LIMITES. Introdução Antes de iniciar os estudos sobre Limites, vamos observar um exemplo prático do nosso cotidiano.

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1 LIMITES O estudo dos ites objetiv coceitur ituitivmete limite, deiir limites lteris, plicr s proprieddes, clculr limites de uções e veriicr cotiuidde de um ução. Itrodução Ates de iicir os estudos sobre ites, vmos observr um eemplo prático do osso cotidio. - Sej St t + t + ução que represet posição em km de um certo tipo de veículo em um determido istte t t. Supoh que desejmos determir velocidde do veículo o itervlo de tempo t hors. Pr ecotrr ess solução devemos clculr velocidde médi do móvel o itervlo de tempo [, t]. S Vm t t Vm t Vm S t S Vm t t S t t t S.. t t t t vrição do espço vrição do tempo Veriicdo que t ão está deiido o domíio d ução velocidde médi Vm, podemos clculr s velociddes médis do veículo qudo o vlor de t proim-se cd vez mis de Tbel.

2 Note que, qudo mis próimo de o itervlo de tempo se ecotrr, Velocidde Médi do veículo proim-se do vlor, logo, podemos sugerir que velocidde isttâe do móvel em t hors é de km/h. Após esse eemplo vmos começr os estudos de ites de um Fução trvés d Deiição Ituitiv..- DEFINIÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Iicilmete, lisemos os gráicos ds uções bio: Veriicmos que, qudo os vlores de se proimm tto pel esquerd, como pel direit do vlor, os resultdos correspodetes imgem estão se proimdo do vlor. Etão, podemos dizer que o limite d ução y, qudo tede, é igul, e idicmos:

3 Alisdo o qudro, veriicmos que, qudo os vlores de se proimm tto pel esquerd, como pel direit do vlor, os resultdos correspodetes yimgem estão se proimdo do vlor. Etão, podemos dizer que o limite d ução y, qudo tede, é igul, e idicmos: g Em regr gerl, dizemos que: - ite de um ução, qudo tede k, é igul q k e q costtes. k q Após esses eemplos sobre oção ituitiv de limite, podemos voltr o eemplo prático citdo iicilmete, o qul mostrmos que quto mis próimo de hors or o vlor do tempo, velocidde médi se proim de km/h, etão, podemos dizer que velocidde isttâe do veículo em t hors é igul km/h, em outrs plvrs, podemos dizer que o limite d velocidde médi qudo o tempo t se proim de é igul. Observemos. t t t. t. Levtdo idetermição, temos: idet er mi ção

4 t t t t t t.- LIMITES LATERAIS Observe ução : R R deiid por,., Determiemos, com uílio ds tbels e do gráico bio, o limite de qudo teder tto pel esquerd -, como pel direit +.

5 Observdo s tbels e o gráico cim, veriicmos que o limite de, qudo tede, ão eiste, pois, o limite de, qudo tede pel esquerd vle e o limite de, qudo tede um, pel direit, vle, logo, e são chmdos limites lteris. Notmos que eistêci dos limites está relciod diretmete com os limites lteris, pois, se os mesmos presetm resultdos iguis qudo estão se proimdo de um determido poto, dizemos que o limite, esse poto, tem solução, cso cotrário, ão. Agor, observmos os eemplos bio pr irmos melhor, como devemos determir limite lterl.

6 6 - Dds s uções e g, represetds pelos gráicos. y g y Determie: d g g g h Solução: b e g g i c g g Alisdo o gráico de, veriicmos que qudo tede dois, pel esquerd, y se proim de, logo, b Alisdo o gráico de, veriicmos que quto tede dois, pel direit, y se proim de, logo, c Como, os limites lteris são dieretes lim irmr que ão eiste., podemos

7 7 d e g g Como os limites lteris são dieretes, podemos irmr que eiste. g h g g i Como os limites lteris são iguis, podemos irmr que vle zero. g ão g eiste e.- PROPRIEDADES OPERATÓRIAS A prtir de gor, vmos estudr s Proprieddes Opertóris dos ites. - Sejm e g dus uções deiids pelo domíio D, tis que L e g L com L, L. ª ite de um costte k é própri costte. k k ª ite d som ou diereç de uções é som ou diereç dos limites desss uções. g g L L ª ite do produto de uções é o produto dos limites desss uções. g g L L

8 8 ª ite do quociete de dus uções é o quociete dos limites desss uções. L L g g g, ª ite d potêci de um ução é potêci do limite dess ução. L 6ª ite d riz de um ução é riz do limite dess ução. L 7ª ite do logritmo de um ução é o logritmo do limite dess ução. L Log Log Log b b b ] [.- LIMITE DE FUNÇÕES.- ite de um Fução Poliomil Poliômio: É um epressão lgébric rciol e iteir represetd pel seguite orm:... em que idepedete e coeiciet poliômio do es coeiciet os são N poliômio do iável é...,,, vr Eemplos: b + c + d y +y

9 9 Not: As epressões e ão represetm poliômios, pois, ª epressão, icógit ecotr-se o rdicdo, logo, temos um epressão irrciol e ª, vriável ecotr-se o deomidor, etão, temos um epressão rciol. Fução Poliomil: É tod ução de gru N do tipo P: ddo por P..., em que, -, -,...,, são úmeros reis. Após s deiições de poliômio e de ução poliomil, vmos resolver o seguite eemplo: - Determie os limites ds uções poliomiis: 8 b 7 Solução:. Isto sigiic que, qudo está se proimdo tto pel esquerd, como pel direit de, o limite d ução, está se proimdo de. 8 b ite de um Fução Rciol Fução Rciol: É tod ução que preset icógit o deomidor. Eemplos b Observmos que s uções cim presetm elemetos que ão pertecem o domíio d ução. No cso do item, o úmero / tor ulo o deomidor e o item b, os elemetos que ulm o deomidor são e. Em decorrêci dess observção, ecotremos o limite de cd ução rciol bio:

10 b c d 6 9 e g 6 h 6 i 9 Solução:. b 8 8. c 8. eiste ão Demostrção Vmos, iicilmete, estudr o sil d ução.

11 + + " ' " ' / Observdo o gráico, temos:, log,,, log,, o pr o pr Como os limites lteris são dieretes, podemos irmr que ão eiste. d e mi det ção er i Este limite será resolvido durte o estudo sobre limites Idetermidos..- ite de um Fução Epoecil

12 Fução Epoecil: É tod ução do tipo b, sedo b bse b > e o epoete. Observe os gráicos de b, qudo: b > b ução crescete < b < b ução decrescete. Após idetiicrmos um ução epoecil, vmos clculr o limite de cd ução bio: Solução b c d b c b c c b b b d.- ite de um Fução Logritmic Fução Logrítmic: É tod ução do tipo Log b, sedo b bse do logritmo b > e o logritmdo ou tilogritmo b > Observe os gráicos de Log b, qudo: Log b b > ução crescete Log b < b < ução decrescete.

13 b Log Log b b c Log Log c c b b Após idetiicrmos meir de determir limite de um ução logrítmic, vmos clculr o limite de cd ução bio: Log b 6 Log c Log d Log Solução Log Log Log b 6 Log 6. 6 Log Log Log c Log, observe o gráico o ldo que qudo tede zero pel direit, o limite tede meos iiito.

14 d Log, observe o gráico o ldo que qudo tede zero pel direit, o limite tede mis iiito..- LIMITES TENDENDO PARA O INFINITO O osso estudo sobre limite de um ução, té esse mometo, bseou-se qudo vriável se proim de um úico úmero. Porém, há situções em que ecessitmos sber o vlor do limite de um ução qudo vriável cresce ou decresce iiitmete, ou sej, qudo vriável se proim de um vlor iiitmete grde ou pequeo. Em decorrêci desse to, vmos estudr limites de uções qudo tedêci d vriável está direciod o iiito. Ates de começrmos resolver limites o iiito, vmos veriicr lgums operções que evolvm.

15 ª +,, ª -, ímpr, pr, ª,, ou,, ª ou,,, ª ou,, 6ª, ou,,, Após ess veriicção, vmos resolver limites de uções qudo vriável idepedete, esse cso, tede pr o iiito.. ite de um Fução Poliomil qudo O limite de um ução poliomil em, pr tededo limite do termo de mior gru do poliômio., é igul o p

16 6 Eemplo: determie os limites bio: 6 b Solução: b... ite de um Fução Rciol qudo O limite de um ução rciol, pr tededo, é igul o limite do quociete etre os termos de mior gru do umerdor e do deomidor dess ução. Q b m b m b m b m ou b m Eemplo: - Determie os limites bio: 7 b c 7 6

17 7 Solução: 7 b c ite de um Fução Epoecil qudo O limite de um ução epoecil, pr tededo, é igul + ou zero, depededo do tipo de ução: Se ução é crescete >, temos:..

18 8 Se ução é decrescete < <, temos:.. Eemplo Resolv os limites bio: 7 b c d Solução: b

19 9 c d -. ite de um ução logrítmic qudo O limite de um ução logrítmic, pr tededo +, é igul + ou -, depededo do tipo de ução: Se ução logrítmic é crescete b >, temos: Logb Se ução logrítmic é decrescete < b <, temos: Logb * A vriável tede pes pr +, em virtude do domíio d ução logritm ser. Eemplo: Resolver os limites bio: *

20 Log b Log Solução: Log b * Observe os gráicos cim. Log Aplicção: - Um empresário d áre de iormátic estim que o custo reis/o produção de um qutidde q de determido produto é represetdo por Cq + q. Sedo o custo médio clculdo pelo quociete do custo d produção pel qutidde produzid, determie: O custo produção de e 7 uiddes. b A ução custo médio. c O custo médio produção de uiddes. d Cm q e iterprete gricmete. Solução: Cq + q C + 9.8, C , C q q b Cm q q q Cm q q c Cm q q Cm,

21 d Cm q, q q q Observe que, medid que cresce o ível de produção, o custo io por q uidde produzid tede zero, logo, o custo médio se proim de, por uidde produzid. 6.- LIMITES INDETERMINADOS Ao tetrmos resolver lgus limites, veriicmos que os mesmos ão presetm soluções de imedito, pois recem em um idetermição. Pr resolvermos esses limites, devemos utilizr os ossos cohecimetos básicos de mtemátic. A im de etedermos melhor s plvrs cim, observemos resolução do limite bio

22 O resultdo é um idetermição ão é deiido, logo, devemos utilizr cohecimetos básicos de mtemátic, o cso, torção, pr levtrmos ess idetermição, ou sej, ecotrrmos o resultdo do limite. 9 * 6 * 9 +. diereç de dois qudrdos. Not: os gráicos ds uções 9 e g + são idêticos eceto qudo ssumir vlor. Esse to idic que podemos clculr o limite d ução clculdo o limite d ução g qudo tede. Agor, observemos os símbolos de idetermição ou orms idetermids que irão surgir durte os ossos estudos.,,,.,,, Por que esses símbolos são deomidos de símbolos de idetermição? Pr respoder ess pergut, observemos s igulddes bio:.

23 .. ou plicdo log ritmo Log Log propriedde d potêci. Log Log. Log Log 6 plicdo log ritmo Log Log propriedde d potêci. Log Log. Log Log 7 plicdo log ritmo Log Log propriedde d potêci. Log Log. Log Log Pr que cd iguldde cim sej verddeir, pode ssumir vários vlores reis. Em decorrêci disso, deomimos esses símbolos de idetermição. A prtir desse mometo, utilizdo ossos cohecimetos básicos de mtemátic, vmos clculr limites que presetm símbolos de idetermição. - Resolv os limites bio:

24 b c d e Solução: mi det. ção er i Vmos levtr idetermição utilizdo torção: + + c b Aplicdo órmul de Bháskr, temos: " ' Utilizdo órmul y -. y - g - " '

25 Aplicdo órmul y -. y + Substituido o limite g.. b - idetermição Pr levtrmos ess idetermição, devemos o termo de mior gru.. c idetermição Levtdo idetermição - Sepr-se o termo de mior gru tto do umerdor, como do deomidor. d

26 6 mi det ção er i Pr levtrmos ess idetermição, multiplic-se tto o umerdor, como o deomidor por. e Levtdo idetermição Substituido / por, temos:

27 7 * b..... b b b b - Aplicção - Clcule os limites bio: 7 r r Log 9 r r

28 Log 6 Log CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Observemos ução. El está deiid pr qulquer vlor de, ecetudo o vlor. Isso idic que o seu gráico dá um slto o poto, 6, coirmdo que el ão está deiid esse poto. Em decorrêci disso, deomimos Fução Cotíu tod ução em que, o resultdo de seu limite, qudo tede k, or igul o vlor umérico d ução pr k. Eemplo: k k - Costruir o gráico d ução com e veriique se el é cotíu o poto. Solução

29 9 Cálculo do lim qudo 8 Cálculo de Como, cocluímos que ução é descotíu o poto. Eiste csos que é mis cômodo determir cotiuidde de um ução um poto trvés dos limites lteris. Nesses evetos utilizmos s seguites codições: ª eiste o vlor umérico d ução pr k. ª os limites lteris ª k k k e k eistem e são iguis. Not:Se lgum codição cim lhr, ução pss ser descotíu o poto k. - Veriique se s uções bio são cotíus os potos idicdos., pr, pr

30 b,, pr pr c,, 6 pr pr Solução:,, pr pr ão eiste Como ão eiste, cocluímos que ução é descotíu em.

31 b,, pr pr. Como, cocluímos que ução é descotíu em. c,, 6 pr pr

32 6 Como, cocluímos que ução é cotíu em. Eercícios: - Sej ução, deiid por,,,, pr pr pr : costruir o gráico, b veriicr se é cotíu em - e -. - Sej ução,., pr p pr, determie p pr que eist. Determie o vlor de p s uções bio pr que els sejm cotíus os potos idicdos.,, em pr p pr

33 b 8, pr p, pr em -Dds s uções e g, deiids por, pr em e p, pr 8, pr g em. p 6, pr Determie: lim, lim e lim. b O vlor de p pr que sej cotíu o poto -. c lim g, lim g e lim g. d O vlor de p pr que g sej cotíu o poto. e Costru os gráicos ds uções e g. - Veriique lgebricmete e gricmete se s uções são cotíus os potos idicdos. 9, pr em, pr

34 7, pr b em, pr, pr c, pr em, pr, pr d, pr em e pr SINTESE DA UNIDADE Nest uidde, você deiiu limite; predeu resolver limites lteris, estudou s proprieddes dos limites e veriicou cotiuidde de um ução. Logo, você está pto começr o estudo ds Derivds. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problems e Eercícios de Aálise Mtemátic. Moscou: Mir, 978. GRANVILLE, W. A. Elemetos de Cálculo Dierecil e Itegrl. Rio de Jeiro: Cietíic, 9. GUIDORIZZI, Hmilto Luiz. Um curso de cálculo. V.. Rio de Jeiro: LTC, 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COMPLEMENTARES: IEZZI, Gelso ET AL. Fudmeto d mtemátic elemtr. São Pulo: Atul, 99, v.

35 LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometri Alític. São Pulo: Hrbr,.