1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.

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1 As grndezs A, B e C são tis que A é diretmente proporcionl B e inversmente proporcionl C. Qundo B = 00 e C = 4 tem-se A = 5. Qul será o vlor de A qundo tivermos B = 0 e C = 5? B AC Temos, pelo enuncido, A = k, onde k é um constnte. Assim, = k. C B A Então =, ou sej, A =

2 A linh poligonl d figur seguir foi desenhd no plno crtesino, tem origem no ponto A = ( 0, 0 ), cd um dos seus ldos mede e segue sempre o mesmo pdrão. A O ponto B dess poligonl é tl que o comprimento do pedço AB d poligonl é igul 03. Determine s coordends do ponto B. O pdrão de repetição é A A poligonl de comprimento 4 termin no ponto (, 0), pois há dois ldos horizontis. A poligonl de comprimento 0 terminrá no ponto (006, 0). O ponto B é tingido com mis um ldo horizontl. Portnto, B = (007, 0).

3 3 Um prç retngulr ABCD tem 300m de comprimento e 00m de lrgur, e está representd n figur ixo n escl :00. O ponto P do ldo AB é tl que, quem cminh em linh ret de P té D percorre um distânci igul à de quem cminh, sore o contorno d prç, de P té C, pssndo pelo ponto B. D 3 C A P B Determine distânci percorrid, em metros, por quem cminh em linh ret de P té D. Sej AP = x. Então PB = 3 x. Como PD = PB BC temos: x = 3 x 4 x = 5 x. Elevndo o qudrdo, 4 x = 5 0 x x x =,. Assim, PD = PB BC = 3, =, 9. Como escl é de pr 00, distânci de P té D é de 90m. 3

4 4 Dois números reis são tis que su som é igul 8, e som dos seus qudrdos é igul 4. ) Clcule o produto desses números. ) Clcule diferenç (o mior menos o menor) desses números. Sejm e os números procurdos. Temos = 8 e = 4. ) Elevndo o qudrdo primeir relção temos: ( ) = 64 4 = 64 = =. ) Por outro ldo, ( ) = = 4 = 0 Portnto, = 0 = 5. 4

5 5 Em um mercdo de pescdos, o gerente se que, qundo o quilogrm de peixe de primeir qulidde é nuncido, no início do di, por um preço de p reis, o mercdo vende um quntidde n = 400 5p quilogrms nesse di ( 0 p 60 ). No fim do di, quntidde de quilogrms vendidos é conhecid, e o gerente pg o fornecedor qunti de 00 reis mis 0 reis por quilogrm vendido. ) Determine qunti que o gerente rrecd, qunto pg o fornecedor e qul é o seu lucro qundo nunci o preço p = 3 reis por quilogrm. ) Determine o preço que o gerente deve nuncir pr que seu lucro sej máximo. ) Se p = 3, então n = 400 5p = = 40. A rrecdção: A = pn = 3 40 = 7680 reis. O gerente pg: Q = 00 0n = = 600 reis. Lucro: L = A Q = = 5080 reis. ) Arrecdção: A = pn = p( 400 5p ) = 400p 5p. O gerente pg: Q = 00 0n = 00 0( 400 5p ) = p. Lucro: L = A Q = 400p 5p ( p ) = 5p 450p 400. L = 5p 450p 400. O lucro é um função qudrátic de vriável p, onde 0 p 60. O lucro máximo é encontrdo pr p 450 = = 45 ( 5) reis. (Oserve que esse vlor pertence o intervlo 0 p 60 ). 5

6 6 Cristóvão Colomo iniciou primeir vigem do descorimento d Améric ns Ilhs Cnáris (longitude 5 o W) e nvegou diretmente pr oeste, seguindo o prlelo 8 o. Se não tivesse, nos últimos dis, se desvido um pouco pr o sul, teri descoerto Améric no lugr que hoje se chm Co Cnverl (longitude 80 o W). A figur ixo mostr o equdor d Terr, o prlelo 8 o e o meridino de Greenwich. As Ilhs Cnáris estão no ponto P, o Co Cnverl no ponto Q, e os rcos OA, AP e AQ medem, respectivmente, 8 o, 5 o e 80 o. N meridino de Greenwich Q P A prlelo 8 o O equdor Trjetóri imginári de Colomo Ddos: sen8 o = 0,47 cos8 o = 0,88 tn8 o = 0,53 Comprimento do equdor d Terr = km. S Determine o comprimento proximdo do percurso PQ d figur cim. Sej C o centro d Terr e C' o centro d circunferênci do prlelo 8. C' r 8 o A C 8 o O O ângulo centrl OCA mede 8 o. As rets C'A e CO são prlels. Logo, o ângulo C'AC mede tmém 8 o. Sendo o rio d Terr e r o rio do prlelo 8, temos r = cos8 = 0, 88. O comprimento do equdor é C = π km. 0 = 6 o

7 O comprimento do prlelo 8 é: C = πr = π 0, 88 = π 0, 88 = , 88 8 = A diferenç ds longitudes dá medid do rco PQ: rc( AQ ) rc( AP ) = 80 5 = 65. O comprimento do rco PQ é igul CPQ = km. o o o 3500 km. 7

8 7 A sequênci de números nturis que se vê seguir foi construíd de form que cd número nturl n foi escrito n vezes: Determine o 000 o termo dess sequênci.,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6 Qundo o último número n é escrito, quntidde de números que form escritos é ( n)n L n =. ( n) n Se < 000, o mior vlor nturl de n é 44, um vez que = 990 e = 035. Como o 990 o número é o último 44, todos os números do 99 o o 035 o são iguis 45. Logo, o 000 o número escrito é 45. 8

9 8 O piso de um enorme slão foi coerto com pequenos ldrilhos hexgonis regulres rncos e tringulres pretos. A figur seguir mostr um pequen prte do piso do slão. Determine que porcentgem do piso do slão é pret. Considere o ldrilho formdo por um hexágono e dois triângulos equiláteros construídos sore ldos opostos: Esse ldrilho core, sem superposição, o plno. Assim, porcentgem d superfície desse ldrilho, que é pret, é mesm porcentgem do plno todo, que é pret. O ldrilho cim á formdo por oito triângulos equiláteros iguis, dos quis dois são pretos. Assim porcentgem do ldrilho que é pret é de = = 0, 5 = 5%. 8 4 Como o piso do slão é muito grnde em relção o ldrilho, porcentgem do piso do slão, que é pret, é tmém de 5%. Pode-se dizer tmém que porcentgem do piso do slão, que é pret, é proximdmente de 5%, porque o vlor exto depende d form do slão. 9

10 9 Antônio tem no olso três ls de limão, três de tngerin e qutro de ment, tods com o mesmo tmnho e specto. etirndo do olso dus ls o cso, qul é proilidde de que pelo menos um sej de ment? Numerndo s ls como L, L, L3, T, T, T3, M, M, M3, M4, o número de mneirs de retirr o 0 = cso dus dels é C 45. O número de mneirs de retirr dus ls, sendo nenhum de ment, 6 = é C 5. 5 A proilidde de que n retird de dus ls nenhum sej de ment é = A proilidde de que pelo menos um sej de ment é p = =

11 0 Qundo dus resistêncis elétrics de vlores e são disposts em prlelo (figur ixo), o vlor d resistênci equivlente às dus primeirs é ddo por =. esistêncis em prlelo esistênci equivlente A figur seguir mostr dus semirrets AX e BY perpendiculres à ret r. N primeir foi mrcdo o ponto A', de form que A A =, e n segund foi mrcdo o ponto B', de form que B B =. As rets A B e A B cortrm-se em P e foi trçdo o segmento P P perpendiculr r. X Y A' P B' A P' B r Mostre que PP' é igul o vlor d resistênci. X Y Sejm A P = e P B =. D semelhnç entre os triângulos A P P e AB B tem-se: PP =. D semelhnç entre os triângulos B P P e BA A tem-se: PP =. A' A P P' B B' r

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