Números Reais intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA UNIDADE DE APOIO EDUCACIONAL UAE MAT Tutori de Mtemátic Tópicos: Números Rcionis operções e proprieddes (frções, regr de sinl, som, produto e divisão de frções, potênci com expoente inteiro), Rdicição (proprieddes) Polinômio Expressão polinomil e domínio de vlidde Iguldde de polinômios, operções (dição, multiplicção, divisão, potencição) Identiddes mis usuis: produtos notáveis Rízes de polinômio Ftorção de polinômios: frções prciis, simplificção, equções e inequções polinomiis (estudo do sinl), Regr de Girrd (cálculo de rízes), Polinômios com coeficientes inteiros. Números Reis intervlos, números decimis, dízims, números irrcionis, ordem, ret, módulo, potênci com expoente rcionl. Equção modulr Funções Definição e notção Domínio e Imgem (lgebricmente e grficmente), domínio nturl Gráfico, Produto crtesino e sistem de coordends crtesins Tipos mis comuns: constnte, fim(coeficiente ngulr, equção d ret), qudrátic(vértice, rízes), cúbic, riz, modulr, por prtes, rcionis, etc. Trnslção verticl e horizontl Funções crescentes e decrescentes, sinl de funções Composição de funções Funções inversíveis Logritmo e Exponencil (proprieddes) Modelgem com funções Trigonometri Funções trigonométrics Relções trigonométrics mis comuns

2 Números Rcionis FRAÇÕES b dividendo ou numerdor b divisor ou denomindor, b Z, e b 0 O conjunto de tods s frções é chmdo conjunto dos números rcionis. Isto é, m * Q x/ x, m Z, n Z n * Q exclui o zero de Q Q+ números rcionis não negtivos SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇ ÕES Pr simplificr um frção é necessário dividir o numerdor e o denomindor pelo seu máximo divisor comum. N relidde, qundo simplificmos um frção pens estmos representmos o mesmo número rcionl de um outr mneir x 4xy x x x, onde x, y 0 4 x y y 4 bc b c 7 b c, onde, b, c 0 7 b b c b Pode-se tmbém simplificr frções, plicndo os csos de ftorção nos termos d frção e cncelndo os ftores comuns. 5x 0 5 x 5 x ( ) ( + )( ) +, onde x + y x + xy + y x + y, onde x + y 0 ( x + y) x + y Por que, ns simplificções, deve-se tomr cuiddo com s restrições do tipo x 0, x+y 0, x, etc.? OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: Só é somr ou subtrir frções com mesmo denomindor. Reduzimos s frções o mesmo denomindor, se necessário. b c c + +, onde b 0 b b b c c b b, onde b 0

3 c + b d d + bc bd, onde b, d 0 c b d d bc bd, onde b, d 0 Exemplo: x x x x x x x x x x x x MULTIPLICAÇÃO: multiplic-se os numerdores entre si e os denomindores entre si. 5b 0b c 5 0c 7 d 7d c c, onde b, d 0 b d bd DIVISÃO: multiplic-se frção do numerdor pelo inverso d frção do denomindor. c d d ou b d b c bc b d d c, onde b, c, d 0 b c bc d b c c b b c bc, onde b, c 0 b b, onde, b 0 b b ATENÇÃO: não comet mis estes erros: x + y x y x ERRADO x CERTO y y + ERRADO b + b b + + b b CERTO b b b b ERRADO CERTO

4 Potencição 4 Se Q e n N, n >, então, n bse n expoente 0 ; n n ; ) 4 7 b 4 7 b b) c) ( ) ( ) ( ) 9 d) e) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) Ms Proprieddes: Se, b Q, m, n IN, vlem s seguintes proprieddes: () () m n m+ n m n () ( ) m n m n m n m n n n (4) n b b, b 0 (5) ( b.). b n n n () ( ) ( ) ( ) 4xy 4xy 4xy 6x y (b) 5 x y 7xy 6 5 5x 5x y 7xy x y 7 7y 8 (c) x y y x y 8x 7 7 4x (d) b 6 6 ( b ) ( 4x ) 6 b 9b 4x 6x 4

5 5 Rdicição q, se q é pr então 0, q N * se q é ímpr então Q q q b b q não é sempre um número rcionl. Isto é, nem sempre existe p Q tl que q q p q. Esses números são chmdos de irrcionis. Um número irrcionl tem representção deciml ilimitd e nãoperiódic. exemplos:,44, π,459, e,78 I - conjunto dos números irrcionis conjunto dos números reis: R Q I PRINCIPAIS PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO: n n ) ) n b n n b ) b b 4) ( x m ) n ( x m. n ) m n 5) m n Atenção! Pode contecer de.b>0 e /b >0 mesmo e b não sendo. Como isso fet s proprieddes de 4. É possível encontrr exemplos em que esss igulddes não se verificm??? 7 ( ) ( 5 ) Observção: pr introduzir um termo num riz elev-se o número n potênci correspondente o índice d riz onde ele será introduzido. Por exemplo:

6 x x + x x ( x + x ) x + x 4 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES: trnsformr os números irrcionis dos denomindores em números rcionis. Primeiro Cso: o denomindor é formdo somente pelo rdicl. 6 ) ). 4 Segundo Cso: o denomindor é som de dois termos, sendo o menos um deles um rdicl. Se e b são números, então ( + b) e ( b) são outros dois números chmdos conjugdos. Usndo este fto e um dos produtos notáveis, podemos rcionlizr denomindores de frções em que precem rízes qudrds. Vej os exemplos seguintes: ) ( + 5)( 5) 5 ) ( 5 ) ) ( 7 + ) 7 4) [ ( + ) 5] ( ) [( ) ]( [ ) ] ( 5) Estes exemplos permitem observr que se no denomindor de um frção prece um som ou um diferenç de rízes qudrds, então o conjugdo do denomindor é o ftor rcionliznte. Um outr propriedde permite ssocir rízes com potenci de números rcionis. q p p q, sendo q ( x 7) 7 + ( x ) ( x ) 7 7 x y 7 + x y 7 + x y y 7 + x ATENÇÃO! Não comet mis estes erros: 4 x x + x x + x ERRADO x x + x x ( x + x ) x + x CERTO x + y x + y ERRADO x y x y, se x 0 e y 0 CERTO

7 x y x y + + ERRADO x + y ( x + y) CERTO 7 x x ERRADO x x x CERTO

8 Polinômios 8 monômio: expressão lgébric cuj prte literl é um produto de vriáveis com expoentes nturis. x y; xy z; xy 4 x não é monômio polinômio: som lgébric de monômios. 4 6 x + z 5; x y 5x y + 5x P P ( x) x 5 x + 4 ( x, y) x y + x y x+ 5 gru de polinômio em relção um vriável é o mior expoente dess vriável. vlor numérico de um polinômio: observe os dois últimos exemplos de polinômios ddos cim: se 5 x então P ( ) ; 0 é o vlor numérico de ( x) se x e y então P (, ).( ) + ( ) numérico de ( x y) P,. P., que é o vlor Estes são exemplos de um procedimento genérico que consiste em substituir prte literl de um polinômio por números reis e efetur tods s operções indicds. O resultdo obtido é o vlor numérico do polinômio. Operções com Expressões Algébrics Adição e multiplicção. Vmos revê-ls trvés de exercícios. Reduz os termos semelhntes: 5 ) 5x y + x y 4xy + x y x y b) x + 4x y x y + x 5x y + x y 4 5 Efetue e reduz os termos semelhntes: ) x ( 4xy 5x y) b) ( x + ) ( x + ) c) ( x y)( x + y) d) ( + b)

9 Produtos Notáveis e Ftorção 9 Ao operr com expressões lgébrics, ocorrem com bstnte freqüênci certos produtos que recebem, por cus disso, o nome de notáveis. Alguns deles, relciondos em seguid, são de grnde utilidde n ftorção e em certs rcionlizções. Sejm e b dois números; qudrdo de um som: ( + b) + b + b qudrdo de um diferenç: ( b) + b b produto d som pel diferenç: ( + b)( b) b cubo d som: ( + b) + + b + b + b cubo d diferenç: ( b) b b + b Observe que não há fórmul pr expressão + b, pois el não pode ser ftord utilizndo números reis. Um expressão lgébric se diz ftord se puder ser escrit n form de um produto. Isto pode ser muito útil pr operr com frção lgébric. Essencilmente, ftorção pode ser plicd qundo: ) Existe, em um expressão lgébric, um ftor comum. ) 7xy x y + 8x y x y 4 5 como xy é o ftor comum todos os termos d expressão, 4 5 7xy x y + 8x y x y xy ( 7 y x + 8x y x y ) ) 6b x 4 bx + bx bx ( b x + x) b) Outr expressão que, em gerl, pode ser ftord é do tipo x + bx +c, que se trnsform no produto de dois binômios, (x - x)(x - x). Por exemplo: x - x + 8 (x - 4)(x + ) Os termos grifdos (x, x ) podem ser encontrdos resolvendo-se equção x + bx+c 0 trvés d fórmul de Báskr. ) Ftorr x - x -5 x b b 4c ± x - x x ± ± 8 Logo, x 5 x

10 Então x - x -5 (x - 5)(x + ) 0 ) Ftorr x 6-6 (x ) - (4) x 6-6 (x + 4)( x - 4) ) Ftorr 64-7b (4) - (b) 64-7b (4 - b)(6 + b + 9b ) c) Estiver presente lgum produto notável; exemplos: ( ) ( ) 4 x + 8x x + x + 4 x + x y ( x + y)( x y) 6 m + 8m + ( 4m + ) d) Se puder fzer reunião dos termos em grupos, ftorr esses grupos e recir em um dos csos nteriores. 5 + ( ) + ( ) ( )( + ) ( + )( )( + ) mx + ny + my + nx x( m + n) + y( m + n) ( m + n)( x + y) Ftore: ) 4x x + 9 ) x + x + ) b 4) 4 7m n + 9m n 8mn Observção: equção ( x + ) x + + x é ponto de poio usdo num processo que consiste em completr o qudrdo. Você verá um plicção disso no Cálculo I. Divisão de polinômios Efetur divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo, signific determinr um único pr de polinômios Q(x) e R(x) que stisfzem às condições: ) P(x) D(x). Q(x) + R(x). ) gr R(x) < gr D(x), onde gr indic o gru do polinômio. Nots: ) se R(x) 0, então dizemos que P(x) é divisível por D(x). ) se gr P > gr D então gr (P : D) gr P - gr D. ) não se esqueç que o gru do resto é sempre menor que o gru do divisor. Efetue: 5 ) ( 7 x y z ): ( 9xyz ) b) f) ( 5x y z ): ( 9x y z )

11 c) g)( 6x + x + 8x + 8) : ( x + x + 4) 4 d) h) ( x ) :( x ) e) i) 6( x 5x + 8) : ( x ) f) ( x + x + x + ): ( x + ) Resto d divisão pelo binômio x -. Teorem do resto : o resto d divisão de P(x) por x - é igul P(). Demonstrção : Podemos escrever P(x) (x - ). Q(x) + R(x). Logo, fzendo x vem imeditmente que P() ( - ). Q() + R(). Portnto, P() R onde R é o resto d divisão. Assim, se P() 0, então R 0 ( R resto ) e portnto, P(x) é divisível por x -. Ess firmção é conhecid como teorem de D Alembert Polinômios e equções polinomiis n Sej o polinômio P(x) + x + x + + x onde 0,,..., n são os coeficientes 0 n Um equção polinomil é expressão d form P(x) 0. Se r é um riz d equção P(x) 0 então P(r) 0. () x + x -0x 0 solução: pode ser ftordo: x.(x +x-0) 0 ou x.(x-).(x+5) 0 conjunto - solução {0,, -5} n Todo polinômio P(x) + x + x + + x de gru n pode ser decomposto em n ftores do 0 n primeiro gru, isto é, P (x) n (x - r ).(x - r ).....(x - r n ) onde r, r,..., r n são s rízes (não necessrimente distints e não necessrimente reis) de P(x). x - xy + y (x - y) x - y (x -y).(x + y) x 4-0x + 7x - 60x + 6 (x-).(x-) x + não possui rízes reis. De fto, x + (x + i).( x i) Todo polinômio P(x) pode ser decomposto em ftores irredutíveis. x - y (x - y).(x + xy + y ) x + y (x + y).(x - xy + y ) Propriedde: Tod equção lgébric de gru n possui té n rízes reis.

12 ) A equção x - x 0 possui rízes sber: x 0 ou x ou x -. Dizemos então que o conjunto verdde ou conjunto solução d equção dd é S {0,, -}. ) A equção x + x 0 possui riz rel e dus complexs. Relções de Girrd São s relções existentes entre os coeficientes e s rízes de um equção lgébric. Pr um equção do º gru, d form x + bx + c 0, já conhecemos s seguintes relções entre os coeficientes e s rízes x e x : x + x - b/ e x. x c/. Pr um equção do º gru, d form x + bx + cx + d 0, sendo x, x e x s rízes, temos s seguintes relções de Girrd : x + x + x - b/ x.x + x.x + x.x c/ x.x.x - d/ Pr um equção do 4º gru, d form x 4 + bx + cx + dx + e 0, sendo s rízes iguis x, x, x e x 4, temos s seguintes relções de Girrd : x + x + x + x4 -b/ x.x + x.x + x.x4 + x.x + x.x4 + x.x4 c/ x.xx + x.x.x4 + x.x.x4 + x.x.x4 - d/ x.x.x.x 4 e/ NOTA: observe que os sinis se lternm prtir de ( - ), tornndo fácil memorizção ds fórmuls. Um outro resultdo útil no cálculo de rízes rcionis é o seguinte: n n Sej Px ( ) x n + n x + + x + 0 onde i Z e 0 0. Se o rcionl p q, p e q primos entre si, é um riz de Px, ( ) então p é divisor de 0 e q é divisor de n. Observção: este teorem não grnte existênci de rízes rcionis ms, no cso dels existirem, mostr como obtê-ls. Exemplo: Determine s rízes reis do polinômio 5 4 Px ( ) x x x x x + +.

13 4 Colocndo x em evidênci, temos Px ( ) xx ( + x x + x ). Portnto, um ds rízes é zero e 4 s outrs são rízes de x + x x + x. Usndo o resultdo nterior, como 0 - e n, p ± ou p ± e q ± Assim, se Px ( ) tiver rízes rcionis els estão no conjunto {,,,}. Como somente P() P( ) 0, s rízes rcionis de Px ( ) são {0,, -}. Este polinômio pode ser colocdo n form ftord Px ( ) xx ( + )( x ) Qx ( ). Usndo um lgoritmo de divisão, temos que Qx ( ) x + que não tem rízes reis.

14 NÚMEROS REAIS 4 A mior prte ds quntiddes vriáveis que estudmos, tis como comprimento, áre, volume, posição, tempo e velocidde, é medid por meio de números reis e, neste sentido, o Cálculo está bsedo nos números reis. O sistem dos números reis contém diversos tipos de número: os inteiros, os rcionis e os irrcionis.há um correspondênci biunívoc entre o conjunto dos números reis ( ) e os pontos de um ret. Vlor bsoluto ou módulo de um número rel O vlor bsoluto de um número rel é definido como: se 0 se < 0 De cordo com definição,, 0. Isto é, módulo de um número rel é sempre positivo. Por exemplo, 6 6 e - - (-) Geometricmente, x é um número que represent um distânci: distânci do ponto que corresponde o número x, à origem; então, pode-se dizer que x x. Observe que, pel definição: Se é um número positivo, x < - < x < (por que?) Se é um número positivo, x > x > ou x < - (por que?) Intervlos Intervlos são subconjuntos de números reis tis como os csos descritos bixo. Pode-se fzer um representção gráfic desses conjuntos. Notção Definição Gráfico 6 (, b) {x R : < x < b} ( ) b [, b] {x R : x b} [ ) b [, b) {x R : x < b} [ ] b (, b] {x R : < x b} ( ] b (, ) {x R : x > } ( [, ) {x R : x } [ (-, b) {x R : x < b } ) b (-, b] {x R : x b } ] b

15 (-, ) 5

16 Equções e Inequções modulres 6 Pr se resolver um equção (em x), é necessário que se che o vlor (ou vlores) d vriável que tornem sentenç verddeir. () Resolv x + Por definição, x + x + ou x + x x ou Pr se resolver um inequção, é necessário determinr todos os vlores d vriável (ou vriáveis) que tornem inequção verddeir. () x + < 5x (que vlores entre (-, ) stisfzem ess equções?) Conjunto solução (, ) () x + x < 4 pr x /, x + < x - ( pergunt gor deverá ser mesm? que vlores entre (-, ) stisfzem ess equções? x + x + se x ( x ) se x + < e x - x se x / ( x ) se x / + < cso cso cso - / Cso ) x < - -x - < 4(-x +) x <. Logo S (-, -) Cso ) - x < / x + < 4(-x +). Logo S (-, 0/9) Cso ) x / x + < 4(x - ). Logo S (, ) S S S S (-, -) (-, 0/9) (, ) (, 0 / 9) (, )

17 Funções 7 Um função é um correspondênci existente entre dois conjuntos, A e B, de modo que cd elemento A correspond um, e pens um, elemento b B. O conjunto A chm-se domínio d função, D(f) e o conjunto dos vlores b B, ssocidos os pontos do domínio é chmdo imgem. Por exemplo:. A áre de um circunferênci depende somente de seu rio, trvés d equção A π r. Diz-se então que A é função de r.. O número de bctéris n presentes em um cultur de bctéri pós um hor de observção depende d quntidde N de bctéris presentes inicilmente n cultur; diz-se então que n é um função de N. Um função pode ser representd de qutro mneirs: (i) Por um tbel (ou qudro) Exemplo: Um pequen fábric pode produzir de 0 4 uniddes diáris de um rtigo. O custo opercionl diário d fábric é ddo por: Custo Opercionl d Fábric x (nº de uniddes) 0 4 y (custo diário) Est tbel é equivlente : (0, 500), (, 700), (, 900), (, 00), (4, 00) (ii) Por um regr Exemplo: pr obter o custo opercionl diário, no exemplo nterior, pr 0,,, ou 4 uniddes, multiplique o número de itens por 00 e dicione 500 o resultdo. (iii) Por um gráfico Exemplo: (o mesmo nterior)

18 (iv) Por um equção 8 Exemplo: pr obter o custo opercionl diário ddo no exemplo nterior, tem-se: y 00x + 500, onde x 0,,,, 4 e y é o custo opercionl diário. Porém, nem tod tbel, gráfico ou equção representm um função Se um quntidde b depende de um quntidde de modo que cd vlor determin extmente um único vlor b, então dizemos que b é função de. Por exemplo, sej A π r Vlor de r 0 A 0 π 4 π 9 π r é chmd vriável independente e A é chmdo de vriável dependente. Em gerl, represent-se s funções trvés de letrs do lfbeto. Por exemplo, A π r indic que áre A é função do rio r. Escreve-se A f(r) e represent-se f(r) π r que signific que f é função que ssoci cd rio r o vlor A π r. Por exemplo, f() 4 π. O conjunto de todos os vlores ssumidos pel função é chmdo conjunto imgem de f, representdo por Im(f). Ddo x A, y f(x) B é o vlor d função f no ponto x ou imgem de x por f. Utiliz-se letr f pr indicr função, o vlor d função no ponto x por f(x) e notção f: A B pr indicr função com os conjuntos A e B relciondos. (i) Sej f: - {} tl que f(x) x x 4, determine: () f(½) (b) f(x - ) (c) f(t ) (d) f(x + x ) - f(x) Se um função f é definid por um expressão sem especificção do seu domínio, pode-se então considerr como domínio de f os números reis pr os quis expressão ssume um vlor rel, isto é, o mior subconjunto de tl que f(x). Este domínio é chmdo domínio nturl de f. Por exemplo: sej h(x). Est função não está definid pr e. ( x )( x ) Logo, D(f) - {, }

19 O cncelmento de ftores comuns no denomindor e no denomindor de um expressão podem lterr o domínio nturl de um função. Por exemplo: se h( x) x x 4, D(h) - {} se rescrevermos h(x) x + temos de ter o cuiddo de conservr o domínio d função originl, isto é, h(x) x +, com x. Exercício: determine o domínio nturl ds seguintes funções : () f(x) 4 + x x, D(f) [-4, ) (b) f(x) ( )( x + x 4 x 9 ), D(f) - {-4, -, } ( x + x )( x + ) 9 (c) f(x) 4 + x + x + x x, D(f) (-4, ] Gráfico de Funções Reis Sistem de coordends retngulres O conjunto formdo por todos os pres ordendos de reis é chmdo de espço bidimensionl e indicdo por. Isto é,. {(, b) /, b }. Um sistem de coordends retngulres é um correspondênci entre pres ordendos (, b) e pontos de um plno. Este sistem é necessário pr descrever geometricmente dependênci ou relção entre dus quntiddes. O plno é chmdo plno coordendo ou plno xy. Então um elemento (, b) do. pode ser representdo no plno crtesino, por um ponto P de bciss e ordend b. Definição: Sej f: A B, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plno coordendo, onde x D(f), isto é G f {(x, f(x)) / x D(f)} Dd um curv c no plno xy é possível determinr se el represent o gráfico de um função: qundo qulquer ret verticl cort curv no máximo em um ponto. Isto porque se f é um função, um ponto do seu domínio pode ter somente um imgem.

20 0 Atrvés do gráfico de f tmbém podemos determinr o domínio e imgem de f. Funções Reis mis comuns. Função Constnte O tipo mis simples de função é quel que ssocim o mesmo vlor todo ponto do seu domínio. Isto é, é tod função do tipo f(x) k. São chmds funções constntes. Por exemplo, f(x) ; então f(), f(0), etc. D(f) e Im(f) {k} f(x) k Atenção!!! NÃO É FUNÇÃO x k Função do 0 gru ou função liner É tod função do tipo f(x) x + b tgθ é o coeficiente ngulr d ret ou declividde d ret. Ddo dois pontos (x, y ) e (x, y ) pertencentes o gráfico de f, isto é, que tornem equção x + b verddeir, então y y. x x y (b, 0) é o ponto onde ret cort o eixo do y. D(f) e Im(f) Note que: > 0 tgθ > 0. Logo, θ é gudo e ret é crescente.

21 < 0 tgθ < 0. Logo, θ é obtuso é decrescente. Exemplo: f ( x) x D(f) e Im(f)

22 Função qudrátic É função definid por f(x) x +bx +c, 0. O gráfico de um função qudrátic é um prábol com eixo de simetri prlelo o eixo do y. A interseção d prábol com o eixo x define os zeros d função. A interseção do eixo de simetri com prábol é um ponto chmdo vértice (v) onde v (-b/, - /4). > 0 > 0 0 > 0 < 0 > 0 > 0 < 0 0 < 0 < 0 < 0 h( x) x D(f) R Im f: [- ; + ) Função cúbic () f(x) x (b) f(x) x + (c) f(x) (x - )

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24 Função definid por prtes 4 As funções tmbém podem ser definids por expressões distints em prtes do seu domínio. ) x + 4, se x 0 x 4x + 4, se 0 < x 4 x +, se x > 4 D(f) Im f: ( - ; 4 ] (), se x 4 4, se x>, se 4 < x D(f) Im f {-,, 4} Exercícios: ) Sej f: tl que f(x) x se x, clcule f(), f(-) e f(x + ) x se x < ) O custo de um corrid de táxi em um cert áre metropolitn é tbeldo d seguinte mneir: qulquer corrid inferior Km cust R$,75; pós os Km, o pssgeiro pg um dicionl de R$0,50 por Km. Se f(x) é o custo totl de um corrid de x Km, então o vlor de f(x) é:, 75 se 0 x f(x), 75+ 0, 5.( x ) se x > () Qul o gsto de um pssgeiro se ele nd km? (b) Qul o gsto de um pssgeiro se ele nd 4 km? Função modulr É função definid por f(x) x. El tmbém pode ser escrit seguinte form: f(x) x se x x se x < 0 0 D(f) e Im(f) [0, )

25 5 () f(x) x - x se x + < x se x (b) f(x) x - x se x 0 < x se x 0 - Função rcionl É um função definid pelo quociente de dus funções polinomiis, isto é, f(x) p ( x ) q( x) D( f ) { x R / qx ( ) 0} () f(x) x (b) f(x) x + (c) f(x) x + Atenção!!! Podemos simplificr um função rcionl, ms isso não quer dizer que o gráfico dest outr função é igul o gráfico d função originl. Por exemplo, obtenh o gráfico de f(x) x x +. Função crescente e decrescente - Um função f é crescente em (, b) se x, x (, b) com x < x f(x) f(x) - Um função f é decrescente em (, b) se x, x (, b) com x < x f(x) f(x) Exemplo: f(x) x é crescente em [0, ) e decrescente em (-, 0)

26 OPERAÇÕES DE TRANSLAÇÃO: 6 NA IMAGEM - Observe os gráficos bixo: f(x) x f(x) x + f(x) x - Pode-se observr que somndo-se um constnte positiv à imgem d função o gráfico dest desloc -se pr cim, bem como o subtrirmos um constnte positiv este desloc-se pr bixo. f(x) x f(x) x f(x) x Nestes gráficos, not-se que o multiplicr função por um constnte mior que o gráfico dest espich, bem como o dividi-l por um constnte mior que este torn-se mis chtdo. NO ARGUMENTO: f(x) x f(x) (x + ) f(x) (x - ) Observndo-se os gráficos, not-se que o somr um constnte positiv (k) no rgumento d função o gráfico dest se deslocrá pr esquerd k uniddes, bem como o subtrir um constnte positiv (k) este se deslocrá pr direit k uniddes. Por exemplo : f ( x) x f ( x) x + f ( x) x+

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28 Função Contínu Entende-se por função contínu quels onde seu gráfico se present como um linh contínu, isto é, um linh que não possu furos ou sltos. 8 f(x) x f(x) x Contínu f(x) x Contínu f(x), x Est função é descontínu, pois no ponto x 0, função não existe. Est função é descontínu, pois no ponto x, função não existe Vrição do sinl de um função Muits vezes precismos determinr os pontos x nos quis função derivd mud de sinl. Sejm os dois gráficos bixo: y h(x) y g(x) Gráfico I Gráfico II Observe que, no gráfico I, que y g(x) mud de sinl no ponto de bciss x e pss de y g(x) < 0 pr y g(x) > 0 e g() 0. no gráfico II, que y h(x) mud de sinl no ponto de bciss x e pss de y h(x) < 0 pr y h(x) > 0 e h(x) é descontínu em zero. Podemos concluir que se y f(x) mud de sinl em x, então ou f() 0 ou f(x) é descontínu em. Isto é, os únicos pontos em que um função pode mudr de sinl são queles onde el se nul ou onde é descontínu.

29 Exercício: determine os pontos em que s funções f(x) x - x + 4 (x - ) (x + ) e h(x) f(x) pode mudr de sinl em x ou x - e h(x) pode mudr de sinl em x. x 9 Observe que pr determinr o sinl de um função contínu (se é positiv ou negtiv) num intervlo, é suficiente determinr seu sinl em um ponto x deste intervlo. Pr isto, estmos supondo que função não se nule em qulquer ponto deste intervlo. ) Determine o(s) intervlo(s) em que f ( x) x x 8 0 Serão feits dus resoluções diferentes: ) Utilizndo ftorção, trnsform-se expressão x x 8 no produto (x 4)(x + ) e nlis-se o sinl de cd um ds funções y x 4 e y x y x y x y (x -4)(x + ) - 4 b) Anlis-se o sinl d função y x x 8 (prábol) Solução: (- ; -] [4 ; + ) Solução: (- ; -] [4 ; + ) ) Determine o(s) intervlo(s) em que f ( x) x x + 5 > 0. Anlisndo o sinl ds equções y x - e y x + 5, temos: y x y x Solução: (-5 ; ) ou S{x R / -5 < x <}

30 -5 0

31 Função compost Vmos definir gor um operção com funções (composição) que não possui nlogi com ritmétic dos números reis. Bsicmente est operção consiste em substituir vriável independente de um função por outr função, obtendo ssim um nov função. Por exemplo: sejm f(x) x + e g(x) x então g(f(x)) (x +) Dds s funções f e g, função compost de g com f, denotd por g g f( x) g( f( x)) f, é definid por: O domínio de g f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tis que f(x ) está no domínio de g. Isto é, D( g f ) {x D(f) / f(x) D(g)} () Sejm f(x) x e g(x) x -. Logo, f gx ( ) x e g f ( x) x - - D(f) [0, ) e Im(f) [0, ) D(g) então, D( g f ) [0, ) - D(g) e Im(g). D( f g ) {x / (x - ) D(f)} [, ) (b) Sejm f(x) x + e g(x) x ( f g )(x) x + - D( f g) {x D(g) / g(x) D(f)} {x [0, ) / ( x )} [0, ) Assim, ( f g)(x) x +, x 0 Muitos problems mtemáticos podem ser tcdos decompondo funções n composição de funções mis simples. Por exemplo função h dd por h(x) (x + ). Pr clculr h(x) em um determindo vlor x, clculmos x + e depois elevmos este resultdo o qudrdo. Ests operções são relizds pels funções g(x) x + e f(x) x. Podemos então expressr h em termos de f e g escrevendo h(x) (x + ) (g(x)) f(g(x)) ( f g)(x) Sej h(x). Se f(x) /x, g(x) x +. h(x) ( f g)(x) f(x +) x + x +

32 Função Invers Sej f: A B. Se pr cd y B, existir extmente um vlor x A tl que y f(x), isto é, se f é bijetor, então podemos definir um função g: B A tl que x g(y). A função g definid dest mneir é chmd função invers de f e denotd por f -. Se f: A B é um função bijetor então g: B A é invers de f se e somente se: (i) g(f(x)) x, x A (ii) f(g(y)) y, y B (i) f: tl que f(x) x -5 f - : com f - (x) ½(x + 5) (ii) f: - {} - {-} tl que f(x) x x f - : - {-} - {} com f - (x) + x x + Grficmente pode-se determinr se um função dmite invers: pssndo um ret prlel o eixo dos x, est deve cortr o gráfico sempre e em pens um ponto. Pr se trçr o gráfico d função invers trçse ret y x. O gráfico de f e f - são simétricos em relção est ret. Exemplo: f: [0, ) [0, ) tl que f(x) x dmite invers g: [0, ) [0, ) tl que g(x) x y x x x Função exponencil Ddo um número, tl que 0 <, define-se função exponencil de bse, f: tl que f(x) x D(f) e Im(f) (0, ) f(x) x é crescente se > e decrescente se 0 < <. 0 < < >

33 Logritmo Sejm e b números reis positivos, com 0. Chm-se logritmo de b n bse, o expoente que deve ter pr que potênci obtid sej b. Isto é, log b x x b Como conseqüênci d definição, segue pr 0 <, b, c > 0, s seguintes proprieddes: ) log 0 ) log ) log (b+c) log b + log c 4) log (b/c) log b - log c 5) log b m m log b Função logrítmic Ddo um número, tl que 0 <, chmmos função logrítmic de bse, função f: (0, ) tl que f(x) log x, sendo f função invers de g definid por g(x) x. D(f) (0, ) e Im(f) f(x) logx é crescente se > e decrescente se 0 < <. O gráfico d função logrítmic é simétrico o gráfico d função exponencil em relção ret y x. 0 < < > Os logritmos mis lrgmente utilizdos ns plicções são os logritmos nturis, os quis têm um bse irrcionl denotd por e em homengem o mtemático Leonrd Euler. Até 6 css decimis o vlor de e é,788.

34 Represent-se loge b ln b. 4 Clro que tudo que foi visto logritmo e exponencil vle pr ess bse prticulr.

35 Modelgem com funções 5. Um número excede seu qudrdo em um unidde ) Modele equção b) Esboce o problem geometricmente, sbendo que y x e y x c) Resolv equção d) Cso não hj solução, qul o mior vlor que N pode ssumir n equção x x N, pr que hj solução.. Um retângulo tem áre 80m. Se triplicrmos su ltur e reduzirmos o seu comprimento um qurto, qul será áre desse novo retângulo.. Em um pomr em que existem 0 lrnjeirs produzindo, cd um, 600 lrnjs por no. Form plntds n novs lrnjeirs. Depois de um certo tempo, consttou-se que, devido à competição de nutrientes do solo, cd lrnjeir tnto nov qunto velh) estv produzindo 0 lrnjs menos, por no, por cd nov lrnjeir plntd no pomr. Se f(n) é produção nul do pomr, determine: ) A expressão lgébric de f(n) b) Os vlores de n pr os quis f(n) 0 (o que isso signific?) c) Qunts novs lrnjeirs deverim ter sido plntds pr que o pomr tivesse produção máxim. d) Qul o vlor dess produção? Solução: ) número totl de lrnjeirs 0 + n qued de produção ds lrnjeirs 0n produção de cd lrnjeir 600 0n produção nul do pomr (0 + n)(600-0n) f(n) (0 + n)(600-0n) b) b/ 5 c) f(5) 0.50

36 Funções trigonométrics 6 Considere circunferênci unitári com centro n origem. O comprimento del é π. P θ A Associ -se cd número rel um único ponto P s circunferênci d seguinte form: Se 0, reliz-se prtir de A um percurso de comprimento, no sentido nti-horário e mrcmos P como ponto finl do percurso. Se < 0, reliz-se prtir de A um percurso de comprimento, no sentido horário e mrcmos P como ponto finl do percurso. A circunferênci ssim construíd, com ponto inicil A, é chmd ciclo trigonométrico. O número é medid do ângulo θ em rdinos. Assim, se θ 60 o, π. Se o ponto P está ssocido o número x, diz-se que P é imgem de x no ciclo. Observ-se que se P é imgem do número x 0 então P é imgem dos números x 0 + k π, k. O eixo ds bcisss é chmdo eixo dos cosenos, o eixo ds ordends é chmdo eixo dos senos, ret x é o eixo ds tngentes e cotngentes.. ret y é o eixo ds B P A Sej um número rel. Mrcmos um ângulo com medid rdinos, n circunferênci unitári com centro n origem e sej ret y x. Sej P o ponto de interseção d ret y x com ess circunferênci. Denomin-se seno de, ordend 0P, cos de bciss 0P. Sej Q o ponto de interseção d ret y x com ret x. Denomin-se tngente de o comprimento do segmento AQ.

37 Sej T o ponto de interseção d ret y x com ret y. Denomin-se cotngente de o comprimento do segmento BT. Função seno Denomin-se função seno função f:,que ssoci cd rel x, o número rel 0P senx, isto é, f(x) senx. Observções:. A imgem d função seno é o intervlo [-, ], isto é,- senx pois se P está no círculo, su ordend pode vrir de.. A função seno é periódic e seu período é π, portnto, senx sen(x + k. π ) 7 ) f ( x) sen( x) b) f ( x) sen( x) Função coseno Denomin-se função coseno função f:,que ssoci cd rel x, o rel 0P cos(x), isto é, f(x) cosx. A imgem d função coseno é o intervlo [-, ], isto é,- cosx A função coseno é periódic e seu período é π. ) f ( x) cos( x) + b) f ( x) cos( x + π )

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39 Funções tngente, secnte, cotngente e cossecnte 9 Esss funções são definids em termos de seno e coseno. As funções tngente, secnte, cotngente e cossecnte são denotds pelos símbolos tg, sec, cotg e cosec e definids por: tg(x) sen( x) cos( x), cotg(x) cos( x ) sen( x ), sec( x) cos( x) e cosec( x) sen( x) Função tngente Ddo um número rel x cd x em D {x x π + kπ, denomin-se função tngente função f: D que ssoci π + k π, k Z } o comprimento do segmento AQ, isto é, f(x) tg(x). A função tngente é periódic e seu período é π. Funções secnte e cossecnte f ( x) sec( x) f(x) cotg(x). Relções Trigonométrics mis comuns: sen(x+y) sen x cos y + cos x sen y sen(x-y) sen x cos y - cos x sen y cos(x+y) cos x cos y - sen x sen y cos(x-y) cos x cos y + sen x sen y sen x + cos x sec x + tg x cosec x + cotg x