Métodos Numéricos Sistemas Lineares Métodos Iterativos. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina
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- Sérgio Macedo Casqueira
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1 Métodos Numércos Sstems Leres Métodos Itertvos Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
2 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Itrodução É stte comum ecotrr sstems leres que evolvem um grde porcetgem de coefcetes ulos. Esses sstems são chmdos de sstems esprsos. Pr esses tpos de sstems, o método de Elmção de Guss ão é o ms proprdo, pos ele ão preserv ess esprsdde, que pode ser útl por fcltr resolução do sstem. Métodos tertvos são ms ecoômcos o que tge memór dos computdores Podem ser usdos pr reduzr os erros de rredodmeto solução otd por métodos etos Em lgus csos podem ser plcdos pr resolver coutos de equções ão leres (Ruggero, pág 5) Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
3 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Itrodução Um método é tertvo qudo forece um sequêc de promções d solução. Cd um ds promções é otd ds terores pel repetção do mesmo processo. Precsmos sempre ser se sequêc otd está covergdo ou ão pr solução desed. Dd um sequêc de vetores { () }, dzemos que sequêc { () } coverge pr se (), qudo. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
4 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Itrodução Portto, como todo processo tertvo, estes métodos sempre presetrão um resultdo promdo, que será tão prómo do resultdo rel coforme o úmero de terções relzds. Pr determr solução de um sstem ler por métodos tertvos, precsmos trsformr o sstem ddo em um outro sstem ode poss ser defdo um processo tertvo. A solução otd pr o sstem trsformdo deve ser tmém solução do sstem orgl (sstems leres devem ser equvletes). Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
5 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Algortmo Escrever o sstem A =, de form equvlete = F + d (tl como f() = g() pr terções de poto fo). Escolher um promção cl (). Começdo com (), gerr um sequêc de promções { } de form tertv trvés de ( + ) = F () + d fzedo () = F () + d, () = F () + d e ssm sucessvmete. Oservção A represetção de F e d depede do tpo de método usdo. Assm, pr métodos tertvos dferetes, F e d são otdos prtr de A e de forms dferetes. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
6 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Algortmo Como, seqüêc { () } coverge pr o vetor solução so lgums codções d mtrz F. Isto mpõe codções dferetes mtrz A pr dferetes métodos. Pr mesm mtrz A, um método pode covergr, equto outro pode dvergr. Portto, pr cd processo, relção etre A e F deve ser ecotrd pr decdr sore covergêc. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
7 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Algortmo Qudo Prr? Se sequêc { () } estver sufcetemete prómo de (-) prmos o processo. Dd um precsão ε, qudo () < ε etão () é solução do sstem ler. Computcolmete, um úmero mámo de terções tmém é crtéro de prd. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 7
8 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
9 Resolução de Sstems Leres Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9
10 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Motvção Se um sstem com vráves e equções Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
11 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Se () um solução cl pr este sstem. Clculdo o segudo vlor, (), d sequêc { () } prtr de ()... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
12 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Clculdo o vlor de ordem (+) d sequêc { () } prtr de () Equção gerl... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
13 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Se o sstem... Cosderdo que (+) = F () + d, etão temos / F... /... / / / /... / / d... / Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
14 A terção + = F + d pr o método Guss-Jco A mtrz A pode ser rescrt como A=L+D+U (ão é decomposção) A = (L + D + U) = D + = [ (L+U) ] + = (/D)*[ (L+U) ] D é mtrz dgol formdo pelos elemetos d dgol de A U mtrz trgulr superor formd pelos elemetos cm d dgol de A L mtrz trgulr feror formd pelos elemetos o d dgol de A Fzedo Q = (U + L ), e cosderdo D tl que A = (L + D + U) Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Q D Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
15 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Pseudo-Algortmo. Sem A e. Costru s mtrzes Q e D tl que Q = (U + L) e A = (L + D + U). Fç () = ; = ; Erro = If; Tolerc = -5 ;. whle Erro > Tolerc Q D = + ; Erro = A ; ed Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
16 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Crtéro de Covergêc ds lhs Crtéro ds lhs. Ddo o sstem A =, se Se α mα, etão o método de Guss-Jco ger um sére covergete pr solução do sstem depedetemete d escolh de (). pr α,,..., / (mtrz dgolmete domte), Se A é um mtrz dgolmete domte, etão o método Jco coverge pr qulquer vetor cl (). Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
17 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Crtéro ds lhs Eemplo A 5 Crtéro ds lhs: α, α 5, α,5 Como α mα,5 logo, sequêc coverge Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 7
18 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Eemplo A mtrz dos coefcetes é dgolmete domte A 6, ,75,65 8 5, 5,75,65, A,5 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
19 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Eemplo ,65,6565,75, ,75,65,5 5,656,875,5 A 6,7 7,875,5,665,6565,5, ,6565,875,8875 5,665,985,8875 A,95 A mtrz é um dgolmete domte, etão o método Jco coverge. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9
20 A A,,, 7/5 7/5 7/5 /D d,,,,,,,,, F,,, () Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Eemplo F d q d Solução et, A Erro: Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
21 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Eemplo () F () A, d,,,897 () F A (),8 d,8,8,999 () F A (),6 d,6,6,77596 () F A (),97 d,97,97,8 (5) F 5 A (), d,,,67 (6) F (5) 6 A,9959 d,9959,9959,97 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
22 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
23 Resolução de Sstems Leres Clculdo o vlor (+) d sequêc { () } prtr de () Guss-Jco Guss-Sedel Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
24 ... Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
25 5 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel A = (L + D + U) = U L D +... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
26 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Pseudo-Algortmo. Sem A e. Costru s mtrzes D, L e U tl que A = (L + D + D). Fç () = ; = ; Erro = If; Tolerc = -5 ;. whle Erro > Tolerc L U D K = + ; Erro = A ; ed Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
27 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Covergêc Guss-Jco coverge pr qulquer vetor cl, se mtrz A é um mtrz dgol domte. Guss-Sedel coverge pr qulquer vetor cl se A é um mtrz defd postv. A Mtr é defd postv se T A > pr todo dferete do vetor ulo. A mtrz é defd postv, se todos os utovlores são postvos. Ms o crtéro ser dotdo pr covergêc do método Guss-Sedel será o de SASSENFELD. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 7
28 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Covergêc Crtéros de Covergêc; ) Crtéro ds lhs pr o método GAUSS-JACOBI; ) Crtéro de Sssefeld pr o método GAUSS-SEIDEL. Os crtéros cm estelecem codções sufcetes pr covergêc. Crtéro de Sssefeld Sem s qutddes dds por: β β β,,,..., Se β m{β } rápd é covergêc. o método de Guss-Sedel covergrá. Quto meor, ms Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
29 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Sssefeld Sem e β β [ β β β ]/ β,, Se β m{β }. Se <, o método de Guss-Sedel ger um sequêc covergete pr qulquer (). Quto meor, ms rápd covergêc. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9
30 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Covergêc de Sssefeld Eemplo A β β β β β β β β β β Se β m β. Se é meor que etão o método tertvo Guss-Sedel rá covergr pr solução do sstem. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
31 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Sssefeld Eemplo,,,,6,6, 7,8,,,,,,8,6 A,,,,,,6,8 β m,,, β β β β,,,6,7,6,,7,,7,,,,,7,,,8,58 β m,7,,,,58,,76,7,,58 Como <, sequêc gerd pelo método de Guss-Sedel coverge pr solução do sstem A =.,76 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
32 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Eemplo A mtrz dos coefcetes é dgolmete domte A 6, ,75,75,5 8 5,75,5, 5,75,5, A GJ : A,,5 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
33 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Eemplo ,5,875,875, ,875,975,965 5,875,975,965 A GJ : A,765 6,7 7,975,965,997,997,965,99 8 5,997,99,999 5,997,99,999 A GJ : A,8,95 Qudo mos Jco e Guss-Sedel covergem, Guss-Sedel coverge ms rápdo. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
34 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Eemplo () F (), d,,896 () F (),9968 d,,996 () F (),996 d,, () F (),9996 d,, (5) F (), d,, Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
35 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Guss-Jco e Guss-Sedel Comprção Implemetção prlel: Guss-Jco Guss Guss Jord : Sedel: L U D L U D Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
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