CAMPUS DE GUARATINGUETÁ. Computação e Cálculo Numérico: Elementos de Cálculo Numérico Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática Rev.

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1 uesp CAMUS DE GUARATINGUETÁ Computção e Cálculo Numérico: Elemetos de Cálculo Numérico ro. G.J. de Se - Depto. de Mtemátic Rev. 7 CAÍTUO 4 INTEROAÇÃO 4. INTRODUÇÃO Cosidere seguite tbel relciodo clor especíico d águc e tempertur T: Supoh se queir determir: i c pr T 3.5 o C ii T pr c.9985 T o C c Este tipo de problem pode ser resolvido com jud d iterpolção. Iterpolr um ução cosiste em "substituir" est ução por outr ução, g, que é um proimção d ução dd. Há ecessidde de se eetur um iterpolção em váris situções, como por eemplo: qudo ução é cohecid pes em um cojuto iito e discreto de potos, ão se dispodo de su orm lític; b qudo orm lític d ução é tl que operções como dierecição e itegrção são diíceis ou mesmo impossíveis de serem relizds. 4. ROBEMA GERA DE INTEROAÇÃO Sejm,,, K, potos distitos, chmdos potos de iterpolção e sejm,, K, os vlores de esses potos. Objetiv-se obter um ução de iterpolção g pr ução, prtir dos potos de iterpolção, com codição de que os vlores uméricos de e g sejm coicidetes esses potos de iterpolção, ou sej: g, g, g 73

2 Gricmete: Obs.: A ução g pode pertecer à clsse ds uções epoeciis, logrítmics, trigoométrics ou poliomiis; b r o cso d iterpolção poliomil, há s orms dds, por eemplo, pel órmul de Tlor e pelos poliômios de Hermite, em que s codições de iterpolção são outrs. 4.3 INTEROAÇÃO OINOMIA 4.3. EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO OINÔMIO INTEROADOR Ddos os potos,,,, K,,, portto potos, queremos proimr por um poliômio de gru,,,,..., Ddo que é d orm, tl que:... obter sigiic obter os coeicietes,,...,, D codição, obtém-se o sistem lier: 74

3 75 S M M M M M com equções e vriáveis:,,,. A mtriz A dos coeicietes: A M M M M é um mtriz de Vdermode. ortto, desde que,,..., sejm potos distitos, tem-se que det A e que o sistem dmite solução úic. Cocluido: se j j,, etão eiste um úico poliômio, de gru, tl que,...,,,,. Eemplo: Obter um poliômio de gru que iterpole os potos d tbel Determir o vlor proimdo de.5 Solução: Form do poliômio: o Codição de iterpolção:,, Os coeicietes o, e são obtidos, portto, d solução do sistem:

4 S 3 : Usdo o dispositivo prático pr o método de elimição de Guss, obtém-se: Obs.: sbedo-se que e.5, tem-se que e A mtriz A dos coeicietes pode ser, o cso gerl, ml codiciod. ortto, ão será sempre coveiete obter o poliômio de iterpolção d orm idicd o eemplo OBTENÇÃO DE - FORMA DE AGRANGE Sejm,,, K, poliômio de gru que iterpol em... potos distitos, e, i,,, K,. Sej o i i,, K. Supor que, ode cd,,,,...,, é um poliômio de gru. D codição de iterpolção: é d orm: i i vem que i i... i i Est codição será stiseit se se impuser: 76

5 , se i i, se i o que é obtido com seguite deiição de : pois: sei i e Como tem tores d orm - i, é um poliômio de gru. Assim, é um poliômio de gru. Est é orm de grge pr o poliômio iterpoldor: ode π i i π i i i i Eemplo: Sej um ução deiid trvés d tbel seguir. r est ução pede-se, utilizdo orm de grge, com iterpolção qudrátic: O vlor proimdo pr.5 ; b O poliômio de iterpolção orm. Resolução:

6 b Obteção de Observção: Eemplo: iterpolção lier Obter, utilizdo orm de grge, o poliômio que iterpole os potos, e,. b Comprr com equção d ret que pss por estes potos. Resolução: o 78

7 b b tg α b Eemplo: Sej ução cohecid pes os potos tbeldos: Determir o vlor proimdo pr. plicdo-se órmul de grge Resolução:

8 4,, , 3.6 Eercício: Usr orm de grge pr obter um poliômio de gru 3 que iterpole os potos d tbel: Clculr,, 3 e 4, utilizdo Briot-Ruii Resp.: Eercício: Sej ução cohecid pes os potos tbeldos: Determir o vlor proimdo pr.3 plicdo-se órmul de grge OBTENÇÃO DE - FORMA DE GREGORY - NEWTON ARA O OINÔMIO INTEROADOR TABEA DE DIFERENÇAS FINITAS Deiição: Sejm,, K potos que se sucedem com psso h, isto é, j jh. Deie-se o, operdor de diereçs iits como segue: 8

9 h h M h Cohecidos os vlores de em,,, K, costrói-se seguite tbel de diereçs iits:... M 3 3 M M M Eemplo: Sej dd orm tbulr: A tbel de diereçs iits pr est ução é mostrd seguir:

10 4.3. O OINÔMIO DE INTEROAÇÃO Estbelece-se seguite orm pr o poliômio de iterpolção orm de Gregor- Newto: h h h.! Observr que os potos de iterpolção devem ser igulmete espçdos por um vlor de psso h. Eemplo: r os ddos d ução, presetd bio orm tbulr seguir, pede-se obter, usdo orm de Gregor-Newto: Um proimção pr.5 b O poliômio que iterpol Solução: Costrução d tbel ds diereçs iits h h

11 b obteção de : Eemplo: Dd ução, cohecid pelos potos d tbel bio, obter um proimção pr.5, empregdo órmul de Gregor-Newto com: Iterpolção lier b Iterpolção qudrátic Resolução: Costrução d tbel de diereçs iits: Obteção de um proimção pr.5 utilizdo iterpolção lier :

12 O psso h correspode o espçmeto etre os potos, ou sej, h.3... h b Obteção de um proimção pr.5 com iterpolção qudrátic : h h h Observe-se que poderim tmbém ser utilizdos os potos seguir, pr obteção de :

13 Eercício: dd ução, cohecid pelos potos d tbel bio, clculr um proimção pr 3.7, empregrdo órmul de Gregor-Newto. 3 4 Obs.: l Eercício: obter, usdo órmul de Gregor-Newto, um proimção pr.7, ode é um ução cohecid pes os potos tbeldos seguir: OBTENÇÃO DE - FORMA DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS TABEA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS Deiição: Sej,, K,, potos distitos. Deie-se o operdor de diereçs dividids como segue: M um ução tbeld em [ ] [ ] [ ] [ ], [,, ] [,,, ], 3 [ ] [ ] [,,, K, ] [,, ] [,, ], 3 3 [,, K, ] [,, K, ] 85

14 Deie-se [,,, ] sobre os potos: K como sedo diereç dividid de ordem d ução,, K, Tbel de diereçs dividids Cohecidos os vlores de em,, K,,, costrói-se seguite tbel de diereçs dividids. ordem ordem ordem ordem 3... ordem [ ] [, ] [ ] [,, ] [, ] [,,, 3] [ ] [ 3 ] [, 3 ] [,, 3, 4 ],, O 3 [ 3 ] [, 3, 4 ] [ 3, 4 ] M [,,, K, ] 4 [ 4 ] N M M M M [ ] 3,,, [ ] [, ] [,, ] Eemplo: Costruir tbel de diereçs dividids pr ução tbeld seguir: Resolução: 86

15 ordem ordem ordem ordem 3 ordem FORMA DE NEWTON ARA O OINÔMIO INTEROADOR A orm de Newto pr o poliômio que iterpol em,, K,, potos distitos, é seguite: [, ] [,, ] K [,, K, ] K Eemplo: Obter, utilizdo orm de Newto com diereçs dividids, o poliômio que iterpol os potos ddos bio: Resolução: Tbel ds diereçs dividids ordem ordem ordem

16 b Obteção de : [, ] [,, ] Eemplo: Dd ução, cohecid pelos potos d tbel bio, obter um proimção pr.5, trvés d órmul de Newto com diereçs dividids, utilizdo: Iterpolção lier b Iterpolção qudrátic Resolução: Aproimção com iterpolção lier: Costrução d tbel de diereçs dividids: ordem ordem ordem ordem 3 ordem Obteção de : 88

17 ordem ordem [, ] b Aproimção com iterpolção qudrátic: ordem ordem ordem [, ] [, ] , ESTUDO DO ERRO NA INTEROAÇÃO Ao se proimr um ução por um poliômio iterpoldor de gru cometese um erro, ou sej: E, [ ], Teorem : < < < K <, potos, e sej com derivds té ordem Sejm, [, ]. Sej o poliômio iterpoldor de os potos,,, Etão, [, ], tem-se que: E ε K ode ε,! K. 89

18 Observe-se que órmul terior pr rrs s situções em que cohecemos E tem uso limitdo prátic, ddo que são e que o poto ε uc é cohecido. Teorem :, [, K,, ] ε!, e ε,, Observe-se que este teorem mostr relção eistete etre diereç dividid de ordem. e derivd de ordem Corolário : Sob s hipóteses do Teorem, e se seguite relção: or cotíu em I [, ], pode-se escrever E M! K ode M má I Se ução é dd orm de um tbel, o vlor bsoluto do erro,, somete pode ser estimdo. Se costruirmos tbel de diereçs dividids té ordem, podemos usr o mior vlor em módulo ds diereçs dividids de ordem M como um proimção pr o itervlo [ o, ], ou sej:! E K M dividids de ordem diereçs E Eemplo: Sej dd orm tbelr: r est ução, pede-se obter: Um proimção pr.47 utilizdo um poliômio de gru iterpolção qudrátic, prtir d orm de Newto com diereçs dividids. b Obter um estimtiv pr o erro icorrido com est proimção. Resolução: Tbels de diereçs dividids 9

19 ordem ordem ordem ordem [, ] [, ] , b E K M diereçs dividids de ordem E M diereçs dividids ordem 3 E E INTEROAÇÃO INVERSA Dd Tbel: o problem de Iterpolção Ivers cosiste em, ddo o, tl que., obter FORMAS DE SE RESOVER ESTE ROBEMA I Obter tl que que iterpole em,, K,, e em seguid ecotrr Eemplo: Dd tbel seguir, ecotrr um proimção pr tl que. 9

20 Utilizdo iterpolção qudrátic sobre.6,.7, e. 8 Resolução: Tbel de Diereçs Dividids oliômio de Iterpolção o ordem ordem ordem [, ] [, ] , ou pois ,.7. II Iterpolção Ivers Se or iversível um itervlo cotedo etão zemos iterpolção de g. Um codição pr que um ução cotíu um itervlo [, b] sej iversível é que sej moóto crescete ou decrescete este itervlo. Se é dd orm tbelr, supodo que, será cosiderd moóto sej cotíu em o, crescete se < < K < e decrescete se > > K > o o. Eemplo: r os ddos do eemplo terior, ecotrr tl que :, trvés de iterpolção ivers, utilizdo iterpolção qudrátic. Estimr o erro icorrido com est proimção. 9

21 Resolução: Tbel de diereçs dividids: ordem ordem ordem ordem 3,65,5,476,86,6,59,6667 -,97,,7 -,5733,4545,883,3,8 -,439,4348 -,83,46,9 -,4,3846,7 Obteção de iterpolção ivers: g g, g, o o [ o ] o [ o ] , Estimtiv do erro proimção: E K M diereçs dividids de ordem M dividids ordem E..6 E diereçs E Eercício: Sej Tbel: Usdo um poliômio iterpoldor de gru, trblhe de dois modos dieretes pr obter o vlor estimdo de pr o qul.3. Dê um estimtiv do erro cometido em cd cso, se possível. 3 Resp.: I II ; erro Eercício: Costru um tbel pr ução cos usdo os potos:.8,.9,.,.,.,.3. Obteh um poliômio de 3 o gru pr estimr cos.7 Foreç um limitte superior pr o erro o se clculr cos.7 pelo poliômio obtido. 93

22 Resp.: cos E.7 Eercício: O clor especíico d águ, como ução d tempertur, é ddo por: Tempertu, o C Clor Especíico Use iterpolção lier pr estimr o clor especíico d águ 37oC; b Use iterpolção qudrátic pr estimr o clor especíico 37 o C. Observção: usr o poliômio iterpolte de Newto com diereçs dividids, estimr o erro cometido em cd cso: INTEROAÇÃO INEAR DUA Sej determir um proimção pr, Supor que c e c stisçm às restrições: c c, utilizdo teori de Iterpolção. j i c c j i Gricmete: Iicilmete iterpolmos z j, e obtemos um epressão pr j, c r, é um proimção pr,. Depois iterpolmos z, j j c j c r, ode e 94

23 obtemos um epressão pr j c um epressão pr, c c,. Iterpolmos etão z,. O detlhmeto segue: c i, [, ] j, c j i j i j, i i i c i, [, ] j, c j i j i j, i i i c j, [, ], c, c j c j c j j j Notr que s epressões pr, e c e obtemos etão j c j, c são obtids prtir d iterpolção de z como ução de, mtidos costtes os correspodetes vlores de. Notr tmbém que epressão pr c, c é obtid prtir d iterpolção de z como ução de, em r costte é igul c. Observr, por il, que os vlores pr j, c c e j, c, clculdos trvés ds dus primeirs epressões, são utilizdos o cálculo de c, c. Eemplo: A itegrl elíptic de primeir espécie é deiid como sedo: F Θ, ϕ ϕ se dϕ Θse ϕ Mostr-se, seguir, um tbel prcil do vlor dest ução: o o Sej determir F Resolução: Notção utilizd:,, utilizdo iterpolção lier dupl. 5, 6, 3 7, 4 8,

24 5, 55, 3 6, 4 65, 5 7, 6 75, 7 8 Cálculo de um proimção pr 73,77 7, ,8.9 8, , , , i, ii 74 iii ASECTOS COMUTACIONAIS: IMEMENTAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS Esquem pr costrução d tbel de diereçs dividids: X ordem ordem ordem ordem N- ordem N X X X X3 D, D, D, D3, D, D, D, X X D, D, D, X X D3, D, D, X 3 X D4, D3, D3, X 4 X 3 D, D, D, X X D, D, D, X 3 X D3, D, D3, X 4 X D4, D3, D4, X 5 X D, N D, N D, N X N X D, N D, N D, N X N X D, N D, N D, N X N X M M M M XN- XN DN-, DN, D N, D N, D N, X N X N D N, D N, D N, X N X N Sej M N, o úmero de potos d tbel. Os elemetos de D podem ser obtidos, de um orm geéric, prtir ds epressões: 96

25 D I, J D I, J D I, F X I, I, N D I, J, J,..., N, I,,,..., M J X I J X I O poliômio iterpolte de Newto com diereçs dividids, em um determid bsciss A, é ddo por: A D, A X D, A X A X D,... A X A X... X X N D, N A X A X... A X N D, N N J π K J πk com A X K A X D, J Segue o lgoritmo: Iício! Método de Newto com Diereçs Dividids! etrd de ddos Solicite o úmero de potos ei o úmero de potos M Solicite os vlores de X,FX N M r I de té N Fç ei XI, DI, Fim r! costrução d tbel de diereçs dividids r J de té N Fç r I de té M-J Fç D I, J D I, J D I, J X I J X I Fim pr Fim pr! cálculo do vlor proimdo Solicite o vlor d bsciss em que se quer proimr F ei o vlor d bsciss A F r J de té N Fç r K de té J- Fç * A XK Fim r F F D,J* Fim pr * síd do vlor proimdo * Escreve Aproimção, F Fim! Método de Newto com Diereçs Dividids 97

26 Eercícios: Cosidere ução cohecid trvés dos potos d tbel: Atrvés d orm de grge, determie: o vlor proimdo de.3 usdo um poliômio iterpoldor de o gru, ou sej, clcule.3 b 3.3 Sbedo que ução é 3-4 -, clcule.3 etmete. Obs.: trblhr com qutro decimis Resp.: A tbel selguir relcio o clor especíico d águ c em ução d tempertur T. Clculr o clor especiico d águ um tempertur de 5oC iterpoldo os potos d tbel com um poliômio de 3o gru, obtido trvés: d órmul de grge. b d órmul de Newto com diereçs dividids. Comprr os resultdos obtidos com o vlor rel.9985 T o C C Resp.: A tbel seguir relcio velocidde v de um oguete lçdo do solo com o tempo t. Clcule velocidde proimd do oguete 5s pós o lçmeto, iterpoldo os potos d tbel com um poliômio de 4 o gru, obtido trvés d órmul de Newto com diereçs dividids. t s v m/s Resp.: m/s 4 A tbel seguir relcio distâci d percorrid por um bl o logo do co de um chão com o tempo t. Ecotrr distâci percorrid pel bl 5 segudos pós ter sido disprd, iterpoldo os potos d tbel trvés de um poliômio de 4 o gru obtido trvés d órmul de Gregor-Newto. t s d m

27 Resp.: Cosiderdo tbel seguir, ode estão represetdos lgus potos d ução 3, determie o vlor proimdo de Agrdecimetos: Ao ólo Computciol, em prticulr à equipe de digitção, cujo poio oi essecil pr produção do presete trblho. Aos colegs do DMA, pelo poio, crítics e sugestões recebids. BIBIOGRAFIA. RUGGIERO, M.A.G. & OES, V..R. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computciois. McGrw-Hill, DORN, W.S. & MAcCRACKEN, D.D. Cálculo Numérico com Estudo de Csos em Fortr IV. Cmpus, BARROSO,.C. & outros. Cálculo Numérico com plicções. Editor Hrbr td, SCHEID, F. Aálise Numéric. McGrw-Hill, ABRECHT,. Aálise Numéric: um curso modero. ivros Técicos e Cietíicos, ACITTI, T. & ATKINSON, C.. rogrmção e Métodos Computciois Vol.. ivros Técicos e Cietíicos, CHARA, S.C. & CANAE, R.. Numericl Methods or Egieers with ersol Computer Applictios. McGrw-Hill,