UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

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1 UNIVERSIAE O ALGARVE ESCOLA SUPERIOR E TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime iuro/nocturo isciplia de COMPLEMENTOS E MATEMÁTICA Ao lectivo de 7/8 - º Semestre Cosidere a ução : deiida por Calcule e represete graicamete o domíio de (, l( (, l( Represete graicamete o domíio de (, e classiique-o topologicamete 3 Calcule, caso eista, Calcule, caso eista, (, (, (, (, S (, (, (, (, T sedo S {(, : } sedo T {(, : } 5 Coclua sobre a eistêcia do ite (, (, (, Prove utilizado a deiição que + ( 6 (, (, 3 Calcule os domíios e os ites, caso eistam, das seguites uções os potos idicados: 3 (,, (, (,, (, 3 33 (,, (, 3 (,, (, (, + (, (, 36 (,, (, + 37 (,, (, 38 + (, se, (, 39 (, ( +, (, 3 ( (, + arctg, (, ÁREA EPARTAMENTAL E ENGENHARIA CIVIL /36

2 Estude a cotiuidade das seguites uções em podem ser prologadas por cotiuidade Caso ão sejam cotíuas veriicar se 3 + (, (, se( + ( + 3 (, 9 ( + (, se + 5 (, cos + se ( + (, (, (, (, ( + + (, (, (, 7, (, (, (, + 8, (, (, l(, < e (, +, outros (, >, se (, 9 +, se + (, >, se se( +, se + + (, l( + +, e e (, (,, e e (, (, + + (, + e, + e,(, (,, + < e (, (, / 36

3 Limites - resumo teórico A deiição de ite para uções reais de variável vectorial é aáloga à deiição de ite para rvr E tem a ver com o estudo do comportameto da ução a vizihaça de um poto Comecemos por recordar a deiição de poto de acumulação eiição: Um poto a diz-se poto de acumulação do cojuto X sse qualquer bola aberta de cetro em a cotiver pelo meos um poto de X distito de a, ou seja, a é poto de acumulação de X B ( a ( X \ { a } ( r > r O cojuto de todos os potos de acumulação de X, chama-se derivado de X e represeta-se por X Eemplo: Cosideremos o cojuto X(, : (, Qualquer poto a ( a, a, com a é um poto de acumulação de X, embora ão perteça a X O poto b (, pertece a X, mas ão é poto de acumulação deste cojuto já que, por eemplo, B (, X# Este eemplo mostra que o acto de um poto a ser poto de acumulação de um cojuto X é idepedete do acto de ele pertecer ou ão a X O que importa é que, tão perto de a quato se queira, se possam ecotrar potos de X distitos de a Na disciplia de complemetos de matemática apeas estudamos ites de uções com duas variáveis, ou seja, para eiição: Seja (, l sse a b (, (, : e (, a b um poto de acumulação de, etão { } : (, \ (, (, (, (, δ > ε ( δ > a b a b < ε l < δ ode (, ( a, b ( a ( b + 3/ 36

4 Observe-se que, o poto ( a, b deve ser ão eterior a, ( a, b pode ou ão pertecer a mas deve pertecer à aderêcia de para ser um poto de acumulação, pois tem de se garatir que qualquer bola aberta de cetro em ( a, b itersecta Isto sigiica, que os valores de (, estão tão próimos de l quato se queira ( (, l < δ desde que (, ( a, b esteja suicietemete perto de ( a, b (se (, ( a, b < ε para um valor adequado de δ Esta deiição pode ser iterpretada através do seguite esquema ε ( a, b l l + δ (, (, l δ Os valores de (, estão tão próimos de l quato se queira ( (, l < δ desde que a distâcia de (, ( a, b a ( a, b seja suicietemete pequea, mas dierete de zero (se ( ( < a + b < ε para um valor adequado de δ Através desta deiição prova-se que o ite, se eistir, é úico, isto é, caso o ite eista, é idepedete da trajectória descrita pelo poto (, a sua aproimação a ( a, b Quado (, ( a, b ao logo de uma trajectória, diz-se que se trata de um ite direccioal Se eiste (, etão todos os ites direccioais são iguais Basta que dois ites direccioais a b (, (, sejam dieretes para que ão eista ite Cotudo, o acto de vários ites direccioais serem iguais ão garate a eistêcia do ite da ução (pode sempre haver uma trajectória para a qual o ite ão seja igual ou ão eista A eistêcia do ite deve ser provada por deiição Neste tipo de problemas, um procedimeto será majorar (, l até se obter uma epressão em (, ( a, b ( a ( b + Claro que para dieretes majorações podem obter-se dieretes epressões para ε ( δ / 36

5 Algumas desigualdade úteis: + dode + dode e (, + ; + + ; + ; + + ; + + ; k + k +, k ; ( si e cos ; si e cos ; si e cos ; + arcta π < Um processo bastate útil o cálculo de ites, em particular, quado estes ão eistem, são os chamados ites iterados Supodo ( (,,, l, a (,,, ( a, a,, a admite-se que as variáveis,,, covergem simultaeamete para a, a,, a Pode admitir-se que primeiro se az teder para a depois a,, ialmete, a, obtedose, assim, um ite escaloado ou iterado, que se represeta por (,,, a a a No caso de se ter variáveis, os ites iterados são em úmero de! Se eiste ( e eistem os! ites iterados etão todos têm o mesmo valor Claro que a eistêcia de dois ites iterados iguais ão implica a eistêcia do ite, mas a eistêcia de dois ites iterados distitos implica a ão eistêcia de ite o poto cosiderado a Em particular para, eistem dois ites iterados, (, a b e (, b a 5/ 36

6 As propriedades dos ites de rvr cotiuam válidas para uções reais de variável vectorial Apresetam-se aqui algumas sem demostração Proposição: Sejam, g e h uções, e seja a um poto de acumulação de Etão, são válidas as seguites propriedades: ( ( l ( l ; a a ( (Lei do equadrameto Se h( l, g( l e eiste uma vizihaça B ( a tal que a a h( ( g( para todo B ( a etão ( l ; r (3 Se ( e eistem M > e uma vizihaça B ( a tal que g( M para todo a B ( a, etão ( g( ; r a a r r ( Se eiste r > e g( tais que: ( l g( para todo o B ( a e g( l, etão ( l ; a r a (5 Se ( l, g( l e α, β, etão a a (i α ( αl ; a (ii ( α ( ± β g( αl ± βl ; a (iii ( ( g( ll ; a ( l (iv a g ( l, ( l Algumas das propriedades, apresetadas a proposição permitem determiar ites de uções de várias variáveis sem recorrer à deiição 6/ 36

7 Limites - possível resolução dos eercícios Cosidere a ução : deiida por l( (, l( Calcule e represete graicamete o domíio de (, Resolução: O domíio da ução é {(, : l( } {(, : } {(, : } > > < < < < Represete graicamete o domíio de (, e classiique-o topologicamete Resolução: A represetação gráica de é (Ateção: Complete o gráico! Topologicamete,, pode ser classiicado da seguite maeira: { } it( (, : < <, é um cojuto aberto; { } rot( (, : ; { } ad( it ( rot( (, : ; ão é um cojuto echado; { } (, : ad( ;, ão é um cojuto itado pois ão eiste uma bola de que o coteha;, ão é um cojuto compacto uma vez que ão é echado em itado 7/ 36

8 3 Calcule, caso eista, (, (, (, (, S, sedo S {(, : } Resolução: l( l( (, l( l( (, (, (, (, (, S Calcule, caso eista, (, (, (, (, T, sedo T {(, : } Resolução: (, l( l( l( l( + (, (, (, (, R C (, T 5 Coclua sobre a eistêcia de (, (, (, Resolução: Como o valor do ite é dierete para trajectórias dieretes coclui-se que ão eiste (, (, (, Prove utilizado a deiição que ( 6 (, (, + Resolução: Temos que provar que { } < + + <, ( : (, \ (, (, (, δ > ε δ > ε 6 δ com (, (, ( ( + Como ( ( ( + etão ( + (, dode ( ( ε ε ε ε ε ε + < < < < + < < + ( ( ε + < < ε ε 8 < < ε + 8 e como ( ( ( + etão ( ( +, vem ( ( ε ε ε ε ε ε + < < < < + < < + ( ε ( ε + < < + 8/ 36

9 sedo < ε etão ÁREA EPARTAMENTAL E ENGENHARIA CIVIL ε ε as desigualdades apresetadas em cima vem ( ( ε 8 + ε < < ε 8 + ε < < + 8 ε ε ε ε ε 8ε < < ε + 8ε * ε < + + < 6 ε isto é, azedo vem Obs (*: e < ε δ ε mi, < δ 8 < < + 8 ε ε ε ε vem, > ε 8ε < ε + 8ε, sedo ε ε, etão < ε + 8ε ε ε e > ε 8ε, por outro lado, se ε ε, etão 3 Calcule os domíios e os ites, caso eistam, das seguites uções os potos idicados: 3 (,, (, + Resolução: O domíio da ução é Para o cálculo do ite {(, : } \{(,} + +, (, (, (, (, (, obtedo-se idetermiação que deve levatada, cosideram-se dois processos: 9/ 36

10 º Processo: Ivestigar a eistêcia do ite através do cálculo dos ites iterados? (, (,, se os ites iterados eistirem e orem dieretes, pode cocluir-se que o ite ão eiste Se orem iguais apeas se pode cocluir que, se o ite eistir, terá o valor dos ites iterados Neste caso, calcula-se o ite ao logo de outra trajectória (e assim por diate, se houver idicações de que o ite eiste aplica-se, por eemplo, a deiição, para se provar a sua eistêcia Assim, + e + Como os ites iterados eistem e são dieretes pode cocluir-se que ão eiste (, (, + º Processo: Ivestigar a eistêcia do ite através do cálculo de ites direccioais Para eistir o ite, este deve ser idepedete da trajectória e etre as possíveis trajectórias que passam o poto (,, calcule-se os ites ao logo da amília de rectas, cocorretes, de equação m (ode m é o declive das rectas A restrição de (, às rectas m é logo ( m m (, m, + ( m + m m m (, (, m + m + m (, (, m Como o ite depede do declive das rectas (m, isto é, depede da trajectória, coclui-se que o ite ão eiste Obs: m (, ; (, (, m (, (, 3 (, 5 Obs: Neste eemplo, bastava ter utilizado um dos processo para se cocluir quato à ão eistêcia do ite / 36

11 3 + (, 3, (, Resolução: O domíio da ução é por outro lado, a roteira do domíio é Pretede-se calcular {(, : 3 } {(, : 3 }, { } rot( (, : (, (, Este é um eemplo em que uma observação directa da ução permite cocluir que os ites iterados eistem e são dieretes, logo também por este processo se coclui que o ão eiste ite Com eeito + e Por outro lado, o ite ao logo das rectas que passam em (,, da orma m, é: + + m + m, ( m m 3 m (, (, m Como o ite depede de m, coclui-se pela ão eistêcia do mesmo Repare-se que para qualquer outro poto pertecete à recta de equação 3 ( m 3, dierete de (,, do tipo (, (,3, (, (, 3 (, (, Coclui-se que ão eiste (, (, (, quado (, rot( / 36

12 33 (, +, (, Resolução: O domíio da ução é { } \ (, Neste caso quado se calculam os ites iterados relativamete ao ite (, (, +, apeas se pode cocluir que se o ite eiste é zero, uma vez que, e Não sedo o cálculo dos ites iterados coclusivo relativamete à eistêcia do ite, passemos ao cálculo dos ites direccioais O ite ao logo das rectas que passam em (,, de equação m, é m m + + m + m (, (, m Como este ite ão depede de m e tem um valor igual ao dos ites iterados, pode eistir, ou ão, ite, mas se eistir à idicações de que o seu valor é zero a relação etre e a ução, calcule-se o ite ao logo da amília de parábolas que passam o poto (,, de equação m, m m + + m + m (, (, m Como o ite ao logo das parábolas depede de m, coclui-se que ão eiste (, (, + Obs: Bastava ter cosiderado, por eemplo, m, vido, dierete do + 5 (, (, ite ao logo das rectas, para se ter cocluído que o ite ão eiste / 36

13 3 (, +, (, Resolução: O domíio da ução é Pretede-se calcular o ite { } \ (, (, (, + Prova-se que os ites iterados, os ites ao logo das rectas e das parábolas que passam a origem são zero, logo, se eistir ite o seu valor é igual a zero Tete-se provar por deiição, para isso há que provar que δ ε δ : (, \{(,} (, (, < ε (, < δ, > ( > isto é, tem que se provar que sedo δ > eiste outro º positivo ε (que depede de δ tal que para < ( + ( < ε se tem + < δ É válida a seguite majoração, uma vez que + e +, ( < ε δ Sedo + a distâcia de (, a (,, para se ter, por eemplo, (, l, + <, basta requerer que (, esteja a uma distâcia, de (, Mais em geral, para qualquer úmero positivo ε δ, por muito pequeo que seja, tem-se a garatia que + < δ, desde que (, se ecotre a uma distâcia máima δ de (, O que sigiica dizer que a diereça (, pode ser tão pequea quato se queira Basta, portato, cosiderar ε δ para que se garatir que + < ε + < δ 3/ 36

14 Em particular, é suiciete queε δ para que δ > ε δ : + < ε δ < δ, + isto é, que (, (, + 35 (, + (, (, Resolução: O domíio da ução é Para o cálculo do ite {(, : ( } \{(,} + os ites iterados são e (, (, + (, + ( + (, ou seja, se o ite eistir o seu valor é zero Como o ite ao logo da recta, + ( + ( (, (, pode cocluir-se que ão eiste o ite da ução o poto cosiderado 36 (, + 3 3, (, Resolução: O domíio da ução é Para o cálculo do ite { } \ (, (, (, 3 3 +, os ites segudo dieretes trajectórias e os ites iterados sugerem que o valor deste ite é zero / 36

15 Aplicado a deiição, deve provar-se que 3 3 ( : (, \{(,} ε δ ε δ δ > > + < < + Como, ( ( < ε δ δ basta, portato, cosiderar ε, ou, em particular, ε, para garatir que ou seja, que 3 3 δ + < ε < δ, + (, 3 (, (, +, (, Resolução: O domíio da ução é { } \ (, Utilizado a deiição para se calcular o ite (, (, +, basta cosiderar ε δ, para se cocluir que (, (, + 5/ 36

16 38 (, se, (, Resolução: O domíio da ução é Para se calcular o ite comece-se pelos ites iterados {(, : } se, (, (, se, uma vez que a ução seo é itada e o produto de um iiitésimo por uma ução itada é um iiitésimo, cotudo se, ão eiste, uma vez, que ão eiste se se t, azedo t t Pelos ites iterados ada se pode cocluir O ite desta ução ao logo das rectas que passam o poto (, é se mse, (, (, m o produto de um iiitésimo por um ução itada é um iiitésimo Para se utilizar a deiição, há que provar que δ > ε ( δ > : (, \{(,} + < ε se < δ Como se se + < ε, se cosiderado ε δ garate-se que se (, (, Obs: Este eemplo mostra que apesar de um dos ites iterados ão eistir, o ite da ução eiste Os ites iterados devem eistir para que se possam tirar coclusões 6/ 36

17 39 (, ( + ÁREA EPARTAMENTAL E ENGENHARIA CIVIL, (, Resolução: O domíio da ução é Para o cálculo do ite {(, : (, (, } os ites iterados são e +, (, (, (, ( + ( + Como os ites iterados são dieretes coclui-se que ão eiste ( + (, (, Caso ão se tivessem calculado primeiro os ites iterados, poder-se-ia ter calculado o ite ao logo da amília de rectas que passa o poto (,, T {(, : m( }, m ( ( + ( + ( + m ( (, (, (, T m( m (, + m ( logo se o ite eistir é zero Como o ite sobre S {(, } : m, m ( ( + ( + ( + m ( (, (, (, S m m + m, depede de m, ão eiste ( + (, (, 7/ 36

18 3 ( ÁREA EPARTAMENTAL E ENGENHARIA CIVIL (, + arctg, (, Resolução: O domíio da ução é {(, : } Para o cálculo do ite (, (, + arctg ( Comece-se por calcular os ites iterados Cálculo auiliar + + ( arctg arctg arctg π + arctg, π arctg arctg( t, azedo a mudaça de variável t + t ; t, quado, arctg, a ução arco-tagete é itada, o produto de um iiitésimo por uma ução itada é um iiitésimo e uma vez que, arctg ( + arctg, Uma vez que os ites iterados eistem e são iguais a zero, se o ite da ução eistir será zero Cosiderado a amília de circuerêcias que passam em (,, da orma + ( a a, C(, a e r a, resolvedo em ordem a, vem + ( a a ± a 8/ 36

19 tomado, por eemplo, o ite segudo a semicircuerêcia de equação a, vem a + arctg a + arctg ( ( (, (, a a a arctg O produto de um iiitésimo por uma ução itada é um iiitésimo Obs: A ução arco-tagete é uma ução impar arctg( arctg( Através dos ites calculados, se o ite eistir o seu valor é zero Utilizado a deiição deve provar-se que δ > ε ( δ > : (, \{(,} + < ε ( + arcta < δ Como basta cosiderar ε π + + < + ( arcta ( arcta ( π arcta < δ π π δ δ π π ( + < δ ( + < + < + arcta, para se provar que ( (, (, + arctg Obs: Pela proposição poto 3 do resumo teórico ( (, (, 9/ 36

20 Cotiuidade resumo teórico Ao cotrário da oção de ite, que está ligada ao estudo do comportameto de uma ução a vizihaça de um poto sem ter em cota o que acotece o próprio poto, a oção de cotiuidade relacioa o comportameto de uma ução perto de um poto com o valor que ela toma esse poto O coceito de cotiuidade pode ser geeralizado a uções deiidas em Como apeas se pode visualizar o gráico de uções com, o âmbito da disciplia de complemetos de matemática, iteressa a seguite deiição para uções deiidas em superícies, cujos gráicos são eiição3: Seja : quado { } A ução (,, diz-se cotíua o poto ( a, b : (, \ (, (, (, (, (, δ ε ( δ a b - a b < ε a b < δ Sedo ( a, b > > um poto de acumulação da ução, esta é cotíua o poto ( a, b sse (, ( a, b (, ( a, b Graicamete, a cotiuidade de uma ução um determiado poto sigiica que o gráico da ução esse poto ão apreseta qualquer salto Uma ução : é cotíua sse or cotíua em todos os potos do seu domíio Se a codição de cotiuidade ão se veriicar um certo poto ( a, b, etão este será um poto de descotiuidade A descotiuidade é ão essecial, removível ou prologável se eistir (, (, ( a, b Chama-se, portato, prologameto por cotiuidade de ao poto ( a, b, à ução * que coicide com os potos ode esta já estava deiida e que o poto a toma o valor * ( a, b (, : (, ( a, b * (,,(, (, (,,(, ( a, b (, ( a, b Neste caso, também, se diz que a ução é prologável por cotiuidade o poto ( a, b Note-se que, embora ( a, b, como é eigido que eista (, (, (, a b, o poto ( a, b terá que ser um poto de acumulação do domíio, para que aça setido calcular o ite esse poto / 36

21 Caso ão eista (,, a descotiuidade é ão removível e a ução ão poderá (, (, a b ser prologada por cotiuidade Uma ução : diz-se descotíua um poto ( a, b sse ão or cotíua em prologável por cotiuidade a esse poto eiição: Uma ução : da orma (,,, α i i i, ode α é um escalar e i i,,, i são úmeros iteiros ão egativos, é chamado um moómio Uma ução que represeta a soma de moómios é um poliómio Proposição: Uma ução poliomial : é cotíua em todo o poto a eiição5: Se g e h orem ambas uções poliomiais, à ução ( g( h( dá-se o ome de ução racioal Proposição3: Uma ução racioal : é cotíua em todos os potos do seu domíio Proposição: Supodo as uções : e g : cotíuas em a Etão as uções deiidas por, ( ± g(, ( g(, ( g(, ( g( a e α ( (α, são cotíuas em a Tal como acotece o caso de rvr, a composta de duas uções cotíuas, quado tal composição é possível, é aida uma ução cotíua Teorema: Seja : cotíua o poto ( g a, etão a ução composta go ( g [ ( ] a e g : g é cotíua o poto a cotíua em Pode aida, estabelecer-se a seguite relação etre ite e composição de uções Teorema : Sejam :, g : g e ( g Se ( l e g or go ( g ( g( l cotíua o poto l, etão [ ] a a / 36 a

22 Cotiuidade - possível resolução dos eercícios Estude a cotiuidade das seguites uções em podem ser prologadas por cotiuidade Caso ão sejam cotíuas, veriique se 3 + (, Resolução: O domíio de (, é {(, : } {(, : }, e a sua roteira { } rot( (, : A A ução é cotíua o seu domíio por ser uma ução racioal Como,, a ução ão é cotíua em A ução poderá ser prologada por cotiuidade aos potos da roteira do domíio da ução (potos de acumulação, ou seja, a, se eistir (, (, (, (, (, A, ode (, A é um poto geérico da recta de equação, isto é, qualquer poto do tipo (,, i Para (, (, Os ites iterados são e (, (, , como os ites iterados são dieretes coclui-se que o ite da ução ão eiste a origem Repare-se que m 3 + m, m m m (, (, m / 36

23 ii Para (,, (,, repare-se que m, 3 +, (, (, (,, e, portato, o ite da ução ão eiste para estes poto Por i e ii, coclui-se que ão eiste o ite da ução para qualquer poto (,, cosequetemete, esta ão pode ser prologada por cotiuidade, a estes potos, e assim, a ução ão pode ser prologada de modo cotíuo a, e Obs: Caso se teha * 3 +, - (,,, (, (, * {(, : } {(,} Para a ução é cotíua uma vez que esta deiida por uma ução racioal cujo domíio é {(, : }, ou seja, o deomiador ão se aula Para (, (, a ução é cotíua se (, (, Como oi visto ão (, (, eiste 3 +, logo, a ução ão é cotíua a origem, ou seja, ão é cotíua em (, (, todo o seu domíio Para além disso, a origem é um poto de descotiuidade ão removível, por ão eistir 3 +, podedo cocluir-se que a ução ão é prologável por (, (, cotiuidade à origem, em a 3/ 36

24 se( + (, + Resolução: O domíio da ução é e {(, : }, { } rot( (, : A No seu domíio a ução é cotíua, pois é o quociete de duas uções cotíuas (o deomiador ão se aula O umerador é a composta de duas uções cotíuas g( t se t e h(, +, e o deomiador é uma ução poliomial A ução ão é cotíua em, uma vez, que Para que a ução possa ser prologada por cotiuidade a (, (, (, (, (, A, ode, ou seja, qualquer poto do tipo (,, deve eistir (, é um poto geérico que perteça à recta de equação ( i Para (, (,, pretede-se calcular (, (, se( + +, para isso utiliza-se o teorema do resumo teórico Seja h : deiida por (, h +, tem-se ( + l, que é cotíua o (, (, poto (, e g : g deiida por se t, t g( t t, t se t cotíua em h (, g, pois t t g(, etão se( + goh(, g( + (, (, (, (, Eistido este ite a ução pode ser prologada por cotiuidade à origem / 36

25 ii Para (, (, (, se( + se( + (porquê? + + (, (, (, (, Por i e ii coclui-se que o ite pedido eiste para qualquer poto da recta a ução pode ser prologada por cotiuidade a estes potos, e a pela ução * se( +, + (, +,, +, estes termos, Esse prologameto é dado que é cotíua em todos os potos de (o seu domíio 3 (, 9 Resolução: O domíio da ução é {(, : + 9}, e { } rot( (, : + 9 A Por ser uma ução racioal, é cotíua o seu domíio, ou seja, em todos os potos do plao com ecepção dos potos sobre a circuerêcia de equação + 9 (a roteira do domíio A ução ão é cotíua em, uma vez, que A ução ão pode ser prologada por cotiuidade aos potos (, A, uma vez que 9 9 ( (, (, (, (, ± 9 9 ± 9 Coclui-se que a ução ão é cotíua em prologável por cotiuidade a 5/ 36

26 ( + (, ÁREA EPARTAMENTAL E ENGENHARIA CIVIL se + Resolução: O domíio da ução é { } \ (, Para (, (, a ução é cotíua, pois é o produto de duas uções cotíuas A ução ão é cotíua em, uma vez, que A ução pode ser prologada por cotiuidade em (, (,, uma vez que, ( + se t se (, (, t cosθ + t + t t se θ Sedo se uma ução itada, o produto de um iiitésimo por uma ução itada é um iiitésimo Para se provar por deiição que o ite é zero, basta azer ε δ Assim a ução ( * + se, (, (, (, +,, (, (, é o prologameto por cotiuidade de (, a Obs: Pela proposição poto 3 do resumo teórico ( + se + (, (, 5 (, cos + se + + Resolução: O domíio da ução é { } \ (, A ução é cotíua o seu domíio, pois é o quociete de duas uções cotíuas e o deomiador ão se aula A ução ão é cotíua em, uma vez, que Como a ução ão é cotíua em, vamos estudar a cotiuidade a origem para veriicar se pode ser prologada por cotiuidade a esse poto e, cosequetemete, a 6/ 36

27 Os ites iterados são Por deiição cos se e cos se cos + se δ > ε ( δ > : (, \{(,} + < ε < δ cos + se cos + se cos + se ( + ( cos se cos + se ( + cos + ( + se ( + ( ( + + ( + se ( + + ( + ( + ( ( + + ( + ( + ( + ( + ( + 5 ( + ( + ( + ( + + < ε, ( + ( + δ ou seja, basta cosiderar ε, para se garatir que cocluido-se que, δ cos + se + < ε < δ, + + (, (, cos + se + + Eistido este ite, azedo (, (,, a ução será prologável por cotiuidade à origem, e, cosequetemete a (, (, O prologameto de (, à origem é a ução cos + se, (, (, * (, + +, (, (, que é cotíua em (o seu domíio 7/ 36

28 6 (,, (, (, +, (, (, Resolução: Neste eemplo, temos uma ução deiida por ramos Quato ao domíio: No primeiro ramo, (, +, cujo domíio é \{(,} ; No segudo ramo, (, para (, (, Por e, coclui-se que Quato à cotiuidade: Para (, (, a ução é cotíua uma vez que esta deiida por uma ução racioal cujo domíio é \{(,} Para (, (,, prova-se (eercício 37 que (,, logo, (, (, + a ução ão é cotíua a origem, portato ão é cotíua o seu domíio (em A ução é cotíua em \{(,} Quato ao prologameto por cotiuidade da ução à origem (poto de descotiuidade: Como eiste (eercício 3g a descotiuidade é removível, e a ução é prologável (, (, + por cotiuidade à origem, basta cosiderar (, A ução (, (, +, (, (, * (, +, (, (, é o prologameto por cotiuidade da ução à origem Esta ução é cotíua em todo o seu domíio, ou seja, em Coclusão: A ução é cotíua em \{(,}, mas, pode ser prologada por cotiuidade a, sedo esse prologameto dado por * (, 8/ 36

29 7 ÁREA EPARTAMENTAL E ENGENHARIA CIVIL ( + (, (, (, (, ( + + (, (, (, Resolução: Por raciocíio aálogo ao do eercício aterior coclui-se que Quato à cotiuidade: Para (, (,, a ução é cotíua, pois esta deiida por uma ução racioal cujo domíio é precisamete \{(, } Para (, (,, a ução é cotíua sse (, (, Fazedo uma (, (, traslação dos eios, isto é, cosiderado t +, t e w, w, vem (, ( + ( tw (, ( + + ( ( t, w (, t + w (eercício 3 Equivaletemete, para o cálculo deste ite, poder-se-ia ter calculado o ite sobre a amília de rectas que passa o poto (,, com equação m( + Coclusão: Como (, (, (, (, a ução é cotíua em todo o seu domíio, ou seja, em 8 l(, < e (, +, outros (, 3 Resolução: A ução está deiida por ramos, e em cada ramo por uma ução Para se estudar a cotiuidade desta ução, deve ivestigar-se a cotiuidade os dois ramos e sobre os potos que veriicam as codições que os separam, ou seja, sobre os cojutos e {(, : } A {(, : e } B < 9/ 36

30 Quato ao domíio: No primeiro ramo, (, l( cujo domíio é {(, : < e } No segudo ramo (, 3 + cujo domíio é Por e coclui-se que o domíio da ução é Quato à cotiuidade: No primeiro ramo, a ução cotíua por ser o produto de duas uções cotíuas em No segudo ramo, a ução é cotíua por ser uma ução poliomial (cotíua em Em A, para potos do tipo (, (,, (, a ução ão é cotíua, uma vez que l( (, (, ( Em B, para potos do tipo (, (,, ( a ução ão é cotíua, uma vez que l( (, (, ( Coclusão: A ução é cotíua em \{(, : ou ( < e } prologada por cotiuidade a,, ão pode ser >, se (, +, se + Resolução: Aalogamete ao eercício aterior coclui-se que o domíio da ução é Também este eemplo, para se estudar a cotiuidade da ução deve ivestigar-se a cotiuidade os dois ramos e sobre os potos que veriicam a codição que os separa, ou seja, sobre a recta de equação + No primeiro ramo, a ução é deiida por + que é uma ução cotíua o seu domíio,, em particular, para todo o par (, que veriica a codição + > 3/ 36

31 No segudo ramo, a ução é deiida por +, cotíua em para todo o par (, que veriica a codição +, em particular, cotíua Para se estudar a cotiuidade da ução sobre a recta de equação, ou seja, para os potos do tipo (, (,, cosiderem-se os cojutos {(, : } A + >, e A ução é cotíua em C sse {(, : } B + < {(, : } C + (, (, (,, (, (, (, (, (, A (, B ou seja, Como e ( (, (, (, (, (, ( (, (, (, (, ( + ( +, (, (, (, (, sobre os potos da recta de equação veriiquem a igualdade, a ução é cotíua apeas os potos que, ou seja, para, isto é, para o poto (, (, (, Coclusão: A ução é cotíua o seu domíio com ecepção dos potos sobre a recta + eceptuado a origem, isto é A ução ão é prologável por cotiuidade a { } { } (, \ (, (, 3/ 36

32 (, >, se se( +, se + Resolução: Quato ao domíio: No primeiro ramo, quado (, veriica a codição + >, 3 (, + Repare-se que 3 (, +, ão está deiida para todo o par (, que veriica a codição + >, por eemplo, ão está deiida para o poto (, O domíio deste ramo é {(, : 3 + } No segudo ramo, (, se( + cujo domíio é, em particular, está deiida para os potos do círculo de equação + Por e, coclui-se que o domíio da ução é 3 {(, : } { (, : } (, : (, : + { } Graicamete, (Ateção: Complete o gráico - 3 Os potos de itersecção das curvas + e obtidos através da resolução do sistema +, são (, e (, Podem ser 3 + ( + ± + + 3/ 36

33 Quato à cotiuidade eve ivestigar-se a cotiuidade os dois ramos e sobre os potos que veriicam a codição que os separa, ou seja, sobre os potos da circuerêcia de equação + No primeiro ramo, a ução é deiida por 3 + que é uma ução cotíua o seu domíio No segudo ramo, a ução é deiida por se( +, que é a composta de duas uções cotíuas, g( t se t, em, e h(, +, em, portato, cotíua para todo o par (, que veriica a codição + Sobre a circuerêcia de equação ( +, ou seja, para os potos do tipo (,, ±, a ução será cotíua sse 3 se( (, (, (, (, (, + + Como e + ( + ( + 3 (, (, (, (, + se( + se( + se, (, (, + sobre a circuerêcia a ução será cotíua apeas os potos que veriiquem a igualdade, ou seja, para ±, isto é, para os potos (, e (, Que são precisamete os potos de itersecção das codições que represetam os domíios dos dois ramos da ução Coclusão: A ução é cotíua o seu domíio com ecepção dos potos sobre a circuerêcia + que ão sejam os potos (, e (, Isto é, a ução é cotíua em ( { } \ (, ± {(,,(, } A ução ão pode ser prologada por cotiuidade a 33/ 36

34 Obs: Tedo em cota o domíio da ução, estudar a cotiuidade de (, seria equivalete a estudar a cotiuidade de g(, >, se se( +, se + Isto é, deveríamos estudar a cotiuidade os dois ramos (ode a ução é cotíua e sobre os potos de itersecção dos domíios dos dois ramos, ou seja, os potos (, e (,, provado-se que a ução é cotíua este potos Ituitivamete, basta ter em cota o gráico do domíio de (, + (, l( + + e, e e (, (,, e (, (, Resolução: O domíio da ução é Para se estudar a cotiuidade da ução cosideremse os seguites cojutos e {(, : e } A + e +, {(, : } {(,} B +, {(, : } C + e Para (, Para (, Para (, A a ução é cotíua, uma vez que é o domíio de (, l( + B, a ução é cotíua uma vez que (, (, (, l( + C, a ução ão é cotíua uma vez que, l( + l e ( (, (, ± e (, (, ± e l + ± e como o ite ão eiste a ução ão pode ser prologada por cotiuidade aos potos de C Coclusão: A ução é cotíua em \{(, : + e } cotiuidade a Não pode ser prologada por 3/ 36

35 ÁREA EPARTAMENTAL E ENGENHARIA CIVIL + + (, + e, + e,(, (,, + < e (, (, Resolução: O domíio da ução é Para se estudar a cotiuidade da ução deve ivestigar-se a cotiuidade os seus ramos e sobre os potos que veriicam as codições que os separam Para isso cosiderem-se os cojutos e {(, : (, (,} A + <, {(, : } B + >, {(, : (, (,} C, {(, : } + Para (, ão se aula Para (, h A, (, é cotíua pois esta deiida por uma ução racioal (o deomiador B, (, é cotíua pois é a composta de duas uções cotíuas g( t e t e (, +, [ ] g h(, g + e + Para (, C, a ução é cotíua sse + e (, + (, (, + m + m +, + m + m + (, (, m como ite ão eiste a ução ão é cotíua a origem, em pode ser prologada por cotiuidade a este poto Para (,, os potos estão sobre a circuerêcia de equação +, ou seja, são do tipo (, (, ± A ução será cotiua sse (, (, (, (, (, (, (, (, A (, B 35/ 36

36 Por um lado, (, (, (, (, ± (, A ( ( + + ± (,, + + ± por outro e, (, (, (, (, ± (, B ( + ± + (, e e, ( + ± (, (, ± e (, (, (, (, B Assim, (, é cotíua, em, para os potos que veriicam + + (, (,, (, (, (, (, (, A (, B ou seja, ou ± 3 Assim, em a ução é descotíua ecepto os potos (, e (, ± 3 Coclusão: A ução (, é cotíua em ( \ { (, : + ou } { (,,(, ± 3 } Não é prologável por cotiuidade a 36/ 36

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