APOSTILA. Matemática Aplicada. Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. Lauro César Galvão

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "APOSTILA. Matemática Aplicada. Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. Lauro César Galvão"

Transcrição

1 POSTIL Mtemátic plicd Universidde Tecnológic Federl do Prná UTFPR Césr Glvão

2 Índices SISTEMTIZÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS...-. CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números nturis Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números rcionis Conjunto dos números irrcionis Conjunto dos números reis OPERÇÕES COM CONJUNTOS Noções primitivs Iguldde de conjuntos Subconjuntos União de conjuntos Intersecção de conjuntos Diferenç de conjuntos INTERVLOS Operções com intervlos...-8 FUNÇÕES CONCEITO MTEMÁTICO DE FUNÇÃO DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO...-. NOTÇÃO DE FUNÇÃO DOMÍNIO, CONTRDOMÍNIO E IMGEM DE UM FUNÇÃO FUNÇÃO COMPOST FUNÇÃO INVERS Determinção d função invers FUNÇÃO POLINOMIL FUNÇÃO POLINOMIL DO O GRU Função liner Gráfico de um função polinomil do o gru Determinção de um função prtir do gráfico Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru Estudo do sinl d função polinomil do o gru INEQUÇÕES DO O GRU Resolução de inequções do o gru Sistems de inequções do o gru Inequção-produto e inequção-quociente FUNÇÃO POLINOMIL DO O GRU Gráfico de um função qudrátic Concvidde Zeros de um função qudrátic Vértice d prábol Gráfico de um prábol Estudo do sinl d função qudrátic INEQUÇÕES DO O GRU Resolução de inequções do o gru Sistems de inequções do o gru Inequção-produto e inequção-quociente FUNÇÃO EXPONENCIL REVISÃO DE POTENCIÇÃO Potêncis com epoente nturl Potêncis com epoente inteiro Potêncis com epoente rcionl Potêncis com epoente rel EQUÇÕES EXPONENCIIS Resolução de equções eponenciis Resolução de equções eponenciis com o uso de rtifícios FUNÇÃO EXPONENCIL ii

3 iii 4.. Gráfico d função eponencil no plno crtesino Crcterístics d função eponencil INEQUÇÕES EXPONENCIIS Resolução de inequções eponenciis FUNÇÃO LOGRÍTMIC DEFINIÇÃO DE LOGRITMO CONSEQÜÊNCIS D DEFINIÇÃO PROPRIEDDES DOS LOGRITMOS COLOGRITMO MUDNÇ DE SE FUNÇÃO LOGRÍTMIC Gráfico d função logrítmic no plno crtesino INEQUÇÕES LOGRÍTMICS TRIGONOMETRI TRIÂNGULO RETÂNGULO RELÇÕES MÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RZÕES TRIGONOMÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO CONSEQÜÊNCIS DS DEFINIÇÕES Ângulos complementres Divisão plicndo o teorem de Pitágors ÂNGULOS NOTÁVEIS CIRCUNFERÊNCI TRIGONOMÉTRIC OU CICLO TRIGONOMÉTRICO rco de circunferênci Medids de rcos Ciclo trigonométrico rcos côngruos SENO E COSSENO DE UM RCO Conseqüêncis Função seno e função cosseno Gráfico ds funções seno e cosseno TNGENTE DE UM RCO Conseqüêncis Função tngente Gráfico d função tngente COTNGENTE DE UM RCO Conseqüêncis Função cotngente Gráfico d função cotngente SECNTE E COSSECNTE DE UM RCO Função secnte e cossecnte Gráfico d função secnte Gráfico d função cossecnte RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS Usndo o teorem de Pitágors Usndo semelhnç entre triângulos IDENTIDDES TRIGONOMÉTRICS Processo pr demonstrr identiddes MTRIZES CONCEITO DE MTRIZ lgums mtrizes especiis MTRIZ QUDRD Mtriz identidde Mtriz digonl Mtriz opost IGULDDE DE MTRIZES Mtriz trnspost OPERÇÕES COM MTRIZES dição de mtrizes Subtrção de mtrizes

4 iv 7.4. Produto de um número rel por um mtriz Produto de mtrizes Mtriz invers DETERMINNTES DETERMINNTE DE ORDEM DETERMINNTE DE ORDEM DETERMINNTE DE ORDEM Regr de Srrus DETERMINNTE DE ORDEM MIOR QUE Menor complementr Coftor ou complemento lgébrico Conclusões Teorem de Lplce Teorem de inet Determinnte d mtriz invers SISTEMS LINERES EQUÇÃO LINER Solução de um equção liner SISTEM LINER Sistems lineres equivlentes CLSSIFICÇÃO DE UM SISTEM LINER MTRIZES SSOCIDS UM SISTEM LINER Form mtricil do sistem liner REGR DE CRMER RESOLUÇÃO DE UM SISTEM LINER POR ESCLONMENTO GEOMETRI POLÍGONOS Polígonos regulres Áre do triângulo Áre do prlelogrmo Áre dos prlelogrmos notáveis Áre do trpézio Áre e comprimento de um círculo Áre d coro circulr Áre do setor circulr Áre do segmento circulr GEOMETRI ESPCIL Poliedros Poliedros regulres Prisms Pirâmides Tronco de pirâmide Cilindros Cones Tronco de cone Esfers GEOMETRI NLÍTIC: PONTO E RETS SEGMENTO DE RET SEGMENTO ORIENTDO Eio MEDID LGÉRIC DE UM SEGMENTO ORIENTDO bsciss de um ponto Ponto médio SISTEM DE COORDENDS CRTESINS Distânci entre dois pontos Áre de um triângulo Condição de linhmento de três pontos ESTUDO D RET Equção gerl d ret...-50

5 v.5. Rets prticulres Posições reltivs entre dus rets Coeficiente ngulr ou declividde de um ret Equção reduzid d ret Equção d ret, ddos um ponto e direção Prlelismo entre rets GEOMETRI NLÍTIC: CIRCUNFERÊNCI EQUÇÃO D CIRCUNFERÊNCI Equção reduzid d circunferênci Equção gerl d circunferênci...-59

6 Índices de Figurs [FIG. ]: RET REL R...-4 [FIG. ]: DIGRM DOS CONJUNTOS E...-5 [FIG. ]: DIGRM DOS CONJUNTOS, E C (SUCONJUNTOS)...-6 [FIG. 4]: DIGRM DOS CONJUNTOS, E C (UNIÃO / INTERSECÇÃO / DIFERENÇ) [FIG. 5]: GRÁFICO DO INTERVLO ],]...-7 [FIG. 6]: REPRESENTÇÃO D RELÇÃO POR DIGRM...-0 [FIG. 7]: REPRESENTÇÃO D RELÇÃO POR SISTEM CRT ESINO...- [FIG. 8]: [FIG. 9]: FUNÇÃO COMPOST...-4 CONCVIDDE DE UM FUNÇÃO QUDRÁTIC [FIG. 0]: VÉRTICE DE PRÁOLS ( >0 PR S DUS) [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO LOGRÍTMIC E EXPONENCIL ( >) [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO LOGRÍTMIC E EXPONENCIL (0< <) [FIG. ]: [FIG. 4]: ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO RZÕES TRIGONOMÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO [FIG. 5]: TRIÂNGULO C QUE DEFINE S RZÕES [FIG. 6]: TRIÂNGULO C, CONSEQÜÊNCIS DS DEFINIÇÕES [FIG. 7]: RCO DE CIRCUNFERÊNCI [FIG. 8]: CIRCUNFERÊNCI DE RIO r [FIG. 9]: QUDRNTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO [FIG. 0]: MEDI DE RCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO [FIG. ]: RCO α PR O CONCEITO DE SENO E COSSENO [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO SENO [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO COSSENO [FIG. 4]: RCO α PR O CONCEITO DE TNGENTE [FIG. 5]: GRÁFICO D FUNÇÃO TNGENTE [FIG. 6]: RCO α PR O CONCEITO DE COTNGENTE [FIG. 7]: GRÁFICO D FUNÇÃO COTNGENTE [FIG. 8]: RCO α PR O CONCEITO DE SECNTE E COSSECNTE [FIG. 9]: GRÁFICO D FUNÇÃO SECNTE [FIG. 0]: GRÁFICO D FUNÇÃO COSSECNTE [FIG. ]: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICS NO CICLO [FIG. ]: FUNÇÕES DPTDS NO CICLO [FIG. ]: TRIÂNGULOS SEMELHNTES [FIG. 4]: TEL DE NOTS [FIG. 5]: DIGONIS DE UM MTRIZ [FIG. 6]: DETERMINNTE PEL REGR DE SRRUS [FIG. 7]: POLÍGONO CONVEXO E POLÍGONO CÔNCVO [FIG. 8]: HEXÁGONO REGULR: 6 LDOS CONGRUENTES E 6 ÂNGULOS CONGRUENTES [FIG. 9]: ÁRE DO TRI ÂNGULO [FIG. 40]: ÁRE DO TRIÂNGULO [FIG. 4]: ÁRE DO TRIÂNGULO [FIG. 4]: RIO D CIRCUNFERÊNCI INSCRIT [FIG. 4]: RIO D CIRCUNFERÊNCI CIRCUNSCRIT [FIG. 44]: ÁRE DO PRLELOGRMO [FIG. 45]: RETÂNGULO [FIG. 46]: LOSNGO [FIG. 47]: QUDRDO [FIG. 48]: TRPÉZIO [FIG. 49]: CÍRCULO [FIG. 50]: CORO CIRCULR [FIG. 5]: SETOR CIRCULR [FIG. 5]: SEGMENTO CIRCULR [FIG. 5]: ÁRE DO SEGMENTO CIRCULR QUE NÃO CONTÉM O CENTRO [FIG. 54]: ÁRE DO SEGMENTO CIRCULR QUE CONTÉM O CENTRO [FIG. 55]: POLIEDRO [FIG. 56]: POLIEDROS CONVEXOS [FIG. 57]: POLIEDRO NÃO-CONVEXO [FIG. 58]: TEOREM DE EULER vi

7 vii [FIG. 59]: TETREDRO REGULR [FIG. 60]: HEXEDRO REGULR [FIG. 6]: OCTEDRO REGULR [FIG. 6]: DODECEDRO REGULR [FIG. 6]: ICOSEDRO REGULR [FIG. 64]: PRISMS [FIG. 65]: PRISM RETO E PRISM OLÍQUO [FIG. 66]: PRISM RETO PENTGONL E PLNIFICÇÃO [FIG. 67]: VOLUME DE UM PRISM [FIG. 68]: PIRÂMIDE [FIG. 69]: PIRÂMIDE REGULR [FIG. 70]: PIRÂMIDE REGULR QUDRNGULR E SU PLNIFICÇÃO [FIG. 7]: VOLUME D PIRÂMIDE [FIG. 7]: SECÇÃO TRNSVERSL DE UM PIRÂMIDE [FIG. 7]: TRONCO DE PIRÂMIDE [FIG. 74]: VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE [FIG. 75]: CILINDROS [FIG. 76]: CILINDRO CIRCULR RETO (DE REVOLUÇÃO) [FIG. 77]: CILINDRO EQÜILÁTERO [FIG. 78]: CILINDRO RETO E PLNIFICÇÃO [FIG. 79]: VOLUME DO CILINDRO [FIG. 80]: CONE [FIG. 8]: CONE REGULR [FIG. 8]: CONE REGULR [FIG. 8]: CONE REGULR E SU PLNIFICÇÃO [FIG. 84]: VOLUME DO CONE [FIG. 85]: SECÇÃO TRNSVERSL DE UM CONE [FIG. 86]: TRONCO DE CONE [FIG. 87]: PLNIFICÇÃO DO TRONCO DE CONE [FIG. 88]: VOLUME DO TRONCO DE CONE [FIG. 89]: ESFER E SUPERFÍCIE ESFÉRIC [FIG. 90]: PLNO TNGENTE UM ESFER [FIG. 9]: SECÇÃO ESFÉRIC [FIG. 9]: CORO CIRCULR [FIG. 9]: SÓLIDO REFERENTE À SECÇÃO ESFÉRIC [FIG. 94]: CUNH ESFÉRIC [FIG. 95]: SEGMENTO DE RET [FIG. 96]: MEDID DE UM SEGMENTO DE RET [FIG. 97]: EIXO OU RET ORIENTD [FIG. 98]: MEDID DO SEGMENTO ORIENTDO [FIG. 99]: PONTO MÉDIO [FIG. 00]: SISTEM DE COORDENDS CRTESINS [FIG. 0]: DISTÂNCI ENTRE DOIS PONTOS [FIG. 0]: ÁRE DE UM TRIÂNGULO [FIG. 0]: EQUÇÃO GERL D RET [FIG. 04]: RET PRLEL O EIXO y [FIG. 05]: RET PRLEL O EIXO [FIG. 06]: RET QUE PSS PEL ORIGEM (0,0) [FIG. 07]: EQUÇÃO SEGMENTRI [FIG. 08]: POSIÇÕES ENTRE DUS RETS [FIG. 09]: TNGENTE DE UM ÂNGULO, NO TRIÂNGULO RETÂNGULO [FIG. 0]: COEFICIENTE NGULR [FIG. ]: OTENÇÃO DO COEFICIENTE NGULR [FIG. ]: EQUÇÃO REDUZID D RET [FIG. ]: RETS PRLELS [FIG. 4]: CIRCUNFERÊNCI [FIG. 5]: EQUÇÃO D CIRCUNFERÊNCI

8 Sistemtizção dos conjuntos numéricos Sistemtizção dos conjuntos numéricos. Conjuntos numéricos O conceito de números é um dos mis fundmentis e primitivos n Mtemátic... Conjunto dos números nturis N ={0,,,, }; N ={,,, }... Conjunto dos números inteiros É mplição dos números nturis pr que subtrção fç sentido. Z ={,,,, 0,,,, }; Z ={,,,,,,, }; Z + ={0,,,, }, (inteiros não negtivos); Z ={,,,, 0}, Inteiros não positivos)... Conjunto dos números rcionis csos: É qulquer frção envolvendo números inteiros. Q ={ / = q p, p Z e q Z } Todo número rcionl pode ser representdo n form deciml e podemos ter dois () representção deciml finit: Eercício 4 - Eercício = = (b) representção deciml infinit periódic: Eercício =

9 47 Eercício 4 90 Sistemtizção dos conjuntos numéricos - 47 = Pr se obter representções decimis de um número rcionl q p, bst dividir p por q. s representções d form (b) são chmds dízims periódics. Reciprocmente, podemos representr um número deciml rcionl n form q p. Sej um número rcionl. Nos eercícios seguintes, determine n form q p. Eercício 5 =,5 Eercício 6 = =0,666 Eercício 7 = =0,5 Eercício 8 = =0,444

10 Sistemtizção dos conjuntos numéricos - = Eercício 9 =,777 Eercício 0 = =0,00777 = Eercício =0, 555 = Conjunto dos números irrcionis I ={ / é um número deciml ilimitdo não periódico} Nos eercícios bio, lguns eemplos de números irrcionis: Eercício = Eercício π π=

11 Sistemtizção dos conjuntos numéricos -4 Eercício 4 e e = Conjunto dos números reis R = Q I Eiste um correspondênci biunívoc entre todos os números reis e os pontos de um ret. [Fig. ]: Ret rel R Eercício 5 Mostre que Q e π 4. Operções com conjuntos.. Noções primitivs Conjunto, elemento, pertinênci entre elementos e conjunto. Eercício 6 Considerndo-se os conjuntos ={,b,c }, ={m,n } e C = (C é o conjunto vzio), verifique pertinênci ou não dos elementos bio os conjuntos.... ; n... ; h... C ; m... ; c... C ; b... ; c....

12 .. Iguldde de conjuntos Sistemtizção dos conjuntos numéricos Definição Dois conjuntos e são considerdos iguis se, e somente se, todo elemento de pertencer e vice-vers. =, ( ). Eercício 7 Considerndo-se os conjuntos ={,b,c }, ={m,n }, C =, D ={b,c, }, E ={} e F ={n,m,n }, verifique iguldde ou não dos conjuntos bio. D... ;... F ; D... ;... F ; C... E... Subconjuntos Definição Um conjunto é subconjunto de outro conjunto qundo qulquer elemento de tmbém pertence. Consideremos os conjuntos e, representdos tmbém por digrm: ={,,7} ={,,,5,6,7,8} [Fig. ]: Digrm dos conjuntos e. Note que qulquer elemento de tmbém pertence. Nesse cso, dizemos que é subconjunto de. Indic-se: ; lê-se: está contido em. Podemos dizer tmbém que contém. Indic-se: ; lê-se: contém. OS. : Se e, então =. OS. : Os símbolos, e são utilizdos pr relcionr conjuntos. OS. : Pr todo conjunto, tem-se. OS. 4: Pr todo conjunto, tem-se, onde represent o conjunto vzio...4 União de conjuntos

13 Sistemtizção dos conjuntos numéricos -6 Definição união de dois conjuntos e é o conjunto formdo por todos os elementos que pertencem ou. Designmos união de e por: ; lê-se: união. = { / ou }...5 Intersecção de conjuntos Definição 4 intersecção de dois conjuntos, e, é o conjunto formdo pelos elementos que são comuns e, isto é, pelos elementos que pertencem e tmbém pertencem. Designmos intersecção de e por: ; lê-se: inter. = { / e }...6 Diferenç de conjuntos Definição 5 diferenç de dois conjuntos e é o conjunto dos elementos que pertencem, ms que não pertencem. Designmos diferenç de e por: ; lê-se: menos. = { / e }. Eercício 8 No digrm seguinte,, e C são três conjuntos não vzios. ssocie V ou F cd um ds seguintes sentençs, conforme el sej verddeir ou fls: C [Fig. ]: Digrm dos conjuntos, e C (subconjuntos). ) (... ) b) C (... ) c) (... ) d) C (... ) e) (... ) f) C (... ) g) (... ) Eercício 9 Considere o seguinte digrm:

14 Sistemtizção dos conjuntos numéricos C [Fig. 4]: Digrm dos conjuntos, e C (união / intersecção / diferenç). ) = { } b) C = { } c) C = { } d) C = { } e) = { } f) C = { } g) C = { } h) C = { } i) = { } j) C = { } k) C = { } l) ( ) C = { Intervlos... } O conjunto dos números nturis, dos números inteiros, dos números rcionis e dos números irrcionis são subconjuntos dos números reis R. Eistem, ind, outros subconjuntos de R que são determindos por desigulddes. Esses subconjuntos são chmdos de intervlos. Conjunto dos números reis miores que e menores ou iguis : [Fig. 5]: Gráfico do intervlo ]-,]. Este intervlo contém todos os números reis compreendidos entre os etremos e, incluso. bol vzi indic que o etremo não pertence o intervlo e bol indic que o etremo pertence o intervlo. Este é um intervlo semi-berto à esquerd. 4

15 Sistemtizção dos conjuntos numéricos Representção: { R / < } ou ],]. OS. 5: Sendo um número rel, pode-se considerr intervlos como o que segue: - { R / < <+ } ou ],+ [.. Operções com intervlos Serão considerds operções do tipo: união ( ), intersecção ( ) e subtrção ( ). Eercício 0 Se ={ R / < <5} e ={ R / <8}, determine = Eercício Se ={ R / 0} e ={ R / <}, determine = Eercício Se ={ R / } e ={ R / < 4}, determine = Eercício Se ={ R / < 4} e ={ R / < <7}, determine =

16 Sistemtizção dos conjuntos numéricos Eercício 4 Ddos =[,7], =[,5] e E =[,9[, clcule: ) ; b) ; c) E ; d) E E E E ) = ; b) = ; c) E = ; d) E = Eercício Ddos =[,6[, =] 4,] e E =],4[, clcule: ) ( E ) ; b) E ( ). E ( E) E E ( ) ) ( E ) = ; b) E ( )=

17 Funções. Conceito mtemático de função Definição 6 independente. Funções -0 Domínio d função é o conjunto de todos os vlores ddos pr vriável Definição 7 Imgem d função é o conjunto de todos os vlores correspondentes d vriável dependente. Como, em gerl, trblhmos com funções numérics, o domínio e imgem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mis rigor o que é um função mtemátic utilizndo lingugem d teori dos conjuntos. Pr isso, temos que definir ntes o que é um produto crtesino e um relção entre dois conjuntos. Definição 8 Produto crtesino: Ddos dois conjuntos não vzios e, denomin-se produto crtesino (indic-se: ) de por o conjunto formdo pelos pres ordendos nos quis o primeiro elemento pertence e o segundo pertence. (Eq.) ={(, y )/ e y }. Definição 9 Relção: Ddos dois conjuntos e, dá-se o nome de relção r de em qulquer subconjunto de. (Eq.) r é relção de em r. Eercício 6 Sejm os conjuntos ={0,,,}, ={0,,4,6,8,0} e relção r de em, tl que y =, e y. Escrever os elementos dess relção r. Como : = = = = Então, { ;... ;... ; }. 0 [Fig. 6]: Representção d relção por digrm. r

18 y [Fig. 7]: Representção d relção por sistem crtesino. 0 Funções OS. 6: Podemos observr que, num relção r de em, o conjunto r é formdo pelos pres (, y ) em que o elemento é ssocido o elemento y medinte um lei de ssocição (no cso, y = ).. Definição de função Definição 0 Sejm e dois conjuntos não vzios e f um relção de em. Ess relção f é um função de em qundo cd elemento do conjunto está ssocido um e pens um elemento y do conjunto. Nos eercícios seguir, verifique se s relções representm função de em. Juntifique su respost e presente o digrm d relção. Eercício 7 Ddos os conjuntos ={0,5,5} e ={0,5,0,5,0,5}, sej relção de em epress pel fórmul y = +5, com e y = ; = ; = Todos os elementos de cd elemento de Neste cso, relção de em epress pel fórmul y = Eercício 8 Ddos os conjuntos ={,0,,5} e ={0,,5,0,0}, sej relção de em epress pel fórmul y =, com e y. -

19 - 0 5 = = = ;... ; Funções - Neste cso, relção de em Eercício 9 Ddos os conjuntos ={,,,} e ={,,6,9}, sej relção de em epress pel fórmul y =, com e y = = = ; = ;... ; Neste cso, relção de em Eercício 0 Ddos os conjuntos ={6,8} e ={,,}, sej relção de em 4 epress pel fórmul y =, com e y = = ;

20 Funções - Neste cso, relção de em Notção de função Qundo temos um função de em, podemos representá-l d seguinte form: f : (lê-se: função de em ) y (lê-se: cd vlor de ssoci-se um só vlor y ) etc. letr f, em gerl, dá o nome às funções, ms podemos ter tmbém função g, h, Num função g : R R, dd pel fórmul y = 8, podemos tmbém escrever g ( )= 8. Neste cso, g ( ) signific o vlor de y qundo =, ou g ( )= 6..4 Domínio, contrdomínio e imgem de um função Um função f com domínio e imgens em será denotd por: f : (função que ssoci vlores do conjunto vlores do conjunto ) y = f ( ) ( cd elemento corresponde um único y ) O conjunto é denomindo domínio d função, que indicremos por D. O domínio d função tmbém chmdo cmpo de definição ou cmpo de eistênci d função, serve pr definir em que conjunto estmos trblhndo, isto é, os vlores possíveis pr vriável. O conjunto é denomindo contrdomínio d função, que indicremos por CD. É no contrdomínio que estão os elementos que podem corresponder os elementos do domínio. Cd elemento do domínio tem um correspondente y no contrdomínio. esse vlor de y dmos o nome de imgem de pel função f. O conjunto de todos os vlores de y que são imgens de vlores de form o conjunto imgem d função, que indicremos por Im. Note que o conjunto imgem d função é um subconjunto do contrdomínio d mesm. f : y = f ( ) D =, CD=, Im ={ y CD/ y é correspondente de lgum vlor de }. Eercício Ddos os conjuntos ={,,0,} e ={,0,,,,4}, determinr o conjunto imgem d função f : definid por f ( )= +.

21 Funções -4 Im ={ } Eercício Dd função f : R R definid por f ( )= +b, com,b R, clculr e b, sbendo que f ()=4 e f ( )=. =... e b =... f ( )= Função compost.... Tome s funções f :, definid por f ( )=, e g : C, definid por g ( )=. Note que o contrdomínio d função f é o mesmo domínio d função g. f : : cd ssoci-se um único y, tl que y =. g : C : cd y ssoci-se um único z C, tl que z = y. Neste cso, podemos considerr um terceir função, h : C, que fz composição entre s funções f e g : C g f y z [Fig. 8]: Função compost h : C : cd ssoci-se um único z C, tl que z = y = ( ) =4. Ess função h de em C, dd por h ( )=4, é denomind função compost de g e f. h

22 Funções -5 De um modo gerl, pr indicr como o elemento z C é determindo de modo único pelo elemento, escrevemos: z = g ( y )= g ( f ( )) Notção: função compost de g e f será indicd por g o f (lê-se: g círculo f ) (Eq.) ( g o f )( )= g ( f ( )) Eercício g ( )=. Determine: ) f ( g ( )). Sejm s funções reis f e g definids respectivmente por f ( )= + e f ( g ( ))= b) g ( f ( ))..... g ( f ( ))= c) Os vlores de pr que se tenh f ( g ( ))= g ( f ( )). = Eercício 4 Sendo f ( )= e f ( g ( ))=6 +8, determine g ( ). g ( )=

23 .6 Função invers Funções Definição Função bijetor: função f é denomind IJETOR, se stisfz s dus condições bio:. O contrdomínio de f coincide com su imgem, ou sej, todo elemento do contrdomínio é correspondente de lgum elemento do domínio.. Cd elemento do contrdomínio de f é imgem de um único elemento do domínio. -6 Definição Diz-se que um função f possui invers f se for bijetor..6. Determinção d função invers Cso função sej bijetor, possuindo portnto invers, é possível determinr su invers. Pr isso trocmos vriável por y n lei que define função e em seguid isolmos o y, obtendo lei que define função invers. Eercício 5 É preciso pens tomr certo cuiddo com o domínio d nov função obtid. Obter lei d função invers f d função f dd por y = +. Logo: f ( )= e f ( )= Eercício 6 Construir os gráficos ds funções f e sistem de coordends. f do eercício nterior, num mesmo f ( ) f ( ) Note que os gráficos ds funções f e f são simétricos em relção à ret que contém s bissetrizes do o e o qudrntes. 4 y

24 Eercício 7 D = R. Determinr função invers g d função g ( )= Funções , cujo domínio é Logo, g : função invers procurd dd por y = é

25 Função Polinomil Função Polinomil Definição Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil é quel cuj formulção mtemátic é epress por um polinômio.. Função polinomil do o gru função polinomil do o gru é que tem su representção mtemátic por um polinômio de gru. Representção d função polinomil do o gru: f ( )= +b, com,b R ( 0). e b são os coeficientes e vriável independente. Eercício 8-8 Em um função polinomil do o gru, y = f ( ), sbe-se que f ()=4 e f ( )=0. Escrev função f e clcule f. função é f ( )= e f =.... Função liner.... Sej função polinomil do o gru f ( )= +b. No cso de b =0, temos f ( )=, e el recebe o nome especil de função liner. OS. 7: Se, em um função liner tivermos =, teremos f ( )= ou y =, que se dá o nome de função identidde... Gráfico de um função polinomil do o gru Pr construir o gráfico de um função polinomil do o gru, tribuímos vlores do domínio à vriável e clculmos s respectivs imgens.

26 Função Polinomil Eercício 9 Construir o gráfico d função rel f dd por y =. -9 y Pr ordendo (, ) (, ) 0 (, ) (, ) (, ) (, ) 5 4 y Definição 4 O gráfico d função liner y = ( 0) é sempre um ret que pss pel origem do sistem crtesino. Definição 5 O gráfico d função polinomil do o gru y = +b ( 0) intercept o eio ds ordends no ponto (0, b )... Determinção de um função prtir do gráfico Nos eercícios bio, determine lei de formção d função f ( )= +b. Eercício 40 Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: 5 4 y Sbendo-se que y = +b, do gráfico, temos que:

27 Função Polinomil -0 Logo: função é f ( )= Eercício 4 Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: 5 4 y Sbendo-se que y = +b, do gráfico, temos que: Logo: função é f ( )= Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru Sej f função polinomil do o gru definid por f ( )= +b. Podemos determinr que: i) função f é crescente se o coeficiente >0; ii) função f é decrescente se o coeficiente <0. Construir os gráficos ds funções f e g do o gru seguir: i) f ( )= + ii) g ( )= + Eercício 4

28 y y Função Polinomil i) umentndo os vlores tribuídos, umentm tmbém os vlores correspondentes d imgem f ( ). ii) umentndo os vlores tribuídos, diminuem os vlores correspondentes d imgem g ( )...5 Estudo do sinl d função polinomil do o gru Definição 6 Estudr o sinl de um função f signific determinr pr que vlores de temos f ( )>0, f ( )<0 ou f ( )= Zero de um função polinomil do o gru Definição 7 Denomin-se zero ou riz d função f ( )= +b o vlor de que nul função, isto é, torn f ( )=0. Definição 8 Geometricmente, o zero d função polinomil do o gru f ( )= +b, 0, é bsciss do ponto em que ret cort o eio. Eercício 4 Dd lei de formção d função y = 4, construir o gráfico e determinr os vlores reis de pr os quis: ) y =0; b) y >0 e c) y < y Podemos notr que função é decrescente, pois <0. O zero d função é: 4=0 =4 = 4 =. Logo, ret intercept o eio no ponto de bsciss =. solução do problem é:

29 ) f ( )=0 {... }; b) f ( )>0 {... }; c) f ( )<0 {... }. Função Polinomil Qudro de sinis d função polinomil do o gru Eercício 44 Preencher o qudro bio: f ( )= +b, 0 Zero d função: +b =0 = >0 <0 b b f( )<0 b f( )>0 f( )>0 b f( )<0 f ( )= 0 f ( )> 0 f ( )< f ( )= 0 f ( )> 0 f ( )< Inequções do o gru Definição 9 Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: +b 0; +b >0; +b 0; +b <0. com, b R e 0. Eercício 45 Verificr se 4( ) ( +) é um inequção do o gru.

30 Função Polinomil - Logo, Resolução de inequções do o gru Definição 0 Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eercício 46 Resolver inequção seguinte: 4( ) ( +). Represente solução n ret rel. S={... } Eercício 47 solução n ret rel. Resolver inequção seguinte: 4 ( ) + > +. Represente 4 6 S={... }.. Sistems de inequções do o gru Definição O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem.

31 Função Polinomil -4 Eercício 48 Resolver inequção <. presente o conjunto solução S e represente n ret rel. N verdde, resolver ess inequção simultâne é equivlente resolver o sistem: (i) (ii) (i) (ii) S={... }.. Inequção-produto e inequção-quociente Um inequção do o gru do tipo pode ser epress por um produto de inequções do o gru, ftorndo o o membro d desiguldde: ( ) ( +4) 0. Definição RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequçãoquociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis do o gru envolvids. seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eercício 49 Resolver inequção ( + ) ( +) 0. ( + ) ( +) 0... f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) S={... } Eercício 50 Resolver inequção + 0. f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0

32 Função Polinomil -5 f( ) g( ) f ( ) g ( ) S={... } Eercício 5 Resolver inequção f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) S={... } Eercício 5 Determine o domínio d função y = f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) D={... }

33 . Função polinomil do o gru Função Polinomil Definição função f : R R dd por f ( )= +b +c, com, b e c reis e 0, denomin-se função polinomil do o gru ou função qudrátic. Os números representdos por, b e c são os coeficientes d função. Note que se =0 temos um função do o gru ou um função constnte. Eercício 5 Considere função f do o gru, em que f (0)=5, f ()= e f ( )=. Escrev lei de formção dess função e clcule f (5). Tome f ( )= +b +c, com 0. f (0) = 5 f () = f ( ) = -6 lei de formção d função será f ( )=.... f (5)= Gráfico de um função qudrátic O gráfico de um função polinomil do o gru ou qudrátic é um curv bert chmd prábol. Pr evitr determinção de um número muito grnde de pontos e obter um bo representção gráfic, vmos destcr três importntes crcterístics do gráfico d função qudrátic: (i) Concvidde.. Concvidde (ii) Posição em relção o eio (iii) Loclizção do seu vértice concvidde de um prábol que represent um função qudrátic f ( )= +b +c do o gru depende do sinl do coeficiente : >0: concvidde pr CIM <0: concvidde pr IXO [Fig. 9]: Concvidde de um função qudrátic.

34 .. Zeros de um função qudrátic Função Polinomil Definição 4 Os zeros ou rízes d função qudrátic f ( )= +b +c são s rízer d equção do o gru +b +c =0, ou sej: b ± Rízes: = b 4c. Considerndo = b 4 c, pode-se ocorrer três situções: b + i) >0 s dus rízes são reis e diferentes: = b =. e b ii) =0 s dus rízes são reis e iguis (riz dupl): = =. iii) <0 não há rízes reis. OS. 8: Em um equção do o gru +b +c =0, som ds rízes é S e o b c produto é P tl que: S= + = e P= =. Definição 5 Geometricmente, os zeros ou rízes de um função polinomil do o gru são s bsciss dos pontos em que prábol intercept o eio...4 Vértice d prábol Considere s prábols bio e observe o vértice V ( V, y V ) em cd um: y Eio de simetri y V(, ) V y V -7 V(, ) V [Fig. 0]: Vértice de prábols (D>0 pr s dus). y V Um form de se obter o vértice V ( V, y V ) é: V = +, já que o vértice encontr-se no eio de simetri d prábol; y V = V +b V +c, já que o V foi obtido cim. Outr form de se obter o vértice V ( V, y V ) é plicndo s fórmuls: V = b y =. 4 e V

35 ..5 Gráfico de um prábol Função Polinomil Com o conhecimento ds principis crcterístics de um prábol, podemos esboçr com mis fcilidde o gráfico de um função qudrátic. Eercício 54 Construir o gráfico d função y = +, determinndo su imgem concvidde voltd pr.... Zeros d função: Ponto onde prábol cort o eio y : Vértice d prábol: V = (...,... ) V (...,... ) y V = Imgem: Im ={ y R ;... } y Eercício 55 Construir o gráfico d função y = +4 5, determinndo su imgem.... concvidde voltd pr.... Zeros d função: Ponto onde prábol cort o eio y : Vértice d prábol: V = y V = (...,... ) V (...,... ) Imgem: Im ={ y R ;... } y Estudo do sinl d função qudrátic Os vlores reis de que tornm função qudrátic positiv, negtiv ou nul, podem ser ddos considerndo-se os csos, relciondos n tbel bio. f ( )= +b +c com (, b e c R e 0) >0 <0 f ( )>0 pr < ou > f ( )<0 pr < ou > f ( )<0 pr < < f ( )>0 pr < <

36 Função Polinomil f ( )=0 pr = ou = f ( )=0 pr = ou = -9 f ( )>0 pr f ( )<0 pr f ( )<0 / rel f ( )>0 / rel f ( )=0 pr = = f ( )=0 pr = = f ( )>0 rel f ( )<0 / rel f ( )=0 / rel f ( )<0 rel f ( )>0 / rel f ( )=0 / rel.4 Inequções do o gru Definição 6 Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: +b +c 0; +b +c >0; +b +c 0; +b +c <0. com, b, c R e Resolução de inequções do o gru Definição 7 Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eercício 56 Resolver inequção +>0. Estudr vrição do sinl d função f ( )= Concvidde pr.... += = S=....

37 Eercício 57 Resolver inequção Estudr vrição do sinl d função f ( )= Concvidde pr = = Função Polinomil -0 S=.... Eercício 58 Resolver inequção +5 6>0. Estudr vrição do sinl d função f ( )= Concvidde pr = = S= Sistems de inequções do o gru Definição 8 O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eercício 59 Resolver o sistem de inequções < 0-6. (i) (ii) +5<0. Resolução de (i):... Concvidde pr = S(i)=... Ret rel: Resolução de (ii): S(ii)=... Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) (i) (ii) S....

38 Eercício 60 Resolver inequção 4< 4 +. (i) 4< 4. (ii) 4 +. Resolução de (i):... Concvidde pr = Função Polinomil - S(i)=... Ret rel: Resolução de (ii):... Concvidde pr = S(ii)=... Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) (i) (ii) S Inequção-produto e inequção-quociente Definição 9 RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequçãoquociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis envolvids. seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eercício 6 Resolver inequção ( ) ( +4)>0. f() = 0 = e g() = +4 0 = e f() g()

39 Função Polinomil - f ( ) g( ) f ( ) g ( ) S=.... Eercício 6 Resolver inequção f() = = e g() = 6 0 = e f() g() f ( ) g( ) f ( ) g ( ) S=.... Eercício 6 Determine o domínio d função f ( )= f só represent um número rel se... 6 f() = 0 0 = e g() = 6 0 g() = 0 f() g()

40 f ( ) Função Polinomil - g( ) f ( ) g ( ) D =....

41 4 Função Eponencil 4. Revisão de potencição 4.. Potêncis com epoente nturl (Eq.4) (Eq.5) (Eq.6) Função Eponencil Sendo um número rel e n um número nturl, com n, definimos: n = 4 4 K. nftores Pr n = e n =0 são definidos: =. 0 = ( 0). 4.. Potêncis com epoente inteiro Se é um número rel não-nulo ( 0) e n um número inteiro e positivo, definimos: 4-4 (Eq.7) n = n. 4.. Potêncis com epoente rcionl definimos: Se é um número rel positivo e n m um número rcionl, com n inteiro positivo, (Eq.8) m n = n m Potêncis com epoente rel Podemos considerr que s potêncis com epoente rel têm significdo no conjunto dos números reis. Temos, por eemplo: Proprieddes 0 =5, Pr s potêncis com epoente rel são válids s seguintes proprieddes opertóris: m n m n = +. m n : = m n m n m n ( ) =. n ( b) = n n b. ( 0). b n n = b n (b 0).

42 Eercício 64 Dê o resultdo mis simples de ( 5 5 ): 5. Usndo s proprieddes, temos: 6 0 Função Eponencil ): 5 =.... ( 6 0 Eercício 65 Clcule o vlor d epressão Eercício =.... Simplifique 4 Eercício 67 Clcule =.... Eercício 68 Determine o vlor de , : 8, , : 8, =.... Eercício 69 Qul o vlor de 5 ( 0 ) : ( 0, )? 5 ( 0 ) :( 0, ) = Equções eponenciis Definição 0 epoente. =6. Eemplo: + + =9. = =0. Chm-se equção eponencil tod equção que contém incógnit no

43 4.. Resolução de equções eponenciis Função Eponencil Pr resolver um equção eponencil, devemos trnsformá-l de modo obter potêncis de mesm bse no primeiro e no segundo membros d equção utilizndo s definições e proprieddes d potencição. lém disso, usremos o seguinte fto: Definição Eercício 70 Se >0, e é incógnit, solução d equção Resolver equção 4 =5. p = é = p. 4-6 Usndo s proprieddes ds potêncis, vmos trnsformr o o e o membros d equção em potêncis de mesm bse: S=.... Eercício 7 Um empres produziu, num certo no, 8000 uniddes de determindo produto. Projetndo um umento nul de produção de 50%, pergunt-se: ) Qul produção P dess empres t nos depois? b) pós quntos nos produção nul d empres será de uniddes? 50 ) Obs: 50%= =0,5 00 b) Fzendo P=40500, n fórmul nterior, obtemos equção: Desse modo, produção nul d empres será de uniddes pós... nos. Eercício 7 reis. Determine o conjunto solução d equção 8 + = no universo dos números

44 Função Eponencil 4-7 S= Resolução de equções eponenciis com o uso de rtifícios Pr se resolver determinds equções eponenciis, são necessáris lgums trnsformções e rtifícios. Eercício 7 Resolver equção =0. Usndo s proprieddes d potencição, vmos fzer um trnsformção n equção dd: S=.... Eercício 74 Determine o conjunto solução d equção Preprndo equção, temos: 5 5 =4. S= Função eponencil Definição função f : R R dd por f ( )= (com >0 e ) é denomind função eponencil de bse.

45 Função Eponencil 4.. Gráfico d função eponencil no plno crtesino 4-8 Dd função f : R R, definid por f ( )= (com >0 e ), temos dois csos pr trçr seu gráfico: (i) > e (ii) 0< <. (i) >. Eercício 75 Trçr o gráfico de f ( )=. f ( )= y Qunto mior o epoente, mior é potênci f ( )= é crescente. OS. 9: (ii) 0< <. Eercício 76 Trçr o gráfico de f ( )=., ou sej, se > função f ( )= y OS. 0: Qunto mior o epoente, menor é potênci função f ( )= é decrescente. Com bse no gráfico, podem-se tirr lgums considerções:, ou sej, se 0< <

46 4.. Crcterístics d função eponencil Sej f : R R, definid por f ( )= (com >0 e ). Função Eponencil 4-9 Domínio d função f são todos os números reis D = R. Imgem d função f são os números reis positivos Im = R +. curv d função pss pelo ponto (0,). função é crescente pr bse >. função é decrescente pr bse 0< <. 4.4 Inequções eponenciis Definição São inequções eponenciis quels que precem incógnits no epoente Resolução de inequções eponenciis Pr resolver inequções eponenciis, devemos observr dois pssos importntes: ) Redução dos dois membros d inequção potêncis de mesm bse; ) Verificr bse d eponencil, > ou 0< <, plicndo s proprieddes bio. Cso (i): > Cso (ii): 0< < m > n m >n s desigulddes têm mesmo sentido Eercício 77 Resolv inequção >. m > n m <n s desigulddes têm sentidos diferentes S=.... Eercício 78 Resolv inequção + ( ). S=....

47 Eercício 79 Resolv inequção + < 7. Função Eponencil 4-40 S=....

48 5 Função Logrítmic 5. Definição de logritmo Função Logrítmic Definição 4 Ddos dois números reis positivos, e b, com, eiste um único número rel de modo que =b. Este número é chmdo de logritmo de b n bse e indicse log b. (Eq.9) Podemos então, escrever: =b = log b ( >0 e b >0). N iguldde = log é bse do logritmo; b, temos: b é o logritmndo ou ntilogritmo; é o logritmo. Clculr o vlor de nos eercícios seguintes: Eercício 80 log =. =.... Eercício 8 log 46=. =.... Eercício 8 =.... log =. Eercício 8 log 8=. =.... Eercício 84 log 5 =. =.... OS. : bse é log b signific log b. Qundo não se indic bse, fic subentendido que 5. Conseqüêncis d definição 0 Tome >0, b >0 e m um número rel qulquer. D definição de logritmos, podese verificr que:

49 ) O logritmo de em qulquer bse é igul zero. log =0, pois 0 =. ) O logritmo d própri bse é igul. log =, pois =. ) O logritmo de um potênci d bse é igul o epoente. m log =m, pois m = m. Função Logrítmic 4) O logritmo de b n bse é o epoente o qul devemos elevr pr obter b. 5-4 b log =b, pois =b = log b. 5. Proprieddes dos logritmos ) Logritmo de produto log ( y) = log + log y ( >0, >0 e y >0). ) Logritmo de quociente log = log log y ( >0, >0 e y >0). y ) Logritmo de potênci m log =m log ( >0, >0 e m R ). 5.4 Cologritmo Cologritmo de um número positivo b num bse ( >0) é o logritmo do inverso desse número b n bse. (Eq.0) Eercício 85 e b. ) log 5 colog b= log colog b= log b ( >0 e b >0). b Sbendo que log = e log 5=b, clcule os logritmos bio, em função de b) log 675 c) log

50 5.5 Mudnç de bse Função Logrítmic s proprieddes logrítmics são válids pr logritmos num mesm bse, por isso, em muitos csos, é conveniente fzer conversão de logritmos de bses diferentes pr um únic bse. log seguir, será presentd fórmul de mudnç de bse. Sej: b = =b. plicndo o logritmo n bse c em mbos os membros, obtemos: log log c = log c b log c = log c b = log Então: (Eq.) log log b = log c c b ( >0, c >0 e b >0). Eercício 86 Sendo log =0, e log =0,4, clcule log 6. c c b, ms = log b. 5-4 Eercício 87 Resolv equção log + log 4 + log 6 =7. condição de eistênci é >0. Logo, o conjunto solução é: S={... }. Eercício 88 Resolv equção log ( +)+ log ( )=5. Condições de eistênci são: +>0 e >0 > e >. Então: >.

51 Função Logrítmic 5-44 Logo, o conjunto solução é: S={... }. 5.6 Função logrítmic função eponencil g : R R + definid por g ( )= (com >0) é bijetor. Nesse cso, podemos determinr su função invers. É função logrítmic definid bio. + Definição 5 função f : R R definid por f ( )= log (com >0) é chmd função logrítmic de bse Gráfico d função logrítmic no plno crtesino Como os gráficos de funções inverss são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres, o gráfico d função logrítmic é de imedit construção, um vez que já vimos o gráfico d função eponencil. e + Sej f : R R, tl que y = log e f : R R +, tl que y = f serão plotdos no mesmo plno crtesino ortogonl.. Os gráficos de f (i) > y y= y= log y= [Fig. ]: Gráfico d função logrítmic e eponencil ( >). (ii) 0< <.

52 y= y Função Logrítmic y= y= log [Fig. ]: Gráfico d função logrítmic e eponencil (0< <). 5.7 Inequções logrítmics Chmmos de inequção logrítmic tod inequção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Eercício 89 Resolv inequção Condição de eistênci: log ( ) log 4. (i) (ii) (i) (ii) S={... }. Eercício 90 Resolv inequção log 4 ( ) log 4 ( +0). solução d inequção deve stisfzer s três condições:

53 (i) Função Logrítmic 5-46 (ii) (iii) (i) (ii) (iii) S={... }. Eercício 9 Suponh que o preço de um crro sofr um desvlorizção de 0% o no. Depois de qunto tempo, proimdmente, seu preço cirá pr cerc d metde do preço de um crro novo? (Use log0=0,) p = p 0 ( 0,) t O preço do crro cirá pr metde do preço do crro novo depois de... nos.

54 6 Trigonometri Trigonometri Trigonometri é o rmo d Mtemátic que tem por objetivo resolução complet dos triângulos, ou sej, determinção d medid de seus ldos e seus ângulos internos, enriquecendo o estudo d Geometri Pln. Seu significdo originl: (tri) três, (gonos) ângulo, (metri) medid. 6. Triângulo retângulo Triângulo retângulo é quele que possui um ângulo interno reto. O ldo oposto o ângulo reto é chmdo de hipotenus e os outros dois ldos são chmdos de ctetos c h b m H [Fig. ]: Elementos do triângulo retângulo N figur, temos que: = C é hipotenus; b = C e c = são os ctetos; h = H é ltur reltiv à hipotenus; n C m = H é projeção ortogonl do cteto sobre hipotenus; n =CH é projeção ortogonl do cteto C sobre hipotenus; Â, ˆ e Ĉ são os ângulos internos. 6. Relções métrics no triângulo retângulo Com bse n figur nterior, s seguintes relções métrics são válids: = b + c (Teorem de Pitágors) o qudrdo d hipotenus é som dos qudrdos dos ctetos; h =m n o qudrdo d ltur é o produto ds projeções dos ctetos; c =m e hipotenus; b =n o qudrdo do cteto é o produto de su projeção pel b c = h o produto dos ctetos é o produto d hipotenus pel ltur. Eercício 9 Observndo figur, clcule, h, m e n.

55 Trigonometri 6-48 c =0 b=5 h m H n C Logo, =..., h =..., m =... e n =.... Eercício 9 Num triângulo retângulo os ldos têm medids, e +. Determine esss medids. Num triângulo qulquer, medid do mior ldo é sempre menor que som ds medids dos outros dois, portnto, devemos ter +< + pr que eist o triângulo. Logo: C plicndo o teorem de Pitágors o C, temos: Então, =.... s medids dos ldos são...,... e... uniddes de comprimento.

56 Trigonometri 6. Rzões trigonométrics no triângulo retângulo Consideremos o ângulo de medid α d figur seguinte, de vértice e ldos e C. C C C C C b α [Fig. 4]: Rzões trigonométrics no triângulo retângulo. c 4 Os triângulos C, C, C, C, 4 C 4, são todos semelhntes. Logo, eistem rzões entre estes triângulos. Iremos nomer ests rzões por: k, k e k. Desenvolvendo s rzões, temos: C k = = C C C C = C C = C 4C = C 4 4 = k = = = = = 4 C C C C C 4 = C k = = C C = C = 4C = 4 4 = s rzões k, k e k dependem somente d medid do ângulo considerdo. Dí, pode-se simplificr figur nterior pens um triângulo C seguinte. C b [Fig. 5]: Triângulo C que define s rzões. α Ests rzões podem ser escrits, considerndo-se como bse o ângulo α, trvés d hipotenus, o cteto oposto b e o cteto djcente c : C b Cteto oposto (Eq.) senα= k = = = C Hipotenus c Cteto oposto senα= Hipotenus

57 c (Eq.) cosα= k = = = C Cteto djcente Hipotenus C b Cteto oposto (Eq.4) tn α= k = = = c Cteto djcente Cteto djcente cosα= Hipotenus Cteto oposto tn α= Cteto djcente Trigonometri 6-50 Eercício 94 Determine sen ˆ, cos ˆ e tn ˆ no triângulo retângulo C. C =5 b= c =4 sen ˆ =.... cos ˆ =.... tn ˆ =.... Eercício 95 Um groto está empinndo pip, e o fio form com horizontl um ângulo de 0 o. Clcule que ltur do solo se chrá pip qundo estiver n verticl que pss por um árvore situd 00 metros do groto. Sbe-se que tn 0 o =0,57. fio h 0 o 00 metros h =... metros. 6.4 Conseqüêncis ds definições Ddo o triângulo retângulo bio, podemos chegr lgums conclusões, com bse ns definições dds.

58 C Trigonometri 6-5 β b α c [Fig. 6]: Triângulo C, conseqüêncis ds definições Ângulos complementres α+β=90 o O seno de um ângulo gudo é igul o co-seno de seu complemento. (Eq.5) senα= b e cosβ= b senα=cosβ. (Eq.6) senβ= c e cosα= c senβ=cosα. tngente de um ângulo gudo é igul o inverso d tngente de seu complemento. b c (Eq.7) tn α= e tn β= tn α= c b tnβ 6.4. Divisão sen α = b b sen α = =tn α tn α=. cosα c c cosα 6.4. plicndo o teorem de Pitágors (Eq.8) sen b α= e cos c α= sen α+cos b c α= +. sen α+cos b + c α= plicndo o teorem de Pitágors no triângulo C, temos que sen α+cos b + c α= sen α+cos α= sen α+cos α=. Então: sen α+cos α=. = b + c. Logo: Eercício 96 Sendo sen0 o =, clculr cos0 o, tn 0 o, sen60 o, cos60 o e tn 60 o.

59 Trigonometri 6-5 Eercício 97 Sendo sen45 o =, clculr cos45 o e tn 45 o. 6.5 Ângulos notáveis Os vlores d tbel seguinte precem com freqüênci, por isso os ângulos nel contidos são chmdos notáveis. 0 o 0 o 45 o 60 o 90 o sen 0 cos 0 tn 0 /

60 Trigonometri 6-5 Eercício 98 (PUC-RS) De um ponto, no solo, vism-se bse e o topo C de um bstão colocdo verticlmente no lto de um colin, sob ângulos de 0 o e 45 o, respectivmente. Se o bstão mede 4 metros de comprimento, ltur d colin, em metros, é igul : C 4m 0 o 45 o h ltur d colin é de... metros. Eercício 99 (UFOP-MG) Um homem desej determinr lrgur de um rio. Então, de um ponto d mrgem, mede o ângulo de elevção do topo de um poste situdo n mrgem opost, obtendo o. fstndo-se 5 metros, ele obtém o novo ângulo de 9 o. Clcule lrgur do rio. Tome como bse os ddos seguintes: tn 9 o =0,58 e tn o =0,94. 9 o o y Rio 5 m

61 Trigonometri 6-54 lrgur do rio é de... metros. 6.6 Circunferênci trigonométric ou ciclo trigonométrico 6.6. rco de circunferênci Considerndo dois pontos e de um circunferênci: O O [Fig. 7]: rco de circunferênci. Chmmos de rco qulquer um ds prtes dess circunferênci, compreendid entre os pontos e, o qul indicremos por ou. Os pontos e são s etremiddes do rco e pertencem ele. volt. Qundo, dizemos que um ds prtes é o rco nulo e outr é o rco de um 6.6. Medids de rcos Definição 6 Gru: um gru ( o ) é o rco unitário que corresponde 60 d circunferênci. Definição 7 Rdino: um rdino ( rd) é o rco que tem o mesmo comprimento do rio d circunferênci que o contém. Conseqüentemente, rdino ( rd) é o rco unitário que corresponde circunferênci. N circunferênci bio, o rio r tem o mesmo comprimento do rco. O r r π d

62 [Fig. 8]: Circunferênci de rio r. Trigonometri 6-55 m( )=m( O)= rd. Por outro ldo, medid do comprimento d circunferênci se clcul trvés d fórmul: C =π r. Ms, pelo fto de termos considerdo o rio r e o rco com mesm medid ( rd), então: (Eq.9) C =π rd; C π = rd; 4 C π = rd. 8 4 C =π rd. Dí pode-se tirr medids prciis d circunferênci em rdinos. Relções entre grus e rdinos: rco gru Rdino 60 o π rd 80 o π rd 90 o π rd 45 o π rd 4 Eercício 00 Converter em rdinos medid do rco de 0 o. Como sbemos que 80 o =π rd, podemos fzer um regr de três simples diretmente proporcionl:

63 Trigonometri 6-56 Logo, 0 o correspondem... rd, ou 0 o =... rd. π Eercício 0 Converter em grus medid do rco de rd. De form semelhnte o eercício nterior, us-se relção π rd=80 o. Substitui-se no rco ddo e efetum-se s operções: Logo, π rd correspondem..., ou 6.6. Ciclo trigonométrico Considere figur bio: II qudrnte y π rd =.... I qudrnte O r = III qudrnte IV qudrnte [Fig. 9]: Qudrntes no ciclo trigonométrico. O centro d circunferênci coincide com origem de um sistem de coordends crtesins; O rio d circunferênci corresponde um unidde de medid dos eios perpendiculres. Definição 8 Ciclo trigonométrico é um circunferênci à qul se ssoci um sistem de coordends ortogonis com origem no centro, tendo como rio unidde de medid dos eios. medid de um rco num ciclo trigonométrico é feit trvés ds seguintes convenções: y nti-horário O r = (,0) horário [Fig. 0]: Medi de rcos no ciclo trigonométrico. Os rcos trigonométricos têm: Origem no ponto (,0);

Relações em triângulos retângulos semelhantes

Relações em triângulos retângulos semelhantes Observe figur o ldo. Um escd com seis degrus está poid em num muro de m de ltur. distânci entre dois degrus vizinhos é 40 cm. Logo o comprimento d escd é 80 m. distânci d bse d escd () à bse do muro ()

Leia mais

Nota de aula_2 2- FUNÇÃO POLINOMIAL

Nota de aula_2 2- FUNÇÃO POLINOMIAL Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curiti Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Not de ul_ - FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil

Leia mais

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo. TRIGONOMETRIA A trigonometri é um prte importnte d Mtemátic. Começremos lembrndo s relções trigonométrics num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicremos por Bˆ e por Ĉ s medids

Leia mais

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se . Logritmos Inicilmente vmos trtr dos ritmos, um ferrment crid pr uilir no desenvolvimento de cálculos e que o longo do tempo mostrou-se um modelo dequdo pr vários fenômenos ns ciêncis em gerl. Os ritmos

Leia mais

a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) =

a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) = List Mtemátic -) Efetue s dições e subtrções: ) ( ) = d) + ( ) = g) + 7 = b) = e) = h) + = c) 7 + = f) + = i) 7 = ) Efetue s multiplicções e divisões: ).( ) = d).( ) = g) ( ) = b).( 7) = e).( 6) = h) (

Leia mais

Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário.

Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário. Questão PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Um rod

Leia mais

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1;

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1; Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP Curso Teste (ii) cso qundo 0 < < 1 EXPONENCIAL E LOGARITMO f() é decrescente e Im = R + 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL A função f: R R + definid

Leia mais

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos

Leia mais

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial º semestre de Engenhri Civil/Mecânic Cálculo Prof Olg (º sem de 05) Função Eponencil Definição: É tod função f: R R d form =, com R >0 e. Eemplos: = ; = ( ) ; = 3 ; = e Gráfico: ) Construir o gráfico d

Leia mais

tem-se: Logo, x é racional. ALTERNATIVA B AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. m (AB) : medida (comprimento) de AB.

tem-se: Logo, x é racional. ALTERNATIVA B AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. m (AB) : medida (comprimento) de AB. MÚLTIPL ESCOLH NOTÇÕES C : conjunto dos números compleos. Q : conjunto dos números rcionis. R : conjunto dos números reis. Z : conjunto dos números inteiros. N {0,,,,...}. N* {,,,...}. : conjunto vzio.

Leia mais

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia)

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia) COLÉGIO NAVAL 016 (1º di) MATEMÁTICA PROVA AMARELA Nº 01 PROVA ROSA Nº 0 ( 5 40) 01) Sej S som dos vlores inteiros que stisfzem inequção 10 1 0. Sendo ssim, pode-se firmr que + ) S é um número divisíel

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES PROFESSOR: MARCOS AGUIAR MAT. BÁSICA I. FUNÇÕES. DEFINIÇÃO Ddos

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-7 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Sore números reis, é correto firmr: () Se é o mior número de três lgrismos divisível

Leia mais

NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática

NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic NOTA DE AULA Tópicos em Mtemátic Fonte: http://eclculo.if.usp.br/ 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 1.1 Números Nturis

Leia mais

PRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo

PRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + y) = + y + y Qudrdo d som de dois termos Dus vezes o produto do º pelo º Eemplo : ) ( + y) = +..(y) + (y) = + 6y + 9y. ) (7 + ) = c) ( 5 +c) = d) m

Leia mais

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C. As grndezs A, B e C são tis que A é diretmente proporcionl B e inversmente proporcionl C. Qundo B = 00 e C = 4 tem-se A = 5. Qul será o vlor de A qundo tivermos B = 0 e C = 5? B AC Temos, pelo enuncido,

Leia mais

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA COMPUTAÇÃO

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA COMPUTAÇÃO Ministério d Educção Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA COMPUTAÇÃO Prof Pul Frncis Benevides AULA

Leia mais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVET VETIBULAR 00 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. Q-7 Um utomóvel, modelo flex, consome litros de gsolin pr percorrer 7km. Qundo se opt pelo uso do álcool, o utomóvel consome 7 litros

Leia mais

Funções e Limites. Informática

Funções e Limites. Informática CURSO DE: SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO I Funções e Limites Informátic Prof: Mrcio Demetrius Mrtinez Nov Andrdin 00 O CONCEITO DE UMA FUNÇÃO - FUNÇÃO. O que é um função Um função

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos

CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos CONJUNTOS NUMÉRICOS Símolos Mtemáticos,,... vriáveis e prâmetros igul A, B,... conjuntos diferente pertence > mior que não pertence < menor que está contido mior ou igul não está contido menor ou igul

Leia mais

Matemática B Superintensivo

Matemática B Superintensivo GRITO Mtemátic Superintensivo Eercícios 0) 4 m M, m 0 m N tg 0 = b = b = b = = cos 0 = 4 = = 4. =.,7 =,4 MN =, +,4 + MN =,9 m tg 60 = = =.. = h = + = 0 m 04) 0) D O vlor de n figur bio é: (Errt) 4 sen

Leia mais

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é

Leia mais

64 5 y e log 2. 32 5 z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) 64 3. , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2

64 5 y e log 2. 32 5 z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) 64 3. , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2 Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Função Logrítmic p. (UFSM-RS) Sejm log, log 6 e log z, então z é igul : ) b) c) e) 6 d) log log 6 6 log z z z z (UFMT) A mgnitude de um terremoto é medid

Leia mais

Semelhança e áreas 1,5

Semelhança e áreas 1,5 A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes.

Leia mais

Números Reais intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional.

Números Reais intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA UNIDADE DE APOIO EDUCACIONAL UAE MAT 099 - Tutori de Mtemátic Tópicos: Números Rcionis operções e proprieddes (frções, regr de sinl, som, produto e divisão de frções, potênci

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática Vestibulr UFRG 0 Resolução d Prov de Mtemátic 6. Alterntiv (C) 00 bilhões 00. ( 000 000 000) 00 000 000 000 0 7. Alterntiv (B) Qundo multiplicmos dois números com o lgrismo ds uniddes igul 4, o lgrismo

Leia mais

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < < MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )

Leia mais

Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M.

Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 Eercícios Introdutórios Eercício 10. Três ilhs

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 CPES FUNÇÕES Prte B Prof. ntônio Murício Medeiros lves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez UNIDDE FUNÇÕES PRTE B. FUNÇÂO

Leia mais

Programação Linear Introdução

Programação Linear Introdução Progrmção Liner Introdução Prof. Msc. Fernndo M. A. Nogueir EPD - Deprtmento de Engenhri de Produção FE - Fculdde de Engenhri UFJF - Universidde Federl de Juiz de For Progrmção Liner - Modelgem Progrmção

Leia mais

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este

Leia mais

Fernanda da Costa Diniz Nogueira Belo Horizonte, junho de 2007.

Fernanda da Costa Diniz Nogueira Belo Horizonte, junho de 2007. Un i ve r si d d e F e de r l d e M in s G e r i s Institu to de C iê nc i s E t s Dep r t me n t o d e M t e m á t ic E n sin o M éd io e Un iver sit ár io: d ifer ent es bor d gen s n con st r ução d

Leia mais

Seu pé direito nas melhores faculdades

Seu pé direito nas melhores faculdades MTMÁTI Seu pé direito ns melhores fculddes 0. João entrou n lnchonete OG e pediu hmbúrgueres, suco de lrnj e cocds, gstndo $,0. N mes o ldo, lgums pessos pedirm 8 hmbúrgueres, sucos de lrnj e cocds, gstndo

Leia mais

de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360 o - Figura 7.1(a).

de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360 o - Figura 7.1(a). Cpítulo 7 Trigonometri 71 Introdução O número π Dd um circunferênci de rio r, diâmetro d = r, o número π é denido como rzão do comprimento C d circunfeênci pelo seu diâmetro d, isto é, π = C d = C r O

Leia mais

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são: MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA [Digite teto] CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA BELO HORIZONTE MG [Digite teto] CONJUNTOS NÚMERICOS. Conjunto dos números nturis Ν é o conjunto de todos os números contáveis. N { 0,,,,,, K}. Conjunto dos números

Leia mais

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2 Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CI-II Resumo ds Auls Teórics (Semn 12) 1 Teorem de Green no Plno O cmpo vectoril F : R 2 \ {(, )} R 2 definido

Leia mais

REVISÃO Lista 12 Geometria Analítica., então r e s são coincidentes., então r e s são perpendiculares.

REVISÃO Lista 12 Geometria Analítica., então r e s são coincidentes., então r e s são perpendiculares. NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): An Luiz Ozores DATA: REVISÃO List Geometri Anlític Algums definições y Equções d ret: by c 0, y mb, y y0 m( 0) e p q Posições de dus rets: Dds s rets r : y mr br e s y ms

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA DEZESSETE: GEOMETRIA BÁSICA

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA DEZESSETE: GEOMETRIA BÁSICA 1 Olá, migos! UL DEZESSETE: GEOMETRI ÁSI Novmente pedimos desculps por não ter sido possível presentrmos est ul 17 n semn pssd. Dremos hoje início um novo ssunto: GEOMETRI! omo de prxe, presentremos muits

Leia mais

Matemática A. Versão 2. Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste. Teste Intermédio de Matemática A.

Matemática A. Versão 2. Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste. Teste Intermédio de Matemática A. Teste Intermédio de Mtemátic Versão Teste Intermédio Mtemátic Versão Durção do Teste: 90 minutos 09.0.0.º no de Escolridde Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de mrço N su folh de resposts, indique de form legível

Leia mais

I REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS

I REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS I REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS. Elementos Básicos de Mtemátic. Regrs de Sinis ADIÇÃO: - qundo os números tem o mesmo sinl, somm-se os módulos e tribui-se o resultdo o sinl comum. E: (+)+(+9)=+4 ou 4 (-)+(-)=

Leia mais

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução: IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Equções Polinomiis p. 86 (PUC-SP) No universo C, equção 0 0 0 dmite: ) três rízes rcionis c) dus rízes irrcionis e) um únic riz positiv b) dus rízes não reis

Leia mais

Funções do 1 o Grau. Exemplos

Funções do 1 o Grau. Exemplos UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Funções do o Gru. Função

Leia mais

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem. EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

Gabarito - Matemática Grupo G

Gabarito - Matemática Grupo G 1 QUESTÃO: (1,0 ponto) Avlidor Revisor Um resturnte cobr, no lmoço, té s 16 h, o preço fixo de R$ 1,00 por pesso. Após s 16h, esse vlor ci pr R$ 1,00. Em determindo di, 0 pessos lmoçrm no resturnte, sendo

Leia mais

xy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0

xy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0 EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 1 Equção d ret Denominmos equção de um ret no R 2 tod equção ns incógnits x e y que é stisfeit pelos pontos P (x, y) que pertencem à ret e só por eles. 1.1 Alinhmento de três pontos

Leia mais

Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles

Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles c L I S T A DE E X E R C Í C I O S CÁLCULO INTEGRAL Prof. ADRIANO PEDREIRA CATTAI Somos o que repetidmente fzemos. A ecelênci portnto, não é um feito, ms um hábito. Aristóteles Integrl Definid e Cálculo

Leia mais

Matemática. Prova: 05/08/12. Questão 1. Questão 2. Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere também os seguintes conjuntos:

Matemática. Prova: 05/08/12. Questão 1. Questão 2. Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere também os seguintes conjuntos: Prov: 05/08/ Mtemátic Questão Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere tmbém os seguintes conjuntos: A= ( ) ( ) B= ( ) D= ( ) ( ) Ds lterntivs bixo, que present elementos que pertencem

Leia mais

Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9

Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9 setor 07 070409 070409-SP Aul 5 FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES) FUNÇÃO COMPOSTA Sej f um função de A em B e sej g um função de B em C. Chm-se função compost de g com f função h definid de A em C, tl que

Leia mais

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (II Determinntes) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Determinntes Índice 2 Determinntes 2

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mis prov n GV FGV Administrção 04/junho/006 MATEMÁTICA 0. Pulo comprou um utomóvel fle que pode ser bstecido com álcool ou com gsolin. O mnul d montdor inform que o consumo médio do veículo

Leia mais

Apostila De Matemática GEOMETRIA: REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL, PRISMAS E PIRÂMIDES

Apostila De Matemática GEOMETRIA: REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL, PRISMAS E PIRÂMIDES posti De Mtemátic GEOMETRI: REVISÃO DO ENSINO FUNDMENTL, PRISMS E PIRÂMIDES posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) GEOMETRI 1. REVISÃO DO ENSINO FUNDMENTL 1. 1. Reções métrics de um triânguo retânguo. Pr

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

DESAFIOS. π e. π <y < π, satisfazendo seny = 8 x

DESAFIOS. π e. π <y < π, satisfazendo seny = 8 x DESAFIOS ENZO MATEMÁTICA 01-(FUVEST) Sejm x e y dois números reis, com 0

Leia mais

Lista 5: Geometria Analítica

Lista 5: Geometria Analítica List 5: Geometri Anlític A. Rmos 8 de junho de 017 Resumo List em constnte tulizção. 1. Equção d elipse;. Equção d hiperból. 3. Estudo unificdo ds cônics não degenerds. Elipse Ddo dois pontos F 1 e F no

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic mrcio@mtemticuv.org 18 de mrço de 014

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

AB AC BC. k PQ PR QR AULA 1 - GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles

AB AC BC. k PQ PR QR AULA 1 - GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles AULA - GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Rets prlels cortds por um trnsversl São queles que possuem dois ldos iguis. Ligndo o vértice A o ponto médio d bse BC, germos dois triângulos

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO Simplificado

RACIOCÍNIO LÓGICO Simplificado Sérgio Crvlho Weer Cmpos RACIOCÍNIO LÓGICO Simplificdo Volume ª edição Revist, tulizd e mplid Mteril Complementr PRINCIPAIS CONCEITOS E FÓRMULAS DO LIVRO RACIOCÍNIO SIMPLIFICADO - Vol. www.editorjuspodivm.com.r

Leia mais

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores . Mtrizes:.. Introdução:

Leia mais

GABARITO. Matemática D 16) D. 12z = 8z + 8y + 8z 4z = 2x + 2y z = 2z+ 2y z = 2x x z = = 1 2 = ) C

GABARITO. Matemática D 16) D. 12z = 8z + 8y + 8z 4z = 2x + 2y z = 2z+ 2y z = 2x x z = = 1 2 = ) C GRITO temátic tensivo V. ercícios 0) ) 40 b) 0) 0) ) elo Teorem de Tles, temos: 8 40 5 b) elo Teorem de Tles, temos: 4 7 prtir do Teorem de Tles, temos: 4 0 48 0 4,8 48, 48 6 : 9 6, + 4,8 + 9,8 prtir do

Leia mais

Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial e assim valores de y < 0 não se relacionam com nenhum x do domínio, portanto Im = R +.

Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial e assim valores de y < 0 não se relacionam com nenhum x do domínio, portanto Im = R +. 6 4. Função Eponencil É todo função que pode ser escrit n form: f: R R + = Em que é um número rel tl que 0

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

PROCESSO SELETIVO/2006 RESOLUÇÃO 1. Braz Moura Freitas, Margareth da Silva Alves, Olímpio Hiroshi Miyagaki, Rosane Soares Moreira Viana.

PROCESSO SELETIVO/2006 RESOLUÇÃO 1. Braz Moura Freitas, Margareth da Silva Alves, Olímpio Hiroshi Miyagaki, Rosane Soares Moreira Viana. PROCESSO SELETIVO/006 RESOLUÇÃO MATEMÁTICA Brz Mour Freits, Mrgreth d Silv Alves, Olímpio Hiroshi Miygki, Rosne Sores Moreir Vin QUESTÕES OBJETIVAS 0 Pr rrecdr doções, um Entidde Beneficente usou um cont

Leia mais

(Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção

(Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção Recredencimento Portri EC 7, de 5.. - D.O.U.... (ov) temátic, Licencitur / Engenhri de Produção ódulo de Pesquis: Prátics de ensino em mtemátic, contetos e metodois Disciplin: Fundmentos de temátic II

Leia mais

FUNÇÕES. Funções. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I

FUNÇÕES. Funções. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I FUNÇÕES DATA //9 //9 4//9 5//9 6//9 9//9 //9 //9 //9 //9 6//9 7//9 8//9 9//9 //9 5//9 6//9 7//9 IBOVESPA (fechmento) 8666 9746 49 48 4755 4 47 4845 45 467 484 9846 9674 97 874 8 88 88 DEFINIÇÃO Um grndez

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba MATEMÁTICA BÁSICA NOTAS DE AULA

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba MATEMÁTICA BÁSICA NOTAS DE AULA Ministério d Educção Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib MATEMÁTICA BÁSICA NOTAS DE AULA SUMÁRIO. FRAÇÕES.... Adição e Subtrção.... Multiplicção.... Divisão.... Número Misto.... Conversão

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos

Leia mais

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aul 7 _ Função Modulr, Eponencil e Logrítmic Professor Lucino Nóbreg FUNÇÃO MODULAR 2 Módulo (ou vlor bsolutode um número) O módulo (ou vlor bsoluto) de um número rel, que

Leia mais

COLÉGIO SANTO IVO Educação Infantil - Ensino Fundamental - Ensino Médio

COLÉGIO SANTO IVO Educação Infantil - Ensino Fundamental - Ensino Médio COLÉGIO SANTO IO Educção Infntil - Ensino Fundmentl - Ensino Médio Roteiro de Estudo pr Avlição do 3ºTrimestre - 015 Disciplin: Mtemátic e Geometri Série: 1ª Série EM Profª Cristin Nvl Orientção de Estudo:

Leia mais

QUESTÃO 01. QUESTÃO 02.

QUESTÃO 01. QUESTÃO 02. PROVA DE MATEMÁTICA DO O ANO _ EM DO COLÉGIO ANCHIETA BA. ANO 6 UNIDADE III PRIMEIRA AVALIAÇÃO. ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. QUESTÃO. Quntos inteiros são soluções

Leia mais

COLÉGIO SANTO IVO Educação Infantil - Ensino Fundamental - Ensino Médio

COLÉGIO SANTO IVO Educação Infantil - Ensino Fundamental - Ensino Médio COLÉGIO SANTO IO Educção Infntil - Ensino Fundmentl - Ensino Médio Roteiro de Estudo pr Avlição do 3ºTrimestre - 016 Disciplin: Mtemátic e Geometri Série: 1ª Série EM Profª Cristin Nvl Orientção de Estudo:

Leia mais

1 Fórmulas de Newton-Cotes

1 Fórmulas de Newton-Cotes As nots de ul que se seguem são um compilção dos textos relciondos n bibliogrfi e não têm intenção de substitui o livro-texto, nem qulquer outr bibliogrfi. Integrção Numéric Exemplos de problems: ) Como

Leia mais

TRIGONOMETRIA. Para graduar uma reta basta escolher dois pontos e associar a eles os números zero e um.

TRIGONOMETRIA. Para graduar uma reta basta escolher dois pontos e associar a eles os números zero e um. TRIGONOMETRIA Pr grdur um ret bst escolher dois ontos e ssocir eles os números zero e um. A B 0 Com isto, ode-se reresentr n ret qulquer número rel. Pr grdur um circunferênci utilizremos o rio igul, onde

Leia mais

Professora: Profª Roberta Nara Sodré de Souza

Professora: Profª Roberta Nara Sodré de Souza MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAS INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA-CAMPUS ITAJAÍ Professor: Profª Robert Nr Sodré de Souz Função

Leia mais

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno ul 3 s fórmuls ditivs e s leis do MÓDULO 2 - UL 3 utor: elso ost seno e do cosseno Objetivos 1) ompreender importânci d lei do seno e do cosseno pr o cálculo d distânci entre dois pontos sem necessidde

Leia mais

Seu pé direito nas melhores faculdades

Seu pé direito nas melhores faculdades Seu pé direito ns melhores fculddes IBMEC 03/junho/007 ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA DISCUSIVA 01. O dministrdor de um boliche pretende umentr os gnhos com sus pists. Atulmente, cobr $ 6,00 por um hor

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Vriáveis Aletóris 1. VARIÁVEL ALEATÓRIA Suponhmos um espço mostrl S e que cd ponto mostrl sej triuído um número. Fic, então, definid um função chmd vriável letóri 1, com vlores x i2. Assim, se o espço

Leia mais

1 Áreas de figuras planas

1 Áreas de figuras planas Nome: n o : Ensino: Médio érie: ª. Turm: Dt: Professor: Mário esumo 1 Áres de figurs plns 1.1 etângulo h. h 1. Qudrdo 1. Prlelogrmo h. h 1.4 Trpézio h B h B 1.5 Losngo d Dd. D 1.6 Triângulos 1.6.1 Triângulo

Leia mais

FUNÇÃO LOGARITMICA. Professora Laura. 1 Definição de Logaritmo

FUNÇÃO LOGARITMICA. Professora Laura. 1 Definição de Logaritmo 57 FUÇÃO LOGARITMICA Professor Lur 1 Definição de Logritmo Chm se logritmo de um número > 0 em relção um bse (0 < 1), o expoente que se deve elevr bse, fim de que potênci obtid sej igul. log, onde: > 0,

Leia mais

Unidade 8 Geometria: circunferência

Unidade 8 Geometria: circunferência Sugestões de tividdes Unidde 8 Geometri: circunferênci 8 MTMÁTI Mtemátic. s dus circunferêncis n figur seguir são tngentes externmente. 3. N figur estão representdos um ângulo inscrito com vértice em P

Leia mais

Índice TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA

Índice TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA Índice Resolução de roblems envolvendo triângulos retângulos Teori. Rzões trigonométrics de um ângulo gudo 8 Teori. A clculdor gráfic e s rzões trigonométrics 0 Teori. Resolução de roblems usndo rzões

Leia mais

1.1) Dividindo segmentos em partes iguais com mediatrizes sucessivas.

1.1) Dividindo segmentos em partes iguais com mediatrizes sucessivas. COLÉGIO PEDRO II U. E. ENGENHO NOVO II Divisão Gráfi de segmentos e Determinção gráfi de epressões lgéris (qurt e tereir proporionl e médi geométri). Prof. Sory Izr Coord. Prof. Jorge Mrelo TURM: luno:

Leia mais

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é Questão 0) Trlhndo-se com log = 0,47 e log = 0,0, pode-se concluir que o vlor que mis se proxim de log 46 é 0),0 0),08 0),9 04),8 0),64 Questão 0) Pr se clculr intensidde luminos L, medid em lumens, um

Leia mais

Matemática D Extensivo V. 6

Matemática D Extensivo V. 6 Mtemátic D Extensivo V. 6 Exercícios 0) ) cm Por definição temos que digonl D vle: D = D = cm. b) 6 cm² A áre d lterl é dd pel som ds áres dos qutro ldos que compõe: =. ² =. ( cm)² = 6 cm² c) 96 cm² O

Leia mais

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

Leia mais

CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CONCURSO DE SELEÇÃO 003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 41100 0$7(0É7,&$ RESOLUÇÃO PELA PROFESSORA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA $ LOXVWUDomR TXH VXEVWLWXL D RULJLQDO GD TXHVWmR H DV GDV UHVROXo}HV

Leia mais

Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está,

Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está, UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Introdução Se integrl

Leia mais

Recordando produtos notáveis

Recordando produtos notáveis Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único

Leia mais

NÚMEROS COMPLEXOS NA GEOMETRIA MARCIO COHEN COLÉGIO PONTO DE ENSINO marciocohen@superig.com.br

NÚMEROS COMPLEXOS NA GEOMETRIA MARCIO COHEN COLÉGIO PONTO DE ENSINO marciocohen@superig.com.br NÚMEROS COMPLEXOS NA GEOMETRIA MARCIO COHEN COLÉGIO PONTO DE ENSINO mrciocohen@superigcomr + = EQUAÇÃO DA RETA: k cte (onde k e cte têm seus significdos geométricos evidencidos n demonstrção ixo) Sej um

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 6 FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA. O gráfico de brrs bixo exibe distribuição d idde de um grupo de pessos. ) Mostre que, nesse grupo,

Leia mais