dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i =

Save this PDF as:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i ="

Transcrição

1 Cpítulo 7 Integrção numéric 71 Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f(x) no domínio de integrção [, b] Dess form integrl pode ser proximd pel integrl dx f(x) dx p(x) Se o integrndo f(x) é conhecido em n pontos distintos x 1,, x n, podemos utilizr lgum dos métodos desenvolvidos pr encontrr um polinômio p(x) que interpole f(x i ), i = 1,, n Dess form, segundo expressão (4): dx f(x) = dx p(x) + dx f (n) n! (ζ(x)) n (x x i ), onde, cd x, ζ = ζ(x) é o número que torn verddeir equção f(x) = p(x)+ f (n) (ζ) n n! (x x i ) De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n f(x i) l i (x) ), proximção seri então dd por dx p(x) = dx f(x i ) l i (x) = f(x i ) dx l i (x), onde segund iguldde se deve o fto de que f(x i ) é um constnte A expressão nterior pode ser então reescrit n form dx p(x) = C i f(x i ), onde i = 1,, n e os vlores f(x i ) são conhecidos (fzem prte dos ddos de entrd) e s constntes C i são o resultdo d integrção: C i = dx l i (x) (71)

2 Cpítulo 7 Integrção numéric 8 A proximção d integrl de f(x) é dd então por dx f(x) C i f(x i ), (7) onde os coeficientes C i são ddos pels integris (que podem ser resolvids extmente) (71) Ess proximção é denomind fórmul de qudrtur, de um mneir gerl, tods s proximções de operções de integrção numéric podem ser descrits n form (7) nturlmente, o coeficiente C i vi depender do método utilizdo Exemplo: Vmos proximr integrl 1/ 1/ dx e x prtir d interpolção do integrndo em três pontos: x 1 = 1/, x = 0 e x = 1/ Segundo o método de Lgrnge, os polinômios l i (x) são: l 1 (x) = (x 0)(x 1/) ( 1/ 0)( 1/ 1/) = x + x, portnto C 1 = l (x) = l (x) = 1/ 1/ (x + 1/)(x 1/) (0 + 1/)(0 1/) = 1 4x, (x + 1/)(x 0) (1/ + 1/)(1/ 0) = x + x, dx l 1 (x) = 1/ 1/ dx ( x + x ) = 1 6, C = C = 1/ 1/ 1/ 1/ dx l (x) = dx l (x) = Assim, proximção é dd pelo somtório 1/ 1/ 1/ 1/ dx (1 4x ) =, dx (x + x ) = 1 6 1/ 1/ dx e x e x i Ci = 1 6 ( ) e e 0 + e 1 4 = 096 O vlor exto d integrl é clculdo prtir d função erro e vle 1/ 1/ dx e x = 095 Como veremos seguir, não será necessário construir e integrr os polinômios de Lgrnge pr obter proximção A chve pr determinr os coeficientes é o fto de que os polinômios de Lgrnge, l i (x), dependem pens dos pontos x i Então, qulquer que fosse o integrndo f(x), um vez fixdos os pontos x i, os polinômios de Lgrnge são sempre os mesmos Poderímos relizr escolh de um função f(x) dd por um polinômio, nesse cso, interpolção é ext, ou sej, f(x) p(x)

3 Cpítulo 7 Integrção numéric 84 e portnto dx f(x) = dx p(x) = f(x i ) C i (7) Em prticulr, vmos relizr n escolhs pr função f n form f j (x) = x j pr j = 0,, n 1 Cd um desss escolhs pr f vi originr, em vist de (7), um equção com os n coeficientes C i que buscmos determinr Teremos então um sistem liner com n equções e n incógnits 1 : (x 1 ) 0 C 1 + (x ) 0 C + + (x n ) 0 C n = dx x0 = b x 1 C 1 + x C + + x n C n = dx x = b (74) (x 1 ) n 1 C 1 + (x ) n 1 C + + (x n ) n 1 C n = dx xn 1 = bn n n Exemplo: Vmos utilizr os mesmos pontos do exemplo nterior, ou sej, x 1 = 1/, x = 0 e x = 1/ Nesse cso o sistem pr os coeficientes C i tom seguinte form C 1 + C + C = 1 C C = 0 C C = 1 cuj solução é C 1 = C = 1 6 e C = Portnto proximção de um integrl 1/ 1/ dx f(x) é dd por 1/ 1/ dx f(x) 1 (f( 1/) + 4f(0) + f(1/)) 6 Qundo os pontos de interpolção = x 1 < x < < x n = b são igulmente espçdos, o método de qudrtur por interpolção recebe o nome de fórmul de Newton-Cotes É interessnte notr que um vez definid fórmul de integrção em um determindo intervlo, é possível utilizr os mesmos coeficientes pr proximr integrção em outro intervlo Bst relizr um trnsformção de vriável Então se conhecemos proximção de um integrl dx f(x) n f(x i) C i = I e quisermos encontrr um proximção pr d c dy f(y), devemos relizr mudnç de vriável y = αx + β que implic d c dy f(y) = α d β α c β α dx f(αx + β) 1 É possível demonstrr que se os n pontos x i forem distintos, então o sistem possui um únic solução Vej referênci: Belém, R Introduction to Mtrix Anlysis, ed, McGrw-Hill (1970)

4 Cpítulo 7 Integrção numéric 85 Os vlores de α e β são determindos qundo exigimos que os limites de integrção coincidm: c β α = e d β = b Ou sej, α α = d c b e β = bc d b (75) e ssim, d com α e β ddos por (75) c dy f(y) = α dx f(αx + β) α f(αx i + β) C i 7 Qudrturs newtonins 71 Regr do trpézio O que crcteriz s qudrturs newtonins é o espçmento constnte entre os pontos O cso mis simples é denomindo regr do trpézio n qul pens dois pontos são utilizdos De cordo com o sistem (74), qudrtur com dois pontos é dd pel fórmul dx f(x) C 1 f() + C (b), onde C 1 e C são solução do sistem de equções lineres C 1 + C = b C 1 + b C = b A solução do sistem é C 1 = C = b Se representrmos seprção entre os pontos por h = b, regr do trpézio pr integrl dx f(x) ssume form Erro de truncmento dx f(x) h (f() + f(b)) Como já estudmos n subseção nterior, regr do trpézio h (f() + f(b)) pr integrl de f no intervlo [, b] é o resultdo d integrção do polinômio p(x) que interpol f nos pontos x = e x = b Tmbém estudmos no cpítulo sobre interpolção que cd x no intervlo de interpolção [, b], existe um ξ (, b) que depende de x (ou sej, ξ(x)) tl que f(x) = p(x) + f (n) (ξ) n! n (x x i ), onde n é o número de pontos de interpolção e x i, pr i = 1,,, n são os pontos de interpolção Ess relção entre f e p permite estimr o erro de truncmento cometido o proximrmos

5 Cpítulo 7 Integrção numéric 86 integrl pel regr do trpézio Então, como em vist d relção entre f e p temos que h (f() + f(b)) = dx p(x), dx f(x) h (f() + f(b)) = dx (f(x) p(x)) = dx f (ξ(x)) (x )(x b) (76) Com o objetivo de tornr explícit dependênci do termo (76) d seprção entre os pontos e b, h = b, vmos relizr mudnç de vriável de integrção y = x Nesse cso, qundo h x =, y = 0 e qundo x = b, y = 1 Dess form o termo (76) pode ser reescrito como dx f(x) h (f() + f(b)) = 1 0 = h hdy f (ξ( + yh)) h y h(y 1) 1 0 dy f (ξ( + yh)) y(y 1) (77) Pr simplificr últim integrl cim, vmos considerr ind form integrl do teorem do vlor médio: Teorem (teorem do vlor médio) Se f e g são funções contínus e g não mud de sinl no intervlo fechdo [c, d], então existe um ponto η (c, d) tl que d c dx f(x)g(x) = f(η) d c dx g(x) Podemos então utilizr o teorem pr integrl em (77), um vez que y(y 1) não mud de sinl no intervlo [0, 1] Portnto, segundo o teorem do vlor médio, existe um η (0, 1) ξ (, b) tl que dx f(x) h (f() + f(b)) = h f (ξ) 1 0 = h 1 f (ξ) dy y(y 1) Exemplo: Vmos estudr novmente proximção d integrl 1/ 1/ dx e x, gor porém, [ prtir d fórmul do trpézio pr qudrtur O intervlo de integrção é 1, 1 ], portnto nesse cso, h = 1 De cordo com fórmul do trpézio 1/ 1/ dx e x 1 ( e 1/4 + e 1/4) =

6 Cpítulo 7 Integrção numéric 87 Qunto o erro de truncmento n proximção, sbemos que existe um ζ ( 1, 1 ) tl que 1/ 1/ dx e x 1 (e 1/4 + e 1/4) = 1 ( 4ζ ) e ζ 1 A função 1 ( 4ζ ) ( e ζ trnsform o intervlo 1 1, 1 ) ( 1 no intervlo 14 e 1/4, 1 ) = 6 (06490, 01 6) Esse novo intervlo determin região de possíveis vlores pr o erro de truncmento Note que diferenç entre o vlor exto e proximção é (06490, 01 6) 7 Regr de Simpson A regr de Simpson é fórmul de qudrtur de Newton com três pontos Nesse cso, o intervlo de integrção [, b] é dividido em dus prtes pelo ponto intermediário + b Assim, os três pontos de interpolção x 1,x e x são ddos por x 1 =, x = + h = + b e x = + h = b, onde h = b é seprção entre os pontos consecutivos A fórmul de qudrtur possui form dx f(x) C i f(x i ), onde C i, i = 1, e são solução do sistem de equções lineres C 1 + C + C = b C 1 + +b C + bc = b C 1 + ( ) +b C + b C = b A solução do sistem é dd por C 1 = b 6, C = (b ) e C = b Em termos d 6 seprção entre os pontos h = b : C 1 = h, C = 4 h e C = h Dess form regr de Simpson é dd por dx f(x) = h (f(x 1) + 4f(x ) + f(x )) (78) Qunto o erro de truncmento cometido n proximção, o mesmo pode ser estimdo de mneir nálog que seguimos no cso d regr do trpézio: existe um ξ (, b) tl que dx f(x) h (f(x 1) + 4f(x ) + f(x )) = h5 90 f (4) (ξ) (79)

7 Cpítulo 7 Integrção numéric 88 7 Regrs de ordem superior Seguindo esse progrm, podemos desenvolver qudrturs com mior número de pontos, por exemplo, s qudrturs com 4 e cinco pontos possuem nome próprio São regr /8 e regr de Bode: Regr /8 São utilizdos 4 pontos, x 1 =, x = + h, x = + h e x 4 = b, onde h = b Então existe um ξ (, b) tl que Regr de Bode dx f(x) = 8 h (f(x 1) + f(x ) + f(x ) + f(x 4 )) h5 80 f (4) (ξ) São utilizdos 5 pontos, x 1 = e x i = + (i 1)h pr i =,, 4 e x 5 = b, onde h = b 4 Existe um ξ (, b) tl que dx f(x) = 45 h (7f(x 1) + f(x ) + 1f(x ) + f(x 4 ) + 7f(x 5 )) 8h7 945 f (6) (ξ) No entnto devemos levr em cont que não há grntis de que o umento do número de pontos implic convergênci d qudrtur pr o vlor exto d integrl Isto é um reflexo direto do fto de que s proximções que estudmos té qui são desenvolvids prtir d integrção de um polinômio que interpol f em pontos igulmente espçdos e, como já estudmos no cpítulo sobre interpolção, existem exemplos de funções contínus e com tods s derivds contínus em lgum intervlo cuj interpolção polinomil com pontos igulmente espçdos não converge pr 1 f qundo o número de pontos cresce (lembre-se d função de Runge f(x) = no intervlo 1 + 5x x [ 1, 1]) A subseção seguinte trt de um técnic de qudrtur que grnte convergênci pr o vlor exto d integrl de f qundo o número de pontos n A técnic é inspird nos splines 74 Regrs composts Um mneir de evitr s instbiliddes relcionds à interpolção em pontos igulmente espçdos consiste em prticionr o intervlo de integrção em diversos subintervlos e relizr qudrtur em cd um desses subintervlos com um pequen quntidde de pontos Ess idéi se ssemelh à utilizd n interpolção spline Regr do trpézio compost A regr consiste em dividir o intervlo de integrção [, b] n união de n 1 sub-intervlos [, x ] [x, x ] [x n 1, b] = [, b], de mesm extensão h = b n 1, isto é, x k+1 x k = h, Em gerl, dd form ds qudrturs estudds té qui, qudrtur será igul integrl de um função f, que não sej um polinômio, pens qundo h 0, ou sej, qundo o intervlo de integrção for nulo

8 Cpítulo 7 Integrção numéric 89 pr qulquer i = 1,,, n 1; e plicr regr do trpézio em cd intervlo [x k, x k+1 ] Ou sej, dx f(x) = x x dx f(x) + dx f(x) + + =x 1 x =xn x n 1 dx f(x) h (f() + f(x )) + h (f(x ) + f(x )) + + h (f(x n 1) + f(b)) ( 1 = h f() + f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x n 1 ) + 1 ) f(b), onde x 1 =, x n = b e x k = + (k 1)h, pr k = 1,, n Erro de truncmento A cd subintervlo [x k, x k+1 ] podemos estimr o erro de truncmento cometido n regr do trpézio: existe um ξ k (x k, x k+1 ) tl que xk+1 x k A união de todos os intervlos implic dx f(x) = h (f(x k+1) + f(x k )) h 1 f (ξ k ) ( 1 dx f(x) = h f() + f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x n 1 ) + 1 ) f(b) h n 1 f (ξ k ) 1 (710) Se função f for contínu, então existe um ξ (, b) tl que f (ξ) = 1 n 1 f (ξ k ) n 1 Como h = b podemos reescrever iguldde (710) como n 1 ( 1 dx f(x) = h f() + f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x n 1 ) + 1 ) f(b) h 1 (b )f (ξ), (711) onde ξ (, b) Note que nesse cso, n usênci de erros de rredondmento, proximção dd pel regr compost converge pr integrl ext no limite h 0 Regr de Simpson compost De mneir totlmente nálog, podemos construir um qudrtur compost prtir d união ds qudrturs relizds nos subintervlos com três pontos igulmente espçdos A prtir de um número ímpr de pontos igulmente espçdos de h = b n 1, = x 1 < x < x < < x n < x n 1 < x n = b podemos proximr integrl de f no intervlo [, b] pel composição ds

9 Cpítulo 7 Integrção numéric 90 qudrturs de Simpson nos n 1 intervlos [, x ], [x, x 5 ],, [x n, b]: dx f(x) = x x5 dx f(x) + dx f(x) + + =x 1 x =xn x n dx f(x) h (f() + 4f(x ) + f(x )) + h (f(x ) + 4f(x 4 ) + f(x 5 )) + + h (f(x n ) + 4f(x n 1 ) + f(b)) = h [f() + 4 (f(x ) + f(x 4 ) + + f(x n 1 )) + + (f(x ) + f(x 5 ) + + f(x n )) + 1 f(b) ], A regr de Simpson compost pode ser representd pelo somtório dx f(x) h C k f(x k ), onde 1, se k = 1 ou k = n C k = 4, se k é pr, se k é ímpr A nálise do erro de truncmento cometido n proximção segue linh já estudd n regr do trpézio compost Cd intervlo de integrção [x k, x k+ ] contribui com um prcel h5 90 f (4) (ξ k ), onde ξ k (x k, x k+ ) e k = 1,, 5,, n Como são no totl n 1 intervlos de integrção, temos que dx f(x) = h C k f(x k ) h5 90 Se função f (4) for contínu, então existe um ξ (, b) tl que n 1 f (4) (ξ k ) (71) 1 n 1 n 1 f (4) (ξ k ) = f (4) (ξ) A substituição dess últim relção em (71) result em como (n 1)h = b dx f(x) = h dx f(x) = h C k f(x k ) (n 1) h5 180 f (4) (ξ), C k f(x k ) h4 180 (b )f (4) (ξ)

10 Cpítulo 7 Integrção numéric Método de Romberg O método de Romberg consiste n sucessiv plicção d extrpolção de Richrdson à qudrtur do trpézio compost o que result em um qudrtur compost de mior extidão A qudrtur do trpézio compost com n pontos permite proximr integrl de um função f dus vezes continumente diferenciável trvés d expressão dx f(x) = I n h 1 (b )f (ξ), onde ( 1 I n = h f() + f( + h) + f( + h) + + f( + (n )h) + 1 ) f(b), h = b e ξ (, b) n 1 Se função f for k vezes continumente diferenciável, então expressão nterior ssume form gerl dx f(x) = I n + c h + c 4 h c k h k, (71) onde os coeficientes c,, c k não dependem de h Portnto um qudrtur no mesmo intervlo com n 1 pontos, corresponde um espçmento igul metde do originl, ssim dx f(x) = I n 1 + c ( h ) ( ) h 4 ( ) h k + c c k (714) A extrpolção consiste em combinr s equções (714) e (71) de modo que o resultdo d combinção liner cncele o termo h : dx f(x) = 4 I n 1 I n + d 4 h d k h k A qudrtur resultnte, 4 I n 1 I n é qudrtur de Simpson compost com n 1 pontos O mesmo procedimento pode ser repetidmente iterdo com o objetivo de produzir qudrturs composts de ordem superior O método de Romberg propõe seguinte bordgem Colecionmos m qudrturs composts pel regr do trpézio com, 5, 9,, m + 1 pontos Esss qudrturs podem ser convenientemente clculds segundo recursão: I j +1 = 1 j 1 I j h j f ( + (k 1)h j ), (715) onde h j = b ( 1 j, I = h 0 f() + 1 ) f(b) e j = 1,, m Com verificmos cim, de cordo com extrpolção de Richrdson, podemos encontrr qudrtur de Simpson compost

11 Cpítulo 7 Integrção numéric 9 com j + 1 pontos trvés d combinção 4I j +1 I j 1 +1 Vmos simbolizr esss novs qudrturs por R 1,j, ou sej, R 1,j = 4I j +1 I j 1 +1 (716) pr j = 1,,, m Um nov seqüênci de extrpolções de Richrdson cncelrá os termos h 4 Denominmos esss novs qudrturs composts por R,j : Dedutivmente chegmos à recorrênci R,j = 16R 1,j R 1,j 1 15 R n,j = 4n R n 1,j R n 1,j 1 4 n, (717) 1 pr n = 1,,, j e onde R 0,j I j +1 A relção de recorrênci (717) é expressão do método de Romberg Em resumo, clculmos s qudrtur do trpézio simples e s m qudrturs do trpézio composts de cordo com recorrênci (715), em seguid, de cordo com relção de recorrênci (717), clculmos recursivmente s qudrturs R 1,j pr j = 1,,, m, R,j pr j =,, m, R,j pr j =,, m, etc té R m,m que é proximção de ordem O ( h m+ ) m pr integrl dx f(x) Exemplo: Vmos proximr integrl 1 dx e 1 x pel qudrtur de Romberg R 4,4 Inicilmente será necessário clculr s qudrturs do trpézio e s composts com, 5, 9 e 17 pontos (respectivmente I, I +1, I +1, I +1 e I 4 +1): I 0 +1 = I 1 +1 = I +1 = I +1 = I 4 +1 = A prtir desss qudrturs podemos clculr os termos R i,j segundo s expressões (716) e (717): R 1,1 = R 1, = R, = R 1, = R, = R 1,4 = R,4 = R, = R,4 = R 4,4 =

12 Cpítulo 7 Integrção numéric 9 E ssim, 1 dx e x R 4,4 = O vlor exto d integrl é , o erro está n décim cs deciml 7 Qudrtur gussin Por construção, os métodos de qudrtur que envolvem interpolção polinomil em n pontos fornecem o vlor exto d integrl qundo o integrndo é um polinômio de gru menor ou igul n 1 Portnto, um vez escolhidos, os n pontos x i [, b], utilizmos os n polinômios x j, j = 0, 1,, n 1 pr determinr os coeficientes C i d qudrtur: C i (x i ) j = dx x j = bj+1 j+1 j + 1 Cd potênci j define um equção, os coeficientes são então determindos pel solução do sistem de n equções lineres resultnte O qudrtur gussin utiliz s mesms equções porém trt os pontos de interpolção x i como incógnits e inclui outrs n equções relcionds à interpolção dos polinômios x j, j = n, n + 1,, n 1 A fórmul de qudrtur é determind pel solução do sistem de n equções não lineres em termos ds incógnits C i e x i, i = 1,,, n C i (x i ) j = bj+1 j+1 j + 1 (718) Como já estudmos, trvés de mudnçs de vriáveis podemos mudr o intervlo de integrção Desse modo não perdemos nenhum generlidde o estudr solução do sistem não liner (718) ddo pelo limite de integrção [ 1, 1] C 1 + C + + C n = dx x0 = 1 ( 1) = x 1 C 1 + x C + + x n C n = dx x = 1 ( 1) = 0 (x 1 ) C 1 + (x ) C + + (x n ) C n = dx x = 1 ( 1) = (x 1 ) k C 1 + (x ) k C + + (x n ) k C n = dx xk = { k+1, se k é pr 0, se k é ímpr (x 1 ) n 1 C 1 + (x ) n 1 C + + (x n ) n 1 C n = dx xn 1 = 1n ( 1) n n = 0 (719)

13 Cpítulo 7 Integrção numéric 94 É possível demonstrr que esse sistem possui pens um solução que stisfç os critérios, 1 < x i < 1 e C i > 0 Tmbém é possível demonstrr 4 que pr funções contínus, o método d qudrtur converge pr o vlor exto d integrl qundo o número de pontos n, lém disso, se f for n vezes continumente diferenciável, o erro cometido pel qudrtur é ddo pel expressão onde ξ ( 1, 1) 1 1 dxf(x) j=1 C j f(x j ) = (n!)4 n+1 f (n) (ξ) ((n)!) (n + 1), O sistem possui solução ext nos csos em que n = ou n = : -pontos C 1 = C = 1 e x 1 = x = 1 -pontos C 1 = C = 5 9, C = 8 9, x 1 = x = 5 e x = 0 4-pontos C 1 = C 4 = , C = C = 1 C 1, x 1 = x 4 = , x = x = 1 x 4 74 Exercícios 1) Considere seguinte fórmul de qudrtur 1 0 dx f(x) 1 4 f(0) + 1 f(05) + 1 f(08) (70) 4 1 Qul é o gru do menor polinômio que não é integrdo extmente pel regr (70)? Ess regr é um fórmul de qudrtur gerd prtir de um interpolção polinomil? Em cso negtivo constru regr gerd prtir de um interpolção nos pontos 0, 05 e 08 Encontre os novos pesos pr regr (70) pr o intervlo de integrção: 1 dx f(x) ) Sej integrl 1 0 dx e x (71) Encontre s estimtivs inferior e superior pr quntidde mínim de subintervlos que devem ser utilizdos n proximção d integrl (71) pel regr de Simpson compost de modo que diferenç entre o vlor exto e proximção sej menor do que 10 6 ) Ao contrário do que ocorre n interpolção com pontos igulmente espçdos, interpolção com pontos de Chebyshev não sofre de problems de instbilidde qundo umentmos o número de pontos n interpolção Assim, fórmul de qudrtur, desenvolvid prtir d interpolção com pontos de Chebyshev, converge pr o vlor exto d integrl no limite em que o número de pontos tende o infinito (em lguns csos, ess bordgem pode ser um lterntiv interessnte à qudrtur de Guss que requer solução de um sistem de equções não lineres) Compre Vej referênci: -Dvis, P ; Rbinowitz P Methods of Numericl Integrtion, Acdemic Press (1975) 4 Vej referênci: -Szidrovsky, F ; Ykowitz, S Principles nd Procedures of Numericl Anlysis, Plenum Press, (1978)

14 Cpítulo 7 Integrção numéric 95 extidão obtid pels fórmuls de Newton-Cotes, qudrtur gussin e qudrtur com pontos de Chebyshev o estimr integrl, utilizndo, 4, 5 pontos e o método de Romberg 1 0 dx x + 5 Observção: qudrtur gussin 1 0 dxf(x) n C if(x i ), nesse cso é dd por: n = : x 1 = , x = 05, x = 1 x 1, C 1 = C = 5 90 e C = 4 9 n = 4: x 1 = , x = , x = 1 x, x 4 = 1 x1 C 1 = C 4 = e C = C = n = 5: x 1 = , x = , x = 1 x 4 = 1 x, x 5 = 1 x 1 C 1 = C 5 = , C = C 4 = e C =

Quadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS.

Quadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS. Qudrtur por interpolção DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O

Leia mais

Integração Numérica. Leonardo F. Guidi. Cálculo Numérico DMPA IME UFRGS

Integração Numérica. Leonardo F. Guidi. Cálculo Numérico DMPA IME UFRGS Qudrtur por interpolção DMPA IME UFRGS Cálculo Numérico Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 4 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004 Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Integrção Numéric Métodos Numéricos e Esttísticos Prte I-Métodos Numéricos Integrção numéric Luís Morgdo Lic. Eng. Biomédic e Bioengenhri-009/010 Luís Morgdo Integrção numéric Integrção Numéric Recorrendo

Leia mais

Introdução ao Cálculo Numérico S(M, B) = (y i Mx i B) 2

Introdução ao Cálculo Numérico S(M, B) = (y i Mx i B) 2 Introdução o Cálculo Numérico 25 List de Exercícios 2 Observção importnte: Resolv o proplem pr o di d prov com função f(x) = cos(πx/2) e não com f(x) = sin(πx)! Problem 1. Sejm {x i, y i } n i= números

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

4.2. ME TODO DE LAGRANGE

4.2. ME TODO DE LAGRANGE Cpítulo 4 Interpolção 4. Introdução Ddos n + pontos do plno P 0 = (x 0, y 0 ), P = (x, y ),, P n = (x n, y n ), tis que x i x j se i j, nosso principl objetivo neste cpítulo é encontrr um função f (x)

Leia mais

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02. IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo

Leia mais

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos

Leia mais

Métodos Numéricos. (Integração numérica) Miguel Moreira DMAT

Métodos Numéricos. (Integração numérica) Miguel Moreira DMAT Métodos Numéricos (Integrção numéric) Miguel Moreir DMAT 1 Introdução Em muits situções, colocds à engenhri, é necessário conhecer o integrl definido I = f (x) dx sem que o mesmo poss ser cálculdo nliticmente:

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

Integração Numérica Grau de uma regra

Integração Numérica Grau de uma regra Integrção Numéric Gru de um regr Um regr diz-se de gru n se integrr sem erro todos os polinómios de gru n eexistir pelo menos um polinómio de gru n que não é integrdo exctmente. Exemplos: Regr do Trpézio

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração RESUMO DE INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A rte de encontrr ntiderivds é chmd de integrção. Desse modo, o plicr integrl dos dois ldos d equção, encontrmos tl d ntiderivd: f (x) = d dx [F (x)] f (x)dx = F

Leia mais

Homero Ghioti da Silva. 9 de Junho de 2016 FACIP/UFU. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

Homero Ghioti da Silva. 9 de Junho de 2016 FACIP/UFU. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16 Homero Ghioti d Silv FACIP/UFU 9 de Junho de 216 Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de 216 1 / 16 Integrção Numéric Motivção Estudr métodos numéricos pr se resolver integris denids do tipo I =

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

1 Fórmulas de Newton-Cotes

1 Fórmulas de Newton-Cotes As nots de ul que se seguem são um compilção dos textos relciondos n bibliogrfi e não têm intenção de substitui o livro-texto, nem qulquer outr bibliogrfi. Integrção Numéric Exemplos de problems: ) Como

Leia mais

Derivação e Integração Numérica. 1.1 Aproximação da derivada por diferenças nitas. f (x 0 ) f(x 0) f(x 0 h) = y 1 y 0

Derivação e Integração Numérica. 1.1 Aproximação da derivada por diferenças nitas. f (x 0 ) f(x 0) f(x 0 h) = y 1 y 0 Derivção e Integrção Numéric 1 Derivção Numéric Ddo um conjunto de pontos (x i, y i ) ( ) n i=1, derivd dy pode ser clculd de váris forms N próxim dx i seção trblremos com diferençs nits, que é mis dequd

Leia mais

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. Equipe de Cálculo Numérico do MAP/IME/USP

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. Equipe de Cálculo Numérico do MAP/IME/USP INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Equipe de Cálculo Numérico do MAP/IME/USP Nests nots desenvolveremos teori d prte finl do curso, escolendo lguns cminos lterntivos à referênci principl, que

Leia mais

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9 www.mtemticemexercicios.com Integris (volume ) Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

Diferenciação Numérica

Diferenciação Numérica Cpítulo 6: Dierencição e Integrção Numéric Dierencição Numéric Em muits circunstâncis, torn-se diícil oter vlores de derivds de um unção: derivds que não são de ácil otenção; Eemplo clculr ª derivd: e

Leia mais

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos

Leia mais

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x. Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA FUNÇÃO DO º GRAU OU QUADRÁTICA - Definição É tod função do tipo f() = + + c, com *, e c. c y Eemplos,, c números e coeficient termo vr vr iável iável es independen reis indepemdem dependente de te ou te

Leia mais

Capítulo Breve referência histórica Aproximação da primeira derivada

Capítulo Breve referência histórica Aproximação da primeira derivada Cpítulo 5 Derivção e integrção numéric 5.1 Breve referênci istóric As técnics de derivção e integrção numéric, d form como s iremos estudr neste cpítulo, têm mesm origem d interpolção. No entnto, temos

Leia mais

Revisão de Polinômios

Revisão de Polinômios Cpítulo 1 Revisão de Polinômios Definição 1 Um polinômio p é um função com domínio e imgem em um conjunto C ou R ddo n form: p : C C x p(x) = 0 x n + 1 x n 1 +... + n 1 x + 0 O número inteiro n é dito

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões Aul de solução de problems: cinemátic em 1 e dimensões Crlos Mciel O. Bstos, Edurdo R. Azevedo FCM 01 - Físic Gerl pr Químicos 1. Velocidde instntâne 1 A posição de um corpo oscil pendurdo por um mol é

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como

Leia mais

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade 1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio

Leia mais

Integrais Duplas em Regiões Limitadas

Integrais Duplas em Regiões Limitadas Cálculo III Deprtmento de Mtemátic - ICEx - UFMG Mrcelo Terr Cunh Integris Dupls em egiões Limitds Ou por curiosidde, ou inspirdo ns possíveis plicções, é nturl querer usr integris dupls em regiões não

Leia mais

Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017

Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017 Potencil Elétrico Evndro Bstos dos Sntos 14 de Mrço de 2017 1 Energi Potencil Elétric Vmos começr fzendo um nlogi mecânic. Pr um corpo cindo em um cmpo grvitcionl g, prtir de um ltur h i té um ltur h f,

Leia mais

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico.

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico. Aul 3 Aplicções d integrl Objetivos Utilizr integrl definid pr clculr áre, comprimento de rcos, volume de sólidos de revolução e trblho mecânico. Inicimos ul 9, dedicd à integrção, motivndo o conceito

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo.

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo. Cálculo Univrido List numero integrl trcisio@sorlmtemtic.org T. Prcino-Pereir Sorl Mtemátic lun@: 7 de setemro de 7 Cálculo Produzido com L A TEX sis. op. Dein/GNU/Linux www.clculo.sorlmtemtic.org/ Os

Leia mais

Elementos Finitos Isoparamétricos

Elementos Finitos Isoparamétricos Cpítulo 5 Elementos Finitos Isoprmétricos 5.1 Sistems de Referênci Globl e Locl Considere o elemento liner, ilustrdo n Figur 5.1, com nós i e j, cujs coordends são x i e x j em relção o sistem de referênci

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

9.2 Integração numérica via interpolação polinomial

9.2 Integração numérica via interpolação polinomial Cpítulo 9 Integrção Numéric 9. Introdução A integrção numéric é o processo computcionl cpz de produzir um vlor numérico pr integrl de um função sobre um determindo conjunto. El difere do processo de ntidiferencição,

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

b a f(x) dx a f(x)dx = 0 f(x)dx a f(x)dx = - b f(x)dx b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx ou - f(x)dx ou - f(x)dx f (x) y f (x) 1 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL

b a f(x) dx a f(x)dx = 0 f(x)dx a f(x)dx = - b f(x)dx b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx ou - f(x)dx ou - f(x)dx f (x) y f (x) 1 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DEFINIÇÃO DE INTEGRAL Dentro do conceito do cálculo, temos que integrl foi crid pr delimitr áre A loclizd sob um curv f() em um plno crtesino. A f () b A notção mtemátic d integrl cim é: A = b f() d 2

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds

Leia mais

Formas Quadráticas. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominação de uma função especial, definida genericamente por: 1 2 n ij i j i,j 1.

Formas Quadráticas. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominação de uma função especial, definida genericamente por: 1 2 n ij i j i,j 1. Forms Qudrátics FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominção de um função especil, definid genericmente por: Q x,x,...,x x x x... x x x x x... x 1 n 11 1 1 1 1n 1 n 3 3 nn n ou Qx,x,...,x 1 n ij i j i,j1 i j n x x

Leia mais

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo Método de Monte Crlo Antonio Crlos Roque d Silv Filho e Cristino R. F. Grnzotti 19 de junho de 2017 1 Definição do Método de Monte Crlo e Estimtiv d Acuráci Um experimento computcionl requer execução de

Leia mais

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em: Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples,

Leia mais

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3) Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Integrl Imprópri Integrl imprópri em R n (n =,, 3) Autores: Angel Cássi Bizutti e Ivo Fernndez Lopez Introdução

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c. EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =

Leia mais

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS ITRODUÇÃO AOS MÉTODOS UMÉRICOS Professor: Dr. Edwin B. Mitcc Mez emitcc@ic.uff.r www.ic.uff.r/~emitcc Ement oções Básics sore Erros Zeros Reis de Funções Reis Resolução de Sistems Lineres Introdução à

Leia mais

Aula 10 Estabilidade

Aula 10 Estabilidade Aul 0 Estbilidde input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso input S output Equivlentemente, pode ser

Leia mais

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques EFETUANDO INTEGRAIS 7 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 7. Introdução 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Propriedde Propriedde Propriedde Propriedde 4 7. Um primeir técnic de Integrção 7..

Leia mais

Análise numérica para solução de integrais não elementares

Análise numérica para solução de integrais não elementares UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAIBA CAMPUS CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA ESPECIALIZACAO EM MATEMÁTICA PURA E APLICADA Análise numéric pr solução de integris não elementres por BALDOINO SONILDO

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

Hewlett-Packard PORCENTAGEM. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Hewlett-Packard PORCENTAGEM. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Hewlett-Pckrd PORCENTAGEM Auls 01 04 Elson Rodrigues, Gbriel Crvlho e Pulo Luiz Rmos Sumário PORCENTAGEM... 1 COMPARANDO VALORES - Inspirção... 1 Porcentgem Definição:... 1... 1 UM VALOR PERCENTUAL DE

Leia mais

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems ineres Prte I Prof. Jorge Cvlcnti jorge.cvlcnti@univsf.edu.br MATERIA ADAPTADO DOS SIDES DA DISCIPINA CÁCUO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/ Sistems

Leia mais

Aproximação de funções de Bessel

Aproximação de funções de Bessel Aproximção de funções de Bessel Gonzlo Trvieso 2013-04-05 Sumário 1 Integrção numéric 1 1.1 Integrl definid......................... 1 1.2 Regr do trpézio......................... 1 1.3 Número de intervlos.......................

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos

Leia mais

Lista de Exercícios Integração Numérica

Lista de Exercícios Integração Numérica List de Exercícios Integrção Numéric ) Nos exercícios ixo, proxime integrl utilizndo () Regr do Trpézio e () Regr de Simpson. (Arredonde respost pr três lgrismos significtivos.) ) x dx n = 8 Regr do Trpézio:

Leia mais

Recordando produtos notáveis

Recordando produtos notáveis Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único

Leia mais

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2 Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo

Leia mais

Problemas e Algoritmos

Problemas e Algoritmos Problems e Algoritmos Em muitos domínios, há problems que pedem síd com proprieddes específics qundo são fornecids entrds válids. O primeiro psso é definir o problem usndo estruturs dequds (modelo), seguir

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral Eercícios de Integrl Eercícios de Fição Cálculo I (5/) IM UFRJ List 5: Integrl Prof Milton Lopes e Prof Mrco Cbrl Versão 55 Fi : Determine se é Verddeiro (provndo rmtiv) ou Flso (dndo contreemplo): b ()

Leia mais

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b... Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes

Leia mais

Cálculo integral. 4.1 Preliminares

Cálculo integral. 4.1 Preliminares Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Preinres Considere um decomposição do intervlo [, ] R em su-intervlos d orm [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], onde = x < x < < x n < x n = e n N. Por um questão de simplicidde,

Leia mais

QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2

QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2 PROV ELBORD PR SER PLICD ÀS TURMS DO O NO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO NCHIET-B EM MIO DE. ELBORÇÃO: PROFESSORES OCTMR MRQUES E DRINO CRIBÉ. PROFESSOR MRI NTÔNI C. GOUVEI QUESTÃO. O ldo x do retângulo que

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

x n dx = xn+1 n k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = tan(x) + k, k R

x n dx = xn+1 n k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = tan(x) + k, k R Algums primitivs Simples... c dt = cx + k, k R x n dx = xn+ n + + k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = rctn(x) + k, dx = SetSh(x)

Leia mais

Incertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha

Incertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha Incertezs e Propgção de Incertezs Cursos: Disciplin: Docente: Biologi Biologi Mrinh Físic Crl Silv Nos cálculos deve: Ser coerente ns uniddes (converter tudo pr S.I. e tender às potêncis de 10). Fzer um

Leia mais

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems ineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems ineres Form Gerl... n n b... n n

Leia mais

Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4

Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 1 Contents Cálculo em Computdores 2006 Integris de funções de dus vriáveis 1 Áres no plno 2 1.1 exercícios...............................................

Leia mais

Prof. Dr. Maurício Zahn UFPel. Análise real II

Prof. Dr. Maurício Zahn UFPel. Análise real II Prof. Dr. Murício Zhn UFPel Análise rel II texto de mensgem... Dedicmos este trblho... Prefácio Este mteril foi elbordo durnte o Segundo Semestre letivo de 2016, pr tender Disciplin de Análise Rel II

Leia mais

1 A Integral de Riemann

1 A Integral de Riemann Medid e Integrção. Deprtmento de Físic e Mtemátic. USP-RP. Prof. Rfel A. Rosles 22 de mio de 27. As seguintes nots presentm lgums limitções d integrl de Riemnn com o propósito de justificr construção d

Leia mais

x u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 )

x u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 ) Universidde Federl de Viços Deprtmento de Mtemátic MAT 40 Cálculo I - 207/II Eercícios Resolvidos e Comentdos Prte 2 Limites: Clcule os seguintes ites io se eistirem. Cso contrário, justique não eistênci.

Leia mais

Os números racionais. Capítulo 3

Os números racionais. Capítulo 3 Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,

Leia mais

Equações diofantinas lineares a duas e três variáveis

Equações diofantinas lineares a duas e três variáveis Equções diofntins lineres dus e três vriáveis Eudes Antonio Cost Fbino F. T. dos Sntos Introdução O objetivo deste rtigo é presentr teori básic envolvid ns equções diofntins lineres dus e três incógnits

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo MAT46 - Cálculo I - Teorems Fundmentis do Cálculo Alexndre Mirnd Alves Anderson Tigo d Silv Edson José Teixeir Os Teorems Fundmentis do Cálculo Os próximos teorems fzem conexão entre os conceitos de ntiderivd

Leia mais

TÓPICOS. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos.

TÓPICOS. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos. Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir ÓPICOS Equção liner. AUA 4 Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo

Leia mais

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson LGEBR LINER UTOVLORES E UTOVETORES Prof. demilson utovlores e utovetores utovlores e utovetores são conceitos importntes de mtemátic, com plicções prátics em áres diversificds como mecânic quântic, processmento

Leia mais

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina.

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina. CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o : Aplicções d Integrl: Momentos. Centro de Mss Objetivos d Aul Denir momento em relção um ponto xo e um ret. Denir e clculr

Leia mais