Routo Terada. July 27, 2004

Transcrição

1 Routo Terd July 27, Resíduo qudrático mod Sej Z. éumresíduo qudrático módulo (ou um qudrdo módulo ) se existir um x Z tl que x2 mod. Se tl x ão existir, diz-se que éum ão-resíduo qudrático módulo. O cojuto de todos os resíduos qudráticos módulo é Q, e os ão-resíduos qudráticos é Q. Observe que como 0 / Z, 0 / Q e 0 / Q.Emresumo: Z.é resíduo qudrático mod x Z : x 2 mod Por exemlo, em Z 11, Q 11 {1, 3, 4, 5, 9} como se vê tbel seguir: x x 2 mod Sej g Z um gerdor de Z o cso rticulr de ser um rimo ímr. Neste cso, Z éumresíduoqudráticoseesóse g i mod r um i iteiro r. Portto, Em resumo: Q ( 1)/2 e Q ( 1)/2. se >2 rimo, etão: Z é resíduo qudrático mod m g i mod : i r, g gerdor de Z Por exemlo sedo g 2um gerdor de Z 11, tem-se:

2 i i mod Portto, Q 11 {1, 3, 4, 5, 9} e Q 11 {2, 6, 7, 8, 10}. Se q ode e q são dois rimos ímres distitos, etão Z éum resíduo qudrático módulo seesóse Q e Q q. Logo, deduz-se que Q Q Q q ( 1)(q 1)/4 e Q 3( 1)(q 1)/4. Em resumo: se, q > 2 rimos ímres distitos, etão: Zq é resíduo qudrático mod (1.1) m Q e Q q Por exemlo r 3 515, Q 3 {1} e Q 3 {2}, eq 5 {1, 4} e Q 5 {2, 3}. Q 15 {1, 4}. Q 15 {2, 7, 8, 11, 13, 14}. Verifique el tbel seguir. x x 2 mod mod 3 x x 2 mod mod 5 Sej Q. Se x Z stisfz x 2 mod, diz-sequex é riz qudrd de módulo. Por exemlo, se 15tem-se tbel seguir: (N tbel seguir, observe que 6, 9, 10 / Q 15 e 6, 9, 10 / Q 15 ois 6, 9, 10 / Z 15.) x x 2 mod Quto o úmero de rízes qudrds, tem-se: 1. Se éumrimoímr e Q,etão ossui extmete dus rízes qudrds módulo. 2. Se α1 1 α α k k ode os j são rimos ímres distitos e cd α j > 0 e se Q,etão ossui extmete 2 k rízes qudrds distits módulo. No cso rticulr de q, ode, q > 2 são rimos distitos, há qutro rízes qudrds mod. 2

3 Por exemlo, s dus rízes qudrds de 5 módulo 41 são 13 (13 2 mod 41 5) e28 (28 2 mod 41 5). E s rízes qudrds de 16 módulo 21(21 3 7) são: 4, 10, 11 e 17, coforme tbel seguir. 1 2 mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod Símbolo de Legedre (Adrie-Mrie Legedre, ) Sej um iteiro rimo ímr, esejq ocojutodositeiros Z que são resíduos qudráticos mod, istoé,existeumiteirox Z tl que x 2 mod. Símbolo de Legedre é or defiição: 0 se (i.e., mdc(, ) 6 1) 1 se Q 1 se Q ossui s seguites rorieddes, suodo >2 ser um iteiro Osímbolo rimo ímr, e, b Z: 1. (Critério de Euler) se mdc(, ) 1: ( 1)/2 mod Por exemlo, 4 (11 1)/2 mod 11 1 e 4 Q 11 ;e7 (11 1)/2 mod e 7 Q 11. Em rticulr 1 1e 1 ( 1) ( 1)/2. Portto 1 Q se 1mod4e 1 Q se 3mod4. 2. b b ois b (b) ( 1)/2 mod ( 1)/2 b ( 1)/2 mod b. Porexemlo ( 1) 1 Portto, se mdc(, ) 1: 2 1e 2 b b. 3. se b mod, etão b Est roriedde é coseqüêci d defiição de Símbolo de Legedre. 3

4 4. 2 ( 1) ( 2 1)/8 Por exemlo 2 11 ( 1) (121 1)/8 ( 1) 15 1 Logo Ã! 2 1 se 1mod8ou 7mod8. Ã! 2 1 se 3mod8ou 5mod8. 5. (Recirocidde, Guss 1796) Sejm, q > 2 rimos distitos, etão q q ( 1) ( 1)(q 1)/4 Ou sej: q q se 3mod4e q 3mod4 cso cotrário q Por exemlo ( 1) Símbolo de Jcobi (Krl Gustv Jcob Jcobi, ) O Símbolo de Jcobi é um geerlizção do Símbolo de Legedre r um módulo ímr, ão ecessrimete rimo. Sej Z, esej>0 um iteiro ímr com ftorção α 1 1 α α k k ode os j 3 são rimos ímres distitos e cd α j > 0. O Símbolo de Jcobi éordefiição: 1 1 α1 α αk k se >1 ímr No cso rticulr q ode e q são dois rimos ímres distitos, q q. Pr iteiros ímres m 3, 3 e, b Z, o Símbolo de Jcobi ossui s seguites rorieddes: 1. Pel defiição: 0 1 1e 0 0se

5 2. Pel defiição: 0, 1, ou 1 Ademis µ 0 mdc(, ) 6 1 ois mdc(, ) 6 1 0el defiição de Símbolo de Legedre b b. Est roriedde é coseqüêci d Proriedde 2. Portto se Z (como 6 0), etão 2 1. m m 5. se b mod, etão b. Est roriedde é coseqüêci d Proriedde ( 1) ( 1)/2 Logo µ 1 1se 1mod4e 2 ( 1) ( 2 1)/8 Logo µ 2 µ 2 µ 1 1 se 3mod4. 1 se 1mod8ou 7mod8. 1 se 3mod8ou 5mod8. 9. (Recirocidde) Se mdc(m, ) 1e m>2, > 2 são iteiros ímres, etão m m ( 1) (m 1)( 1)/4 Ou sej: m m se 3mod4e m 3mod4 cso cotrário (i.e., m 1mod4ou 1mod4) m 5

6 Corollry 3.1. mdc(, ) 1 els Prorieddes 3 e 4 Corollry 3.2. mdc(, ) 1 2 b m µ Ã! 2 µ 2 µ (3.1) 2 b elo Corolário 3.1 e el Proriedde 3 (3.2) elo Corolário 3.1 e el Proriedde 4 Corollry 3.3. Sej 2 e 0 com e 0 e 0 ímr, e sej 0 mod 0 (i.e., q r lgum iteiro q 0). O Símbolo de Jcobi é ddo or: Demostrção 2 e 0 2 e 0 ( 1) e ( 1) e µ Ã! 0 ( 1) e ( 1) el Proriedde (3.3) el Proriedde 8 el Proriedde 9, orque mdc(, 0 )1 (ois 0 mod 0 )e 0 > 0 éímr.2 Observe que mesmo qudo mdc(, ) > 1 iguldde 3.3 é válid ois os dois ldos são iguis zero. Como 0 < 0 <oldo direito d iguldde 3.3 evolve rgumetos estritmete meores. Portto licdo-se iguldde 3.3 sucessi vmete, ftlmete teremos 0 0eocálculode termi. Est licção sucessiv é idéi básic do lgoritmo seguir r clculr o Símbolo de Jcobi. Note que este lgoritmo ão há ecessidde de se cohecer ftorção de : 6

7 Algoritmo Jcobi(A, N) r clculr o Símbolo de Jcobi A N Etrd: iteiroímrn>0, eiteiroa :0<A<N. Síd: A, N Símbolo de Jcobi; se N rimo, etão Símbolo de Legedre. 1. tem 1; 2. equto (A 6 0){ 2.1 equto (A mod 2 0){ (* deois deste lço, A 0 o Corolário 3.3 *) A A/2; se(n mod 8 3 ou N mod 8 5) tem tem; (* ( 2 1)/8 éímr*) } 2.2 X A; A N; N X; (* troc A e N, ea, N 0 ímr o Corolário 3.3 *) 2.4 se (A mod 4 3 e N mod 4 3) tem tem; (* ( 1)/2 ( 0 1)/2 é ímr *) 2.5 A A mod N; (* A mod 0 o Corolário 3.3 *) } 3. se (N 1)resostétem seão resost é 0; Este lgoritmo em ligugem MtLb é como segue: 7

8 fuctio [res] Jcobi(A,N) % clcul Simbolo de Jcobi de it A:0<A<N, N>0 imr if(rem(n,2)0) res-99;%nr->erro else tem1; % iici sil com 1 while (A~0) while(rem(a,2)0) % deois deste lco, A AA/2; if(rem(n,8)3 rem(n,8)5) % (^2-1)/8 imr tem-tem; ed % if ed % while XA; AN; NX; % troc A e N, A, N imr if( (rem(a,4)3 & rem(n,4)3) ) tem -tem; % (-1)( -1)/2 imr ed %if if(n~0)arem(a,n); ed% A mod ed % while if(n1) restem else res0 ed ed % if iicil 4. Cso rticulr de µ, q 3mod4 q No cso rticulr q ode e q são dois rimos ímres distitos, el defiição de Símbolo de Legedre, q. q Lemm 4.1. Sejm >2 rimo, 3mod4e Q.Etão +1. Demostrção 1 el Proriedde 3 de Símbolo de Jcobi. Como or hiótese 3mod4, el Proriedde 1 de Símbolo de Legedre 1 1. Como Q,ousej, 1, coclui-seestelem.2 8

9 Lemm 4.2. Sejm >2,q > 2 rimos distitos, q 3mod4eiteiro 6 0.Se q 1, etão ou Qq ou Q q. Demostrção Como q q e como or hiótese q 1, tem-se:. q Há dus ltertivs: 1. q +1eortto Qq. 2. q 1. Neste cso, elo Lem 4.1 tem-se q +1,e ortto Q q. Est ltertiv ocorre orque q 3mod4 or hiótese, e ortto el Proriedde 1 de Símbolo de Legedre 1 1 q 1. Etão q q 1 1 q q Exercícios 1. Clculr os seguites Símbolos de Jcobi: Provr que r comosto 1. se Q etão 1 2. se 1,etãoão é ecessário que Q 6. Pseudo-rimos Sej >3um iteiro ímr. Sej J { Z : 1}. Como visto o Exercício, o cojuto J Q ão é vzio, e é chmdo Cojuto dos Pseudorimos módulo. 9

10 Idex Pseudo-rimos, 6 resíduo qudrático, 1 Símbolo de Jcobi, 4 Algoritmo r clculr, 5 Símbolo de Legedre, 3 10