6.1: Séries de potências e a sua convergência

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1 6 SÉRIES DE FUNÇÕES 6: Séries de potêcis e su covergêci Deiição : Um série de potêcis de orm é um série d ( ) ( ) ( ) ( ) () Um série de potêcis de é sempre covergete pr De cto, qudo, otemos série uméric, cuj som é IR Ms será que eistem outros vlores de pr os quis série () é covergete? O teorem seguite orece um respost ess pergut Teorem : Teorem de Ael- séries de potêcis de Dd série de potêcis ( ) seguites situções se veriic: (i) série coverge pes pr ; (ii), pes um ds série coverge (solutmete) pr todos os vlores reis de ;

2 (iii) eiste um úmero rel R > (chmdo rio de covergêci) tl que série coverge solutmete pr todos os vlores de pr os quis < R, e diverge pr todos os vlores de pr os quis > R Not: No teorem terior, qudo se veriic (i) tem-se R e qudo se veriic (ii) tem-se R Deiição 3: Chm-se itervlo de covergêci d série de potêcis o cojuto de todos os vlores de pr os quis série coverge Not: Pr estudr covergêci de um série de potêcis, podemos plicr o critério de Cuchy ou de D Alemert série dos módulos Eemplo 4: Determie o itervlo de covergêci d série de potêcis ( ) ( )! Vmos gor ver dus regrs pr o cálculo do rio de covergêci de um série de potêci de termos ão ulos

3 Teorem 5: O rio de covergêci de um série de potêcis d orm ( ) é ddo por R lim, desde que o limite eiste ou sej igul à ; ou R lim, desde que o limite eiste ou sej igul à Além disso, (i) se R etão série coverge pr ; (ii) se R (iii) se ], [ etão série coverge IR ; R etão série coverge pelo meos pr todos os ] R, R[ Eemplo 6: Determie o rio e o itervlo de covergêci d! série ( ) Eemplo 7: Determie o rio e o itervlo de covergêci d série Eercício 8: Alise covergêci d série > ( ), sedo 3

4 6: Séries de Tylor e de Mcluri Nest secção, vmos cosiderr o prolem seguite: dd um ução com derivds de tods s ordes, como represetá-l por um série de potêcis? Deiição : Sej um ução que dmite derivds de tods s ordes o poto Chm-se série de Tylor de em série! ( ) ( ) ( ) No cso em que, série é desigd por série de Mcluri de Eemplo : Determie série de Mcluri pr ( ) se Eemplo 3: Determie série de Mcluri d ução ( ) e lise su covergêci Eemplo 4: Determie série de Mcluri d ução ( ) e e lise su covergêci Teorem 5: Sej um ução que dmite derivds de tods s ordes um itervlo I cetrdo em, etão ( )! ( ) ( ) ( ), 4

5 pr todo I tl que ( ) ( ) lim c ( ) úmero compreedido etre e! ( ), sedo c um Not: () Pr, R ( ) de grge d ução ( ) ( c) ( ) ( )! é chmdo resto () Se eistir dus costtes C e M tis que ( ) ( ) CM, I, etão R, I lim ( ) 63: Séries de Fourier 63 Deiições Em muitos eómeos d vid rel precem uções periódics (ods de som, timeto crdíco ) Deiição 3: Diz-se que ução é periódic de período T> se ( T ) ( ),, T D O meor úmero T que stisz relção terior é chmdo período udmetl Eemplo 3: As uções ( ) se e g( ) cos periódics de período T são 5

6 6 Eercício 33: Mostre que ução ( ) se, IN, > é periódic de período T Resolução: se se ( ) se se O ojectivo dest secção é de represetr um ução periódic à cust de uções periódics simples, omedmete, seo e cosseo, so orm de um série trigoométric Supohmos que um dd ução IR IR :, periódic de período, pode ser represetd por um série trigoométric d orm cos se, () ou sej, ( ) cos se ()

7 Etão, os coeicietes ds seguites relções: e estão ligdos à ução trvés ( ) cos d, ; (3) ( ) se d, (4) Deiição 34: Sej : IR IR, um ução periódic de período, itegrável e solutmete itegrável em cd itervlo limitdo ( ) d < A série () é chmd série de Fourier de e os úmeros, pr e, pr, deiidos pels relções (3) e (4) são chmdos coeicietes de Fourier de Eemplo 35: Determie série de Fourier d ução ( ) Solução: se se k < e periódic de período T < ( k ) se (( k ) ) Eercício 36: Determie série de Fourier d ução se < ( ), periódic de período T se 7

8 Eercício 37: Determie série de Fourier d ução ( ) se se, de período < < T 63 Fuções pres e ímpres - desevolvimeto em séries de Fourier de seos e cosseos Proposição 38: Se or um ução pr, periódic de período, itegrável e solutmete itegrável, etão su série de Fourier é dd por cos com ( ) cos d,, (5) A série (5) é chmd série de Fourier de cosseos Proposição 39: Se or um ução ímpr, periódic de período, itegrável e solutmete itegrável, etão su série de Fourier é dd por se, (6) com ( ) se d, A série (6) é chmd série de Fourier de seos 8

9 Eemplo 3: Sej deiid por ( ) Fourier de : IR IR periódic de período, pr < Determie série de Resolução: Como é ímpr, teremos um série de seos cujos coeicietes são ddos por se d, Eectudo mudç de vriável y, otemos y sey dy, Itegrdo por prtes, y sey dy [ y y] Ou sej, y sey dy cos( ) ( ) ogo, ( ), Portto série de Fourier d ução é ( ) se cos cos y dy Eemplo 3: Sej : IR IR periódic de período deiid por ( ) Fourier de, pr < Determie série de 9

10 Resolução: Como é pr, teremos um série de cosseos cujos coeicietes são ddos por d e cos, 3 d Eectudo mudç de vriável y, otemos cos, 3 3 y y dy Itegrdo por prtes, y [ y sey] y sey dy cos y dy y sey dy Como, y sey dy ( ) (ver eemplo terior), temos 4 ( ), Portto série de Fourier d ução é 4 3 ( ) cos 633 Covergêci ds séries de Fourier e plicções Em () supusemos que um dd ução er represetd por um série de Fourier Ms qudo é que um ução é igul à su série de Fourier? Pr dr respost est questão, precismos de lgums deiições

11 Deiição 3: Um ução : IR IR, diz-se secciolmete cotíu o itervlo [, ], se or deiid em [ ], ecepto possivelmete um úmero iito de potos i, i,, com < < < <, se é cotíu em cd suitervlo d orm ] [, ], [,, ], [, limites lteris em cd poto i,, e se são iitos os i,, Not: Tod ução cotíu é secciolmete cotíu Eercício 33: Mostre que ução ( ) periódic de período se se T é secciolmete cotíu < < Deiição 34: Um ução : IR IR, diz-se secciolmete diereciável, se s uções e orem secciolmete cotíus Teorem de Fourier Sej : IR IR um ução periódic de período, secciolmete diereciável Etão série de Fourier de, dd em (), coverge, em cd poto, pr [ ( ) ( )], ou sej, [ ( ) ( )] cos se

12 Eemplo 35: Use o resultdo do eemplo 35 pr oter um epressão em série de Um ds plicções ds séries de Fourier é o cálculo d som de um série uméric Eemplo 36: Use o resultdo do eemplo 3 pr clculr som d série Resolução: Como cosequêci do teorem de Fourier, podemos irmr que 4 3 ( ) cos Cosiderdo, otemos ( ) 4 4 cos( ) 3 3 ou sej,, 6

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