FÍSICA MODERNA I AULA 15

Transcrição

1 Universidde de São Pulo Instituto de Físic FÍSIC MODRN I U 5 Pro. Márci de lmeid Rizzutto Pelletron sl 0 rizzutto@i.us.br o. Semestre de 05 Monitor: Gbriel M. de Souz Sntos Págin do curso: htt:discilins.sto.us.brcourseview.h?id=

2 OPRDORS OBSRVÁVIS RSUMIDMNT - no cso d osição o oerdor é o rório vlor d osição: ˆ * ˆ - no cso do momento oerdor é ddo or: i i 3 - no cso d energi oerdor é ddo or: ˆ * i t i t

3 3 Qulquer unção que stisz est equção é dit normlizd Mudnç de vriável No nosso cso: cos d P Já que rtícul deve ser encontrd em lgum lugr o longo do eio som ds robbilidde sobre todos os vlores de deve ser. cos P m n = d - Constnte de normlizção

4 Qul o vlor médio d osição d rtícul dentro dest ci: Vimos que : n = P n cos n 3... * cos m Função ímr Função r Como integrl é sobre um vlor ímr em um região simétric integrl é nul 0 O vlor médio d osição do elétron n ci no estdo n= é em =0

5 Funções Pres e Ímres 5 Função Pr y Simetri de um ldo e outro eio y eselho cos

6 6 Funções Pres e Ímres Função Ímr y sen Função ímr tem simetri invers

7 7 Qul o vlor médio do momento d rtícul dentro dest ci: Vimos que : i cos cos m n = cos n n * t t t P Como robbilidde d rtícul estr se movendo no sentido ositivo do eio é igul robbilidde de estr se movendo no sentido oosto o momento médio é nulo. 0 sen i cos Função imr Função r

8 8 Qul o vlor médio do momento o qudrdo d osição d rtícul dentro dest ci:... 3 cos n n i ˆ Sbemos que: i i i i ˆ vle O momento médio qudrático: Que é um medid ds lutuções em torno d médi ois rtícul ode ser encontrd com momento m ou m

9 Qul o vlor d energi cinétic médi? Vimos que: h m m 8m O mesmo vle r o < >? Que não é zero embor <> = h 6 9 que é o vlor que hvímos determindo nteriormente or Sommereld Posição médi qudrátic considerd como um medid ds lutuções em torno d médi. s lutuções eistem orque rtícul não é semre encontrd n mesm osição ms em váris osições. consistente com o limite de

10 ercício: Prtícul dentro de um ci Um rtícul se encontr no estdo undmentl dentro de um oço qudrdo ininito de comrimento. Clcule robbilidde que est rtícul sej encontrd entre X= e =3 n n sen 0 0 densidde de robbilidde é ddo or: n Normlizção: sen cos n n cos n sen O seno se nul r os etremos d integrl:

11 ercício: Prtícul dentro de um ci Um rtícul se encontr no estdo undmentl dentro de um oço qudrdo ininito de comrimento. Clcule robbilidde que est rtícul sej encontrd entre X= e =3 0 sen unção de ond do estdo undmentl é dd or: 3 3 sen P 3 3 cos 3 3 sen sen P sen P P P 0.88 P É mior que ½ o qul é eserdo r um rtícul clássic que gst temos iguis em tods s rtes dentro d ci

12 ercício: Um rtícul dentro d ci De tmnho n n sen 0 densidde de robbilidde é ddo or: P n Normlizção: Primeiro estdo: n = sen m O vlor mis rovável de é ddo elo vlor de onde P é máim: P * m

13 ercício: Um rtícul dentro d ci De tmnho estdo undmentl Qul o vlor médio d osição: <> sen 3 sen 0 Segundo estdo ecitdo sen n = O vlor mis rovável de é ddo elo vlor de onde P é máim: m m e 3

14 Função de ond interretção: Função de ond d rtícul: o contrário de onds mecânics em um cord ou de onds sonors no r unção de ond de um rtícul NÃO é um ond mecânic que necessit de um meio r se rogr. unção de ond descreve rtícul orém não odemos relcionr est unção de ond com os mteriis nos quis ond se rog como contece r ond mecânic Podemos ens relcioná-l com os eeitos isicmente observáveis. unção de ond descreve distribuição de robbilidde de um rtícul no esço do mesmo modo que um ond eletromgnétic descreve distribuição dos cmos elétricos e mgnéticos. P P * usmos isto orque unção de ond não é necessrimente um grndez rel ode ser um grndez comle com um rte rel e imginári.

15 5 Mecânic Quântic qução de Schrödinger mecânic clássic não ode ser utilizd em sistems nos quis s crcterístics de ond ds rtículs são mniestds. Pr entender s trjetóris dests rtículs que mostrm rorieddes ondultóris necessitmos de um nov mecânic chmd mecânic quântic D segund lei de Newton: d F m dt solução dest equção é consistente com os eerimentos em váris situções ísics No lugr ds equções de movimento d mecânic clássic d qul osição et d rtícul no esço cd momento ode ser clculd usremos mecânic quântic que ornece unções de ond que contem tudo que ode ser conhecido sobre rtícul de cordo com o rinciio de incertez s unções de ond d mecânic quântic odem ser derivd de equção dierencil undmentl conhecid como qução de Schrödinger que ossui o mesmo sttus d equção d mecânic clássic de Newton. É um ostuldo que não tem descrição riori somente é consistente solução dest e o eerimento.

16 qução de Schrödinger Dierenç imortnte entre equção de Schrödinger e equção d ond clássic está no to de um número imginário i recer elicitmente n q. de Schrödinger. s unções de ond que stiszem d. de Schrödinger não são necessrimente reis como vimos no cso d unção de ond d rtícul livre 6 Isto signiic que unção de ond que stisz equção de Schrödinger não é um unção diretmente mensurável como unção de ond clássic já que os resultdos de medições são necessrimente número reis. ntretnto estmos interessdos em obter s robbilidde or eemlo: encontrrmos o elétron em um osição. est interretção robbilístic d unção de ond oi roost or M Born e reconhecid esr dos rotestos de instein e Schrödinger.

17 Mecânic Quântic qução de Schrödinger sermos que qução de Schrödinger incorore os seguintes rincíios undmentis: conservção de energi: este rinciio é tão básico que su eclusão é imensável. hiótese de de Broglie: mecânic quântic est eseciicmente relciond rtículs que mostrm distints rorieddes de onds. 7 O rincíio de conservção de energi é deinido el equção: c c m Substituindo equção de de Broglie: h c m Vmos ssumir or simlicidde que rte d unção de ond d rtícul indeendente do temo em um dimensão ode ser escrit como: h

18 8 Mecânic Quântic qução de Schrödinger cbmos de ver que: h então : c m equção: senk derivd segund dest equção é: c h m h m d k sin k d k k d m h d 8 m h st equção é orm unidimensionl d equção de Schrödinger

19 9 Mecânic Quântic qução de Schrödinger Vmos re-escrever: h qução de Schrödinger deendente do temo 8 h m d m d m d Vimos que : m d t t i t t V t m t i ˆ Pr um unção de ond deendente de e t t