SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFERENÇA
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- João Batista Antas de Barros
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1 SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA
2 ( ( x( Coeficiete costte. ( ( x ( Coeficiete vriável (depedete do tempo. Aplicmos x( pr e cosidermos codição iicil ( ( ( M ( ( ( ( x( x( ( x( M x( ( x( 3 ( x( x( x( x( SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA COM COEFICIETES COSTATES Sistems descritos por equções difereç com coeficiete costte lier são um subclsse de sistems recursivos e ãorecursivos. (-
3 SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA COM COEFICIETES COSTATES ( ( x( ( ( x( ( x( x( ( ( x( 3 ( x( x( x( ( ( x( ( ( x( x( K x( x( ( ( x(, codição iicil do sistem respost do sistem um sil de etrd x( Sstem recursivo relxdo ( e dizemos que o sistem está em estdo zero e su síd é chmd de respost o estdo zero, zs ( ( ou tmbém respost forçd. zs ( x(, É um covolução evolvedo o sil de etrd covoluído com respost o impulso h( u(. Este sistem é cusl, pois h( <. O sil de etrd pode ser ssumido cusl ( síd o tempo depede d etrd presete e pssd. Exemplo zs ( x( x( x( O resultdo do sistem recursivo relxdo descrito pel equção difereç de primeir ordem ( ( x( é um sistem LIT IIR com respost o impulso h( u(.
4 SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA COM COEFICIETES COSTATES Supodo gor que o sistem descrito por ( ( x( é ão - relxdo, ( e etrd x( pr todo. A síd deste sistem é chmd respost etrd - zero ou respost turl zi(. zi( (, Produz um síd que é gerd pel memóri do sistem com etrd ul., A respost totl do sistem pode ser express como ( zi ( zs (. Form gerl d equção difereç : ( ( ou ordem do sistem. M b x(, ode o iteiro é ordem d equção difereç Equivletemete ( M b x(
5 SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA COM COEFICIETES COSTATES PROPRIEDADE DA LIEARIDADE Um sistem é lier se stisfz s três exigêcis : - A respost totl é igul som ds resposts de etrd zero e estdo zero. ( ( ( zi zs - O pricípio d superposição plic - se respost o estdo zero ( estdo zero lier 3 - O pricípio d superposição plic - se respost etrd zero ( etrd zero lier Exemplo.4. - Determie se o sistem recursivo defiido pel equção difereç ( (- x( é lier. Primeir codição ( ( x( ( ( x( x( K x( x( ( ( ( 443 codição iicil do sistem Segud codição x( c x ( c x ( zs [ c Logo o sistem é estdo - zero lier x ( c respost do x( sistem um sil de etrd x( x ( ] c x ( c zi ( zs ( x ( c ( zs ( c ( zs (
6 SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA COM COEFICIETES COSTATES Terceir codição ( c ( c ( zi ( [ c ( c ( ] zi ( c ( c ( ( ( zi ( c zi ( c zi ( Logo o sistem é etrd zero lier. O sistem stisfz s três codições de lieridde, logo ele é lier. Se o sistem de primeir ordem é lier, etão qulquer sistem de ordem tmbém será lier. O sistem descrito por ( o tempo, pois os coeficietes e b ( M b são costtes. x( é ivrite Portto, o sistem recursivo descrito por um equção lier difereç com coeficiete costte é lier e ivrite o tempo.
7 SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA COM COEFICIETES COSTATES Um sistem descrito por um equção difereç lier com coeficiete costte é estável se e somete se pr tod etrd limitd e pr tod codição iicil limitd, respost totl do sistem é limitd. Exemplo Determie se o sistem lier ivrite o tempo e recursivo descrito pel equção difereç ( ( x( é estável. Assumimos que x( é limitdo em mplitude x( M < pr todo. x ( ( ( ( ( M ( M x x x(,, M, Se é fiito, M é fiito e sid é limitd idepedetemete do vlor de. Etretto, quto, M mtém - se fiito somete se < porque qudo. Pr este cso M M x /(. Assim o sistem é estávelsomete se <.
8 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO A DIFEREÇA LIEAR COM COEFICIETE COSTATE Bsicmete, o objetivo é determir síd (,, do sistem ddo um específic etrd x(,, e um cojuto de codições iiciis. A solução pelo método direto ssume que solução totl é som de dus prtes: 3 3 solução prticulr solução homogêe ou complemetr ( ( ( p h Solução homogêe de um equção difereç O poliômio em pretesis é chmdo de poliômio crcterístico do sistem.... ( Ou obtemos equção poliomil Substituido est solução equção,. ( form de um expoecil Assumimos que solução est ( h
9 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO A DIFEREÇA LIEAR COM COEFICIETE COSTATE Solução homogêe de um equção difereç (... O poliômio em pretesis é chmdo de poliômio crcterístico do sistem. Em gerl ele tem rízes, que deotmos por,,...,. As rízes podem ter vlor rel ou complexo. prátic os coeficietes,,..., são gerlmete reis. Rizes de vlores complexos ocorrem em pres complexos cojugdos. Algums ds rizes podem ser idetics, e este cso temos rizes de múltipl ordem. Assumido que s rizes são distits solução mis gerl pr equção difereç homogêe é h ( C C... C, ode C, C,..., C são os coeficietes de poderção. Estes coeficietes são determidos prtir ds codições iiciis especificds pr o sistem. Desde de que etrd x(, equção difereç homogêe pode ser usd pr obter respost etrd zero do sistem.
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12 Se equção crcterístic cotém múltipls rízes, como por exemplo é um riz de multiplicidde m, etão equção difereç homogêe tor-se: m m m m C C C C C C ( 3 h
13 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO A DIFEREÇA LIEAR COM COEFICIETE COSTATE Solução prticulr d equção difereç: stisfz equção difereç pr um sil de etrd específico x(,. ( ( ( 3 h p 3 solução homogêe ou complemetr p ( M b x( solução prticulr
14 Assume-se que form pr solução prticulr teh form básic do sil de etrd x(.
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16 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO A DIFEREÇA LIEAR COM COEFICIETE COSTATE Solução totl d equção difereç: propriedde d lieridde d equção lier com coeficiete costte permite-os somr solução homogêe e prticulr pr obter solução totl. ( ( ( 3 h p 3 solução homogêe solução prticulr
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18 A costte C depede d codição iicil (- e d fução excitção. Cosequetemete, o vlor de C iflueci respost etrd zero e respot o estdo zero. p ( lim zs ( Respost de estdo estcioário do sistem ( equto etrd existir, el existirá A compoete que desprece qudo proxim - se do ifiito é chmd respost trsiete do sistem.
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22 RESPOSTA AO IMPULSO DE SISTEMA LIT RECURSIVO o cso de um sistem recursivo, respost o impulso, h(, é simplesmete igul respost de estdo zero do sistem qudo etrd x( δ ( e o sistem está iicilmete relxdo. zs ( Qudo x( δ( covolução: x( Sistem recursivo de primeir ordem ( x( pr >. ( zs zs ( ( δ ( (,. h( x(. Pr x( δ( h p p ( ( Etão h( zs ( h ( h( Pr determir respost o impulso de um sistem descrito por um equção difereç lier com coeficiete costte cosider - se solução prticulr igul zero, pois pr um etrd impulso u( Respost de estdo zero de um sistem LIT recursivo express em termos d
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24 RESPOSTA AO IMPULSO DE SISTEMA LIT RECURSIVO Pr um sistem de ordem h( h( C Pr que um sistem sej estável su respost o impulso deve ser bsolutmete somável: h( Se < < e C C etão pr todo, etão h( < Pr que um sistem cusl IIR, descrito por um equção difereç lier com coeficiete costte, sej estável tods s rízes do poliômio crcterístico devem ser meos que uidde em mgitude.
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) (ITA) Se P(x) é um poliômio do 5º gru que stisfz s codições = P() = P() = P() = P(4) = P(5) e P(6) = 0, etão temos: ) P(0) = 4 b) P(0) = c) P(0) = 9 d) P(0) = N.D.A. ) (UFC) Sej P(x) um poliômio de gru,
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