidos sobre o intervlo [, b], proximmos integrl onde C i são solução de f (x)dx n i=1 C i f (x i ), (x 1 ) 0 C 1 + (x 2 ) 0 C (x n ) 0 C n = x 0 dx = b x 1 C 1 + x 2 C x n C n = x dx = b (x 1 ) n 1 C 1 + (x 2 ) n 1 C (x n ) n 1 C n = x n 1 dx = bn n n

11 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Assim, prtir de um conjunto de pontos {x i } n i=1distribuidos sobre o intervlo [, b], proximmos integrl onde C i são solução de f (x)dx n i=1 C i f (x i ), C 1 + C C n = b = b x 1 C 1 + x 2 C x n C n = (x 1 ) n 1 C 1 + (x 2 ) n 1 C (x n ) n 1 C n =. b x n 1 dx b n n n

12 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Exemplo Vmos utilizr os pontos x 1 = 1/2, x 2 = 0 e x 3 = 1/2 pr construir um qudrtur pr integrl definid 1/2 f (x)dx. Nesse cso, o 1/2 sistem pr os coeficientes C i tom seguinte form C 1 + C 2 + C 3 = 1 C C 3 = 0 C C 3 = 1 3 cuj solução é C 1 = C 3 = 1 6 e C 2 = 2. Portnto proximção de um 3 integrl 1/2 f (x)dx é dd por 1/2 1/2 1/2 f (x)dx 1 (f ( 1/2) + 4f (0) + f (1/2)). 6

13 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Se conhecemos proximção de um integrl f (x)dx n i=1 f (x i)c i e quisermos encontrr um proximção pr d c f (y)dy, devemos relizr mudnç de vriável y = αx + β (trnsformção fim) que implic d c d β f (y)dy = α α c β f (αx + β)dx. α Os vlores de α e β são determindos qundo exigimos que os limites de c β integrção coincidm: α = e d β = b. Ou sej, α e ssim, d c α = d c b e β = bc d b. f (y)dy = α f (αx + β)dx α n i=1 f (αx i + β)c i.

14 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Qundo os pontos de interpolção = x 1 < x 2 <... < x n = b são igulmente espçdos, o método de qudrtur por interpolção recebe o nome de fórmul de Newton-Cotes. Nesse cso, os coeficientes d qudrtur são ddos prtir de fórmuls que contém informção sobre o intervlo de integrção e o número de pontos utilizdos, n form do prâmetro h, dos pontos x i, h = b n 1, x i = + (i 1)h, onde i = 1,2,...n e dos pesos que dependem do número de pontos utilizdos n qudrtur.

15 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Um dos csos mis simples é regr do trpézio n qul pens dois pontos são utilizdos. A qudrtur com dois pontos é dd pel fórmul f (x)dx C 1 f () + C 2 f (b), onde C 1 e C 2 são solução do sistem de equções lineres C 1 + C 2 = b C 1 + b C 2 = b2 2 A solução do sistem é C 1 = C 2 = b 2. 2.

16 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Em termos de x i e h, regr do trpézio pr integrl f (x)dx ssume form f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = h 2 (f (x 1) + f (x 2 )).

17 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Erro de truncmento Estudmos no cpítulo sobre interpolção que se f (n) for contínu em um intervlo que contenh (, b), então cd x no intervlo de interpolção [,b], existe um ξ (,b) (que depende de x, ou sej, ξ (x)) tl que f (x) = p(x) + f (n) (ξ ) n! n i=1 (x x i ), onde n é o número de pontos de interpolção e x i, pr i = 1,2,...,n são os pontos de interpolção.

18 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Ess relção entre f e p permite estimr o erro de truncmento cometido o proximrmos integrl pel regr do trpézio. Então, como h b 2 (f () + f (b)) = p(x) dx, em vist d relção entre f e p temos que f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = (f (x) p(x)) dx = f (ξ (x)) (x )(x b)dx. 2

19 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Com o objetivo de tornr explícit dependênci desse termo em h, vmos relizr mudnç de vriável de integrção y = x h. Nesse cso, qundo x =, y = 0 e qundo x = b, y = 1. Dess form, f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = 1 0 = h3 2 f (ξ ( + yh)) h y h(y 1)(h dy) f (ξ ( + yh))y(y 1)dy

20 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Com o objetivo de tornr explícit dependênci desse termo em h, vmos relizr mudnç de vriável de integrção y = x h. Nesse cso, qundo x =, y = 0 e qundo x = b, y = 1. Dess form, f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = 1 0 = h3 2 f (ξ ( + yh)) h y h(y 1)(h dy) f (ξ ( + yh))y(y 1)dy 1 o teorem do vlor médio pr integrção Se f e g são funções contínus e g não mud de sinl no intervlo fechdo [c,d], então existe um ponto η (c,d) tl que d c d f (x)g(x)dx = f (η) g(x)dx. c

21 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Um vez que y(y 1) não mud de sinl no intervlo [0,1], o teorem grnte existênci de um η (0,1) ξ (,b) tl que f (x)dx h h3 1 (f () + f (b)) = 2 2 f (ξ ) y(y 1)dy 0 = h3 12 f (ξ ).

22 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Regr do trpézio Se f é um função de clsse C 2 (,b), então existe um ξ (,b) tl que onde h = b e x i = + (i 1)h. f (x)dx = h 2 (f (x 1) + f (x 2 )) h3 12 f (ξ ),

23 Exemplo Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Vmos estudr novmente proximção d integrl 1/2 1/2 e x2 dx, gor porém, prtir d fórmul do trpézio pr qudrtur. O intervlo de [ integrção é 1 2, 1 2 fórmul do trpézio 1/2 1/2 e x2 dx 1 2 ], portnto nesse cso, h = 1. De cordo com ( e 1/4 + e 1/4) = Qunto ( o erro de truncmento n proximção, sbemos que existe um ζ 1 2, 1 ) tl que 2 1/2 1/2 e x2 dx 1 2 (e 1/4 + e 1/4) = 13 ( 4ζ 2 2 ) e ζ 2. 12

24 Exemplo Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A função 1 ( 4ζ 2 2 ) ( e ζ 2 trnsform o intervlo , 1 ) no ( 2 1 intervlo 12 e 1/4, 1 ) = ( ,0.1 6). Esse novo intervlo 6 determin região de possíveis vlores pr o erro de truncmento. De fto, diferenç entre o vlor exto e proximção é ( ,0.1 6).

25 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A regr de Simpson é fórmul de qudrtur de Newton com três pontos. Nesse cso, o intervlo de integrção [,b] é dividido em dus prtes pelo ponto intermediário + b. Assim, os três pontos de 2 interpolção x 1,x 2 e x 3 são ddos por x 1 =, x 2 = + h = + b e 2 x 3 = + 2h = b, onde h = b é seprção entre os pontos 2 consecutivos. A fórmul de qudrtur possui form f (x)dx 3 i=1 C i f (x i ), onde C i, i = 1,2e 3 são solução do seguinte sistem de equções lineres

26 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts C 1 + C 2 + C 3 = b C 1 + +b 2 C 2 + bc 3 = b C 1 + ( ) +b 2 2 C2 + b 2 C 3 = b3 3 3 A solução do sistem é dd por C 1 = b 6, C 2 = 2 3 (b ) e C 3 = b 6 Em termos d seprção entre os pontos h = b 2, C 1 = h 3, C 2 = 4 3 h e C 3 = h 3...

27 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Qunto o erro de truncmento cometido n proximção, o mesmo pode ser estimdo de mneir nálog à d regr do trpézio. Regr de Simpson Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que onde h = b 2 f (x)dx = h 3 (f (x 1) + 4f (x 2 ) + f (x 3 )) h5 90 f (4) (ξ ),, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3.

28 Qudrtur por interpolção Regrs de ordem superior Qudrturs simples Qudrturs composts Regr 3/8 4 pontos Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = 3 8 h (f (x 1) + 3f (x 2 ) + 3f (x 3 ) + f (x 4 )) 3h5 80 f (4) (ξ ), onde h = b 3, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3,4. Regr de Boole 5 pontos Se f é um função de clsse C 6 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = 3 45 h (7f (x 1) + 32f (x 2 ) + 12f (x 3 ) + 32f (x 4 ) + 7f (x 5 )) 8h7 945 f (6) (ξ ), onde h = b 4, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3,4,5.

29 Qudrtur por interpolção Regrs de ordem superior Qudrturs simples Qudrturs composts No entnto devemos levr em cont que não há grntis de que o umento do número de pontos implic convergênci d qudrtur pr o vlor exto d integrl. Isto é um reflexo direto do fto de que s proximções que estudmos té qui são desenvolvids prtir d integrção de um polinômio que interpol f em pontos igulmente espçdos e, como já estudmos no cpítulo sobre interpolção, existem exemplos de funções contínus e com tods s derivds contínus em lgum intervlo cuj interpolção polinomil com pontos igulmente espçdos não converge pr f qundo o número de pontos cresce (lembre-se d função de Runge 1 f (x) = no intervlo x [ 1,1]) x 2 A seguir veremos um técnic de qudrtur que grnte convergênci pr o vlor exto d integrl de f qundo o número de pontos n.

30 Qudrtur por interpolção Qudrturs composts Qudrturs simples Qudrturs composts Um mneir de evitr s instbiliddes relcionds à interpolção em pontos igulmente espçdos consiste em prticionr o intervlo de integrção em diversos subintervlos e relizr qudrtur newtonino em cd um desses subintervlos com um pequen quntidde de pontos. Dess form, o umento do número totl de pontos implic um menor vrição d função no domínio de integrção de cd qudrtur e consequentemente, proximção do integrndo por um polinômio torn-se cd vez melhor. No limite, desconsiderndo os erros de rredondmento relizdos pel máquin que reliz s operções, proximção converge pr o vlor exto qundo o integrndo for suficientemente suve. Veremos dus regrs composts, regr compost do trpézio e regr compost de Simpson.

31 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts A regr compost do trpézio consiste em dividir o intervlo de integrção [,b] em n 1 sub-intervlos [,x 2 ] [x 2,x 3 ]... [x n 1,b] = [,b], de mesm extensão h = b e plicr regr do trpézio em cd n 1 intervlo [x k,x k+1 ]. f (x)dx = x2 x3 =xn f (x)dx + f (x)dx f (x)dx =x 1 x 2 x n 1 h 2 (f () + f (x 2)) + h 2 (f (x 2) + f (x 3 )) h 2 (f (x n 1) + f (b)) ( 1 = h 2 f () + f (x 2) + f (x 3 ) f (x n 2 ) + f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b), onde x 1 =, x n = b e x k = + (k 1)h, pr k = 1,...,n.

32 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Erro de truncmento A cd subintervlo [x k,x k+1 ] podemos estimr o erro de truncmento cometido n regr do trpézio: se f C 2 (,b), existe um ξ k (x k,x k+1 ) tl que xk+1 f (x)dx = h 2 (f (x k+1) + f (x k )) h3 12 f (ξ k ). x k A união de todos os intervlos implic ( 1 f (x)dx = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h3 12 n 1 k=1 f (ξ k ). Como, por hipótese, função f é contínu, então existe um ξ (,b) tl que f (ξ ) = 1 n 1 n 1 f (ξ k ). k=1

33 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Por outro ldo, h = b e portnto, podemos reescrever iguldde n 1 como ( 1 dx f (x) = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h2 12 (b )f (ξ ), onde ξ (,b).

34 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Regr Compost do Trpézio Se f é um função de clsse C 2 (,b), então existe um ξ (,b) tl que ( 1 dx f (x) = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h2 12 (b )f (ξ ), onde h = b n 1, x i = + (i 1)h e i = 1,2,...,n. Note que nesse cso, n usênci de erros de rredondmento, proximção dd pel regr compost converge pr integrl ext no limite h 0.

35 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts De mneir totlmente nálog, construimos um qudrtur compost prtir d união ds qudrturs relizds nos subintervlos com três pontos igulmente espçdos. A prtir de um número ímpr de pontos igulmente espçdos de h = b, proximmos integrl de f no n 1 intervlo [,b] trvés de qudrturs de Simpson nos n 1 intervlos 2 [,x 3 ], [x 3,x 5 ],...,[x n 2,b]: f (x)dx = x3 x5 =xn f (x)dx + f (x)dx f (x)dx =x 1 x 3 x n 2 h 3 (f () + 4f (x 2) + f (x 3 )) + h 3 (f (x 3) + 4f (x 4 ) + f (x 5 )) h 3 (f (x n 2) + 4f (x n 1 ) + f (b)) = h 3 [f () + 4(f (x 2) + f (x 4 ) f (x n 1 ))+ +2(f (x 3 ) + f (x 5 ) f (x n 2 )) + f (b)],

36 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts A regr de Simpson compost pode ser representd pelo somtório onde C k = f (x)dx h 3 n k=1 C k f (x k ), 1, se k = 1 ou k = n 4, se k for pr 2, se k for ímpr A nálise do erro de truncmento cometido n proximção segue linh já estudd n regr do trpézio compost.

37 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts Regr Compost do Simpson Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = h 3 n k=1 C k f (x k ) h4 180 (b )f (4) (ξ ), onde C k = 1, se k = 1 ou k = n 4, se k for pr 2, se k for ímpr h = b n 1, x i = + (i 1)h e i = 1,2,...,n..

38 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Se f for um função de clsse C 2k+2 em um intervlo [,b], então de cordo com fórmul de Euler-Mclurin su integrl definid nesse intervlo stisfz expressão f (x)dx = T n + c 2 h 2 + c 4 h c 2k h 2k + c 2k+2 h 2k+2 f (2k+2) (ξ ), onde T n é regr compost do trpézio com n pontos e espçmento h, os coeficientes c 2,...,c 2k não dependem de h e ξ (,b) é um função que represent o resto do som.

39 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Se f for um função de clsse C 2k+2 em um intervlo [,b], então de cordo com fórmul de Euler-Mclurin su integrl definid nesse intervlo stisfz expressão f (x)dx = T n + c 2 h 2 + c 4 h c 2k h 2k + c 2k+2 h 2k+2 f (2k+2) (ξ ), onde T n é regr compost do trpézio com n pontos e espçmento h, os coeficientes c 2,...,c 2k não dependem de h e ξ (,b) é um função que represent o resto do som. Portnto, de cordo com fórmul, um qudrtur no mesmo intervlo com 2n 1 pontos, corresponde um espçmento igul metde do originl, ssim ( h f (x)dx = T 2n 1 +c 2 2 ) 2 ( ) h 4 +c c 2 2k ( ) h 2k +c 2 2k+2 Isto permite combinr s equções de modo que o resultdo d combinção liner cncel o termo h 2 : f (x)dx = 4T 2n 1 T n 3 ( + d 4 h d k h 2k + O h 2k+2). ( ) h 2k+2 f (2k+2) ( ξ ). 2

40 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A qudrtur resultnte, 4T 2n 1 T n é qudrtur de Simpson 3 compost com 2n 1 pontos. O mesmo procedimento pode ser repetidmente iterdo com o objetivo de produzir resultdos com erro de truncmento de ordem superior. Algums desss combinções correspondem regrs composts de Newton-Cotes. O método de Romberg propõe seguinte bordgem. Colecionmos m qudrturs composts pel regr do trpézio com 3,5,9,...,2 m + 1 pontos. Esss qudrturs podem ser convenientemente clculds segundo recursão: T 2 j +1 = 1 2 j 1 2 T 2 j h j f ( + (2k 1)h j ), k=1 onde h j = b ( 1 2 j, T 2 = h 0 2 f () + 1 ) 2 f (b) e j = 1,2,...m.

41 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts De cordo com extrpolção de Richrdson, podemos encontrr qudrtur de Simpson compost com 2 j + 1 pontos trvés d combinção 4T 2 j +1 T 2 j Vmos simbolizr esss novs qudrturs por R j,1, ou sej, R j,1 = 4T 2 j +1 T 2 j pr j = 1,2,...,m. Um nov sequênci de extrpolções de Richrdson cncelrá os termos h 4. Denominmos esss novs qudrturs composts por R j,2 : R j,2 = 16R j,1 R j 1,1. 15

42 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Atrvés de um processo de indução, chegmos à recorrênci R j,n = 4n R j,n 1 R j 1,n 1 4 n, 1 pr n = 1,2,...,j, onde R j,0 T 2 j +1. A relção de recorrênci é expressão do método de Romberg.

43 Em resumo: Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts clculmos qudrtur do trpézio simples e s m qudrturs do trpézio composts T 2 j +1, de cordo com recorrênci. em seguid, de cordo com relção de recorrênci, clculmos recursivmente s qudrturs R j,1 pr j = 1,2,...,m, R j,2 pr j = 2,...,m, R j,3 pr j = 3,...,m, etc. té R m,m que é proximção de ordem O ( ) hm 2m+2 pr integrl b f (x)dx.

44 Qudrtur por interpolção Os métodos de qudrtur que envolvem interpolção polinomil em n pontos fornecem, por construção, o vlor exto d integrl qundo o integrndo é um polinômio de gru menor ou igul n 1. Um vez escolhidos os n pontos x i [,b], utilizmos os n polinômios x j, j = 0,1,...,n 1 pr determinr os coeficientes C i d qudrtur trvés d solução do sistem de equções lineres n i=1 C i (x i ) j = x j dx = bj+1 j+1. j + 1 A qudrtur gussin utiliz s mesms equções, porém trt os pontos de interpolção x i como incógnits e inclui outrs n equções relcionds à interpolção dos polinômios x j, j = n,n + 1,...,2n 1.

45 Qudrtur por interpolção A fórmul de qudrtur é determind pel solução do sistem de 2n equções não lineres 2n i=1 C i (x i ) j = bj+1 j+1, j = 0,1,2,...,2n 1. j + 1 em termos ds incógnits C i e x i, i = 1,2,...,2n. Como já estudmos, trvés de mudnçs de vriáveis podemos mudr o intervlo de integrção. Desse modo não perdemos nenhum generlidde o estudr solução do sistem não liner ddo pelo limite de integrção [ 1, 1].

46 Qudrtur por interpolção C 1 + C C n = x 1 C 1 + x 2 C x n C n = (x 1 ) 2 C 1 + (x 2 ) 2 C (x n ) 2 C n = 1 1 x 0 dx = 1 ( 1) = x dx = 12 ( 1) 2 2 = x 2 dx = 13 ( 1) 3 3 = (x 1 ) k C 1 + (x 2 ) k C (x n ) k C n = 1 1 x k dx = { 2 k+1, kpr 0, kímpr... (x 1 ) 2n 1 C 1 + (x 2 ) 2n 1 C (x n ) 2n 1 C n = 1 1 x 2n 1 dx = 12n ( 1) 2n 2n = 0

47 Qudrtur por interpolção É possível demonstrr que esse sistem possui pens um solução que stisfç os critérios, 1 < x i < 1 e C i > 0. Apesr d prente complexidde presentd pelo sistem, não é difícil perceber que os pontos x i stisfzem um equção polinomil (bst isolr s vriáveis C i e em seguid s vriáveis x i prtir d primeir equção. N relidde, é possível demonstrr que os pontos x i são s rízes do polinômio de Legendre de gru n, P n. O polinômio de Legendre de gru n, P n (x) pode ser determindo trvés d fórmul de Rodrigues: d n P n (x) = 1 (( x 2 2 n (n!) dx n 1 ) n). De cordo com su estrutur, é possível determinr s rízes exts té, pelo menos, n = 9.

48 Qudrtur por interpolção Os coeficientes C i são então ddos pel expressão C i = 2 (1 x 2 i )(P n(x i )) 2. Isto permite, o menos numericmente, construir qudrtur com um número rbitrário de pontos.

49 Qudrtur por interpolção As três primeirs qudrturs gussins no intervlo ( 1, 1) são dds extmente pelos coeficientes: 2 pontos: C 1 = C 2 = 1 e x 1 = x 2 = pontos: C 1 = C 3 = 5 9, C 2 = 8 3 9, x 1 = x 3 = 5 e x 2 = 0. 4 pontos: C 1 = C 4 = 1 ( ) 18 30, C2 = C 3 = 1 C 1, 36 1 ( ) 1 ( ) x 1 = x 4 = , x2 = x 3 = pontos: C 1 = C 5 = 1 ( ) , 900 C 2 = C 4 = 1 ( ) , C3 = , 1 ( ) 1 ( ) x 1 = x 5 = , x2 = x 4 = e x 3 = 0.