Disciplina: Cálculo Numérico. Professora: Dra. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA / 1

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1 Discili: Cálculo Numérico Proessor: Dr. Cmil N. Boeri Di Domeico NOTAS DE AUA 8 /

2 4. INTERPOAÇÃO 4.. INTRODUÇÃO O roblem de ler s etrelihs de ddos tbeldos ocorre com requêci em licções. Tmbém é comum os derrmos com uções deiids imlicitmete ou or eressões muito comlicds. Os métodos de roimção são destidos roblems dest turez. Algus eemlos itrodutórios os judm erceber melhor como são esses roblems. No rimeiro eemlo, rocurmos etrir iormções de um cojuto de ddos de cesos demográicos, relizdos cd decêio. Como odemos estimr oulção dos os itermediários? Ou, id, é ossível rever o crescimeto oulciol rtir dos cesos de 99, e? Num outro eemlo, como clculr vlores de uções que ão são deiids or eressões elícits, como, or eemlo, = e t dt, [, ] A iterolção os jud resolver este tio de roblem. Iterolr um ução cosiste em roimr est ução or um outr ução g escolhid etre um clsse de uções deiid riori e que stisç lgums rorieddes. A ução g é etão usd em substituição à ução. Eistem dus clsses de métodos r roimção de ddos, e distição etre els está em cosiderrmos, ou ão, eistêci de erros os ddos. No rimeiro cso, cosidermos que os ddos são recisos e, ortto, ode-se eigir que curv de juste sse elos otos ddos. Resolvemos roblems deste tio usdo iterolção. Como miori ds vezes s uções escolhids r o juste são oliômios, resetremos técic de Iterolção Poliomil.

3 No segudo gruo, levm-se em cosiderção ossíveis erros itroduzidos obteção dos ddos. Neste cso, o Método dos Míimos Qudrdos tem sido o mis usdo. Neste setido, será eito o estudo do método de Iterolção Poliomil, iicido el iterolção lier, iterolção qudrátic e, ós, borddo orm de grge. 4.. CONCEITO DE INTERPOAÇÃO Cosideremos + otos distitos:,,...,, chmdos ós d iterolção, e os vlores de estes otoes:,,...,. que: A iterolção de que veremos cosiste em obter um ução g tl Gricmete: g = g =... g = Cosiderremos que g é um ução oliomil. Cotudo, ução g escolhid ode ser: rciol, trigoométric, etc.

4 4.3. INTERPOAÇÃO POINOMIA Os métodos de iterolção oliomil são usdos como um roimção r um ução, ricilmete, s seguites situções: Não cohecemos eressão lític de, isto é, sbemos es seu vlor em lgus otos,,,,, est situção ocorre requetemete, rátic, qudo se trblh com ddos eerimetis e ecessitmos miulr como, or eemlo, clculr seu vlor um oto, su itegrl um determido itervlo, etc. b é etremmete comlicd e de diícil mejo. Etão, às vezes, é iteresste scriicr recisão em beeício d simliicção dos cálculos. Ddos os otos:,,,,...,,, [+ otos] queremos roimr or um oliômio, de gru meor ou igul, tl que =, =,,,..., em que é ddo or:... Portto, obter sigiic obter os coeicietes,,...,. Surgem, qui, s erguts: eiste semre um oliômio que stisç ests codições? Cso eist, ele é úico? D codição =, =,,,...,, motmos o seguite sistem lier:

5 com + equções e + vriáveis:,,...,. A mtriz A dos coeicietes é: A que é um mtriz de Vdermode e, ortto, desde que,,,, sejm otos distitos, temos det A e, etão, o sistem lier dmite solução úic. Demostrmos, ssim, o seguite teorem: 4.3..Iterolção ier Ddos dois otos distitos de um ução y : y e desej-se clculr o vlor de usdo iterolção oliomil. y r um determido vlor de etre e,, y, O gru do oliômio iteroldor é um uidde meor que o úmero de otos cohecidos. Neste cso, o oliômio iteroldor terá gru, isto é,,

6 P Pr determiá-lo, bst resolver o sistem lier bio y y ode e são s icógits e A é mtriz dos coeicietes. O determite d mtriz A é dierete de zero, semre que r otos distitos o sistem tem solução úic., logo Por outro ldo, como imgem geométric de está-se, relidde, roimdo ução e, y, y. P é um ret, or um ret que ss or Eemlos: Clculr o úmero roimdo de hbittes de um cidde em usdo os ddos d tbel bio r 5 e 5. Ao Nº de hbittes

7 Erro de trucmeto Sej E T : ução dd reresetd el curv, e iteroldor. O erro de trucmeto é ddo or P o oliômio E T '' ogo, cot máim r o erro de trucmeto é dd or E T '' 4.3..Iterolção Qudrátic Se, de um ução, são cohecidos três otos distitos, etão o oliômio iteroldor será: O oliômio geométric é um rábol. P P é cohecido como ução qudrátic, cuj imgem Pr determir os vlores de, ode os otos, y, e, y e é ecessário resolver o sistem:, y são cohecidos. y y y

8 Observe-se que mtriz dos coeicietes é: V O determite dess mtriz é cohecido como Determite de Vdermode. Pode-se rovr que det V. ogo, como os otos são distitos, o sistem terá solução úic. Eemlo: Ecotrr o oliômio de gru meor ou igul que iterol os ddos d tbel bio: Resolução: Temos etão: Resolvedo o sistem lier, temos: /3 7 /

9 Erro de trucmeto E T : Sej ução dd reresetd el curv, e iteroldor. O erro de trucmeto é ddo or E T ''', 3!, P o oliômio Form de grge As iterolções vists teriormete são csos rticulres d iterolção de grge. Será determido, gor, o oliômio iteroldor de gru meor ou igul, sedo ddos + otos distitos. Sejm + otos distitos:,,...,, chmdos ós d iterolção, e os vlores de :,,...,. A iterolção de cosiste em obter um ução tl que:... ode os oliômios são de gru e tem gru. Como os i são ddos, devemos, o Método de grge, determir os. Pr cd i, queremos que codição i=isej stiseit, ou sej: i i... i i i A orm mis simles de se stiszer est codição é imor: e, r isso, deiimos or: i se se i i

10 Veriic-se que: Como o umerdor de é um roduto de tores d orm: i, i =,,, i etão é um oliômio de gru e, ssim, é um oliômio de gru meor ou igul. Etão, orm de grge r o oliômio iteroldor é:... em que: j j j j j j Eemlo: Ecotrr o oliômio de gru meor ou igul que iterol os ddos d tbel bio: i se i

11 - 4 - Resolução: Devemos iterolr os 3 otos com um orm de grge. Segue: Erro de trucmeto:!... E T 6 3

12 Estudo do Erro Iterolção O erro em roimr ução or um oliômio iteroldor, de gru meor ou igul, é: E r todo de[, ] Estudr o erro iterolção sigiic sber o quão róimo está de. Eemlo: Iterolção lier de e : = = = = O mesmo oliômio iterol e em e. Cotudo, o erro E =- > E = - r todo de,. Assim, o erro deede d cocvidde d curv, ou sej, de e. Teorem: Sejm <<<...<, + otos. Sej com derivds té ordem + r todo em [,]. Sej o oliômio iteroldor de os otos,,,...,. Etão, em qulquer oto do itervlo [,] o erro é ddo or ode

13 ! E ode,. Estimtiv r o erro: Se e sus derivds té ordem + são cotíus em I=[, ], etão ode-se escrever: E m ode,! M M E I i i imitte Suerior r o Erro