Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Discretos

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1 S 43 Siis e Sistes Aálise o Doíio do Tepo de Sistes Disretos Prof. Aluizio Fusto Ribeiro Arújo Depto. of Sistes de Coputção Cetro de Iforáti - UFP Cpítulo 3 Siis e Sistes g. d Coputção

2 Itrodução Coteúdo Operções Úteis o Siis Algus Modelos Úteis de Siis Disretos o Tepo eplos de Siis Disretos o Tepo quções de Sistes Disretos o Tepo Respost de trd Zero Respost o Ipulso Uitário Respost de stdo Zero Solução Clássi de quções de Difereçs stbilidde de Sistes Prâetros e Coporteto do Siste Siis e Sistes g. d Coputção -

3 Aálise o Tepo de SLDT (i) Itrodução Sistes disretos são rterizdos por etrds e síds disrets. U oputdor digitl é u eeplo típio. Sil disreto o tepo é bsiete u seqüêi de úeros que pree e situções disrets o tepo (e.g. estudos populiois probles de ortizção odelos de red iol rstreeto de rdr) ou e ostrges de siis otíuos o tepo (e.g. sistes de ddos ostrdos e filtrge digitl). otção: deot o -ésio úero seqüêi rotuld por. U sil disreto proveiete de ostrge de (t) pode ser epresso por (T) ode T é o itervlo de ostrge. Lebre-se que (T). Siis e Sistes g. d Coputção -3

4 Aálise o Tepo de SLDT (ii) Itrodução eplo de sil disreto o tepo: ( T) e T e. Siis e Sistes g. d Coputção -4

5 Aálise o Tepo de SLDT (iii) Itrodução Filtros digitis proess siis otíuos por sistes disretos. Coversores C/D e D/C são usdos este tipo de ofigurção. ste proesseto é esboçdo bio: Siis e Sistes g. d Coputção -5

6 Tho de Siis Disretos (i) ergi de u Sil Sej u sil defie-se eergi deste sil oo o sotório o logo do tepo do vlor de elevdo o qudrdo qudo este sotório é fiito: pr vlores reisou opleos. pr de odo otrário o sotório Potêi de u Sil Se plitude de ão overgir pr zero o o pssr do tepo epreg-se potêi de u sil defiid oo (pr o vlor luldo fiito e diferete de zero): P li iste Siis e Sistes g. d Coputção ostrs pr vlores o itervlo osiderdo. ão ovege. reis ou opleos. -6

7 Tho de Siis Disretos (ii) eplo Deterie eergi e potêi do sil s figurs () e (b) respetivete. Siis e Sistes g. d Coputção ; P

8 Operções o Siis Disretos (i) Desloeto o Tepo: ( Tie Shiftig ) Sej u sil e este eso sil defsdo de M uiddes: M s Siis e Sistes g. d Coputção -8

9 Operções o Siis Disretos (ii) Reversão o Tepo ( Tie Reversl ) Sej u sil e este eso sil rotiodo e toro do eio vertil:.. ote tbé k pr k 5. r Siis e Sistes g. d Coputção -9

10 Operções o Siis Disretos (iii) Alterção de T de Aostrge: Deição ( Deitio ) Sej u sil e este sil opriido por u ftor M: d M ode M é u vlor iteiro. Seleio-se tods s ostrs últipls de M e olo-se zero pr s deis. st operção é hd de deição ( deitio ). Siis e Sistes g. d Coputção -

11 Operções o Siis Disretos (iv) Alterção de T de Aostrge: Iterpolção ( Iterpoltio ) Sej u sil o sil iterpoldo é gerdo e dois pssos: epde-se o sil e e seguid tuliz-se os vlores o zero trvés de u étodo de iterpolção proprido. psão : e / L ± L ± LK de outro odo Siis e Sistes g. d Coputção -

12 Algus Siis Disretos Úteis (i) Motivção: Tipiete eles são ouete utilizdos o estudo de siis e sistes disretos o tepo. Fuções que serão trtds: Fução Ipulso Disret; Fução Degru Uitário Disret; Fução poeil Disret; Fução Seoidl Disret. Siis e Sistes g. d Coputção -

13 Algus Siis Disretos Úteis (ii) Fução Ipulso Uitário Disret st é otrprtid de fução ipulso otíu o tepo u fução delt de Kroeker defiid por: δ tbé hd de d seqüêi ipulso uitário. Siis e Sistes g. d Coputção -3

14 -4 Siis e Sistes g. d Coputção Algus Siis Disretos Úteis (iii) Fução Degru Uitário Disret st é otrprtid de fução degru otíu o tepo defiid por: < u 8 5 5) ( 3 u u u u δ

15 Algus Siis Disretos Úteis (iv) Fução poeil Disret λ λ st fução é epress oo: e ( e ou λ l ) Siis e Sistes g. d Coputção -5

16 Algus Siis Disretos Úteis (v) Fução poeil Disret: eplos Siis e Sistes g. d Coputção -6

17 Algus Siis Disretos Úteis (vi) Fução Seoidl Disret su for gerl : C os( Ω C os( Ω θ ) C os(π F θ ) ode F / eplo θ ) ode C é plitude θ é fse e rdios Ω é u âgulo e rdios e freqüêi Ω é dd e rdios por ostr. A fução seoidl pode tbé ser epress por : (ostrs/ ilo). Siis e Sistes g. d Coputção -7

18 Sistes Disretos o Tepo: eplos (i) Cderet de Poupç (sil iereteete disreto o tepo): U orretist deposit diheiro () e su deret de poupç d itervlo de tepo T ( ês). O bo deposit juros (r) e d T e evi etrto d ot () o depositte. Deterie equção reliodo síd e etrd. O sldo é : -r- (r)- Logo -- pr r equivleteete pode-se esrever: - U retird é represetd por u etrd egtiv. Pr u epréstio -M ode M é o vlor eprestdo. A epressão o o trso é hd de for de operdor de trso equto que epressão o vço é for de operdor de vço. A prieir for é turl pois é usl (portto relizável). Siis e Sistes g. d Coputção -8

19 Sistes Disretos o Tepo: eplos (ii) Cderet de Poupç (sil iereteete disreto o tepo): Represetção do siste por digr de bloos (relizção do siste de ot poupç): preg-se os operdores básios: sodor ultiplidor eslr e trsdor. Utiliz-se u odo de olet de sil (pikoff ode). Siis e Sistes g. d Coputção -9

20 Sistes Disretos o Tepo: eplos (iii) stitiv de Veds (sil iereteete disreto o tepo): o - ésio seestre de u urso uiversitário estudtes estão triuldos e u dd téri e todos deve oprr seu livro teto que te três seestres de vid. A editor vede destes livros este seestre. édi ¼ dos livros e bos odições são re-vedidos pelos estudtes. srev síd e fução d etrd: O sldo é : /4 - /6- Logo -/4--/6- Siis e Sistes g. d Coputção -

21 Sistes Disretos o Tepo: eplos (iv) Difereidor Digitl (sil otíuo proessdo p/ sist. disreto): Projete u siste disreto pr difereir u sil otíuo. ste difereidor é usdo e u siste de áudio tedo u sil de etrd o lrgur de bd iferior khz. ( t) A síd (t) é derivd d etrd (t). Os proessdor disreto G proess ostrs d etrd (t) e produz síd. preg-se ostrs d T segudos: (T); e (T). d pr t T dt usdo otção pr sistes disretos : li { } T T Assuido sil de ostrge sufiiete ete pequeo (diferete de ) : { T Siis e Sistes g. d Coputção te -se } ( T ) d dt t T li ( T ) T T ( ) T -

22 Sistes Disretos o Tepo: eplos (v) Difereidor Digitl (sil otíuo proessdo p/ sist. disreto): Itervlo de ostrge: T 5µ s ior freqüêi 4 Siis e Sistes g. d Coputção -

23 Sistes Disretos o Tepo: eplos (vi) Difereidor Digitl (sil otíuo proessdo p/ sist. disreto): ( t) t t T t T T t Siis e Sistes g. d Coputção -3

24 Sistes Disretos o Tepo: eplos (vii) Itegrdor Digitl (sil otíuo proessdo p/ sist. disreto): Projete u itegrdor digitl seguido s ess lihs que o difereidor digitl do eeplo terior. Itergrdor : ( t) usdo Assuido T ste é u eeplo de u siste O itegrdor otção pr sistes k sil k digitl T Siis e Sistes g. d Coputção t - ( τ ) dτ e t de ostrge sufiiete ete for T disretos : ão reursiv. tbé é epresso te -se uuldor. por su ( T ) lit T pequeo for k li T k k (diferete de ) : reursiv : ( kt ) T -4

25 Sistes Disretos o Tepo: eplos (viii) A for digitlizd de u equção difereil result e u equção de difereçs: d Sej equção difereil de orde : ( t) ( t) dt Pr ostrge uifore T us -se defiição de derivd pr t T : li pr T s o vlor uito pequeo : T T T α β ode α e β. T T - Ordede equção de difereçs :defiid pel difereç de ior orde. - q. difereil - Filtros digitis - Filtros lógios Siis e Sistes g. d Coputção pode ser proid e sistes e sistes disretos otíuos por eq.de difereçs são usdos são usdos de es oo siôios. oo siôios. -5 orde.

26 Sistes Disretos o Tepo: Vtges (i) Vtges do Proesseto Digitl de Siis: Operção de sistes digitis pode tolerr vrições os vlores de siis resultdo e preisão e estbilidde ior que sistes lógios. Sistes digitis ão ded eso gru de preisão de sistes lógios. Sistes digitis opleos pode ser ipleetdos e u hip epregdo iruitos VLSI. Filtros digitis são fleíveis: pode ser filete lterdos por progrção. Ipleetções e hrdwre perite uso de iroproessdores iiproessdores hves digitis e iruitos VLSI. Ciruitos digitis pode odelr grde qutidde de filtros. Siis e Sistes g. d Coputção -6

27 Sistes Disretos o Tepo: Vtges (ii) Vtges do Proesseto Digitl de Siis: Siis digitis pode ser brt e filete rzedos e ídis gétis. Siis digitis pode ser odifidos pr produzir erros uito bios e lt fidelidde. Filtros digitis pode ser oprtilhdos o tepo. Reprodução o sistes digitis é ofiável e se deteriorção. Mesges lógis oo fotoópi e files perde preisão pr d estágio suessivo de reprodução. Siis e Sistes g. d Coputção -7

28 Sistes Disretos o Tepo: Clssifição (i) Clssifição de Sistes Disretos - Lieridde e Ivriâi o Tepo A defiição de lieridde é idêti sistes otíuos Sistes ivrites o tepo são queles os quis seus prâetros ão ud o logo do tepo. Sistes Cusis e ão Cusis U siste disreto é usl se su síd e qulquer istte k depede pes dos vlores de etrd pr k. - Sistes Iversíveis e ão Iversíveis U siste é iversível se for eotrdo u outro siste tl que oeão de bos e st result e u siste idetidde. Siis e Sistes g. d Coputção -8

29 Sistes Disretos o Tepo: Clssifição (ii) Clssifição de Sistes Disretos -Sistes stáveis e Istáveis A estbilidde pode ser iter e eter. A estbilidde BIBO é álog o oeito e sistes otíuos. Sistes o e se Meóri Coeitos tbé idêtios àqueles de sistes otíuos. Siis e Sistes g. d Coputção -9

30 -3 Siis e Sistes g. d Coputção quções de Sistes Disretos (i) Serão trtdos sistes lieres ivrites e disretos o tepo (LTID) desritos por (for o teros e vço): o operdor de trso : for epressão Pode - se esrever : pode -se epressr gerl Pru so. logo futurs ão depede de etrds Codição de Cuslidde :A síd se perd de geerlidde. - se que Assue ). ( orde é uj equção lier de difereçs é u est b b b b b b b b M M M M b b M b M b M M K K K K K K

31 quções de Sistes Disretos (ii) Solução Reursiv de qução de Difereçs A equção terior pode ser epress b b K b K oo b seguir A síd é luld prtir de prels de iforção: vlores teriores de síd vlores teriores de etrd e o vlor tul de etrd. priípio este étodo reflete o odo oo u oputdor resolve u equção reursiv de difereçs: Ddos etrd e s odições iiiis. Se o étodo for ão reursivo etão síd é oputd pes prtir ds etrds se utilizr s síds prévis. : Siis e Sistes g. d Coputção -3

32 quções de Sistes Disretos (iii) eplo Resolv de odo itertivo :.5 ode Codições iiiis 6etrd usl (iíio e ). st equção pode ser re - esrit :.5 Pr obte -se :.5.5(6) () 8 Pr obte - se :.5.5(8) () 5 Pr obte - se :.5.5(5) () 6.5 Pr 3 obte - se : (6.5) (3).5 Pr 4 obte - se : (.5) (4).5 Siis e Sistes g. d Coputção -3

33 quções de Sistes Disretos (iv) otção Operiol Alogete sistes otíuos o tepo preg-se u otção operiol: o operdor. O operdor é plido d seguite eplos ; : qução de difereçs Pode ser re-esrit : qução de difereçs Pode ser re-esrit :( Siis e Sistes g. d Coputção de de 4 ; K orde orde ) 6 for : ( 4 ) 6-33

34 -34 Siis e Sistes g. d Coputção quções de Sistes Disretos (v) otção Operiol pressão gerl pr equção de difereçs de orde : Respost de sistes LTID: A solução gerl deste siste é ford pelos opoetes de etrd zero e de estdo zero. b b b b P Q P Q b b b b oo são defiidos poliôios ode os te -se que : Altertivete ) ( ) ( K K K K

35 -35 Siis e Sistes g. d Coputção Respost de trd Zero (i) Respost pr Codições Iters do Siste ste opoete é respost do siste pr etrd ul. ( )( ) ( ) é : ) do poliôio rterístio ( trivil ão - A solução ) ( : for o poliôio ssue for Dest ostte. é u ode o tero } { epoeil : proriedded fução é u st for. es eiste e são d de difereçs equções tods obição lier resultr e zero Pr k k k k k k Q Q Q Q k Q ) ( K K K K

36 -36 Siis e Sistes g. d Coputção Respost de trd Zero (ii) Respost pr Codições Iters do Siste Pr rízes distits: Q Q Q K K K K K por : é dd solução gerl Assi ( te -se : é lier o siste Coo : o poliôio idividulete Cd solução stisfz são rízes rterístis e rbitráris são osttes ode por : ddos pr soluções possíveis Te -se

37 -37 Siis e Sistes g. d Coputção Respost de trd Zero (iii) Respost pr Codições Iters do Siste Pr rízes repetids: Pr rízes oples: sts rízes pree sepre os pres. O proedieto é o eso que quele pr rízes reis. est so ter-se-á odos rterístios opleos e for de solução ople.. ) e solução : rterístios : odos te os ) ( ) )( ( ) ( o o poliôio rterístio : u siste Pr r r r r r r r r r ( Q K K K K K

38 -38 Siis e Sistes g. d Coputção Respost de trd Zero (iv) Respost pr Codições Iters do Siste Pr rízes oples: Pode-se optr por ão se trblhr o for ople: uilires. prtir ds odições deterids são osttes e ode os ) ( : isto result e Sej os oefiietes ) ( : por zero é dd de etrd A respost e : polr for Pr de rízes oples ) ( ) ( θ β θ β θ β θ θ β β β β?) ( e e e e e e e e j j j j j j j j

39 Respost de trd Zero (v) Respost pr Codições Iters do Siste : Clule respost de etrd zero pr o siste LTID pr A equção rterísti é os odos rterístios são :(.) Pr hr s osttes fz -se /5 A respost (.) 5/ 4 Siis e Sistes g. d Coputção (.) 4 /5. de etrd (.8) (.) 5/ zero é. 4.6 (.8) 5 (.8) 4.6 (.8) e u. (5/ 4) 5 / 5(.) (.)( e solução dd equção i (5/6) 4 /5(.8).8). por -39 : : 5/ 4

40 Respost de trd Zero (v) Respost pr Codições Iters do Siste : Clule respost de etrd zero pr o siste LTID. ( pr 6 A equção rterísti é os odos rterístios são :( 3) ( Pr hr s osttes / 3 / 9 4 A respost / 3 Siis e Sistes g. d Coputção 9) )( 3) ( 3. ( de etrd ( / 9. ( ))( 3) ( ))( 3) zero é 6) 6 fz -se 9 ( 3) e ( 4 u. 3)( / 3 / 9 (4 3)( 3) 3) e solução dd. por : equção i -4 :

41 -4 Siis e Sistes g. d Coputção Respost o Ipulso Uitário (i) Fudetos Cosidere o siste de -ési orde espeifido pel equção: s.. : uls iiiis odições e equção pr etrd ipulso é solução dest o ipulso A respost ou ) ( ) ( h h h P h Q P Q b b b b K K K δ

42 Respost o Ipulso Uitário (ii) Fudetos eplo: Clule respost o ipulso pr o siste: : A respost o ipulso é solução d equção : h.6h.6h 5δ s.. h h Fzedo te -se : h.6h.6h 5() h 5 Fzedo te -se : h.6h.6h 5() h 3 Cotiud o dest for deteri -se os próios teros de h. st solução é útil pr se deterir solução de for fehd. Siis e Sistes g. d Coputção -4

43 Respost o Ipulso Uitário (iii) A Solução de For Fehd A respost o ipulso uitário h te s rterístis: A etrd é ul eeto pr ipli respost ford por odos rterístios do siste. te-se vlor diferete de zero. A for gerl de h é epress oo : h A ode Coo Coo Q h P δ Logo Q ( A é obição lier dos odos rterístios do siste. δ ) P δ Q ( A δ δ u u ) P δ é feito de odos rterístios te -se Q ( u ) Siis e Sistes g. d Coputção -43

44 -44 Siis e Sistes g. d Coputção Respost o Ipulso Uitário (iv) A Solução de For Fehd. vlores de oheieto dos prtir do são deteridos Os oefiietes desohei dos de resultdo e filete obte -se e -se epreg Fz -se ) ( ) ( Lebrdo que h u b h b A b A b b A P A Q δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ K K

45 Respost o Ipulso Uitário (iv) A Solução de For Fehd eplo: Deterie respost o ipulso do eeplo terior.6 st equção pode ser re - esrit for vçd : ( O poliôio rterístio é : Modos rterístios : (.) Coo ou.6 b Coo h h por substituiç ão diret for itertiv eotr -se.6 5.6) A 5 resultdo h (.).6.6 (.)(.8) e (.8) 4(.8) e h u (.) (.) (.8) (.8) u Siis e Sistes g. d Coputção -45

46 Itrodução Respost de stdo Zero (i) Respost pr odições iiis uls o siste disreto de etrd rbitrári diferete de zero. st situção é ou todos sistes trtdos est seção ão ser qudo dito o otrário. Sil de etrd A opoete δ Pr sistes é obtid sodo Siis e Sistes g. d Coputção epresso e δ δ K lieres su -se su respost respost oo so δ K pr qulquer etrd às sus de opoete s ipulso é δ logo esreve -se : rbitrári opoete s ipulso. -46 :

47 Respost de stdo Zero (ii) Itrodução Siis e Sistes g. d Coputção -47

48 Respost de stdo Zero (iii) Itrodução A otção bio idi etrd e su orrespodete síd : Logo e prtiulr δ Devido à ivriâi o tepo δ h Devido à lieridde : δ h e δ h h h. Siis e Sistes g. d Coputção -48

49 -49 Siis e Sistes g. d Coputção Respost de stdo Zero (iv) Sotório de Covolução O sotório de ovolução de dus fuções é defiido oo: u. eos (oprieto) de eleetos é o úero A lrgur de u sil. te lrgur etão fiits e o lrgurs siis e Sej Lrgur : : Covolução o u ipulso etão tepo : Desloeto o ) ( ) ( Assoitiv : ) ( Distributiv : : Couttiv relevtes : proprieddes o s W W W W p p h δ

50 Respost de stdo Zero (v) Sotório de Covolução Cuslidde e Respost de stdo Zero Cosidere respost pr Pr sil u siste e siste do siste usis : usl (i.e. h usl) Sotório de ovolução prtir de u tbel: Pode-se utilizr u tbel de sotórios de ovolução pr deterir outros sotórios de ovolução is opleos. pr u sil de etrd usl etão : h pr h < ; etão h pr >. Siis e Sistes g. d Coputção -5

51 -5 Siis e Sistes g. d Coputção Respost de stdo Zero (vi) Sotório de Covolução eplo: Deterie pr o siste LTID: ( ) ( ) ( ) ( ) (.3) (.8) (.3) (.8) ; (.3) (.8) (.3) (.8) : são usis e o siste oo o sil (.3) (.8) etão (.3) (.8) u u u u u g g g u g u u g u <

52 -5 Siis e Sistes g. d Coputção Respost de stdo Zero (vii) Sotório de Covolução eplo: A respost de estdo zero pr o siste LTID: 4 etão ; ; de ovolução : de sotórios Tbel 4(.8) (.5).) ( (.5) 4(.8).) ( (.5) é : respost Assi. 4(.8).) ( uitário é o ipulso respost e 4 é A etrd u u u u u u u u u u u u h u h u

53 -53 Siis e Sistes g. d Coputção Respost de stdo Zero (viii) Sotório de Covolução eplo: otiução: 5.8(.8).).444(.6(4) 5.8(.8).).444(.6(.5) : pode ser re-esrit respost. lebrdo que 7.7(.8).).( 5.5(.5) ) (.8) 7.7(.5).) ( (.(.5) (.8) (.5) (.8) (.5) 4.) ( (.5).) ( (.5) u u u u u u u u

54 Respost de stdo Zero (i) Respost pr trds Coples A prte rel d etrd ger prte rel d respost e prte igiári d etrd ger prte igiári d respost. Logo logo r r j i r e e i r i j i trds Múltipls trds últipls pr u siste LTI são trtds epregdo o priípio d superposição. Siis e Sistes g. d Coputção -54

55 Respost de stdo Zero () Sotório de Covolução: Solução Gráfi Proedieto Gráfio: O sotório g O sotório.tre o gráfio de e g oo fuções de.. Ivert. Desloque fução à direit (trso); pr 3. Multiplique por g diioe todos O proedieto é repetido pr d vlor de o itervlo Siis e Sistes g. d Coputção de ovolução de siis de ovolução pode ser deterido pelo proedieto : g por g e toro do eio veril ( uiddes usis e obteh < ove -se à esquerd e g é ddo por : (vço). produtos ) e obteh g. Pr e obteh. g. > ove -se -55.

56 Respost de stdo Zero (i) Sotório de Covolução: Solução Gráfi eplo: Deterie grfiete *g. As Pr dus Logo (.8) fuções g (.8) (.8) A Figur (h) seguir ostr situção gerl pr. Siis e Sistes g. d Coputção g se sobrepoê o itervlo (.3) (.8) (.3) (.3) (.3) logo (.8) (.3). < u (.8) (.3) g ssi :.8.3 < ão eiste sobreposição etre e g logo (.3) -56

57 Respost de stdo Zero (ii) Sotório de Covolução: Solução Gráfi eplo: Represetção gráfi Siis e Sistes g. d Coputção -57

58 Respost de stdo Zero (iii) Sotório de Covolução: Solução Gráfi eplo: Represetção gráfi (h) Siis e Sistes g. d Coputção -58

59 Respost de stdo Zero (v) Sotório de Covolução: Sistes Iteroetdos Siste oposto por subsistes is siples pr se gerr respost o ipulso de sistes e prlelo ou e st. S S S S S S Siis e Sistes g. d Coputção -59

60 Respost de stdo Zero (vi) Sotório de Covolução: Sistes Iteroetdos Siste LTID oposto por siste S o respost o ipulso h seguido de uuldor. S k k S A respost g o degru uitário de u siste o respost o ipulso h é : g k h k LTID Siis e Sistes g. d Coputção -6

61 Respost de stdo Zero (vii) Sotório de Covolução: Sistes Iteroetdos Siste Iverso: h hi δ Alogi etre operdores de sistes otíuos e sistes disretos: itegrdor e uuldor difereidor e difereç pr trás. Auuldor : eplo de siste do uuldor d difereç h h bdf pr : h trás : k k; iverso h bdf k Difereç osiderdo δ k u δ δ u { δ δ } pr trás : respost o ipulso u u δ : Siis e Sistes g. d Coputção -6

62 Respost de stdo Zero (viii) Sotório de Covolução: Fução poeil Iesste Sej Fução rterísti: trd pr qul u siste respode d es for epoeil é o úio so. etão u siste respost h z H z z Siis e Sistes g. d Coputção ode H z é u ostte LTIDo respost do siste h z H z é : Fução de trsferêi : H z z h z h z pr u ddo vlor de z. o ipulso h e etrd sil de síd sil de etrd z -6 ( z ) válido pr sotório fiito. etrd epoei l iesste z

63 Sotório de Covolução: : Fução poeil Iesste ( z ) A fução de trsferêi pr siste LTID o sil de etrd ão-usl pode ser epress e teros de poliôio: sil de síd Te - se que H z etrd z sil de etrd for de poliôio epoei l iesste H z Q z Coo Colui Respost de stdo Zero (i) k z - se que z P z k z fução z k de P z Q z trsferê i P z z Q z z é H z e su P z Q z respost : Siis e Sistes g. d Coputção -63

64 Respost de stdo Zero () Sotório de Covolução: Respost Totl Respost totl Respost etrd-zero Respost estdo-zero j j h pr utovlore s distitos 443 j 3 estdo zero etrd zero r j j j j h pr utovlore s repetidos e distitos 443 j j r estdo zero etrd zero eplo :Siste : Co odições resp iiiis etrd zero : 5 / estdo 4 e etrd.(.).8(.8).6(4).444(.) 5.8(.8) ) zero (4) u Siis e Sistes g. d Coputção -64

65 - Solução Clássi de quções de Difereçs (i) Deterição ds Resposts turl e Forçd respost Q ( e gerl - Cálulo A respost turl de u siste osiste de todos teros de odos rterístios respost. A respost ford é opost pelos teros reesetes que ão fore de odos rterístios. respost odições totl ds iiiis de Q φ ) P Q φ P turl s osttes rbitrris são deterid s odições respost uilires ( K ). forçd φ logo ( K ) o ivés por étodo de oefiiet es prtir ds ideteri dos. Siis e Sistes g. d Coputção -65

66 -66 Siis e Sistes g. d Coputção Solução Clássi de quções de Difereçs (ii) Respost Forçd A tbel ostr lgus fuções de etrd e síd forçd: i i i i i i i i r r r (i r r r (i r r ) os( ) os( ) ) Síd trd α φ β θ β K K

67 -67 Siis e Sistes g. d Coputção Solução Clássi de quções de Difereçs (iii) Respost Forçd ) 3( e 5 3 ) ( ) ( : que te - se forçd respost Cosider do é forçd respost terior tbel Ple (3) () é turl respost Logo ssi : 3) )( ( 6 5 rterístio : Poliôio 3. 4 uilires odições e 5) (3 etrd o 5) ( 6) 5 : ( difereçs de equção Resolv : eplo - B B u φ φ φ

68 -68 Siis e Sistes g. d Coputção Solução Clássi de quções de Difereçs (iv) Respost Forçd 35 6 (3) () : totl Respost te - se por oprção 7 3 5) 5(3 8 3 ) 6( ) 5( te - se : logo que Lebre : (otiuç ão) eplo - B B P Q φ φ φ φ φ φ

69 -69 Siis e Sistes g. d Coputção Solução Clássi de quções de Difereçs (v) Respost Forçd 35 6 (3) 3 5() : totl Respost ) ( 43 ) )( ( () (3) () () (3) () 4 : e deterir pr usds são uilires odições As 35 6 (3) () : totl Respost : (otiuç ão) eplo - B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B φ φ

70 Solução Clássi de quções de Difereçs (vi) O étodo lássio requer odições uilires pois e pes opoete de etrd zero eiste e este étodo ão se pode seprr s opoetes de etrd zero e estdo zero. Logo s odições iiiis deve ser plids à respost totl que se iii e. Logo preis-se de odições uilires:...-. Se fore ifords odições iiiis etão pode-se usr proedieto itertivo pr se obter s odições uilires...-. O siste te respost φ Siis e Sistes g. d Coputção espeifido pel equção Q H r r P forçd pr etrd epoeil r r i (odo rterístio) ode P r H r Q r dd -7 por

71 -7 Siis e Sistes g. d Coputção stbilidde de Sistes (i) stbilidde BIBO Se tod etrd liitd produzir síds liitds o siste este é dito estável BIBO. otrste se lgu etrd liitd resultr e respost iliitd o siste é defiido o istável BIBO. Assi pr u siste LTID:. pr estbilidde BIBO: e sufiiete Codição eessári. e etão liitd Se < < < < K h h K K h h h h

72 stbilidde de Sistes (ii) stbilidde Iter (Assitóti) Sej u siste LTID defiido pelo poliôio : Q( ) Pr odos rterístios - Assitoti ete estável : - Istável : odos rterístios - Mrgile te estável : qudo qudo pr r etão qudo pr. r pr <. >. r se P( ). o opleo te -se que o siste é : stes resultdos são válidos tbé pr rízes repetids. Rízes igiáris repetids e tor o siste istável pois Siis e Sistes g. d Coputção -7

73 stbilidde de Sistes (iii) stbilidde Iter (Assitóti) -Rízes reis Detro e for do írulo de rio. -Rízes oples Detro e for do írulo de rio. Siis e Sistes g. d Coputção -73

74 stbilidde de Sistes (iv) stbilidde Iter (Assitóti) - Rízes siples sobre o írulo de rio : Reis reis e oples. -Rízes repetids sobre o írulo de rio : Rízes reis e oples. Siis e Sistes g. d Coputção -74

75 stbilidde de Sistes (v) Defiição de stbilidde Iter U siste LTID é ssitotiete estável se e só se tods rízes rterístis (siples ou repetids) estivere detro do irulo uitário. U siste LTID é istável se e só se for verdde o eos u ds odições: (i) o eos u ds rízes está for do írulo uitário; (ii) eiste rízes repetids sobre o irulo uitário. U siste LTID é rgilete estável se e só se ão eistire rízes rterístis for do írulo uitário e se houver lgus rízes ão repetids sobre o irulo uitário. Relção etre stbilidde Iter e ter stbilidde iter é deterid pr odições iiiis ão uls e etrd ul equto que eter é deterid o odições iiiis uls e etrd diferete de zero. stbilidde iter ssegur estbilidde eter s o iverso ão é verddeiro. Siis e Sistes g. d Coputção -75

76 Prâetros e Coporteto de Sistes (i) O oporteto de u siste LTID (o respeito os seus prâetros): Depede dos odos rterístios e teros de ódulo tepo e preisão. Respode forteete etrds siilres seus odos rterístios e e pobreete etrds uito diferetes. Te seu tepo de respost idido pel lrgur d respost o ipulso. Dispers e gerl pulsos disretos o tepo que são plidos sistes disretos o tepo. Te qutidde de dispersão e t de trsissão de iforção deterids pel ostte de tepo do siste. Siis e Sistes g. d Coputção -76

77 eríios Reoeddos Propostos pr o MATLAB ou SCILAB Todos Probles té té té té e té té té té e té té Siis e Sistes g. d Coputção -77