6/16/2011. Relações de Girard Relações entre raizes e coeficientes. a x. a 1. Considere-se as raízes i, i=1,2,...n, e P(x) na forma fatorada:

Transcrição

1 66 Numero de Rizes Reis Teorem de Bolzo Sej = um equção lgébric com coeficietes reis,b. Se b <, etão eiste um úmero ímpr de rízes reis o itervlo,b. Se b >, etão eiste um úmero pr de rízes reis, ou ão eistem rízes reis o itervlo,b. Regr de Siis de Descrtes O úmero de rizes reis positivs + de um equção lgébric é igul o úmero de vrições de siis sequeci dos coeficietes, ou meor que este úmero por um iteiro pr, cosiderdo-se multiplicidde m de cd riz e ão cotdo os coeficietes iguis zero. Corolário: Se os coeficietes de um equção lgébric são diferetes de zero, etão o úmero de rízes reis egtivs - cosiderdo s multipliciddes é igul o úmero de permecis de siis sequeci dos coeficietes, ou é meor que este úmero por um iteiro pr.

2 66 Relções de Girrd Relções etre rizes e coeficietes Cosidere-se s rízes i, i=,,..., e form ftord: Desevolvedo-se multiplicção, tem-se: Comprdo-se os termos de form de potecis: Com os termos obtidos multiplicção: ode-se escrever: Obtedo-se Comprdo de form álog os demis termos, obtémse s relções etre s rizes e o coeficietes d fução lgébric, cohecids como relções de Girrd

3 66 Eemplo Sej equção: 7 6 Cujs rizes são: i; i e Etão: i i 7 7 i i i i 6 6 i i Método d Bisseção Método d Bisseção

4 66 Critério de rd Se um riz já estiver isold em um itervlo [, b], etão próim etp cosiste plicção de um método pr gerr um sequêci {,,,...,} [, b] que covirj pr riz et f=. r iterromper gerção d sequêci cim com um próimo do vlor eto, detro d precisão desejd, um dos seguites critérios pode ser usdo: k k k k k f ou ou Algoritmo Bisseção {Objetivo: Clculr riz de um equção pelo método d bisseção } prâmetros de etrd:, b, Toler, IterM prâmetros de síd: Riz, Iter, F f { Avli fução em } Fb fb { Avli fução em b } se F * Fb > etão escrev A fução tem zero ou um umero pr de rízes o itervlo bdor fim se Iter repit + b { ecotrr o poto do meio do itervlo} F f { vlir fução em } se bsf Toler ou Iter IterM etão iterromp fim se se F * F > etão { escolhe o itervlo [,b] } F F seão b { escolhe o itervlo [,] } fim-se Iter Iter + fim repit Riz se bsf > Toler etão escrev A precisão ão foi obtid fim se fim lgoritmo Eemplo Isolr tods s rizes d equção: f

5 66 Numero de Rízes Reis f N + = ou umero de mudçs de sil N - = úmero de permecis Limite d rizes reis = k -k B L i,67 6,8,6 L,6-6,8 -,79 O,6 + -6,8 - -,79 Observr que os coeficietes de form multiplicdo por - pr torr > Esboço do Gráfico 5

6 66 Eercício Ddo fução: f Ecotrr riz positiv o itervlo [,6] com Iterção b f f fb Atigiu precisão < ou =.E ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu ão, cotiu sim, pre Algoritmo Bisseção {Objetivo: Clculr riz de um equção pelo método d bisseção } fuctio y=f y=^-*^-*+ edfuctio prâmetros de etrd:, b, Toler, IterM =iput "limite iferior do itervlo: ; b=iput "limite superior do itervlo: ; IterM=iput "Numero máimo de iterções Toler = iput "recisão desejd: prâmetros de síd: Riz, Iter, FA=f { Avlir espressão em } FB=fb { Avlir espressão em b } if FA * FB > the disp A fução tem zero ou um umero pr de rízes o itervlo ; eit; ed iterções Iter = ; while %t iicio repit = + b ; { ecotrr o poto do meio do itervlo} F =f; { vlir fução em } if Iter >= IterM bsf < Toler the brek ed if FA * F > the = { escolhe o itevlo [,b] } FA = F else b = { escolhe o itevlo [,] } ed Iter = Iter + ed fim repit Riz = ; resultdos pritf "Iterções: %d \,Iter; pritf "Riz : %f \, Riz; pritf "recisão: %f \,bsf; if bsf < Toler the pritf " Resultdo obtido com precisão desejd else pritf " Resultdo ão obtido com precisão desejd ; ed 6

7 66 FIM 7