1 Áreas de figuras planas

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1 Nome: n o : Ensino: Médio érie: ª. Turm: Dt: Professor: Mário esumo 1 Áres de figurs plns 1.1 etângulo h. h 1. Qudrdo 1. Prlelogrmo h. h 1.4 Trpézio h B h B 1.5 Losngo d Dd. D 1.6 Triângulos Triângulo qulquer h h.

2 1.6. Triângulo equilátero Triângulo qulquer.. sen Triângulo qulquer (Fórmul de ierão) p p p p p Triângulo qulquer Gerlmente est relção é mis útil pr determinr o rio d irunferêni insrit no triângulo. r p p. r Triângulo qulquer Gerlmente est relção é mis útil pr determinr o rio d irunferêni irunsrit o triângulo exágono egulr

3 1.8 Figurs irulres Círulo 1.8. Coro irulr r r 1.8. etor irulr 60º egmento irulr setor tringulo Prisms.1 Clssifição.1.1 Prism Olíquo ão os prisms ujs rests lteris são oliqus o plno d se..1. Prism eto ão os prisms ujs rests lteris são perpendiulres o plno d se. DEFINIÇÃO.1. Prism egulr ão os prisms retos em que s ses são polígonos regulres. Prism Olíquo Prism eto Prism egulr

4 . Formulário:..1 Áre d se (A): É áre do polígono d se... Áre lterl (Al): É som ds áres de tods s fes lteris... Áre totl (At): É som ds áres de tods s fes do prism. At Al A..4 Volume (V): É um número que exprime rzão existente entre o espço oupdo por um sólido e o espço oupdo por um uo de rest unitári. V A.. Csos prtiulres: DEFINIÇÃO..1 Prlelepípedo reto retângulo ou prlelepípedo retângulo É todo prlelepípedo reto ujs ses são retngulres. Formulário: Prlelepípedo eto-retângulo D Áre totl (At): At Volume (V): V Digonl (D): D

5 DEFINIÇÃO.. Cuo É todo prlelepípedo reto-retângulo ujs fes são qudrds. Formulário: Cuo D Áre totl (At): At 6 Volume (V): V Digonl (D): D Pirâmides.1 Clssifição.1.1 Pirâmide Olíqu ão s pirâmides uj projeção ortogonl do vértie sore o plno d se não oinide om o entro do polígono d se..1. Pirâmide et ão s pirâmides uj projeção ortogonl do vértie sore o plno d se oinide om o entro do polígono d se. Num pirâmide ret, s fes lteris são triângulos isóseles.

6 DEFINIÇÃO.1. Pirâmide egulr ão s pirâmides rets em que s ses são polígonos regulres. Num pirâmide regulr, s fes lteris são triângulos isóseles e ongruentes entre si. Pirâmide olíqu Pirâmide ret Pirâmide regulr Pirâmide qudrngulr regulr: V D A E C B N pirâmide regulr im, temos: C = é o rio d irunferêni irunsrit à se. VA = VB = VC = VD = L são s rests lteris. V = h é ltur d pirâmide. E = r é o rio d irunferêni insrit ou o pótem d se. VE = g é ltur d fe lterl ou o pótem lterl ou pótem d pirâmide. Dí: i) V E VE h r g ii) V C VC h L. Formulário:..1 Áre d se (A): É áre do polígono d se... Áre lterl (Al): É som ds áres de tods s fes lteris... Áre totl (At): É som ds áres de tods s fes do prism. At Al A

7 ..4 Volume (V): É um número que exprime rzão existente entre o espço oupdo por um sólido e o espço oupdo por um uo de rest unitári. V 1 A DEFINIÇÃO. Tetredro regulr ão pirâmides tringulres onde tods s fes são triângulos equiláteros...1 Formulário: Áre totl (At): At Altur (): 6 Volume (V): V 1 Cilindros.1 eção meridin do ilindro: É interseção do ilindro om um plno que ontém o eixo do mesmo..1.1 Áre d seção meridin AM

8 . Clssifição:..1 Cilindro Olíquo ão os ilindros ujo eixo são olíquos s plno d se... Cilindro eto ou de evolução ão os ilindros ujo eixo é perpendiulr o plno d se. No ilindro irulr reto, gertriz tem mesm medid que ltur. DEFINIÇÃO.. Cilindro Equilátero ão os ilindros retos uj seção meridin é um qudrdo. Assim,. Cilindro Olíquo Cilindro eto ou de evolução Cilindro Eqüilátero. Formulário:..1 Áre d se (A): É áre do írulo d se. A Eixo Gertriz.. Áre lterl (Al): É áre d superfíie lterl. Al Altur Bse.. Áre totl (At): At Al A..4 Volume (V): V A. uperfíie lterl

9 4 Cones 4.1 eção meridin do ilindro: É interseção do one om um plno que ontém o eixo do mesmo Áre d seção meridin AM 4. Clssifição: 4..1 Cone Olíquo ão os ones ujo eixo é olíquo o plno d se. 4.. Cone eto ão os ones ujo eixo é perpendiulr o plno d se. DEFINIÇÃO 4.. Cone Equilátero ão os ones retos uj seção meridin é um triângulo equilátero. Assim, g. Cone Olíquo Cone eto ou de evolução Cone Eqüilátero 4. Formulário: 4..1 Áre d se (A): É áre do írulo d se. A V Eixo Gertriz V 4.. Áre lterl (Al): É áre d superfíie lterl. Al g Bse Altur io uperfíie Lterl 4.. Áre totl (At): At Al A 4..4 Volume (V): V 1 A.

10 5 Esfers 5.1 eção: É interseção de um plno om um esfer, um distâni d do entro O, resultndo em um írulo de rio r. e o plno pssr pelo entro d esfer, seção será um írulo máximo ujo rio tem mesm medid que o rio d esfer. r d O Assim, no triângulo destdo n figur im temos: r d 5. Formulário: 5..1 Áre superfiil (A): A Volume (V): 4 V 5. Prtes d esfer: 5..1 Fuso Esfério e Cunh esféri: Fuso esfério é prte de superfíie esféri ompreendid entre dois semiírulos máximos. Cunh esféri é prte d esfer ompreendid entre dois semiírulos máximos. O A B

11 O ro AB é denomindo ro equtoril e o ângulo entrl om vértie em O é o ângulo equtoril. O ro equtoril e o ângulo equtoril têm s mesms medids. Áre do fuso esfério (A F) 60 4 A ; om em grus F Volume d unh esféri (V C) 4 60 ; om em grus V C 6 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GAU ) Definição f : I I, tl que f x x om 0. ) ízes (Zeros d função) f x 0 x 0 x ) Gráfio riz d função 6 FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GAU (Função Qudráti) ) Definição f : I I, tl que f x x x, om 0. ) iz d função f x 0 x x rízes reis e distints 0 rízes reis e iguis 0 não dmite rízes reis

12 ) Gráfio d) Vértie d práol V ; 4 e) inis ds rízes endo x 1 e x s rízes reis d função qudráti e i) ízes estritmente positivs 0 P 0 0. x1 x P x1. x, temos: ii) ízes estritmente negtivs 0 P 0 0. iii) ízes de sinis ontrários P 0. OB: e P 0 0

13 7 FUNÇÃO EXPONENCIAL ) Definição f : I I, tl que x f x om 1 0. ) Gráfio ) Como função f é injetiv (injetor): x1 x x x 1 d) e >1, então: x1 x x x, pois f é estritmente resente. 1 e) e 0 < <1, então: x1 x x x, pois f é estritmente deresente. 1 se 1 "onserv" o sinl 0 se 1 "inverte" o sinl 8 LOGAITMO ) Definição log N x x N ) Condição de existêni N ) Consequênis d definição i) log 1 0 ii ) log 1 iii log N ) N d) Proprieddes P1) log. log log P) log log log n P) log n.log 1 P 4)log n log n * Cuiddo! > 0. *

14 e) Mudnç de se log log x N N log f) Logritmo deiml log N x log10, om 1 x 0 N g) Logritmo Nturl ou Neperino lnn N, n qul e,71 é o número irrionl. log e 8.1 FUNÇÃO LOGAÍTMICA ) Definição f : I * I, tl que f x log x om 1 0. ) A função logrítmi é invers d função exponenil, pois x y x log y. ) Gráfio d) Como função f é injetiv (injetor): log x log x x x e) e >1, então: log x log x 0 x x, pois f é estritmente resente. 1 1 f) e 0 < <1, então: log x log x x x 0, pois f é estritmente deresente. 1 1 se 1 "onserv" o sinl 0 se 1 "inverte" o sinl