Cálculo Diferencial e Integral 1
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- Levi Casqueira Bacelar
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1 NOTAS DE AULA Cálculo Dierecil e Itegrl Limites Proessor: Luiz Ferdo Nues, Dr. 8/Sem_
2 Cálculo ii Ídice Limites.... Noção ituitiv de ite.... Deiição orml de ite.... Proprieddes dos ites.... Limites lteris Limites iiitos Limites o iiito Outros ites otáveis....8 Cotiuidde....9 Eercícios propostos... 7 Reerêcis Biliográics... Cálculo Dierecil e Itegrl
3 Pro. Nues Limites. Noção ituitiv de ite Cosidere ução :, tl que. Ns tels io, oserv-se que medid que os vlores de se proimm de por vlores miores ou meores que, s imges destes úmeros tedem pr. Com isso dizemos que o ite de, qudo tede pr é. Simolicmete temos:,,, 8,,,7,,7,8,,,6,9,7,,,9,8,,,99,97,,,99,98,,,999,997,, Figur: O gráico de um ução, se Outro cso: Cosidere ução :, tl que. se Oserve que,. Assim, o cálculo de, o que iteresse é o comportmeto d ução qudo se proim de e ão o que ocorre qudo deiid o poto. pode ocorrer iclusive de em ser Cálculo Dierecil e Itegrl
4 Pro. Nues Figur: O gráico de um ução, se se. Deiição orml de ite Sej I um itervlo erto o qul pertece o úmero rel. Sej um ução deiid pr I {}. Dizemos que o L, se pr todo, eiste um, tl que L sempre que. Eemplo: Utilizdo deiição, prove que 7. Resolução: Figur: O gráico ilustrdo o 7 Devemos chr um, tl que se 7. Ms, 7. Portto, queremos que se, isto é, Cálculo Dierecil e Itegrl
5 Pro. Nues Cálculo Dierecil e Itegrl. Isto sugere tomrmos. Assim, se 7.. Proprieddes dos ites Se c, L, M g e * N, etão: c c L c c c ] [ M L g M L g M L g 6 L ] [ 7 M L g, se M 8 L, se L Não poderemos estelecer um lei pr os seguites csos Idetermições do tipo: e / : g? g g? ] [ g Teorem: O ite de um ução poliomil, qudo tede pr, é o vlor umérico de o poto. Isto é, Eemplos:
6 Pro. Nues Cálculo Dierecil e Itegrl? Lemrr que: Cosidere e. Logo, Assim, 6? Novmete usremos: Cosidere e. Logo, Assim, 7? 8, sedo: se se
7 9 se? y se se se se se se se se se se se se se se se Pro. Nues Cálculo Dierecil e Itegrl
8 Pro. Nues 6. Limites lteris Cosidere ução, cujo gráico é presetdo sequêci: Etão: ão é deiido o úmero ão pertece o domíio d ução ão eiste os ites lteris são dieretes Oservção: Vej o Aeo, s deiições ormis de ites lteris. Teorem: Sej I um itervlo erto cotedo e sej um ução deiid pr I {}. Temos L se, e somete se, eistirem e e orem mos iguis L. Cálculo Dierecil e Itegrl
9 Pro. Nues 7. Limites iiitos Cosidere ução cuj regr é y Temos que: e, logo Do mesmo modo, cosiderdo ução cuj regr é y Temos que: e, logo Oservção: Vej o Aeo, s deiições ormis de ites iiitos. Cálculo Dierecil e Itegrl
10 Pro. Nues 8 Deiição: A ret é chmd de ssítot verticl d curv y, se pelo meos um ds codições seguites or stiseits: ; ; ; ; Teorem: Sejm e g uções tis que c e g i se qudo está próimo de. g g ;, etão: ii se g g Eemplos: qudo está próimo de... Proprieddes dos ites iiitos Ddos g g g g g g g Coclusão g g se g se se g se g g g Cálculo Dierecil e Itegrl
11 Pro. Nues 9 Não poderemos estelecer um lei pr os seguites csos Idetermições do tipo:,, /, e : g g g ou g g? g? g? g? ou g ou g? g [ ]? g g [ ]? g g ou [ ]? Oservção: Ests proposições cotium válids se sustituirmos o símolo " " por " " ou " ". g.6 Limites o iiito Cosidere ução cuj regr é y Temos que: e Oservção: Vej o Aeo, s deiições ormis de ites o iiito. Teorem: Se é um úmero iteiro e positivo, etão: i ii se se é é pr ímpr Cálculo Dierecil e Itegrl
12 Pro. Nues iii iv Teorem: Se,, é um ução poliomil, etão: i ii Deiição: A ret y L é chmd de ssítot horizotl d curv y, se: L ou L. Eemplos: Sej y rctg, etão: e Logo, s rets y e y são ssítots horizotis à curv y rctg. Sej y, etão:,,, Assim, ret é um ssítot verticl à curv y, equto ret y é um ssítot horizotl à curv y. Cálculo Dierecil e Itegrl
13 Pro. Nues Cálculo Dierecil e Itegrl Clcule Resolução: Respost: A ret y é um ssítot horizotl à curv y. Ache s ssítots verticis e horizotis do gráico de y. Resolução: lemrr que se,. lemrr que se,.
14 Pro. Nues Logo, y e Aid, y são ssítots horizotis d curv. e Logo, é ssítot verticl d curv..6. Proprieddes dos ites o iiito. Ddos g g g g g g g Coclusão g g se g se se g se g. g. g Cálculo Dierecil e Itegrl
15 Pro. Nues Não poderemos estelecer um lei pr os seguites csos Idetermições do tipo:,, /, e : g g? g g? g g? ou g g? ou g ou g? g [ ]? g g [ ]? g g ou [ ]? Oservção: Ests proposições cotium válids se sustituirmos o símolo " " por " "..6. Deiição do úmero e Chmmos de úmero e o ite d ução g, qudo ted pr mis iiito, isto é: e. Tmém podemos oter este mesmo vlor trvés do seguite ite: e Um vlor proimdo pr este úmero irrciol e é:,78888 Eemplos: [ ] e? Fzedo: w temos que se etão w w w Assim, w [ w ] e w w? Fzedo: w temos que se etão w w w Assim, w [ w ] w w 6 e 6 Cálculo Dierecil e Itegrl
16 Pro. Nues e e e e.7 Outros ites otáveis.7. Limite trigoométrico udmetl se Eemplos: se se? Fzedo: y temos que se etão y se se y se y Assim, y y y y se se se se se se cos cos cos cos se cos cos cos se se cos.7. Outro ite importte Eemplos: l e e e l e e e e e l e e e e e l e.8 Cotiuidde Se um ução é deiid em um itervlo erto I e cotíu em, se. Isto sigiic que: i está deiid o poto, isto é eiste ; ii eiste ; iii. Cálculo Dierecil e Itegrl I, dizemos que é
17 Pro. Nues Se um ução é deiid em um itervlo erto I e descotíu em, se ão or cotíu em. Isto sigiic que: i está deiid o poto, isto é eiste ; ii ão eiste ou. Eemplos: A ução ão está deiid o poto. I, dizemos que é se se A ução está deiid o poto, porém,. Logo,, isto é, é descotíu o poto. Cálculo Dierecil e Itegrl
18 Pro. Nues 6 se se A ução está deiid o poto, porém,, isto é, logo, é descotíu o poto. Veriique que ução y é descotíu os vlores iteiros do domíio. Oservção: y é chmd de ução mior iteiro, isto é, ssoci cd vlor de, o mior iteiro que é meor ou igul. Veriique cotiuidde d ução o poto, sedo i ; ii ; iii. Logo, é descotíu o poto. Cálculo Dierecil e Itegrl se. se
19 Pro. Nues 6 Veriique cotiuidde d ução o poto, sedo se se. se i ; ii ; iii. Logo, é cotíu o poto. 7 Determie pr que ução. Resolução: i 9 ; ii - 9 ; se se 7, sej cotíu o poto 7 Logo, pr o ite eistir devemos ter: -, ou 9 Proposição: Se s uções e g são cotíus em um poto, etão: i ii iii iv g é cotíu em ; g é cotíu em ; g é cotíu em ; / g é cotíu em, desde que g..9 Eercícios propostos Sedo dd por determie: - - c - Clcule os seguites ites: se 6 se, costru o gráico d ução e se Respost: 8 Respost: 7 Respost: ão eiste. Respost: 6 Cálculo Dierecil e Itegrl
20 Pro. Nues 8 Clcule. Respost: Lemrr que: Clcule o seguite ite: Respost: Clcule os seguites ites: 8 Respost: e Clcule os ites: se se tg Respost: e Respost: Respost: 6 Sedo que se, etão l Sugestão: Dividir o umerdor e o deomidor por Respost: l, clcule.. 7 Determie tods s ssítots horizotis e verticis ds uções cujs regrs são:. Resposts: Assítots verticis: Não eistem. Assítots horizotis: y e y. y.. Resposts: Assítot verticl: 7 8 Pr quis vlores d costte c ução é cotíu em c c Respost: c se se Cálculo Dierecil e Itegrl 7. Assítots horizotis: y e,? 9 Determie pr que s uções io sejm cotíus os potos especiicdos: se o poto. se Respost:
21 Pro. Nues 9 tg se se o poto. cos se Respost: k, k Z se c, o poto. se 7 Respost:. Costru o gráico d ução e veriique cotiuidde dest ução o poto, se sedo. Respost: é cotíu em. 7 se Cálculo Dierecil e Itegrl
22 Pro. Nues Reerêcis Biliográics. Flemmig, D. M. e Goçlves, M. B. Cálculo A Fuções, ite, derivção e itegrção. 6. Edição. São Pulo: Perso Pretice Hll, 6.. Iezzi, G. e Murkmi, C. Fudmetos de Mtemátic Elemetr. Volume. 6. Edição. São Pulo: Atul Editor, 98.. Iezzi, G. et. l. Fudmetos de Mtemátic Elemetr. Volume Edição. São Pulo: Atul Editor, 98.. Lim, E. L. et. l. A Mtemátic do Esio Médio. Volume. 6. Edição. Rio de Jeiro: Coleção do Proessor de Mtemátic Sociedde Brsileir de Mtemátic,.. Stewrt, J. Cálculo. 6. Edição. São Pulo: Cegge Lerig,. Cálculo Dierecil e Itegrl
23 Pro. Nues ANEXO Deiições ormis de ites lteris Deiição : Sej um ução deiid em um itervlo erto ], [. O ite de, qudo se proim de pel direit, será L e escrevemos L, se pr todo, eistir, tl que se, etão L, isto é: L, / L Deiição : Sej um ução deiid em um itervlo erto ], [. O ite de, qudo se proim de pel esquerd, será L e escrevemos L, se pr todo, eistir, tl que se, etão L, isto é: L, / L Cálculo Dierecil e Itegrl
24 ANEXO Deiições ormis de ites iiitos Pro. Nues Deiição : Sej I um itervlo erto que cotém. Sej id um ução deiid em I {}. Dizemos que qudo se proim de, cresce iitdmete, o que é escrito, se pr qulquer M, eiste, tl que, M, sempre que. Simolicmete: M, / M Deiição : Sej I um itervlo erto que cotém. Sej id um ução deiid em I {}. Dizemos que qudo se proim de, decresce iitdmete, o que é escrito, se pr qulquer M, eiste, tl que, M, sempre que. Simolicmete: M, / M Deiição : Sej I um itervlo erto que cotém. Sej id um ução deiid em I {}. Dizemos que qudo se proim de por vlores miores que, cresce iitdmete, o que é escrito, se pr qulquer Cálculo Dierecil e Itegrl M, eiste, tl que M sempre que. Simolicmete: M, / M
25 Pro. Nues Deiição : Sej I um itervlo erto que cotém. Sej id um ução deiid em I {}. Dizemos que qudo se proim de por vlores meores que, cresce iitdmete, o que é escrito, se pr qulquer M, eiste, tl que M sempre que. Simolicmete: M, / M Deiição : Sej I um itervlo erto que cotém. Sej id um ução deiid em I {}. Dizemos que qudo se proim de por vlores miores que, decresce iitdmete, o que é escrito, se pr qulquer M, eiste, tl que M, sempre que. Simolicmete: M, / M Cálculo Dierecil e Itegrl
26 Pro. Nues Deiição 6: Sej I um itervlo erto que cotém. Sej id um ução deiid em I {}. Dizemos que qudo se proim de por vlores meores que, decresce iitdmete, o que é escrito, se pr qulquer M, eiste, tl que M, sempre que. Simolicmete: M, / M Cálculo Dierecil e Itegrl
27 Pro. Nues ANEXO Deiições ormis de ites o iiito Deiição : Sej um ução deiid em um itervlo erto ], [. Dizemos que qudo cresce iitdmete, se proim de L e escrevemos L, se pr qulquer, id que pequeo, eiste N, tl que L sempre que N. Simolicmete: L, N / N L Deiição : Sej um ução deiid em um itervlo erto ], [. Dizemos que qudo decresce iitdmete, se proim de L e escrevemos L, se pr qulquer, id que pequeo, eiste N, tl que L sempre que N. Simolicmete: L, N / N L Deiição : Sej um ução deiid em um itervlo erto ], [. Dizemos que qudo cresce iitdmete, cresce tmém iitdmete e escrevemos, se pr qulquer M, eiste N, tl que M, sempre que N. Simolicmete: M, N / N M Cálculo Dierecil e Itegrl
28 Pro. Nues 6 Deiição : Sej um ução deiid em um itervlo erto ], [. Dizemos que qudo cresce iitdmete, decresce iitdmete e escrevemos, se pr qulquer M, eiste N, tl que M, sempre que N. Simolicmete: M, N / N M Deiição : Sej um ução deiid em um itervlo erto ], [. Dizemos que qudo decresce iitdmete, cresce iitdmete e escrevemos, se pr qulquer M, eiste N, tl que M, sempre que N. Simolicmete: M, N / N M Deiição 6: Sej um ução deiid em um itervlo erto ], [. Dizemos que qudo decresce iitdmete, tmém decresce iitdmete e escrevemos Cálculo Dierecil e Itegrl
29 , se pr qulquer Pro. Nues M, eiste N, tl que M, sempre que N. Simolicmete: M, N / N M 7 Cálculo Dierecil e Itegrl
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