Olimpíada Brasileira de Matemática X semana olímpica 21 a 28 de janeiro de Eduardo Poço. Integrais discretas Níveis III e U
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- Vítor Gabriel de Escobar Álvaro
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1 Olipíd Brsileir de Mteátic X se olípic 8 de jeiro de 007 Edurdo Poço Itegris discrets Níveis III e U Itegrl discret: dizeos que F é itegrl discret de F F f f se e soete se:, pr iteiro pricípio D es for, dizeos que f é derivd discret de Notção: f F Utilidde: cohecid itegrl discret fzer o sotório: F d fução f F., teos codições de f F F, e iteiros A itegrl discret trsfor u so e so telescópic. Sedo de lgus proprieddes, é possível trlhr diicete co itegris discrets pr oter fóruls ovs prtir de outrs cohecids. Aqui, ão quereos provr que u fução dd é itegrl discret de outr, pois ess verificção é siples. Quereos oter ferrets que os possiilite ACHAR itegris discrets de for rápid, pr o fil poder clculr o vlor de u sotório que teh surgido de lgu prole. E lgus csos, é suficiete ser cr d itegrl discret ou sej, se é u poliôio, epoecil etc. Algus itegris discrets o eercício de verificção é siples: c c.!!
2 q q q! log log se cos se se se cos se se se se se cos Proprieddes Assi coo itegris cotíus s priitivs, eiste váris itegris discrets pr u dd fução, e tods els difere por u costte. Eeplo: e são itegris discrets de f. Verifique pel defiição! Itegrção discret é u trsforção lier: g f g f.., pr costtes e. A iguldde os forece u itegrl discret pr fução do ldo esquerdo, lere-se que podeos sor costtes do ldo direito e cotiur co u itegrl discret. Itegrl discret do produto por prtes: sedo F f e G g, etão: G f G F g F
3 Eeplo: Clcule se e se, coprdo co o cálculo de se d e se d Sedo f, u fução ds vriáveis e, derivável vriável, etão: f, f, Podeos usr própri vriável, se fução tiver derivd ess vriável: d d f d d f Eeplo: Clcule, co u costte e relção. 5 Seguido u ciho álogo, teos que: f, d f, d C Pr lgu costte C. Ess costte é ecotrd trvés de vlores iiciis cohecidos ds fuções. Eeplo: Prove que l 0 d Aplicção: So de potêcis cosecutivs. Sej seguite fução: S...
4 Há u fórul recursiv e que podeos clculr S prtir de vlores teriores tete prová-l coo eercício: S 0 S O prole dess fórul é prticidde: precisos de tods s fuções teriores, e id ssi freos u trlho lgérico grde. Co itegris discrets, coseguios oter S prtir de S pes co u trlho ritético. Iicilete, se quereos S, quereos su itegrl discret. Usdo propriedde que os perite trocr itegrl discret co cotíu escolhedo própri vriável coo vriável de itegrção cotíu: d d C A itegrl cotíu pode ser relizd se proles: d C Reoedo costte ser ecotrd: d C Ess costte pode ser ecotrd pel difereç etre itegris discrets qudo 0, forecedo o oposto d so dos outros coeficietes já otidos pel itegrção cotíu. Resuido: Se..., etão:...
5 Co, pr,,...,, e 0. Algus vlores: Aplicção: So de potêcis ultiplicds por progressão geoétric Agor procurreos, co u costte e relção. Oserve: d d l l Ds fors iiciis de, ecotros u fução d for:... co s costtes sedo fuções de, s ão depededo de. É turl procurr u itegrl discret co seguite for:
6 ... Ess for pode ser ecotrd, e os coeficietes stisfze, i,...,, e 0. Algus vlores:,
7 - Clcule s seguites itegris discrets: Proles e! f c! g d h cos cos - Clcule: li se - Clcule - Clcule li li.., co iteiro positivo. 5- Prove que h, sedo h.
8 6- Ache derivd cotíu d fução g pr iteiro positivo, sedo que ', costte de Euler u vlor cohecido e stisfz, pr todo rel, ssi! positivo.. A fução g pr iteiro 7- OBM00 O diâetro de u cojuto S R é defiido coo sedo. O cojuto vzio, por defiição, te diâetro igul D S S i S zero. Clcule so dos diâetros de todos os sucojutos de A,,,..., fução de., e Referêcis: [] U referêci sore sotórios e lgus cosiderções histórics sore o rciocíio huo e ipleetção de lgoritos e coputdores: A=B, Mro Petovse, Herert S. Wilf, Doro Zeilerger.
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Considere uma função contínua arbitrária f(x) definida em um intervalo fechado [a, b].
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Limites. Consideremos a função f(x)=2x+1 e vamos analisar o seu comportamento quando a variável x se aproxima cada vez mais de 1.
Liites Noção ituitiv Cosidereos fução f() e vos lisr o u coporteto qudo vriável proi cd vez is de. o ) tede, ssuido vlores iferiores.,6,7,8,9,9,99,999,9999 f(),,,6,8,9,98,998,9998 ) tede, ssuido vlores
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3 ) x = 3 3 pela propriedade (a n ) m = a
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f(x + 2P ) = f ( (x + P ) + P ) = f(x + P ) = f(x)
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