64 5 y e log z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2

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1 Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Função Logrítmic p. (UFSM-RS) Sejm log, log 6 e log z, então z é igul : ) b) c) e) 6 d) log log 6 6 log z z z z (UFMT) A mgnitude de um terremoto é medid n escl de Richter. Considere que s mgnitudes E M e M de dois terremotos estão relcionds pel fórmul M M log, E em que E e E são s medids ds quntiddes de energi liberd pelos terremotos. Em 9, ocorreu um terremoto no norte de Mto Grosso e, em 00, um outro n ilh de Sumtr, n cost d Indonési, que liberrm s quntiddes de energi E e E, respectivmente. Admitindo-se que E foi equivlente à milésim prte de E e que o terremoto ocorrido n ilh de Sumtr teve mgnitude M 9, qul mgnitude M do terremoto ocorrido no norte de Mto Grosso? ) 6 c) e) b) d) E Sendo E e M 9, temos: 000 M M log E E M E 000 9? log E M 9? log 000 M 9 M 9 M? ( )

2 (Unicruz-RS) O logritmo de um número n bse 6 é. Então, o logritmo desse número n bse é: ) ) 6 ) ) ) Do enuncido, temos: log 6 6 Portnto: ( ) log log (Unifor-CE) O número rel, tl que log log, é igul : ) 6 c) e) b) d) 60? log? log? 9? (UNI-RIO/Ence-RJ) Sbe-se que log log log.... Clcule o vlor de sbendo que log,. 0,0 Sendo log,, seqüênci log log log... é um PG infinit e decrescente, com o termo ( ) igul e rzão (q) igul log. Logo: S S q log ( log ) log log log Aplicndo definição: log Portnto: ,0

3 6 (MACK-SP) O vlor de log b, sbendo que e b são rízes d equção 0 0, é: ) c) e) b) d) Como e b são rízes d equção 0 0, temos: e b. Assim: log b log? log 0 log 0 (UFBA) Determine todos os vlores de pr os quis número rel. [, [ [, [ log ( Devemos ter: 0 ➀ 0 e. 0 0 ➁, ➂ ) é um Fzendo ➀ ➁ ➂, vem: ➀ ➁ ➂ [, [ [, [

4 p. (UEL-PR) No universo IR, quis s soluções d equção log ( )?. 0 IR C.E.:. 0 e ( ) 0 ( ) 0 9 e 0 S {, } {, } 9 (UEM-PR) Determine o conjunto solução d seguinte equção: (log ) log 6. Devemos ter. 0. (log ) log 6 Fzendo log, vem: Logo: log log, 0 (UEPG-PR) Sendo (log ) log 0, então o produto entre s rízes d equção vle: ) c) e) b) 6 d) (log ) log 0. 0 C.E.: log 0 log log Produto ds rízes:? 6

5 (Uniderp-MS) A equção log (log ) é verddeir se, e somente se: ) ]0, [ c) ], [ e) é divisor de. b) ], [ d) é potênci de. 9 log (log ) log 9 Logo, ], [. 9 p. (Cefet-PR) O conjunto solução d equção (log ) log (log 00) 0 é: ) 0, c), e) {0} b) {0, } d) {} Sendo log, log e log 00, temos:??? 0??? 0 Fzendo, vem:? 0 0 Logo: 0 / IR ( ) 0 0

6 (UEL-PR) Os números reis que stisfzem equção log ( ) pertencem o intervlo: ) ]0, [ c) ], ] e) [, 0] b) [0, ] d) [, ] log ( ) C.E.: {. 0 log ( ) Logo, s rízes d equção pertencem o intervlo [, ]. (UFMA) Considere epressão: log ( ) log ( ) log ( ) log. Se A é o conjunto de números reis pr os quis ess epressão está definid e B, o conjunto de todos os números reis em que ess epressão se nul, então: ) A { IR,, } e B {} b) A { IR, e,, } e B {} c) A { IR, e,, } e B {, } d) A { IR, e,, } e B {} e) A { IR, } e B {} Pelos ddos, temos: , Logo, A { IR,, } log ( ) log ( ) log ( ) log 0 log ( ) log ( ) log ( ) log ( )? ( ) log ( )? ( ) ( )( ) Logo, B {}. ( )( )?? ( ) (não serve) 0 (serve)

7 (Unemt-MT) De cordo com equção logrítmic log ( ) log ( ), podemos firmr que: Pr que equção tenh solução, o vlor de terá de ser igul. Um representção equivlente à equção cim pode ser dd como log. Como log 0, logo solução dess equção é. Ess equção não present nenhum respost pertencente o conjunto dos números reis, pois não podemos representr o número num epressão logrítmic. Podemos firmr que equção log ( ) log ( ) é equivlente à equção log ( ) log ( 6), como resultdo d plicção de proprieddes opertóris dos logritmos.. (Verddeir). 0 C.E.: log ( ) log log ( ) log ( ) log ( ) ( ). (Verddeir) log ( ) log ( ) log. (Fls) log 0, ms solução não é.. (Fls) A solução é um número rel.. (Verddeir) log ( ) log ( 6) Respost: VVFFV 6 (Uniube-MG) A epecttiv de lucro de um pequen empres é epress pel lei L(t) 000 (,) t, sendo L(t) o lucro pós t meses. Considere log 0,60 e log, 0,09. Pode-se firmr, ssim, que o lucro tingirá R$ 000,00 no decorrer do: ) 0 o mês c) o mês e) o mês b) o mês d) o mês L(t) 000 (,) t (,) t (,) t log log (,) t log t? log, 0,60 0,60 t? 0,09 t 6, 0,09 No decorrer do o mês.

8 (UFSM-RS) Crros novos melhorm o escomento do trânsito e cusm menos poluição. Pr dquirir um crro novo, um ciddão fez um investimento de R$ 0 000,00 n poupnç, juros mensis de %, o qul rende, o finl de n meses, o vlor de C(n) (,0) n reis. O número mínimo de meses necessário pr que o vlor plicdo tinj R$ 000,00 é: ) c) e) 0 b) 6 d) Ddos: log 0 0,0 log 0 0, log 0 0,00 Pelos ddos, temos: C(n) ? (,0) 0? (,0) 0 (,0)n Aplicndo logritmo deciml em mbos os membros, temos: n log log (,0) log 0 n log,0 0 log? log log 0 n log, 0 n 0 log log 0 n log, 0 log 0 log log 0 n log, 0 log log 0 log log 0 n log, 0 Substituindo os vlores dos logritmos, temos: 0, 0,0 0,6 n n,00 0,00 n meses n

9 (UFPR) Um grupo de estudntes resolveu repetir medição d ltur do Pico d Neblin feit n décd de 960. Pr isso, esclrm ess montnh e levrm um brômetro. Chegndo o cume d montnh, efeturm váris medições d pressão tmosféric no locl e obtiverm o vlor médio de 0 mmhg. A pressão tmosféric P (h) um dd ltur h (em metros, em relção o nível do mr) é fornecid pel função P (h) P 0? e h, sendo e bse do sistem de logritmos neperinos, P 0 60 mmhg pressão tmosféric o nível do mr, e um número que depende principlmente d tempertur médi no locl de medição. Sbendo-se que, ns condições desse eperimento, 0,000 e que os estudntes usrm os vlores proimdos ln (60) 6,6 e ln (0) 6,, qul foi ltur que encontrrm pr o Pico d Neblin? Substituindo os vlores, temos: P(h) P 0? e h P(h) 60? e 0,000h Sendo P(h) 0 mmhg, vem: 0 60? e 0,000h Tomndo os logritmos dos dois membros, obtemos: ln 0 ln [60? e 0,000h ] ln 0 ln 60 lne 0,000h ln 0 ln 60 0,000h? lne 6, 6,6 0,000h? 0,000h 0,6 h 000 m 000 m 9 Resolv equção? log.? log C.E.:. 0 { log? ( ) 0 S {, } {, } 9 0

10 0 (MACK-SP) Se log ( log ) 6, com. e., então o vlor de é: ) c) 0 e) 6 b) d) Com. e., temos: log. log De log 6, temos: log log log 6 log 6 log De, temos: 0 As rízes dess equção são e. D condição., temos. Como, temos 6 e, portnto, 0. (FGV-SP) ) Obtenh os vlores de e que stisfzem o sistem bio: log log b) Qul o conjunto solução d equção eponencil 0? ) log log 0 e log 0 {0, log } b) 0 ( )? ( ) 0 Fzendo, temos: 0 ou Pr 0 Pr log 0

11 p. 0 Sendo log 0,; log 0, e log 0,, clcule: ) log 0 c) log 9 e) log b) log d) log 600 f) log 6 ) log 0 log 0 log(?? ) log log log log log log b) log log log(?? ) log log log log log log c) log 9 d) log log log log 0, 0, log 9 log log? 0, 0, log 600 log(?? ) 600 log log log log log? 0, 0,? 0, log? 0, log 0, e) log log 0, log log log f) log log (? ) 6 log 6 log (? ) log log, 0,9 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0, (UEPG-PR) Se log N p, ssinle o que for correto: p (0) log N (0) log N p log (6) log N log p 6 p (0) log N p (0) log N 0. (Verddeir) log N log N log N 6 log 6 0. (Verddeir) log N p log N log p p 0. (Verddeir) log N log N? log N? log 6. (Fls) log N p N p log N log p? log p p 0. (Verddeir) log N p log N log log log p p? log log

12 (PUC-MG) A riz d equção log log é igul : ) c) b) d) log log (log ) log log e) (MACK-SP) Se log log, então log é igul : ) c) e) b) d) De log log e. 0, temos: log log log log log log Portnto, log log. 6 (ITA-SP) O vlor de que stisfz iguldde log 9 log log é: ) c) e) b) log 9 log log log d) log log log ( log ) log log (log ) log log Assim, log log log

13 (EFOA-MG) Sbendo-se que log log b e log b, o vlor de b é: ) 00 c) 9 e) 0 b) d) 0 log log b e log b (0,, 0, b ) log b b log log log b log Substituindo, vem: log log log (? ) log b b 00 Então, b 0 (Unipr-PR) Ddo o sistem: log log O vlor de ( ) é igul : ) 6 c) 00 e) b) d) log log log log log log Logo:? 0 Portnto: ( ) (0 )

14 9 (UEFS-BA) Se log 0 (UFC) Sejm e os números reis positivos que stisfzem o sistem de equções: log log log log log log, então é igul : log log ) 0 c) 60 e) 60 b) 0 d) 0 Vmos mudr os logritmos pr bse 0. Logo: log log log log log log log log log, ms log log 0 log. log log log log log log 0 log log log log Assinle lterntiv n qul const o vlor numérico de : ) c) e) 6 b) d) 0 log log log log log log log log log log log log log ➀ log log log log ➁ Fzendo ➀ ➁, vem: log log log log log? 6? Substituindo em ➀, temos: log log log log log log? Portnto: log log log 0 log log log log log log log 0 log log log log 0 log log?? 0 log log 60 log 60 6

15 p. Constru, num mesmo sistem de eios, os gráficos de: ) f() e f() log b) f() e f() log ) b) bissetriz log bissetriz 0 0 log (UFRJ) Resolvendo inequção logrítmic log ( ), qul solução encontrd? S IR, log ( ) { C.E.:. 0. log ( ) log II I I I II II S IR,

16 (FGV-SP) ) Determine o domínio d função f() log log ( ). { IR. 0} b) Resolv inequção log log ( ).. { IR. } ) f() log log ( ). 0 C.E.: I D { IR. 0} b) log log ( ). log [( )]. log ( ).. 0 II I 0 II S { IR. } I II (Unicmp-SP) As populções de dus ciddes, A e B, são dds em milhres de hbitntes pels funções A(t) log ( t) 6 e B(t) log (t ), onde vriável t represent o tempo em nos. ) Qul é populção de cd um ds ciddes nos instntes t e t? b) Após certo instnte t, populção de um desss ciddes é sempre mior que d outr. Determine o vlor mínimo desse instnte t e especifique cidde cuj populção é mior prtir desse instnte. ) t, A: 000 hbitntes; B: 000 hbitntes nos; cidde A t, A: hbitntes; B: 000 hbitntes ) A(t) log ( t) 6 ; B(t) log (t ) t A() log 6 log 6 A tem 000 hbitntes B() log B tem 000 hbitntes t A() log 6 6 A tem hbitntes B() log B tem 000 hbitntes b) De cordo com os resultdos obtidos no item, temos, prtir de um instnte t: A(t). B(t) 6 log ( t). log (t ) log ( t) log 6. log (t ) 6 log t. (t ) log ( ) ( ) t. t t t. 0 A prtir de nos, populção de A é mior que de B. t 6

17 (UERJ) No sistem crtesino bio, estão representds s funções log ( ) e, onde é número rel diferente de zero. Assim, o vlor de é: ) log ( ) b) 6 c) d) 0 0 Ponto de intersecção ds funções (, ) log ( ) log ( ) 6 6 (Unifor-CE) O mis mplo domínio d função rel f, definid por f() log, é: ) ], 0[ c) ]0, [ e) ], 0[ ], [ b) ], [ d) ]0, [ ], [ f() 0 g() 0 f() g() f() g() 0 0 S {, 0 ou. } ou ], 0[ ], [ (UFMA) Em um show de rock, verificou-se que o nível sonoro foi mior que 0 db (db é unidde do nível sonoro). Considerndo que o nível sonoro (N) obedece um escl logrítmic e é definido por N 0 log i onde i é intensidde sonor e i o é menor intensidde do som detectável pelo ouvido humno, podemos firmr que: ) i o, 0 i c) i 0 i o e) i. 0 i o b) i, 0 i o d) i o. 0 i N. 0 i i 0 log. 0 log. i i o o i. 0 i. 0 i i o o i o

18 (FGV-SP) O mis mplo domínio rel d função dd por f() log ( ) é: ) IR c) IR, e) { IR } b) IR. d) IR f() log ( ). 0 C.E.: log ( ) log ( ) 0 log ( ) log { } V { IR > } 9 (Cefet-PR) Anlisndo o gráfico bio, podemos firmr que os pontos A e B correspondem, respectivmente, : ) (, ) e (, ) b) (, ) e (, ) A c) (, ) e (, ) log d) (, ) e (, ) B e) (, ) e (, ) 0 A gráfico de f B gráfico de g log A(, ) e B(, )

19 log ( ) 0 (PUCC-SP) As soluções reis d inequção ),, c). e) 0,, b). d), C.E.:. 0. { } log ( ) 0. log ( ), 0, pois bse está c ompreendid entre 0 e. log ( ), 0 log ( ), log Dí,,, II I I I II II. são todos os números tis que: (ITA-SP) Ddo um número rel com., sej S o conjunto solução d inequção log log log ( ). Então S é o intervlo: ) [, [ c) ], ] e) [, [ b) [, [ d) ], ]. 0 C.E.: log. 0, com.. 0. I log (. ). 0 log. log.. Sendo., result que,. 0., 0, 0 II Resolvendo inequção: log I I II III II III ( ) (log log ) ( ) (0 ) III S {, }, ou sej, ], ] 9

20 p. 6 (UFG) Ddos dois números reis positivos e b, com b, o número tl que b é denomindo logritmo de n bse b, e é representdo por log b. ) Fç um esboço do gráfico d função f() log (),. 0. b) Mostre que log log. ) 0 log () b) log log m m m n n n Portnto, m n. (UFBA) O custo de produção diári e receit pel vend de determindo produto fbricdo por um empres, em milhres de reis, são ddos, respectivmente, pels funções c: [0, [ [0, [ e R: [0, [ [0, [, com c() log ( ) e R(), sendo o número de centens de uniddes produzids. Com bse nesss informções, é correto firmr: (0) As funções c e R são crescentes. (0) R é função invers de c. (0) Pr um receit igul R$ 000,00, o custo é igul R$ 000,00. (0) Se produção é de 00 uniddes, então um umento de 00% n produção crretrá um umento de 00% no custo. (6) A função lucro, definid por L R c, stisfz condição L(0) L(), ms não é um função constnte. () A figur bio represent um esboço do gráfico d função c. c 0 0

21 0. (Verddeir) Os gráficos de c e R são: c R 0 0 Portnto, c() e R() são crescentes. 0. (Fls) c() log ( ) Cálculo d invers: log ( ) log ( ) log ( ) c () (não é R()). 0. (Verddeir) Lembrndo que R() é dd em milhres de reis. R() Substituindo em c(): c() log ( ) log, ou sej, o custo é de R$ 000, (Fls) 00 uniddes: c() log 00% n produção equivle 00 uniddes: c() log,... (%) 6. (Verddeir) Se L R c, dizemos que: L() R() c() L() ( ) ( log ( )) log ( ) log ( ) L() é dependente de.. (Verddeir) Ver gráfico do o item.

22 (UFJF-MG) Ds firmtivs bio, verddeir é: ) log, log c), log e) log b) log, log d) log, log A firmtiv verddeir é d, pois: log, log., 0 (UFPE) Em 00, um bnco teve lucro de um bilhão de reis e, em 00, teve lucro de um bilhão e duzentos milhões de reis. Admitindo o mesmo crescimento nul pr os nos futuros, em quntos nos, contdos prtir de 00, o lucro do bnco ultrpssrá, pel primeir vez, um trilhão de reis? (Obs.: use s proimções ln ( 000). 6,90, ln (,). 0,.) nos A t de crescimento nul é igul : 00 milhões bilhão 00 milhões 000 milhões , ou 0% Pssdos t nos, o lucro do bnco será de? ( 0,) t bilhões de reis. O menor tempo t inteiro é igul trilhão 000 bilhões.? ( 0,) t. 000, t. 000 ln (,) t. ln 000 t? ln (,). ln 000 t? 0,. 6,90 t.,9 O menor t inteiro é igul t nos. 6 (Uneb-BA) O número de soluções inteirs d inequção log ( 9) é: ) 0 ) ) ) ) 9 C.E.: ➀ log ( 9) 9 9 Fzendo ➀ ➁, obtemos, 6. 6 ➁ As soluções inteirs desse intervlo são: e 6, ou sej, dus soluções.

23 (Vunesp-SP) Considere s funções f() log ( ), definid pr,, e g(), definid pr todo rel. ) Resolv inequção f() g() e equção g() f., e b) Determine o domínio d função compost f g, isto é, os vlores de IR pr os quis f g está definid. Determine tmbém em qul vlor de compost f g tinge seu vlor máimo. [, ] e ) f() g() log ( )? log ( ),, g() f log 0 ( ) 0 b) (f g)() f(g()) log ( ) D log f g ( ) R. 0,,, ou sej, D f [; ] g A função compost f g tinge seu vlor máimo qundo log ( ) tinge seu vlor máimo. Como o polinômio represent um prábol com concvidde pr bio, o b máimo de f g ocorre qundo? (. ) (Uniderp-MS) Os vlores de, pr os quis inequção log ( ). log log é verificd, pertencem o intervlo: ) 0, b) c), e),, d),. 0 C.E.: ➀ log ( ). log log log ( ). log 0. 0., ➁ Fzendo ➀ ➁, obtemos: ➀ ➁ 0 0 IR 0,,

24 9 (UAM-SP) Ao resolvermos um equção ou inequção logrítmic, devemos tomr o cuiddo de eminr condição de eistênci do logritmo; do contrário, poderemos dr um respost errd. Não esquecendo desse detlhe, dig qul é solução d seguinte inequção: log ( ) log ( ),. ) S { IR. } c) S { IR,, } e) S { IR, ou. } b) S { IR, ou. } d) S { IR. }. 0 Condição de eistênci:. 0. ➀. ➁ De ➀ e ➁, vem:. ➂ Aplicndo s proprieddes dos logritmos: log ( ) log ( ), log, log Como bse é mior que, vem:,, ( ),,, 6? ( ). 6. ➃ De ➂ e ➃, temos:. S { IR. } 0 (MACK-SP) 0, I. (0, ), (0, ) II. ( ), III. log,, log Ds desigulddes cim: ) somente I é verddeir. c) somente III é verddeir. e) somente I e II são verddeirs. b) somente II é verddeir. d) somente II e III são verddeirs. I. (Verddeir) 0, 0, (0, ),(0, ), 0, 0, 0, 0 0, ( ),( ) 0, 0, 0,, Bse mior que e 0,, 0,. II. (Fls) ( ) ( ) ( ),, 0 Bse mior que, porém. 0. III. (Fls) log,, log,, Como.,, então:,.,.

25 (Fuvest-SP) Sej f() log ( ) log ( ). Os vlores de pr os quis f está definid e stisfz f(). são: ), c),, e),, b), d), f() log ( ) log ( ), f().. 0 Condição de eistênci:. 0 De ➀ e ➁, vem:. ➂.. Se f()., temos: log ( ) log ( ).. Aplicndo s proprieddes: log, ou ind, log log.. Como bse é mior que, temos: 6.. ( ). 6..?( ),, ➃ De ➂ e ➃, conclui-se: ➀ ➁ ➂ ➃ ➂ ➃,,

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