as raízes de ( ) Então resolver Q( x ) = 0 é equivalente a resolver as equações:

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2 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 DISURSIVS MTEMÁTI MTEMÁTI QUESTÃO 0 5 O polinômio P ( ) possui rízes comples simétrics e um riz com vlor igul o módulo ds rízes comples. Determine tods s rízes do polinômio. SOLUÇÃO : 5 Sej P ( ) P() dmite 5 rízes: reis ou comples não reis. omo os coeficientes de P() são todos reis, vle o teorem ds Rízes omples, e ssim, o conjunto-solução d equção ( ) 0 S z, z, w, w, α, onde z é o conjugdo do número P é: { } compleo z e w é o conjugdo do número compleo w e α é riz rel de P(). Por hipótese, P() dmite rízes comples simétrics, ou sej, som desss rízes comples é nul. ssim, pel Relção de Girrd d som ds rízes, temos: z+ z+ w + w +α α. Logo, riz rel é. 5 plicndo o lgoritmo prático de Briot-Ruffini, temos: Logo, ( ) ( )( ) P, e s outrs rízes são s rízes de ± i 56. Lemrndo que qulquer número compleo d form z + i pode ser escrito n form trigonométric, em que z +,cos θ e senθ + +, em, temos: cosθ. ± senθ± 9 omo 9, o que comprov hipótese de que um riz tem vlor igul o módulo de um riz comple. Queremos oter s rízes qudrds de, e pr isso, oserve que θ se z z cisθ z zcis. ssim, o que queremos é θ θ cos e sen prtir dos vlores de cosθ e senθ. cos cos Sendo que cos θ ± + θ e sen θ ± θ, segue que: 5 5 θ 9 θ cos ± ± e sen ± ±. π π π θ π omo cosθ< 0 <θ< < <, o número compleo tem prte rel positiv ou negtiv e prte imginári positiv. ssim, s rízes são: i + i 7; + i + i i i 7; i i 7 Portnto, {, 7, 7} S ± i ± i SOLUÇÃO : omo o polinômio possui rízes comples simétrics, temos que esss rízes são z e z. Pelo teorem ds rízes comples, seus conjugdos, z e z tmém são rízes. ompletndo, o enuncido nos diz que quint riz é z. ssim s rízes são z, z, z, z e z.utilizndo relção de Girrd d som ds rízes temos: z+ z z z+ z z plicndo o lgoritmo prático de Briot-Ruffini, temos: ssim, ( ) ( )( ) P. Portnto queremos encontrr s rízes de ( ) Q , pr isso oserve que: ( ) 0 8 ( 8 8) 8 ( 9) ( ) ( + 9 )( ) Q Então resolver Q( ) 0 é equivlente resolver s equções: ou O descriminnte em ms s equções é Δ ( ) 9 8 e portnto sus soluções são: + i 8 + i 8 + i 7 + i 7 ou i 8 i 8 i 7 7 i E portnto o conjunto solução é ddo por: {, 7, 7, 7, 7} S + i i + i i. QUESTÃO 0 π lcule o determinnte io, no qul cis e i 0 i i i i i 0 i Sej mtriz cujo determinnte queremos clculr. Pelo teorem de Jcoi, o determinnte se mntém inlterdo o somrmos terceir colun n primeir. 0 i 0 i i i 0 i det i i 0 i 0 i i plicndo gor regr de hió, temos: 0 i i 0 i det i 0 i 0 0 i Epndindo últim linh pelo teorem de Lplce, vem que: + det 0 cof ( ) ( ) ( ) ( ) cof det

3 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 DISURSIVS MTEMÁTI π π π Sendo cis cos + i sen, temos que: π cis cis( π ) cos( π ) + i sen( π ) det det 0 QUESTÃO 0 Determine o(s) vlor(es) de, inteiro(s) e positivo(s), que stisfz(em) equção ( z) z 0 Vmos primeirmente nlisr o produtório interno: ( z) ( ) ( )! z 0 z 0 z z z z ssim noss equção se torn: ( )!!!! z z 0 Ms, oserve que se, então! >. ssim, equção certmente não tem solução, pois segund prte d epressão seri mior que primeir. omo deve ser um inteiro positivo, nos rest pens os csos, e. Testndo os csos: so : Logo, é solução. so : Logo, não é solução. so : Logo, é solução.!! +! surdo!! +! +! ssim, o conjunto solução é S {, }. QUESTÃO 0 Resolver equção ( cos ) ( ) log sen log sen cos Primeiro vmos limitr nosss funções trigonométrics pel condição de eistênci do logritmo: log logcos sen cos cos sen sen > 0 cos > 0 sen > 0 cos > 0 cos cos > 0 π 0+ kπ, + kπ, k sen > 0 gor vmos usr propriedde: log n m m log n log sen log sen log sen log sen cos log sen log sen ± ( cos ) ( ) ( ) ( cos cos ) ( ) cos cos gor, vej que, se logcos sen, então cos sec sen. Ms, sec ( + tg ), o que nos mostr que únic solução possível seri sec sen. Porém, se sen, então cos 0 e sec( ) não eistiri. Deste modo, esse cso não produz soluções. Pel rgumentção cim, noss equção se torn: logcos sen cos sen sen sen sen + sen 0 Usndo sustituição sen chegmos n equção de segundo gru + 0. Então: Ms como ± 5 sen 5 <, temos que únic solução é: 5 sen. π π E lemrndo que imgem d função rcsen é ;, então 5 rcsen + kπ, k. 5 Portnto, S rcsen + kπ, k QUESTÃO 05 Sej BD' B' ' D' um prism reto de se retngulr BD. Projet-se o ponto médio M d mior rest d se sore digonl, otendo-se o ponto P. Em seguid projet-se o ponto P n fce opost, otendo-se o ponto N. Se-se que N N k. Determine o comprimento d menor rest d se. Podemos supor, sem perd de generlidde, que B é o menor ldo. Sejm: B D D B c P d P α ÂD MÂP Bse BD do prism: B c α P M d α D

4 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 DISURSIVS MTEMÁTI Triângulo B : cosα + Triângulo PM : cos c c / + + () Segmento : c + d + () Sustituindo () em (): + + ( + ) d + + d d + d + Projeção de P n fce opost: Sejm: N N N () olocremos um zero à esquerd pr fcilitr identificção do pdrão seguir: lgs lgs lgs 0 lgrismos ssim, podemos epressr o número como som 0 lgrismos dos 0 primeiros termos de um progressão geométric de primeiro termo 7 e rzão 0. Portnto: 0 lgrismos (( ) ) 0 ( 90 ) ( 90 ) Já o número 00 0 como: 0 lgs "" 0 lgs " 0" pode ser epresso, de modo nálogo, ( ) 0 0 lgs "" 0 lgs " 0 " ( 0 ) ssim, epressão pedid é dd por: lgrismos 0 lgs "" 0 lgs " 0 " Por () e (), temos que d Pelo enuncido, > c. N N k. omo c e d são s projeções, sore ret, dos segmentos de comprimentos e, respectivmente, então >. Logo: k () Oserve que, pelo teorem de Pitágors, NP c d Logo: d c Sustituindo (), () e (): + k k ( + ) ( + ) + ( + ) k ( + ) ( + ) k ( > 0) QUESTÃO 06 lculr o vlor d epressão io c P k d ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) Oservção: lterntivmente, podemos tmém epressr tl número como: ( ) lgrismos 0 lgrismos QUESTÃO 07 O ldo B de um triângulo B é fio e tem comprimento. O ortocentro do triângulo percorre um ret prlel à ret suporte de B e distnte de d mesm. ) Determine o lugr geométrico do ponto qundo vri. ) Determine o vlor máimo d áre do triângulo B qundo e estão no mesmo semi-plno definido pel ret suporte de B. onsiderndo o triângulo B e o ortocentro do triângulo, podemos inserir o sistem crtesino O de tl modo que (, ),,0, B,0,, ±. Temos então, dus possiiliddes nlisr. primeir dels, representd pel figur io, dotmos ret r prlel o ldo B de tl modo que, : Os: lgs lgrismos lgrismos 0 lgs "" 0 lgs " 0 "

5 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 DISURSIVS MTEMÁTI (, ) 0 0 m m B. + + Ess, por su vez, é equção de um práol com concvidde voltd pr cim que contém os pontos B e como mostr figur io. B,0,0 Sendo ssim, pel definição de ortocentro, s rets B e são perpendiculres. 0 0 mb m. + Ess, por su vez, é equção de um práol com concvidde voltd pr io que contém os pontos B e como mostr figur io. (, ) r B ) Sendo S ( ) áre do triângulo B em termos de, então: S ( ) S ( ) S ( ) Deste modo, podemos notr que áre máim corresponde à ordend do vértice d práol de S ( ). omo v 0, temos que r Smá S(0) 0 S má B,0,0 O segundo cso se nlisr,. omo mostr figur seguir B QUESTÃO 08 Um professor dá um teste surpres pr um turm de 9 lunos, e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de lunos. De qunts forms turm pode ser orgnizr pr fzer o teste? (Por eemplo, um turm de lunos pode ser orgnizr de forms e um turm de lunos pode se orgnizr de 0 forms). omo o professor re possiilidde do teste ser feito em dupls ou individulmente, temos 5 possíveis configurções: ( I ) Ninguém fz em dupl ( II ) Um dupl e o restnte fz individulmente ( III ) Dus dupls e o restnte fz individulmente ( IV ) Três dupls e o restnte fz individulmente ( V ) Qutro dupls e um luno fz sozinho Deste modo, temos em cd cso: ( I ) 9,0 ( II ) 9, 6 ( III ) 9, 9 7 7, 9! 7! segund dupl 7!! 5!! 6 78!! primeir dupl Sendo ssim, de mneir nálog o cso nterior, temos que pel definição de ortocentro, s rets B e são perpendiculres. ( IV ) 9, 7, ,!! primeir dupl segund dupl terceir dupl 9! 7! 5! 7!! 5!!!!

6 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 DISURSIVS MTEMÁTI ( V ) 9, 7, ,,!! primeir dupl segund dupl terceir dupl qurt dupl 9! 7! 5!! 7!! 5!!!!!! Logo, como não há intersecção entre os csos, o totl, T, de possiiliddes é: T T 60 Note que: em cd cso dividimos pelo ftoril d quntidde de dupls, tendo em vist que o escolher, por eemplo, dupl (, B) em um primeiro momento e depois dupl (, D) temos mesm configurção que o escolher primeiro dupl (, D) e depois dupl (, B). QUESTÃO 09 log Resolver o sistem de equções onsideremos s funções :[ 0, [ :0, ] [ f + tl que f( ) ; g + tl que g ( ) log. f g (II) se <, então: < < 0 > log > 0 Deste modo, em mos os csos, mostrmos que é impossível iguldde log Já se > 0, primeir equção é sempre stisfeit, pois temos: 0 log log 0 Sustituindo > 0 n segund equção, ficmos com: ( ) ( ) ( ) ou ou iguldde 0 nunc ocorre, pois > 0,. Pr s outrs dus, temos: 0 ou 0 ou omo deve ser positivo, ficmos com, e sendo, temos tmém. S {(,) } QUESTÃO 0 Sejm p o semiperímetro de um triângulo, S su áre, r e R os rios de sus circunferêncis inscrit e circunscrit, respectivmente. Demonstre que vle seguinte desiguldde Oserve que ms são funções estritmente crescentes. Em relção à primeir equção do sistem log, oserve que: condição de eistênci de cd riz eige que o rdicndo não sej negtivo: 0 0 condição de eistênci do logritmo eige que o logritmndo sej positivo: > 0 < 0 > 0 ou > 0 < 0 Intersectndo s dus condições, ficmos com: > 0 > 0 gor, pr e positivos, usndo o fto de que s dus funções presentds nteriormente são estritmente crescentes, temos que: (I) se >, então: > > 0 0< < log < 0 p S r R 9 7 Sejm, e c os ldos do triângulo em questão. p (I) Primeirmente vmos demonstrr desiguldde r R. 7 Utilizndo s fórmuls de áres de triângulos temos: c c S p r r R R p gor, impondo desiguldde entre s médis ritmétic e geométric com s medids dos ldos do triângulo, que são números não-negtivos, vem que: c c p c p 7 Sustituindo isso n relção temos: c 8p p r R p 7 p 7 p r R 7 (II) gor vmos trtr d segund desiguldde. Pel lei dos senos temos seguinte relção: c R senα senβ senγ Por propriedde de proporção, podemos então firmr que: + + c p R senα+ senβ+ senγ senα+ senβ+ senγ R p senα+ senβ+ senγ 5

7 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 DISURSIVS MTEMÁTI Multiplicndo mos os ldos d relção por r temos: r p S r R senα+ senβ+ senγ senα+ senβ+ senγ gor vmos trlhr com epressão E senα+ senβ+ senγ, usndo que α+β+γπ. Temos que: γ E senα+ senβ+ senγ ( senα+ senβ ) + sen α+β α β γ γ sen cos + sen cos ( α+β) π γ α β π γ sen cos + sen cos γ α β α+β γ cos cos + cos cos α β α+β γ cos + cos cos α β γ α β γ cos cos cos cos cos cos Pr mostrr que α β γ 9 cos + cos + cos plicndo desiguldde entre s médis ritmétic e geométric: α β γ cos + cos + cos α β γ cos cos cos α β γ cos + cos + cos α β γ cos cos cos α β γ 7 cos cos cos 6 9 cos α cos β cos γ 8 Portnto, fic demonstrd desiguldde ( ) e, consequentemente, desiguldde: 9 S r R S S senα+ senβ+ senγ, 9 senα+ senβ+ senγ vmos mostrr que: Temos que: cos α cos β cos γ 8 ( ) Equipe dest resolução γ cosα+ cosβ+ cosγ ( cosα+ cosβ ) + cos α+β α β γ cos cos sen + π γ α β γ cos cos sen + γ α β γ sen cos + sen α β omo cos, segue que: γ γ cos cos cos sen sen α+ β+ γ + γ γ sen sen γ γ γ sen sen + sen γ Sendo sen 0, segue que: cosα+ cosβ+ cosγ cosα+ cosβ+ cos γ α β γ cos + cos + cos α β γ cos + cos + cos 6 Mtemátic Drc Griel ugusto de mrgo unh Rodrigo do rmo Silv Vinício Merçon Poltronieri Revisão Edson Vilel Gdem Fino Gonçlves Lopes Felipe Eoli Sotorilli Digitção, Digrmção e Pulicção n Flávi Psquotte Vieir Lucs Rui Ros