f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1;

Transcrição

1 Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP Curso Teste (ii) cso qundo 0 < < 1 EXPONENCIAL E LOGARITMO f() é decrescente e Im = R + 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL A função f: R R + definid por f() =, com R + e 1, é chmd função eponencil de se. O domínio dess função é o conjunto R (reis) e o contrdomínio é R + (reis positivos, miores que zero). (i) Cso qundo > 1. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Tod equção n qul incógnit prece em epoente. E: 1) 3 = 81 = ; ) 5 = 16 = 9; 3) = - 1 = 1; ) = 0 = 0 e = INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Eemplos de ineqüções eponenciis: 1) 3 > 81 > ; ) - 1 válido pr todo rel; 3) ; ) < 0 < < 3). f() é crescente e Im = R + Ep. L.1

2 Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP Pr resolver devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois memros d ineqüção potêncis de mesm se; º) plicção d propriedde: - Se > 1, s desigulddes têm mesmo sentido, então: m > n m > n ou m < n m < n - Se 0 < < 1, s desigulddes têm sentidos diferentes, então: 1) m > n m < n ou m < n m > n + TOP. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS > A inequção pode ser escrit : >. Multiplic ndo mos os ldos por temos : > 11, - Portnto S = IR (reis negtivos).. LOGARITMO Definição: sendo > 0, > 0 e 1. = =, Dess form: = se do ritmo; = ritmndo (ou ntiritmo); = ritmo. E. : 1) ) 3) 5 3 = 5 16 = 1 = 0 pois pois pois = 3 = 16 = 1.1. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sendo > 0, > 0 e 1 e m um número rel qulquer, temos: (i) 1 = 0 (ii) = 1 (iii) m = = m (iv) (v) = c = c.. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS ou sej : ( 1+ 16). > > 11 e dí, < 1 Porém, < 1 0 <. Como se () é mior que1, otemos : 0 < < 0 1) Logritmo do produto: (. y) = + ( > 0, 1, > 0 e y > 0) ) Logritmo do quociente: = y y y Ep. L.

3 Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP ( > 0, 1, > 0 e y > 0) 3) Logritmo d potênci: m = m. O domínio dess função é o conjunto R + (reis positivos, miores que zero) e o contrdomínio é R (reis). (i) Cso qundo > 1.3. COLOGARITMO ( > 0, 1, > 0 e m R) Chmmos de coritmo de um número positivo num se ( > 0, 1) e indicmos co o ritmo inverso desse número n se 1 co = ( > 0, 1 e > 0) Como 1 = 1 = 0 =, f() é crescente e Im = R (ii) Cso qundo 0 < < 1 podemos tmém escrever: co =.. MUDANÇA DE BASE Em lgums situções podemos encontrr no cálculo vários ritmos em ses diferentes. Como s proprieddes rítmics só vlem pr ritmos num mesm se, é necessário fzer, ntes, conversão dos ritmos de ses diferentes pr um únic se conveniente. Pr fzer mudnç de um se pr um outr se us-se: = 5. FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f: R + R definid por com f() =, 1 e > 0, é chmd função rítmic de se. f() é decrescente e Im = R 6. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Tod equção que envolve ritmos com incógnit precendo no ritmndo, n se ou em mos. E: (i) 3 = 5 = 3; (ii) ( - 1) = 3 = - e = ; (iii) ( + 3) + ( - 3) = 7 = ; (iv) + 1 ( - ) = = Ep. L.3

4 Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP Sustituindo y n segund equção temos: TOP. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3..(7 - ) = = 1 => 5. = 15 1) 3 (+5) = Condição de eistênci: + 5 > 0 => > -5 3 ( + 5) = => + 5 = 3 => = 9-5 => = Como = stisfz cond. eist., =3 => = 10 3 Sustituindo = 10 3 em y = 7 - temos: y = => y = 7-3 y = => y= 10. Então, o conjunto solução é S = {(10 3 ;10 )}. S = {}. ) ( ) = 1 Condição de eistênci: > 0 e > 0 ( ) = 1; semos que 1 = (), então ( ) = () => = = => = 16 Como = 16 stisfz, S = {16}. 3) Resolv o sistem: + y = y = 1 Condições de eistênci: > 0 e y > 0 Temos: + y = 7 => y = 7-7. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Tod inequção que envolve ritmos com incógnit precendo no ritmndo, n se ou em mos. E: 1) > 0 > 1; ) ( + 3) 1 3 < 1. Pr resolver inequções rítmics, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois memros d inequção ritmos de mesm se; º) plicção d propriedde: - Se > 1, s desigulddes têm mesmo sentido, então: m > n m > n > 0 - Se 0 < < 1, s desigulddes têm sentidos diferentes, então: m > n 0 < m < n Ep. L.

5 Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP TOP. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS 1) ( + ) > 8 Condições de eistênci: + > 0, ou sej, > - (S 1 ) Como se () é mior que 1, temos: O conjunto solução é + > 8 e, dí, > 6 (S ) S = S 1 S = { R > 6}. Portnto solução finl é intersecção de S 1 e S, como está representdo o io no desenho: ) ( 3 ) 0 Condições de eistênci: > 0 e 3 > 0 Como 1 = 0, inequção pode ser escrit ssim: ( 3 ) 1 Sendo se () mior que 1, temos: Como 3 3 = 1, então, e, dí, 3, porque se (3) é mior que 1. Portnto S = { R 3}. 1) (UFLA/99) O vlor de n epressão ( 6 ) ( ) = 8 é: ) () ) 0 c) d) (8) e) 3 ) (ITA/99) A inequção 5 ( + 3) ( + 3) 1/5 ( + 3) é stisfeit pr todo S. Então: ) S = ]-3, -] [-1, + [ d) S = ]-, + ] ) S = ]-, -3[ [-1, + [ e) S = ]-,-3[ ]-3, + [ c) S = ]-3, -1] 3) (UFOP/001-º) Considere s firmtivs io: I. Se 5 = e 7 =, então 1 = + II = III. = Assinle lterntiv corret: ) Apens firmtiv II é verddeir. ) Tods s firmtivs são flss. c) Apens firmtiv I é verddeir. d) Tods s firmtivs são verddeirs. e) Apens firmtiv III é verddeir. ) (FGV/00) Adotndo-se os vlores = 0,30 e 3 = 0,8, riz d equção 5 = 60 vle proimdmente: ),15 ),8 c) 1 d),5 e),67 5) (UFV/97) Se ( + ) = +, então é igul : ) 1/ ) 1/3 c) d) 1 e) 5/6 6) (FUVEST/001) sendo P = (, ) um ponto qulquer d circunferênci de centro n origem e rio 1, que stisfç > 0 e ±, pode-se firmr que Ep. L.5

6 Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP 3 1 vle: ) 0 ) 1 c) - d) e) 7) (VUNESP/00) Num fáric, o lucro origindo pel produção de peçs é ddo em milhres de reis pel função L() = 10 (100 + ) + k, com k constnte rel. ) Sendo que não hvendo produção não há lucro, determine k. ) Determine o número de peçs que é necessário produzir pr que o lucro sej igul mil reis. CÁLCULOS RESPOSTAS 1) C; ) A; 3) A; ) D; 5) D; 6) C; 7) ) k = -; ) 900 peçs. Ep. L.6