Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M."

Transcrição

1 Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 série E.M.

2 Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 Eercícios Introdutórios Eercício 10. Três ilhs A, B e C precem num mp, em escl 1 : 10000, como n figur 1. Ds lterntivs, que melhor proim distânci em km entre s ilhs A e B é: Eercício 1. Clcule o que se pede em cd um dos itens io. ) Qul o cosseno do mior ângulo do triângulo de ldos medindo 5, 6 e 7? ) Qul o cosseno do menor ângulo do triângulo de ldos medindo 7, 8 e 10? c) Num triângulo com ldos medindo 5 e 6 e ângulo entre eles de 60, qul o ldo oposto o ângulo informdo? d) Qul o cosseno de mior ângulo do triângulo de ldos medindo, e 5? Eercício. Dois ldos de um triângulo medem 6 m e 10 m e formm entre si um ângulo de 10. Determinr medid do terceiro ldo. Eercício. Os ldos de um triângulo otusângulo medem, 4 e. Podemos firmr que ) 5 < < 7. ) 7 < < 5. c) 1 < < 7 ou 5 < < 7. d) 5 ou 7. Eercício 4. Sendo o ldo oposto o ângulo α, oposto β e c oposto γ, em um triângulo, clcule: ) o seno de β pr 4 cm, α 0 e 8 cm; ) o vlor de γ pr cm, β 45 e ; e c) o cosseno de α pr, sen γ e c 10. Eercício 5. Ddo um triângulo ABC com BC 5 cm, BÂC 45 e A ˆBC 0. Qul medid de AC? Eercício 6. Clculr o rio d circunferênci circunscrit um triângulo do qul se conhecem um ldo AB 10 m e o ângulo oposto C 60. Eercício 7. Um nvio, deslocndo-se em linh ret, vis um frol e otém leitur de 0 pr o ângulo formdo entre su trjetóri e linh de visd do frol. Após nvegr 0 milhs, trvés de um nov visd o frol, otém leitur de 75. Determine distânci entre o frol e o nvio no instnte em que fez leitur. (Use 1, 4 ). Eercício 8. Ddo um triângulo de ldos 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o vlor do cosseno e do seno do menor ângulo interno desse triângulo. Eercício 9. No triângulo ABC, os ldos AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivmente, e o ângulo A vle 0. Qunto vle o seno do ângulo B? Figur 1 ),. ), 1. c) 1, 9. d) 1, 4. e) 1, 7. Eercícios de Fição Eercício 11. Os ldos de um triângulo são, 4 e 6. O cosseno do mior ângulo interno desse triângulo vle: ) 11 4 ) 11 4 c) 8 d) 8 e) 10 Eercício 1. Clcule o que se pede em cd um dos itens io. ) Qul o cosseno do mior ângulo do triângulo de ldos medindo 4, 5 e 6? ) Qul o cosseno do menor ângulo do triângulo de ldos medindo 7, 8 e 10? c) Qul o cosseno de mior ângulo do triângulo de ldos medindo 5, 10 e 15? Eercício 1. Em um triângulo, s medids de seus ldos, em metros, são três números inteiros consecutivos e medid do mior ângulo é o doro d medid do menor. Determine medid do menor ldo deste triângulo. Eercício 14. A, B e C são pontos de um circunferênci de rio cm, AB BC e o ângulo A ˆBC mede 0. Clcule, em cm, o comprimento do segmento AC. Eercício 15. Um ABC tem ldos AB, AC e BC que medem, respectivmente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine medid d medin reltiv o ldo AC. Eercício 16. Em um prlelogrmo ABCD, os ldos AB e AD medem, respectivmente, cm e cm, e θ é o ângulo otuso formdo entre eles. Se digonl mior mede cm, então qul o vlor do seno do ângulo θ? 1

3 Eercícios de Aprofundmento e de Emes Eercício. N figur 5, tem-se Eercício 17. Considere o triângulo retângulo d figur. Figur Sendo-se que α 10, AB AC 1 cm. Determine medid de AD. Eercício 18. N figur, AD cm, AB cm, medid do ângulo BÂC é 0 e BD DC, onde D é ponto do ldo AC. A medid do ldo BC, em cm, é Figur 5 BÂC 45, B ˆDC 60, AD 5 u.c. e DC 10 u.c.. Com se nesses ddos, clcule BC. Eercício. Um oservdor, situdo no ponto A, distnte 0 m do ponto B, vê um edifício so um ângulo de 0, conforme figur io. Bsedo nos ddos d figur 6, determine ltur do edifício em metros e divid o resultdo por. Ddos: AB 0 m; AĈD 0 ; CÂB 75 ; A ˆBC 60 ; DĈA 90. Figur Eercício 19. Um circunferênci de rio 14 cm circunscreve um triângulo ABC. Clcule medid do ldo AB, sendo-se que o triângulo ABC não é retângulo e que o ângulo AĈB mede 0. Eercício 0. N figur 4, tem-se o triângulo ABC inscrito em um circunferênci de centro D. Eercício 4. A proporção Figur 6 e f g h Figur 4 Se AB 6 cm e AC 9 cm, o perímetro do triângulo ABC, em centímetros, é proimdmente igul ) 18, 4 ) 19, 8 c) 0, 6 d) 1, 4 e), 9 Eercício 1. Num triângulo ABC, retângulo em Â, temos ˆB 60. As issetrizes destes ângulos se encontrm num ponto D. Se o segmento de ret BD mede 1 cm, determine medid d hipotenus. implic que e f g h e + g f + h. Interprete o resultdo cim e o plique juntmente com lei dos senos pr resolver os itens io. ) No triângulo ABC, p é o semiperímetro e R o rio do círculo circunscrito. Prove que sen α + + sen γ p R. ) Os senos dos ângulos de um triângulo são números rcionis. Mostre que os seus cossenos são tmém rcionis.

4 Eercício 5. As págins de um livro medem 1 dm de se e 1 + dm de ltur. Se este livro for prcilmente erto, de tl form que o ângulo entre dus págins sej 60, medid do ângulo α, formdo pels digonis ds págins, será:. Figur 7 Eercício 6. Clcule áre do triângulo ABC tl que AB 1 cm, BC 0, 5 cm e o ângulo A ˆBC tem o doro d medid do ângulo BÂC.

5 1. Resposts e Soluções. ) O mior ângulo do triângulo é o oposto o mior ldo. Chme de α o ângulo oposto o ldo de medid 7. Aplicndo Lei dos Cossenos temos: e chegremos cos α cos α ) O menor ângulo do triângulo é o oposto o menor ldo. Chme de α o ângulo oposto o ldo de medid 7. Aplicndo Lei dos Cossenos temos: cos α e chegremos cos α. c) Aplicndo Lei dos Cossenos temos: e chegremos cos 60 d) Oserve que esses ldos não formm um triângulo, pois, pel desiguldde tringulr deverímos ter < + c e n questão Sej o ldo oposto 10, então podemos escrever que cos 10 ( ) m.. (Adptdo do vestiulr d UNIMONTES MG) Pr o triângulo eistir deveremos ter, pel desiguldde tringulr, 4 < < 4 +, ou sej, 1 < < 7. Perce que se 5 teremos o triângulo retângulo pitgórico 1. Se for o mior ldo, o triângulo será otusângulo se > + 4 > 5 > 5. Então, 5 < < 7. Ms, se não for o mior ldo, teremos 4 > + < 7 < 7 Portnto, otemos 1 < < 7. Respost n letr C. 1 Ctetos medido e 4 e hipotenus medindo 5, esse é o triângulo retângulo com menores medids inteirs pr os ldos. 4. ) Pel lei dos senos, temos que: sen α 4 8 sen 0 1. ) Pel lei dos senos, temos que: sen α sen 45 sen α 1 α 0. Portnto, como α + β + γ 180, então γ 105. c) Pel lei dos senos, temos que: sen α 10 sen γ sen α 10 sen α Pel fórmul fundmentl, ficmos com sen α + cos α 1 ( ) 1 + cos α 1 10 cos α cos α Pel lei dos senos, temos que 5 sen 45 AC sen 0 5 AC 1 AC 5 cm. 6. D lei dos senos, temos que sen α c sen γ R, sendo R o rio d circunferênci circunscrit o ABC Dí, R e R. sen

6 7. Sej A o ponto em que o nvio se encontr no primeiro momento, B o do segundo, C um ponto qulquer d trjetóri do nvio e F o do frol. D interpretção do enuncido, concluímos que F ÂB 0, AB 0 milhs, F ˆBC 75 e BF d milhs. Podemos concluir que B ˆF A 45 e, pel lei de senos, ficremos com: d sen 0 d 1/ 0 sen 45 0 / d 0 d 0 1, 4 d 14, milhs. 8. Sej α o menor ângulo interno. Ele será o oposto o ldo de medid 5 e, plicndo lei dos cossenos, teremos cos α cos α cos α Aplicndo fórmul fundmentl, oteremos sen α + cos α 1 ( ) 11 sen α D lei dos senos, temos que sen α sen ˆB 6 sen 0 sen ˆB 10. (Etrído do vestiulr do MACK SP) Oserve que BĈA 45 e, plicndo lei dos senos, teremos AB 1 sen 45 sen 0 AB 1. Após o uso d escl, AB cm ou AB 1, 7 km, que está n letr E. 11. O mior ângulo do triângulo é o oposto o mior ldo, chme-o de θ, e o seu ldo correspondente será o de medid 6. Aplicndo Lei dos Cossenos, temos cos θ. Consequentemente cos θ 11 4 e respost é letr B. 1. ) O mior ângulo do triângulo é o oposto o mior ldo, chme-o de β, e o seu ldo correspondente será o de medid 6. Aplicndo Lei dos Cossenos, temos Assim, cos β cos β. ) O menor ângulo do triângulo é o oposto o menor ldo. Chmndo-o de γ, o seu ldo correspondente será o de medid 7. Aplicndo Lei dos Cossenos, temos cos γ. Assim, chegremos cos γ. c) Oserve que esses ldos não formm um triângulo, pois, pel desiguldde tringulr deverímos ter < + c e n questão (Etrído do vestiulr d UECE) Sejm os ldos do triângulo iguis 1, e + 1 e os respectivos ângulos iguis α, β e α. Interpretndo o enuncido e plicndo lei dos senos, temos que 1 sen α + 1 sen(α) cos α + 1. Agor, plicndo lei dos cossenos, oteremos: ( 1) + ( + 1) ( + 1) cos α ( 1) + ( + 1) + 1 ( + 1) ( + 1) ( + 1) 1 ( + 4) ( + 1) 1 ( + 4)( 1) Assim, o menor ldo mede 1 4 m. 14. (Adptdo do vestiulr d FUVEST SP) D lei dos senos, temos que e dí AC cm. AC sen

7 15. Oserve que, pel lei dos cossenos, otemos BC AB + AC AB AC cos BÂC cos BÂC 11 cos BÂC 5. Agor, Sendo BM medin reltiv AC, teremos AM 5, BÂC BÂM e, pel lei dos cossenos, teremos BM AB + AM AB AMC cos BÂM BM BM 8 7 cm. 16. Denotemos AD BC por e AB CD por y. Pel lei dos cossenos, temos e AC + y y cos(180 θ) AC + y y( cos(θ)) AC + y + y cos(θ) BD + y y cos(θ), ou sej, AC > BD. Seguindo com os vlores do enuncido, oteremos () + ( ) + cos(θ) cos θ cos θ 1 cos θ cos θ 1 Assim, sen θ ( ) Ficmos com o vlor positivo do seno, pois θ < (Etrído do vestiulr d UFU MG) Oserve que A ˆDC 60 e, como AB AC, temos AĈD 45. Pel lei dos senos, temos AC sen 60 AD AD sen 45 6 cm. 18. (Etrído do vestiulr d FUVEST SP) Pel lei dos cossenos, temos BD + cos 0 BD 1 cm. Além disso, como BD DC, temos AC AD + DC cm e, pel lei dos cossenos, chegmos BC + cos 0 BD cm. 19. (Etrído do vestiulr d UNB) D lei dos senos, temos que AB 14, dí AB 14 cm. sen 0 0. (Etrído do vestiulr d UNIFOR CE) Como BÂC é um ângulo inscrito n circunferênci de centro O, B ˆDC BÂC 60. Pel lei dos cossenos, temos BC cos 60 BC 6 BC 7, 9 Portnto, AB + BC + CA, (Etrído do vestiulr do ITA) Oserve que se hipotenus BC mede, então AB. Agor, no ADB, como D é incentro, teremos DÂB 45, A ˆBD 0 e A ˆDB 105. Como sen , pel lei dos senos, otemos 4 AB sen 105 BD sen 45 sen 105 sen cm.. (Etrído do vestiulr do UFBA) Oserve que A ˆBD 15 e, pel lei dos senos, chegmos BD sen 45 5 AD sen ( + 1) u.c.. Agor, pel lei dos cossenos, otemos BC 10 + (5( + 1)) 10 5( + 1) cos 60 BC u.c

8 . (Etrído do vestiulr do UNB) Oserve que se CD, então AC. Agor, no ABC teremos AĈB 45, pel lei dos senos, otemos AB AC sen 45 sen 60 0 metros. Dividindo o resultdo por, otemos 4. ) (Etrído do mteril do PROFMAT) Usndo lei dos senos, temos que sen α o que implic c sen γ c R sen α + + sen γ sen α + + sen γ c R + + c sen α + + sen γ R sen α + + sen γ p R R ) (Etrído d Olimpíd de Mtemátic d Rússi) Como os senos são rcionis, su divisão é rcionl. Agor, usndo lei dos senos temos que: sen α Isso implic que sen α sen α c sen γ Ou sej, Q, nlogmente c Q. Agor pel lei dos cossenos, oteremos + c c cos α 1 + c c cos α ( ) ( c 1 ) cos α c. Portnto, como o numerdor e denomindor são rcionis, cos α Q. Anlogmente, cos β Q e cos γ Q. 5. (Etrído do vestiulr d FUVEST SP) Pelo Teorem de Pitágors, podemos clculr o vlor de cd digonl fzendo ( 1 + ) Agor, n se tmém há um triângulo equilátero formdo pels ses do livro e seus etremos. Oserve que podemos formr um triângulo entre s digonis ds págins e seus etremos e, pel lei dos cossenos, ( 1 + ( ) + ) cos α cos α ( ) + 1 ( ) Portnto, α (Etrído d Olimpíd Prin de Mtemátic) Sejm BÂC θ, A ˆBC θ e AC. Pel lei dos senos, temos que 0, 5 sen θ sen θ 0, 5 sen θ cos θ sen θ cos θ. Agor, pel lei dos cossenos, teremos 0, cos θ. Como AC + BC AB, pel recíproc do Teorem de Pitágors, ABC é retângulo em C, e su áre será S 1 8 cm. Elordo por Cleer Assis e Tigo Mirnd Produzido por Arquimedes Curso de Ensino 7

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F.

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F. Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F. Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Polígonos Regulares. Leis dos

Leia mais

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C. As grndezs A, B e C são tis que A é diretmente proporcionl B e inversmente proporcionl C. Qundo B = 00 e C = 4 tem-se A = 5. Qul será o vlor de A qundo tivermos B = 0 e C = 5? B AC Temos, pelo enuncido,

Leia mais

Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos

Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos 1 1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e

Leia mais

Aula 10 Triângulo Retângulo

Aula 10 Triângulo Retângulo Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,

Leia mais

Relações Métricas e Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo - bombeiros

Relações Métricas e Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo - bombeiros Relções Métrics e Rzões Trigonométrics no Triângulo Retângulo - bombeiros Os ctetos de um triângulo retângulo medem cm e 8cm Nesss condições determine: ) medid "" d ipotenus b) medid "" d ltur reltiv à

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVET VETIBULAR 00 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. Q-7 Um utomóvel, modelo flex, consome litros de gsolin pr percorrer 7km. Qundo se opt pelo uso do álcool, o utomóvel consome 7 litros

Leia mais

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática Vestibulr UFRG 0 Resolução d Prov de Mtemátic 6. Alterntiv (C) 00 bilhões 00. ( 000 000 000) 00 000 000 000 0 7. Alterntiv (B) Qundo multiplicmos dois números com o lgrismo ds uniddes igul 4, o lgrismo

Leia mais

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia)

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia) COLÉGIO NAVAL 016 (1º di) MATEMÁTICA PROVA AMARELA Nº 01 PROVA ROSA Nº 0 ( 5 40) 01) Sej S som dos vlores inteiros que stisfzem inequção 10 1 0. Sendo ssim, pode-se firmr que + ) S é um número divisíel

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

"Bem-vindos ao melhor ano de suas vidas #2018"

Bem-vindos ao melhor ano de suas vidas #2018 COLÉGIO SHALOM Ensino Fundmentl 8ª no ( ) 65 Profº: Wesle d Silv Mot Disciplin: Mtemátic Aluno ():. No. Trblho de recuperção Dt: 17 /12/ 2018 "Bem-vindos o melhor no de sus vids #2018" 1) Sobre s proprieddes

Leia mais

Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 3. Paralelogramos Especiais. 8 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 3. Paralelogramos Especiais. 8 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Elementos Básicos de Geometri Pln - Prte 3 Prlelogrmos Especiis 8 no E.F. Professores Cleer Assis e Tigo Mirnd Elementos Básicos de Geometri Pln - Prte 3 Prlelogrmos Especiis 1 Exercícios Introdutórios

Leia mais

Relações em triângulos retângulos semelhantes

Relações em triângulos retângulos semelhantes Observe figur o ldo. Um escd com seis degrus está poid em num muro de m de ltur. distânci entre dois degrus vizinhos é 40 cm. Logo o comprimento d escd é 80 m. distânci d bse d escd () à bse do muro ()

Leia mais

Matemática B Superintensivo

Matemática B Superintensivo GRITO Mtemátic Superintensivo Eercícios 0) 4 m M, m 0 m N tg 0 = b = b = b = = cos 0 = 4 = = 4. =.,7 =,4 MN =, +,4 + MN =,9 m tg 60 = = =.. = h = + = 0 m 04) 0) D O vlor de n figur bio é: (Errt) 4 sen

Leia mais

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura.

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura. NOME: ANO: º Nº: POFESSO(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Áreas: Quadrado: EVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência A, onde representa o lado etângulo: A b h, onde b representa a

Leia mais

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem. EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /

Leia mais

Semelhança e áreas 1,5

Semelhança e áreas 1,5 A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes.

Leia mais

11

11 01 O vlor de 8 6 0,15 é : (A) 8 (B) (C) (E) 6 0 Os números x, y e z são diretmente proporcionis, 9 e 15respectivmente. Sendo que o produto desses números é xyz 960, som será : (A) 5 (B) 8 (C) 6 7 (E) 0

Leia mais

C O L É G I O F R A N C O - B R A S I L E I R O

C O L É G I O F R A N C O - B R A S I L E I R O C O L É G I O F R A N C O - B R A S I L E I R O Nome: Nº: Turm: Professor: FÁBIO LUÍS Série: 1ª Dt: / / 01 LISTA DE EXERCÍCIOS TRIGONOMETRIA PARTE I 1 Os ctetos de um triângulo retângulo medem cm e 18cm

Leia mais

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 Áreas de Superfícies Planas Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Área de uma superfície é um número

Leia mais

Geometria. Goiânia, de de Data de Devolução: 24/05/2016 Aluno (a): Série: 9º Ano Turma: 04 Lista Semanal Matemática

Geometria. Goiânia, de de Data de Devolução: 24/05/2016 Aluno (a): Série: 9º Ano Turma: 04 Lista Semanal Matemática Goiâni, de de 0. Dt de Devolução: /0/0 Aluno (: Série: 9º Ano Turm: 0 List Semnl Mtemátic Geometri. Um prédio de m de ltur projet um somr de 0 m de comprimento sore um piso horizontl plno, como mostr figur

Leia mais

AB AC BC. k PQ PR QR AULA 1 - GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles

AB AC BC. k PQ PR QR AULA 1 - GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles AULA - GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Rets prlels cortds por um trnsversl São queles que possuem dois ldos iguis. Ligndo o vértice A o ponto médio d bse BC, germos dois triângulos

Leia mais

COLÉGIO MILITAR DE BELO HORIZONTE CONCURSO DE ADMISSÃO 2006 / 2007 PROVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

COLÉGIO MILITAR DE BELO HORIZONTE CONCURSO DE ADMISSÃO 2006 / 2007 PROVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO MILITA DE BELO HOIZONTE CONCUSO DE ADMISSÃO 6 / 7 POVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉIE DO ENSINO MÉDIO CONFEÊNCIA: Chefe d Sucomissão de Mtemátic Chefe d COC Dir Ens CPO / CMBH CONCUSO DE ADMISSÃO À 1ª SÉIE

Leia mais

Prof.(s): Judson Santos - Luciano Santos 1º S I M U L A D O ITA/IME

Prof.(s): Judson Santos - Luciano Santos 1º S I M U L A D O ITA/IME Prof.(s): Judson Sntos - Lucino Sntos y 0) Sbendo que (,,, ) estão em progressão ritmétic nest ordem y stisfendo s condições de eistênci dos ritmos. Então o vlor d epressão y é igul : ) b) y 0) Sej,, 4,,

Leia mais

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota:

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Questão 1 (OBMEP RJ) Num triângulo retângulo, definimos o cosseno de seus ângulos agudos O triângulo retângulo da figura

Leia mais

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI 01.: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. comprimento dessa escada é de: a) 12 m. b) 30 m. c) 15 m. d) 17 m. e) 20 m.

Leia mais

GABARITO. Matemática D 16) D. 12z = 8z + 8y + 8z 4z = 2x + 2y z = 2z+ 2y z = 2x x z = = 1 2 = ) C

GABARITO. Matemática D 16) D. 12z = 8z + 8y + 8z 4z = 2x + 2y z = 2z+ 2y z = 2x x z = = 1 2 = ) C GRITO temátic tensivo V. ercícios 0) ) 40 b) 0) 0) ) elo Teorem de Tles, temos: 8 40 5 b) elo Teorem de Tles, temos: 4 7 prtir do Teorem de Tles, temos: 4 0 48 0 4,8 48, 48 6 : 9 6, + 4,8 + 9,8 prtir do

Leia mais

Exercícios Triângulos (1)

Exercícios Triângulos (1) Exercícios Triângulos (1) 1. Na figura dada, sabe-se que r // s. Calcule x. 2. Nas figuras abaixo, calcule o valor de x. 5. (PUC-SP) Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Encontre os ângulos

Leia mais

REVISÃO Lista 12 Geometria Analítica., então r e s são coincidentes., então r e s são perpendiculares.

REVISÃO Lista 12 Geometria Analítica., então r e s são coincidentes., então r e s são perpendiculares. NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): An Luiz Ozores DATA: REVISÃO List Geometri Anlític Algums definições y Equções d ret: by c 0, y mb, y y0 m( 0) e p q Posições de dus rets: Dds s rets r : y mr br e s y ms

Leia mais

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

DESAFIOS. π e. π <y < π, satisfazendo seny = 8 x

DESAFIOS. π e. π <y < π, satisfazendo seny = 8 x DESAFIOS ENZO MATEMÁTICA 01-(FUVEST) Sejm x e y dois números reis, com 0

Leia mais

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é Questão 0) Trlhndo-se com log = 0,47 e log = 0,0, pode-se concluir que o vlor que mis se proxim de log 46 é 0),0 0),08 0),9 04),8 0),64 Questão 0) Pr se clculr intensidde luminos L, medid em lumens, um

Leia mais

Matemática Fascículo 02 Manoel Benedito Rodrigues

Matemática Fascículo 02 Manoel Benedito Rodrigues Mtemáti Fsíulo 0 Mnoel Benedito odrigues Índie Geometri Pln esumo Teório...1 Eeríios... Dis...5 esoluções...6 Geometri Pln esumo Teório Prinipis Fórmuls Lei dos Senos sen sen sen Lei dos Cossenos = + os

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-7 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Sore números reis, é correto firmr: () Se é o mior número de três lgrismos divisível

Leia mais

CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CONCURSO DE SELEÇÃO 003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 41100 0$7(0É7,&$ RESOLUÇÃO PELA PROFESSORA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA $ LOXVWUDomR TXH VXEVWLWXL D RULJLQDO GD TXHVWmR H DV GDV UHVROXo}HV

Leia mais

Algumas Demonstrações Geométricas

Algumas Demonstrações Geométricas Algums Demonstrções Geométrics Mtemátic A 10º Ano Tem I Nos novos progrms, d Mtemátic A refere- se que: No ensino secundário, o estudnte deverá ser solicitdo frequentemente justificr processos de resolução,

Leia mais

2x x 2 x(2 2) 5( 3 1)(2 2)cm. 2x x 4x x 2 S 12,5 12,5 25 2x 3x 2 0 2x 3x 27. x' 0,75 (não convém) x. a hipotenusa. AD x AC. x 5( 3 1)cm.

2x x 2 x(2 2) 5( 3 1)(2 2)cm. 2x x 4x x 2 S 12,5 12,5 25 2x 3x 2 0 2x 3x 27. x' 0,75 (não convém) x. a hipotenusa. AD x AC. x 5( 3 1)cm. Tarefas 05, 0, 07 e 08 Professor César LISTA TAREFA DIRECIONADA OLIMPO GOIÂNIA / MATEMÁTICA - FRENTE B Gabarito: 0. D Calculando: x x x 4x x S,5,5 5 x x 0 x x7 4 ( 7) 5 5 5 x' 0,75 (não convém) x 4 x''

Leia mais

( 3. a) b) c) d) 10 5 e) 10 5

( 3. a) b) c) d) 10 5 e) 10 5 Pré-F 207 Simuldo # 26 de bril de 207 2 Q. (EsS) Em um progressão ritmétic cujo primeiro termo é, 87 e rzão é 0, 004, temos que som dos seus dez primeiros é igul : () 8, 99 () 9, 5674 () 8, 88 (D) 9, 5644

Leia mais

( ) Resolução: Seja e a excentricidade da hipérbole dada: + + = = 8, que é a equação de uma circunferência de centro ( 0, 2)

( ) Resolução: Seja e a excentricidade da hipérbole dada: + + = = 8, que é a equação de uma circunferência de centro ( 0, 2) 010 IME "A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo" Glileu Glilei Questão 01 Sejm os conjuntos P1, P, S1 e S tis que ( P S1 ) P1, ( P1 S ) P e ( S1 S ) ( P1 P ). Demonstre que ( S1 S ) ( P1 P

Leia mais

Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação de Stewart 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação

Leia mais

Resolução: a) o menor valor possível para a razão r ; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.

Resolução: a) o menor valor possível para a razão r ; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a. O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de um Progressão Aritmétic (PA) de números inteiros, de rzão r, formm, nest ordem, um Progressão Geométric (PG), de rzão q, com qer ~ (nturl diferente de

Leia mais

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 07 GABARITO COMENTADO 1) Se o resto d divisão de 47 por x é 7, então x divide 47 7 = 40 D mesm mneir, x divide

Leia mais

Material Teórico - Módulo Teorema de Pitágoras e Aplicações. Algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras - Parte 2. Nono Ano

Material Teórico - Módulo Teorema de Pitágoras e Aplicações. Algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras - Parte 2. Nono Ano Mteril Teórico - Módulo Teorem de itágors e plicções lgums demonstrções do Teorem de itágors - rte 2 Nono no utor: rof. Ulisses Lim rente Revisor: rof. ntonio minh M. Neto 27 de ril de 2019 1 lgums plicções

Leia mais

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é,

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é, Mtemátic Aplicd Considere, no espço crtesino idimensionl, os movimentos unitários N, S, L e O definidos seguir, onde (, ) R é um ponto qulquer: N(, ) (, ) S(, ) (, ) L(, ) (, ) O(, ) (, ) Considere ind

Leia mais

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b]

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b] Interl Deinid Se é um unção de, então su interl deinid é um interl restrit à vlores em um intervlo especíico, dimos, O resultdo é um número que depende pens de e, e não de Vejmos deinição: Deinição: Sej

Leia mais

MARINHA DO BRASIL DIRETORIA DE ENSINO DA MARINHA (PROCESSO SELETIVO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO NAVAL / PSA CN-2005) Prova : Amarela MATEMÁTICA

MARINHA DO BRASIL DIRETORIA DE ENSINO DA MARINHA (PROCESSO SELETIVO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO NAVAL / PSA CN-2005) Prova : Amarela MATEMÁTICA MARINHA DO BRASIL DIRETORIA DE ENSINO DA MARINHA (PROCESSO SELETIVO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO NAVAL / PSA CN005) Prov : Amrel MATEMÁTICA 1) Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto D interno o ldo AC é determindo

Leia mais

a n QUESTÃO 01 2 a 1 b Sejam a . Se P = a 4 b 4, então P é um número: e 1 bn 1

a n QUESTÃO 01 2 a 1 b Sejam a . Se P = a 4 b 4, então P é um número: e 1 bn 1 A AVALIAÇÃO ESPECIAL UNIDADE I -0 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. PROFA, MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO 0 Sejm n n b e bn b n. Se P = b, então P é um número: 0) inteiro

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios

Leia mais

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1;

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1; Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP Curso Teste (ii) cso qundo 0 < < 1 EXPONENCIAL E LOGARITMO f() é decrescente e Im = R + 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL A função f: R R + definid

Leia mais

{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada

{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada MATEMÁTICA b Sbe-se que o qudrdo de um número nturl k é mior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é mior do que o seu qudrdo. Dess form, k k vle: ) 0 b) c) 6 d) 0 e) 8 k k k < 0 ou k >

Leia mais

COLÉGIO MACHADO DE ASSIS. 1. Sejam A = { -1,1,2,3,} e B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. Para a função f: A-> B, definida por f(x) = 2x-1, determine:

COLÉGIO MACHADO DE ASSIS. 1. Sejam A = { -1,1,2,3,} e B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. Para a função f: A-> B, definida por f(x) = 2x-1, determine: COLÉGIO MACHADO DE ASSIS Disciplin: MATEMÁTICA Professor: TALI RETZLAFF Turm: 9 no A( ) B( ) Dt: / /14 Pupilo: 1. Sejm A = { -1,1,2,3,} e B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. Pr função f: A-> B, definid por f()

Leia mais

Geometria Plana Noções Primitivas

Geometria Plana Noções Primitivas Geometria Plana Noções Primitivas Questão 1 (CESGRANRIO-85) Numa carpintaria, empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número

Leia mais

MATEMÁTICA. Capítulo 5 LIVRO 1. Teorema de Pitágoras Relações Métricas nos Triângulos. Páginas: 190 à 201

MATEMÁTICA. Capítulo 5 LIVRO 1. Teorema de Pitágoras Relações Métricas nos Triângulos. Páginas: 190 à 201 MATEMÁTICA LIVRO 1 Cpítulo 5 Teorem de Pitágors Relções Métris nos Triângulos Págins: 190 à 01 Teorem de Pitágors: II ² III IV ² II ² I I IV III "A áre do qudrdo formdo om o ldo d hipotenus é igul som

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Fculdde de Enenhri, Arquiteturs e Urnismo FEAU Pro. Dr. Serio Pillin IPD/ Físic e Astronomi V Ajuste de curvs pelo método dos mínimos qudrdos Ojetivos: O ojetivo dest ul é presentr o método

Leia mais

a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) =

a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) = List Mtemátic -) Efetue s dições e subtrções: ) ( ) = d) + ( ) = g) + 7 = b) = e) = h) + = c) 7 + = f) + = i) 7 = ) Efetue s multiplicções e divisões: ).( ) = d).( ) = g) ( ) = b).( 7) = e).( 6) = h) (

Leia mais

Matemática B Extensivo V. 8

Matemática B Extensivo V. 8 Mtemátic B Extensivo V. 8 Resolv Aul 9 9.01) = ; b = c = + b c + 9 c = Distânci focl = c 0 9.0) x = 0 0 x = ; b = c = + b c = + c = Como o eixo rel está sobre o eixo e o centro é (0, 0), então F 1 (0,

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%) Distribuição das.08 Questões do I T A 9 (8,97%) 0 (9,9%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais (, 0 (9,6%) Geo. Analítica Conjuntos (,96%) Geo. Espacial Funções Binômio de Newton

Leia mais

PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães

PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães Nível Iniciante Propriedade 1 Num triângulo retângulo ABC, a mediana BM relativa à hipotenusa mede

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 6 FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA QUESTÃO O gráfico bio eibe o lucro líquido (em milhres de reis) de três pequens empress A, B e

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos

CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos CONJUNTOS NUMÉRICOS Símolos Mtemáticos,,... vriáveis e prâmetros igul A, B,... conjuntos diferente pertence > mior que não pertence < menor que está contido mior ou igul não está contido menor ou igul

Leia mais

tem-se: Logo, x é racional. ALTERNATIVA B AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. m (AB) : medida (comprimento) de AB.

tem-se: Logo, x é racional. ALTERNATIVA B AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. m (AB) : medida (comprimento) de AB. MÚLTIPL ESCOLH NOTÇÕES C : conjunto dos números compleos. Q : conjunto dos números rcionis. R : conjunto dos números reis. Z : conjunto dos números inteiros. N {0,,,,...}. N* {,,,...}. : conjunto vzio.

Leia mais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES

Leia mais

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos

Leia mais

xy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0

xy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0 EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 1 Equção d ret Denominmos equção de um ret no R 2 tod equção ns incógnits x e y que é stisfeit pelos pontos P (x, y) que pertencem à ret e só por eles. 1.1 Alinhmento de três pontos

Leia mais

1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro.

1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro. 1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro. 3. (Ufrrj) Milena, diante da configuração representada abaixo, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento

Leia mais

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são: MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics

Leia mais

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < < MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )

Leia mais

Aula 5 Quadriláteros Notáveis

Aula 5 Quadriláteros Notáveis Aula 5 Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Definição: É o quadrilátero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Teorema 1: Se ABCD é um paralelogramo, então:

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida. 9 ENSINO 9-º no Mtemátic FUNDMENTL tividdes complementres Este mteril é um complemento d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos. Reprodução permitid somente pr uso escolr. Vend proibid. Smuel Csl Cpítulo 6 Rzões

Leia mais

Universidade Federal de Rio de Janeiro

Universidade Federal de Rio de Janeiro Universidde Federl de Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Prof. Jime E. Muñoz River river@im.ufrj.r ttp//www.im.ufrj.r/ river Grito d Primeir Prov de Cálculo I Rio de Jneiro

Leia mais

Simulado EFOMM - Matemática

Simulado EFOMM - Matemática Simuldo EFOMM - Mtemátic 1. Sejm X, Y, Z, W subconjuntos de N tis que: 1. (X Y ) Z = {1,,, },. Y = {5, 6}, Z Y =,. W (X Z) = {7, 8},. X W Z = {, }. Então o conjunto [X (Z W)] [W (Y Z)] é igul (A) {1,,,,

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic mrcio@mtemticuv.org 18 de mrço de 014

Leia mais

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadriláteros. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadriláteros. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros 2 Exercícios de Fixação Exercício 5. Seja

Leia mais

AULA 2 - ÁREAS. h sen a h a sen b h a b sen A. L L sen60 A

AULA 2 - ÁREAS. h sen a h a sen b h a b sen A. L L sen60 A AULA - ÁREAS Área de um Triângulo - A área de um triângulo pode ser calculada a partir de dois lados consecutivos e o ângulo entre eles. h sen a h a sen b h a b sen A - A área de um triângulo eqüilátero

Leia mais

QUESTÃO 01 Seja f : R R uma função definida pela sentença f(x) = 3 0,5 x. A respeito desta função considere as seguintes afirmativas:

QUESTÃO 01 Seja f : R R uma função definida pela sentença f(x) = 3 0,5 x. A respeito desta função considere as seguintes afirmativas: PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - JUNHO DE. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO Sej f : R R um

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Paralelismo e Perpendicularismo. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Paralelismo e Perpendicularismo. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Paralelismo e Perpendicularismo 3 a série EM Geometria Analítica 1 Paralelismo e Perpendicularismo 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1 Determine se as retas de equações

Leia mais

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo. TRIGONOMETRIA A trigonometri é um prte importnte d Mtemátic. Começremos lembrndo s relções trigonométrics num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicremos por Bˆ e por Ĉ s medids

Leia mais

Matemática D Extensivo V. 6

Matemática D Extensivo V. 6 Mtemátic D Extensivo V. 6 Exercícios 0) ) cm Por definição temos que digonl D vle: D = D = cm. b) 6 cm² A áre d lterl é dd pel som ds áres dos qutro ldos que compõe: =. ² =. ( cm)² = 6 cm² c) 96 cm² O

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA I 1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA I 1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO... TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO... 6 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA... 10 ÂNGULOS NOTÁVEIS... 14 TABELA DE RAZÕES TRIGNOMÉTRICAS... 16 RESPOSTAS...

Leia mais

Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab.

Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab. MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito Questão 01 [ 2,00 pts ] Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso

Leia mais

O conhecimento é a nossa propaganda.

O conhecimento é a nossa propaganda. Conhecimentos geométricos II - Triângulos e Quadriláteros Lista de Exercícios 1 Gabaritos Comentados dos Questionários 01) (ENEM 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus,

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES

CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES B3 CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES Circunferência Circunferência é um conjunto de pontos do plano situados à mesma distância de um ponto fixo (centro). Corda é um segmento de recta cujos extremos

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0

MATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0 MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) I) + 0 II) 7 + + 0 FRENTE Álgebra n Módulo Módulo de um Número Real ) 6 + < não tem solução, pois a 0, a ) A igualdade +, com + 0, é verificada para: ọ ) + 0 ou ọ ) + + + +

Leia mais

a x = é solução da equação b = 19. O valor de x + y é: a + b é: Professor Docente I - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 26. A fração irredutível

a x = é solução da equação b = 19. O valor de x + y é: a + b é: Professor Docente I - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 26. A fração irredutível CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 6. A frção irredutível O vlor de A) 8 B) 7 66 8 9 = 6. + b = é solução d equção b 7. Sejm e ynúmeros reis, tis que + y A) 6 B) 7 78 8 88 = 9. O vlor de + y e 8. Sejm e b números

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mis prov n GV FGV Administrção 04/junho/006 MATEMÁTICA 0. Pulo comprou um utomóvel fle que pode ser bstecido com álcool ou com gsolin. O mnul d montdor inform que o consumo médio do veículo

Leia mais

Conhecendo-se os valores aproximados dos logaritmos decimais, log = 1,114 e log = 1,176, então, o valor de log 10

Conhecendo-se os valores aproximados dos logaritmos decimais, log = 1,114 e log = 1,176, então, o valor de log 10 MATEMÁTICA Considere os conjuntos A e B: A = { 0, 0, 0, 0,0, 0, 0} e B = {00,00,00,00,500,600,700,800,900,000}, e função f : A B, f(x) = x + 00. O conjunto imgem de f é, ) { 0, 0, 0,0,0,0,0}. ) {00,00,500,000}.

Leia mais

1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio.

1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. 1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. 2. (Fgv) Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 2012 1 a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 2012 1 a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 01 1 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. QUESTÃO 83. Em 010, o Instituto Brsileiro de Geogrfi e Esttístic (IBGE) relizou o último censo populcionl brsileiro, que mostrou

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução

MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como o trapézio é isósceles, então BC = AD, pelo que também

Leia mais

Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos - Parte 2

Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos - Parte 2 Mteril Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos ossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulres Lei dos Senos e Lei dos ossenos - Prte Nono no utor: Prof. Ulisses Lim Prente Revisor: Prof. ntonio minh M.

Leia mais

Questão 01. Questão 02. Calcule o determinante abaixo, no qual. cis e i 3. 1 i. Resolução: z a bi z a bi. Soma das raízes:

Questão 01. Questão 02. Calcule o determinante abaixo, no qual. cis e i 3. 1 i. Resolução: z a bi z a bi. Soma das raízes: Questão 01 O polinômio P ( ) 10 0 81 possui rízes comples simétrics e um riz com vlor igul o módulo ds rízes comples. Determine tods s rízes do polinômio. p ( ) 10 0 81 z bi z bi 1 z bi z ( ) bi z rel

Leia mais

COLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR

COLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR COLÉGIO OJETIVO JÚNIOR NOME: N. o : DT: / /0 FOLHETO DE MTEMÁTIC (V.C. E R.V.) 9. o NO Este folheto é um roteiro pr você recuperr o conteúdo trblhdo em 0. Como ele vi servir de bse pr você estudr pr s

Leia mais

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno ul 3 s fórmuls ditivs e s leis do MÓDULO 2 - UL 3 utor: elso ost seno e do cosseno Objetivos 1) ompreender importânci d lei do seno e do cosseno pr o cálculo d distânci entre dois pontos sem necessidde

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Q ) Um apostador ganhou um premio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor

Leia mais

Unidade 8 Geometria: circunferência

Unidade 8 Geometria: circunferência Sugestões de tividdes Unidde 8 Geometri: circunferênci 8 MTMÁTI Mtemátic. s dus circunferêncis n figur seguir são tngentes externmente. 3. N figur estão representdos um ângulo inscrito com vértice em P

Leia mais

BANCO DE QUESTÕES - GEOMETRIA - 9º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL

BANCO DE QUESTÕES - GEOMETRIA - 9º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL PROFESSOR: EQUIPE E MTEMÁTI NO E QUESTÕES - GEOMETRI - 9º NO - ENSINO FUNMENTL ============================================================================ 0- figur o ldo indic três lotes de terreno com

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestibulares. e B = 2

LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestibulares. e B = 2 LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestiulres ) UFBA 9 Considere s mtries A e B Sendo-se que X é um mtri simétri e que AX B, determine -, sendo Y ( ij) X - R) ) UFBA 9 Dds s mtries A d Pode-se firmr: () se

Leia mais

20 29 c) 20 b) 3 5, é TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 1) No triângulo abaixo, o seno do ângulo B vale:

20 29 c) 20 b) 3 5, é TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 1) No triângulo abaixo, o seno do ângulo B vale: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ) (UNISINOS) O ldo do qudrdo ABCD, d figur ixo, mede m e M é o ponto médio do ldo CD. 1) No triângulo ixo, o seno do ângulo B vle: 9 ) 0 9 ) 1 0 ) 9 0 1 1 9 ) (UFRGS)

Leia mais

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 0 GABARITO COMENTADO ) Sej A 5p + 7. Como A 5p + 7 5p + 7, concluímos que o resto d divisão de A por é igul

Leia mais