PARTE 1: INTEGRAIS IMEDIATAS. Propriedades da integral indefinida: Ex)Encontre as seguintes integrais:

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1 Deprtmeto de Mtemátic, Físic, Químic e Egehri de Alimetos Projeto Clcule! Prof s : Rosimr Fchi Pelá Vd Domigos Vieir Cdero Itegris e Aplicções PARTE : INTEGRAIS IMEDIATAS Defiimos: f ( ) d F( ) k k IR ( F( ) k) f ( ) Proprieddes d itegrl idefiid: ) [ ( ) g( )] d f ( ) d f g( ) d ) k f ( ) d k f ( ) d k IR E)Ecotre s seguites itegris: ) ( ) d d d d k k Pr verificr se respost est corret bst: k Eercícios: Clcule s itegris idefiids: 0) d 7 08) d ) d ( 0) dt 09) d 6) t ) d 0) 0 d y y 0) dy 7) y e d 0) dy y 7t ) dt t se 8) d cos cos 0) 7 d ) ( cos se ) d 9) u u u du 6u 06) [ ( )] d ) h dh h 0) ( e t cost ) dt t

2 07) ( u u ) du ) t dt / 7 ) dy sec y se y PARTE : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO Aplicremos est técic qudo o itegrdo é derivd de um fução compost F ( g( )). Sejm f () e F () dus fuções tis que F ( ) f ( ). Sej g () outr fução derivável ssim pel regr d cdei temos: [ F( g( ))] F( g( )). g( ) f ( g( )). g( ) ou sej F( g( )) é um primitiv de f (g()). g () Pr resolver um itegrl d form fremos itegrl u g() ssim teremos du g( ) d, logo: f (g()) g()d f ( g( )) g( ) d, fremos um mudç vriável itegrl, ou sej: f (u) du F(u) k Ns resoluções deveremos escolher coveietemete fução u, de modo que itegrl se trsforme um ds itegris imedits. E) ( ) d u Fzedo du ( )d ( pois fução eter riz é derivd d fução iter riz) ( ) d u du u u du u k Eercicios: I Clcule s seguites itegris, usdo substituição idicd: 0) ( ) ( ) d fç u 0) tg sec d fç u tg 6 0) d 6 fç u 6 06) tg sec d fç u sec 0) d fç u 07) rcse d fç u rcse 0) e d fç u e 08) d ( (l ) ) fç u l II - Clcule s itegris idefiids:

3 08) tg d 0) d sec ) d ( ) l d l d 0) 09) [ +(l) ] 6) t t dt 0) se d 0) e d e 7) e y dy e y 0) d ) se. cos d 8) dt t l t e d 0) e d ) + e 9) d ) 06) cos ec ( ) d d se.cos 0) d se se d 07) cos 6 ) ( e ).e d PARTE : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO : INTEGRAIS POR PARTES A itegrção por prtes é utilizd qudo itegrl é do tipo f ( ). g( ) de ssim utilizremos formul: f ( ). g( ) d f ( ). g( ) f ( ). g( ) d ou form diferecil, cosiderdo u f () e v g(), etão du f ( ) de dv g( ) d ssim: u dv u. v v du Com um escolh proprid de u e v, segud itegrl deve ser mis fácil que primeir. Qudo usmos ess formul, vris escolhs de u e dv torm-se dispoíveis.

4 E) Clcule ( ) cos d u Escolhedo: dv cos d Assim: du d se v ( com du como ud, pr ecotr - lo derivmos u) dv v, pr ecotrr v itegrmos os dois ldos de dv se se se se ( ) cos d = ( ) d = ( ) se d = ( ) ( cos ) se ( ) cos d = ( ) cos k Eercícios: 0)Resolv s seguites itegris usdo s escolhs idicds: ) ( ) sed fç u e dv se d b) ( ) e d fç u e dv e d c) ( ) l d fç u l e dv ( ) d d) rcsed fç u rcse e dv d 0) Clcule s itegris idefiids: ) ( ).cos() d 8) se d ) ( ). e d 9) l d ) e d 0) cos d ) e d ) sectg d ) l d ) e se d 6) cos() d ) rccos d 7) se d ) rctgy dy

5 PARTE : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO : INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMETRICA Usdo substituições trigoométrics coveietes podemos trsformr itegris que evolvem, e em itegris que podemos clculr diretmete. As figurs seguites os sugerem tl substituição: se se tg tg sec sec Lembretes: 0) se cos 0) sec tg cos se se cos 0) cossec cot g 0) cos( ) cos se 0) se( ) secos

6 E) Clcule d 6 Como temos - deveremos usr substituição: se se, ssim teremos d cos d Logo: I= d = (se ) (se ) cos d se = cos d se = 8se cos d ( se ) 8se 8se I= cos d = cos d = (cos ) cos se d = Usdo um substituição pr resolver segud itegrl temos: se d = - = - se Agor teremos que voltr pr vriável, ssim usremos relção: se se etão: cos d = d cos d rcse e se se cos.. Portto: d = rcse k Eercicios: 0)Usdo s substituições recomedds e idetiddes trigoométrics mostre que: ) sec usdo tg b) 9 cos usdo se c) 6 tg usdo sec d) 9 6 cos usdo se e) tg sec usdo

7 0) Clcule s itegris: 0) 9 d d 06) 7 0) d 07) d 0) d 9 08) d 0) d ( ) - 09) d 0) d 6 0) d 6 PARTE : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO : INTEGRAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS p( ) Sej s itegris d form d, ode p() e q() são poliômios e o gru do poliômio p() é meor do que o q( ) gru do poliômio q(). A itegrl ão é imedit e tmbém ão se resolve por substituições. Esss itegris serão p( ) resolvids escrevedo fução rciol como um som de frções mis simples. Est som será obtid q( ) trvés d ftorção do deomidor, ode os ftores podem ser lieres ou qudrdos irredutíveis, ou sej: º cso)os ftores de q() são lieres distitos, ou sej, q ) ( b ).( b )...( b ) : p( ) f ( ) = q( ) ( b ).( ode A,..., f ( ) b )...( ( A A A =... b ) ( b ) ( b ) ( b, A A são costtes serem determids usdo igulddes de frções rciois. ) º cso) Os ftores de q() são lieres repetidos, ou sej, q ( ) ) ( b)( b)...( b : p( ) f ( ) f ( ) = q( ) ( b).( b)...( b) A ( b) A =... ( b) A ( b) ode A,...,, A A são costtes serem determids usdo igulddes de frções rciois. º cso) Os ftores de q() são qudráticos irredutíveis distitos, ou sej, q( ) ( b c )...( b c ) p( ) f ( ) = q( ) ( ode A, f ( ) b c )...( A B A B =... b c ) ( b c ) ( b c ), B,..., A B são costtes serem determids usdo igulddes de frções rciois.

8 8 º cso) Os ftores de q() são qudráticos irredutíveis repetidos, ou sej, q ( ) ) ( b c).( b c)...( b c : p( ) f ( ) f ( ) = q( ) ( b c).( b c)...( b c) =... ( A B b c) ( A B b c) ( A B b c) ode A,, B,..., A B sã o costtes serem determids usdo igulddes de frções rciois. E) Clcule d ). Ftordo o deomidor, tem-se ( ),ssim os ftores são lieres porem repetidos(. A decomposição por frções prciis será: A B C grupdo o segudo membro cujo MMC é ( ), temos:, A B C A( ) B( ) C ( ) Fzedo lterdmete =0, = e = temos: Desse modo: 6 6 Resolvedo s itegris: A( ) B( ) C A, B 6 e C 6 d d d d l l l l k d Eercícios: I- Todo poliômio com coeficietes reis pode ser epresso como um produto de ftores lieres e ou qudráticos. Usdo ftorção, mostre que: ) ( )( )( ) b) ( )( )( ) c) ( )( ) d) 8 6

9 II Usdo decomposição de frções por frções prciis, mostre que: 7 ) ( ) 8( ) 8( ) 0 b) ( ) ( ) ( ) 9 c) 6( ) 6( ) d) 0 ( ) 7 ( ) III Clcule s seguites itegris: 0) 0) d 6 d ( )( )( ) d 0) d 0) ( ) ) d 06) - d 07) d ( ) d 08) 09) d ( ) 0) d PARTE 6 : INTEGRAIS DEFINIDAS Se f é cotiu sobre [, b] e se F é um primitiv de f este itervlo F ( ) f ( ) k ; k IR etão: b f ( ) d F( b) F( ). E) Clculr: d Sbemos que F( ) k é um primitiv de f ( ) ssim: d k k k 8 k k 7 Obs: No cso de um itegrl defiid ão é ecessário colocr primitiv costte pois mesm desprece os cálculos.

10 0 Eercícios: Clculr s seguites itegris: 0) 6 d 0) 9 t dt t 0) d e 08) d (l ) e 09) e 0 / d ) d 9 6 6) d 0) se cos d 7) d 0 0) ( v ) vdv ) e d 8) d d 0) ( ) 0 d 06) ( ) 0 / 0 ) e se d 9) d ( ) 0 / ) cos 07) cos d ) tg / /6 0 / d 0) 8 d 9 d PARTE 7 : CALCULO DE ÁREAS O cálculo de áres de figurs pls pode ser feito por itegrção. Vmos cosiderr s fuções f e g cotíus em [, b]: Cso :Se f ( ) 0 pr [; b] y y=f() b Assim áre pelo gráfico de f, pels rets = e =b e o eio dos é dd por: b A f ( ) d

11 Cso :Se f ( ) 0 pr [; b] y b y=f() Assim áre pelo gráfico de f, pels rets = e =b e o eio dos é dd por : b A f ( ) d Cso :Se f ( ) g( ) pr [; b] y y=f() y=g() b Assim áre limitd pelo gráfico de f e de g, pels rets = e =b é dd por : A f ( ) g( ) b d Eercícios 0)Esboce o gráfico ds curvs o mesmo plo crtesio idetificdo os potos de iterseção: ) b) y 6 e y y, f) y e y 6 g) y c) y, y e y h) y e y e y d) y e y i) y e e) y e y y y e y y y Obs) ) Pr trçr gráficos de rets e prábols devemos costruir um tbel com potos importtes de cd fução: RETAS: Devemos ecotrr os potos de iterseção com os eios coordedos, fç =0 e depois y=0. PARABOLAS: Devemos ecotrr potos como: ) poto de iterseção com eio y, ç =0

12 b) rízes, fç y = 0 b c)vértice fç V d) se estes potos ão forem suficietes crescetes outros potos com vlores rbitrários. ) Pr trçr gráficos de fuções o mesmo plo crtesio devemos determir se eistem potos de iterseção e crescetá-los tbel de vlores. 0)Clcule su áre d região limitd por: ) b) y 6 e y y, f) y e y 6 g) y c) y, y e y h) y e y e y d) y e y i) y e e) y e y y y e y y y RESPOSTAS Prte : 0) 8 k 0) k t ) k ) u u u k 0) 6 k 08) k ) h h h k 0) y k 8 ) t t k 6) k ) sey cot gy k ) cos se k 7) e k 8) tg sec k 6 09) k ) t / 7t k 9) lu k 9 9 u u 0) 7 k 0) y 9 y y k ) k 9 6 0) e t t set k Prte : I- ( ) 0) c 0) c e 0) l 6 c 0) c tg ( rcse) 0) c 07) c 06) sec c 08) rctg (l ) c

13 II- 0) ( ) c 06) cot g( ) c ) se c 6) (t ) t c y y 0) l[ (l ) ] c 07) cos c ) l( e ) c 7) ( e ) ( e ) c cos lt 0) c 08) sec c ) c 8) c 0) ( ) c 09) (l ) c ) ) 7 c 9) ( ) ( ) c ( e 7 0) e c 0) e c ) c ( ) 0 0) ( se ) ( se ) Prte : ( ) 0) ) ( )cos se k c) l k b) ( ) e k d). rcse k 0) (- +).se() 0) cos() k - - ( - )e 0) e k e 0) e k 08) se se k 8 09) (l ) k 9 0) se cos se k e e e 0) k ) sec - l sec tg k 9 7 0) l ) e (se cos) k 9 se() cos() se() 06) k ) rccos - - k 07) cos se k ) y rctgy - l y k Prte : 9-0) rcse k 06) k O) l k 07) rcse k

14 - 0) k 0) R: k 08) 9 rcsec k 09) rcse k 0) l 6 k 0) k Prte : 0) l 6 l k 06) -l - l k 7 7-0) l l l k 07) l + l + + k + ( ) 0) l -l + k 08) l k 0) l k 09) l k + ( ) 8 0) l - l l k 0) l l k Prte 6: 0) / ) /(e + ) 0) 0/ ) /(e / +) 0) / ) / 0) 0 ) / /8l 0)/ ) /7(6 ) 06) /6 6) / rc cos/ /6 07) /( ) 7) 6/6 08) / 8) l/ / 09) /(e ) 9) l7/ 0) 9/6 0) l l Prte 7: 0) ) u b) u c) u d) u e) u f) u g) u 9 h) i) u

15 Aplicções de derivd Prte Sil de fuções )Fução poliomil do o gru: f : IR IR, f ( ) b, IR * e b IR Obs: ) Im(f) = IR ) Se b 0 f ( ) chmd de fução lier. ) : coeficiete gulr e b: coeficiete lier. Gráfico: ret. Obs: ) A ret itercept o eio y o poto (0,b). ) Se 0 f é crescete. Se 0 f é decrescete. Zero ou riz de fução: Determir o zero ou riz de um fução qulquer y = f() é chr iterseção do gráfico d fução com o eio, ou sej, zero de f é o úmero rel tl que F()=0. Sil d fução: Estudr o sil de um fução qulquer y = f() é determir os vlores de pr os quis y é positivo, e zero é egtivo. Zero ou riz de f() = +b: f ( ) 0 b 0 Sil de f() = +b: ) se > 0 b _ b + ) se < 0 + b _

16 6 -Fução poliomil do o gru: f : IR IR, f ( ) b c,, b, c IR com 0. Gráfico: prábol Obs: ) Se Zero ou riz : 0 prábol com cocvidde pr cim. ) Se 0 prábol com cocvidde pr bio. b f ( ) 0 b c 0, b c (Fórmul de Bhskr) Vértice: b V, obs: se > 0 : )ocorre poto de míimo em = ) Im( f ) y IR, y. obs: se < 0 : )ocorre poto de máimo em = ) Im( f ) y IR, y. V v ; Eio de simetri v ; Sil d Fução: )se > 0 Δ>0 Δ = 0 Δ < 0 + _ =

17 7 )se <0 Δ>0 Δ = 0 Δ < 0 + = Eercicios: 0)Estude o sil ds fuções defiids em IR: y 0 se f ( ) 0 se e ) y R : y 0 se e) f ( ) R : f ( ) 0 se ou y 0 se f ( ) 0 se f ( ) 0 se b) f ( ) f ( ) 0 se R : f ( ) 0 se f) f ( ) +6 R : f ( ) 0 se f ( ) 0 se y 0 se 0 c) y R : y 0 se 0 g) f ( ) R : f ( ) 0, IR y 0 se 0 d) y y 0 se R : y 0 se h) y 0 se f ( ) f ( ) 0 se : ( ) 0 e R f se ( ) 0 ou f se 0) Resolv, em IR, s iequções: ) ( )( ) 0 S IR, ou ( )( )( ) S IR, ou ( ) S IR, ( ) S S IR, S IR, 0 ou b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) S IR, ou S IR, S IR g) 0 h) 0 0 i) 0

18 j) 0 S S IR, ou 6 S IR, S IR, ou ou k) ( 7 6)( 7 ) 0 l) 0 m) 0 ) 0 S IR, ou 8 Prte Aplicções d derivd Eercicios: 0)Determie os potos críticos, os itervlos de crescimeto e decrescimeto, cocvidde, os potos de ifleão e os potos de máimo e míimo reltivos ds seguites fuções. Utilizdo s iformções teriores, fç um esboço do gráfico. ) f ( ) 9 e) f ( ) b) f ( ) f) f ( ) c) f ( ) 9 g) f ( ) d) f ( ) 8 h) f ( ) 0)Um bol é lçd o r. Supoh que su ltur h, em metros, t segudos pós o lçmeto sej h = -t + t +6. Em que istte bol tige su ltur máim? Qul é ltur máim tigid pel bol? R: t=seg h=0 m 0)O lucro de um empres é ddo por L() = , em que é o umero de uiddes vedids. Pr que vlor de é obtido o lucro máimo? R:6 uid 0)Um refrigerte é vedido em lts cilídrics de volume 0 ml. Clculr o rio d bse de modo, que o mteril gsto emblgem sej o míimo possível. ( litro = 000cm ) R: 7 0)Um ci retgulr, sem tmp, tem bse qudrd. A áre totl é 07 cm. Achr s dimesões d ci de volume máimo stisfzedo ests codições. R: = cm e y = 6, cm 06)Um fzedeiro precis costruir dois curris ldo ldo com um cerc comum. Se cd currl deve ter áre retgulr de 00 m, qul o comprimeto míimo que cerc deve ter? R: 0 m 07)Um ci sem tmp será feit recortdo-se pequeos qudrdos iguis dos ctos de um folh de ppelão medido 8 cm por cm e dobrdo-se os ldos pr cim. Que tmho os qudrdos ds bords devem ter pr que ci chegue su cpcidde máim? R: = cm 08)Um jel ormd tem form de um retâgulo tedo em cim um semicírculo. Se o perímetro d jel for 6 m, ecotre s dimesões d jel que deim pssr mior qutidde possível de luz. R: b = h = 09)As bords de cim e de bio de um pôster tem 6 cm, e s bords lteris medem cm. Se áre do mteril impresso sobre o pôster estiver fi em 8 cm, ecotre s dimesões do pôster com meor áre. R: b = cm e h = 6 cm cm

19 Respost 0) ) Potos críticos em e, crescete em [,] e decrescete em ],] [, [, máimo em e míimo em e côcv pr cim em ],[ e pr bio em ], [. b) Potos críticos em e, crescete em [,] e decrescete em ],] [, [, máimo em e míimo em e côcv pr cim em ],[ e pr bio em ], [. c) Potos críticos em e, crescete em [,] e decrescete em ], ] [, [, máimo em em e côcv pr cim em ], [ e pr bio em ], [. d) Potos críticos em e, crescete em ],] [, [ e decrescete em [,], máimo em e côcv pr cim em ], [ e pr bio em ],[. 9 e míimo e míimo em e) Potos críticos em 0 e, crescete em [, [ e decrescete em [, ], míimo em cim em ],0[ ], [ e pr bio em ] 0,[. e côcv pr f) Potos críticos em e, crescete em ], ] [, [ e decrescete em [,0] [0, ], máimo em míimo em e côcv pr cim em ] 0, [ e pr bio em ],0[. g) Não tem potos críticos, crescete em ],0] [0, [, ão tem máimo e míimo e côcv pr cim em ],0[ e pr bio em ] 0, [. h) Potos críticos em 0 e e côcv pr cim em [, crescete em [, [ e decrescete em ], ] ], [ ], e pr bio em ],0[., ão tem máimo e míimo em