Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M.

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1 Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 série E.M.

2 Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 Eercícios Introdutórios Eercício 10. Três ilhs A, B e C precem num mp, em escl 1 : 10000, como n figur 1. Ds lterntivs, que melhor proim distânci em km entre s ilhs A e B é: Eercício 1. Clcule o que se pede em cd um dos itens io. ) Qul o cosseno do mior ângulo do triângulo de ldos medindo 5, 6 e 7? ) Qul o cosseno do menor ângulo do triângulo de ldos medindo 7, 8 e 10? c) Num triângulo com ldos medindo 5 e 6 e ângulo entre eles de 60, qul o ldo oposto o ângulo informdo? d) Qul o cosseno de mior ângulo do triângulo de ldos medindo, e 5? Eercício. Dois ldos de um triângulo medem 6 m e 10 m e formm entre si um ângulo de 10. Determinr medid do terceiro ldo. Eercício. Os ldos de um triângulo otusângulo medem, 4 e. Podemos firmr que ) 5 < < 7. ) 7 < < 5. c) 1 < < 7 ou 5 < < 7. d) 5 ou 7. Eercício 4. Sendo o ldo oposto o ângulo α, oposto β e c oposto γ, em um triângulo, clcule: ) o seno de β pr 4 cm, α 0 e 8 cm; ) o vlor de γ pr cm, β 45 e ; e c) o cosseno de α pr, sen γ e c 10. Eercício 5. Ddo um triângulo ABC com BC 5 cm, BÂC 45 e A ˆBC 0. Qul medid de AC? Eercício 6. Clculr o rio d circunferênci circunscrit um triângulo do qul se conhecem um ldo AB 10 m e o ângulo oposto C 60. Eercício 7. Um nvio, deslocndo-se em linh ret, vis um frol e otém leitur de 0 pr o ângulo formdo entre su trjetóri e linh de visd do frol. Após nvegr 0 milhs, trvés de um nov visd o frol, otém leitur de 75. Determine distânci entre o frol e o nvio no instnte em que fez leitur. (Use 1, 4 ). Eercício 8. Ddo um triângulo de ldos 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o vlor do cosseno e do seno do menor ângulo interno desse triângulo. Eercício 9. No triângulo ABC, os ldos AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivmente, e o ângulo A vle 0. Qunto vle o seno do ângulo B? Figur 1 ),. ), 1. c) 1, 9. d) 1, 4. e) 1, 7. Eercícios de Fição Eercício 11. Os ldos de um triângulo são, 4 e 6. O cosseno do mior ângulo interno desse triângulo vle: ) 11 4 ) 11 4 c) 8 d) 8 e) 10 Eercício 1. Clcule o que se pede em cd um dos itens io. ) Qul o cosseno do mior ângulo do triângulo de ldos medindo 4, 5 e 6? ) Qul o cosseno do menor ângulo do triângulo de ldos medindo 7, 8 e 10? c) Qul o cosseno de mior ângulo do triângulo de ldos medindo 5, 10 e 15? Eercício 1. Em um triângulo, s medids de seus ldos, em metros, são três números inteiros consecutivos e medid do mior ângulo é o doro d medid do menor. Determine medid do menor ldo deste triângulo. Eercício 14. A, B e C são pontos de um circunferênci de rio cm, AB BC e o ângulo A ˆBC mede 0. Clcule, em cm, o comprimento do segmento AC. Eercício 15. Um ABC tem ldos AB, AC e BC que medem, respectivmente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine medid d medin reltiv o ldo AC. Eercício 16. Em um prlelogrmo ABCD, os ldos AB e AD medem, respectivmente, cm e cm, e θ é o ângulo otuso formdo entre eles. Se digonl mior mede cm, então qul o vlor do seno do ângulo θ? 1 mtemtic@omep.org.r

3 Eercícios de Aprofundmento e de Emes Eercício. N figur 5, tem-se Eercício 17. Considere o triângulo retângulo d figur. Figur Sendo-se que α 10, AB AC 1 cm. Determine medid de AD. Eercício 18. N figur, AD cm, AB cm, medid do ângulo BÂC é 0 e BD DC, onde D é ponto do ldo AC. A medid do ldo BC, em cm, é Figur 5 BÂC 45, B ˆDC 60, AD 5 u.c. e DC 10 u.c.. Com se nesses ddos, clcule BC. Eercício. Um oservdor, situdo no ponto A, distnte 0 m do ponto B, vê um edifício so um ângulo de 0, conforme figur io. Bsedo nos ddos d figur 6, determine ltur do edifício em metros e divid o resultdo por. Ddos: AB 0 m; AĈD 0 ; CÂB 75 ; A ˆBC 60 ; DĈA 90. Figur Eercício 19. Um circunferênci de rio 14 cm circunscreve um triângulo ABC. Clcule medid do ldo AB, sendo-se que o triângulo ABC não é retângulo e que o ângulo AĈB mede 0. Eercício 0. N figur 4, tem-se o triângulo ABC inscrito em um circunferênci de centro D. Eercício 4. A proporção Figur 6 e f g h Figur 4 Se AB 6 cm e AC 9 cm, o perímetro do triângulo ABC, em centímetros, é proimdmente igul ) 18, 4 ) 19, 8 c) 0, 6 d) 1, 4 e), 9 Eercício 1. Num triângulo ABC, retângulo em Â, temos ˆB 60. As issetrizes destes ângulos se encontrm num ponto D. Se o segmento de ret BD mede 1 cm, determine medid d hipotenus. implic que e f g h e + g f + h. Interprete o resultdo cim e o plique juntmente com lei dos senos pr resolver os itens io. ) No triângulo ABC, p é o semiperímetro e R o rio do círculo circunscrito. Prove que sen α + + sen γ p R. ) Os senos dos ângulos de um triângulo são números rcionis. Mostre que os seus cossenos são tmém rcionis. mtemtic@omep.org.r

4 Eercício 5. As págins de um livro medem 1 dm de se e 1 + dm de ltur. Se este livro for prcilmente erto, de tl form que o ângulo entre dus págins sej 60, medid do ângulo α, formdo pels digonis ds págins, será:. Figur 7 Eercício 6. Clcule áre do triângulo ABC tl que AB 1 cm, BC 0, 5 cm e o ângulo A ˆBC tem o doro d medid do ângulo BÂC. mtemtic@omep.org.r

5 1. Resposts e Soluções. ) O mior ângulo do triângulo é o oposto o mior ldo. Chme de α o ângulo oposto o ldo de medid 7. Aplicndo Lei dos Cossenos temos: e chegremos cos α cos α ) O menor ângulo do triângulo é o oposto o menor ldo. Chme de α o ângulo oposto o ldo de medid 7. Aplicndo Lei dos Cossenos temos: cos α e chegremos cos α. c) Aplicndo Lei dos Cossenos temos: e chegremos cos 60 d) Oserve que esses ldos não formm um triângulo, pois, pel desiguldde tringulr deverímos ter < + c e n questão Sej o ldo oposto 10, então podemos escrever que cos 10 ( ) m.. (Adptdo do vestiulr d UNIMONTES MG) Pr o triângulo eistir deveremos ter, pel desiguldde tringulr, 4 < < 4 +, ou sej, 1 < < 7. Perce que se 5 teremos o triângulo retângulo pitgórico 1. Se for o mior ldo, o triângulo será otusângulo se > + 4 > 5 > 5. Então, 5 < < 7. Ms, se não for o mior ldo, teremos 4 > + < 7 < 7 Portnto, otemos 1 < < 7. Respost n letr C. 1 Ctetos medido e 4 e hipotenus medindo 5, esse é o triângulo retângulo com menores medids inteirs pr os ldos. 4. ) Pel lei dos senos, temos que: sen α 4 8 sen 0 1. ) Pel lei dos senos, temos que: sen α sen 45 sen α 1 α 0. Portnto, como α + β + γ 180, então γ 105. c) Pel lei dos senos, temos que: sen α 10 sen γ sen α 10 sen α Pel fórmul fundmentl, ficmos com sen α + cos α 1 ( ) 1 + cos α 1 10 cos α cos α Pel lei dos senos, temos que 5 sen 45 AC sen 0 5 AC 1 AC 5 cm. 6. D lei dos senos, temos que sen α c sen γ R, sendo R o rio d circunferênci circunscrit o ABC Dí, R e R. sen mtemtic@omep.org.r

6 7. Sej A o ponto em que o nvio se encontr no primeiro momento, B o do segundo, C um ponto qulquer d trjetóri do nvio e F o do frol. D interpretção do enuncido, concluímos que F ÂB 0, AB 0 milhs, F ˆBC 75 e BF d milhs. Podemos concluir que B ˆF A 45 e, pel lei de senos, ficremos com: d sen 0 d 1/ 0 sen 45 0 / d 0 d 0 1, 4 d 14, milhs. 8. Sej α o menor ângulo interno. Ele será o oposto o ldo de medid 5 e, plicndo lei dos cossenos, teremos cos α cos α cos α Aplicndo fórmul fundmentl, oteremos sen α + cos α 1 ( ) 11 sen α D lei dos senos, temos que sen α sen ˆB 6 sen 0 sen ˆB 10. (Etrído do vestiulr do MACK SP) Oserve que BĈA 45 e, plicndo lei dos senos, teremos AB 1 sen 45 sen 0 AB 1. Após o uso d escl, AB cm ou AB 1, 7 km, que está n letr E. 11. O mior ângulo do triângulo é o oposto o mior ldo, chme-o de θ, e o seu ldo correspondente será o de medid 6. Aplicndo Lei dos Cossenos, temos cos θ. Consequentemente cos θ 11 4 e respost é letr B. 1. ) O mior ângulo do triângulo é o oposto o mior ldo, chme-o de β, e o seu ldo correspondente será o de medid 6. Aplicndo Lei dos Cossenos, temos Assim, cos β cos β. ) O menor ângulo do triângulo é o oposto o menor ldo. Chmndo-o de γ, o seu ldo correspondente será o de medid 7. Aplicndo Lei dos Cossenos, temos cos γ. Assim, chegremos cos γ. c) Oserve que esses ldos não formm um triângulo, pois, pel desiguldde tringulr deverímos ter < + c e n questão (Etrído do vestiulr d UECE) Sejm os ldos do triângulo iguis 1, e + 1 e os respectivos ângulos iguis α, β e α. Interpretndo o enuncido e plicndo lei dos senos, temos que 1 sen α + 1 sen(α) cos α + 1. Agor, plicndo lei dos cossenos, oteremos: ( 1) + ( + 1) ( + 1) cos α ( 1) + ( + 1) + 1 ( + 1) ( + 1) ( + 1) 1 ( + 4) ( + 1) 1 ( + 4)( 1) Assim, o menor ldo mede 1 4 m. 14. (Adptdo do vestiulr d FUVEST SP) D lei dos senos, temos que e dí AC cm. AC sen mtemtic@omep.org.r

7 15. Oserve que, pel lei dos cossenos, otemos BC AB + AC AB AC cos BÂC cos BÂC 11 cos BÂC 5. Agor, Sendo BM medin reltiv AC, teremos AM 5, BÂC BÂM e, pel lei dos cossenos, teremos BM AB + AM AB AMC cos BÂM BM BM 8 7 cm. 16. Denotemos AD BC por e AB CD por y. Pel lei dos cossenos, temos e AC + y y cos(180 θ) AC + y y( cos(θ)) AC + y + y cos(θ) BD + y y cos(θ), ou sej, AC > BD. Seguindo com os vlores do enuncido, oteremos () + ( ) + cos(θ) cos θ cos θ 1 cos θ cos θ 1 Assim, sen θ ( ) Ficmos com o vlor positivo do seno, pois θ < (Etrído do vestiulr d UFU MG) Oserve que A ˆDC 60 e, como AB AC, temos AĈD 45. Pel lei dos senos, temos AC sen 60 AD AD sen 45 6 cm. 18. (Etrído do vestiulr d FUVEST SP) Pel lei dos cossenos, temos BD + cos 0 BD 1 cm. Além disso, como BD DC, temos AC AD + DC cm e, pel lei dos cossenos, chegmos BC + cos 0 BD cm. 19. (Etrído do vestiulr d UNB) D lei dos senos, temos que AB 14, dí AB 14 cm. sen 0 0. (Etrído do vestiulr d UNIFOR CE) Como BÂC é um ângulo inscrito n circunferênci de centro O, B ˆDC BÂC 60. Pel lei dos cossenos, temos BC cos 60 BC 6 BC 7, 9 Portnto, AB + BC + CA, (Etrído do vestiulr do ITA) Oserve que se hipotenus BC mede, então AB. Agor, no ADB, como D é incentro, teremos DÂB 45, A ˆBD 0 e A ˆDB 105. Como sen , pel lei dos senos, otemos 4 AB sen 105 BD sen 45 sen 105 sen cm.. (Etrído do vestiulr do UFBA) Oserve que A ˆBD 15 e, pel lei dos senos, chegmos BD sen 45 5 AD sen ( + 1) u.c.. Agor, pel lei dos cossenos, otemos BC 10 + (5( + 1)) 10 5( + 1) cos 60 BC u.c mtemtic@omep.org.r

8 . (Etrído do vestiulr do UNB) Oserve que se CD, então AC. Agor, no ABC teremos AĈB 45, pel lei dos senos, otemos AB AC sen 45 sen 60 0 metros. Dividindo o resultdo por, otemos 4. ) (Etrído do mteril do PROFMAT) Usndo lei dos senos, temos que sen α o que implic c sen γ c R sen α + + sen γ sen α + + sen γ c R + + c sen α + + sen γ R sen α + + sen γ p R R ) (Etrído d Olimpíd de Mtemátic d Rússi) Como os senos são rcionis, su divisão é rcionl. Agor, usndo lei dos senos temos que: sen α Isso implic que sen α sen α c sen γ Ou sej, Q, nlogmente c Q. Agor pel lei dos cossenos, oteremos + c c cos α 1 + c c cos α ( ) ( c 1 ) cos α c. Portnto, como o numerdor e denomindor são rcionis, cos α Q. Anlogmente, cos β Q e cos γ Q. 5. (Etrído do vestiulr d FUVEST SP) Pelo Teorem de Pitágors, podemos clculr o vlor de cd digonl fzendo ( 1 + ) Agor, n se tmém há um triângulo equilátero formdo pels ses do livro e seus etremos. Oserve que podemos formr um triângulo entre s digonis ds págins e seus etremos e, pel lei dos cossenos, ( 1 + ( ) + ) cos α cos α ( ) + 1 ( ) Portnto, α (Etrído d Olimpíd Prin de Mtemátic) Sejm BÂC θ, A ˆBC θ e AC. Pel lei dos senos, temos que 0, 5 sen θ sen θ 0, 5 sen θ cos θ sen θ cos θ. Agor, pel lei dos cossenos, teremos 0, cos θ. Como AC + BC AB, pel recíproc do Teorem de Pitágors, ABC é retângulo em C, e su áre será S 1 8 cm. Elordo por Cleer Assis e Tigo Mirnd Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contto@cursorquimedes.com 7 mtemtic@omep.org.r