RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

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1 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-7 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Sore números reis, é correto firmr: () Se é o mior número de três lgrismos divisível por 7, então som de seus lgrismos é igul. () Se é um múltiplo de, e é um múltiplo de 4, então. é múltiplo de 6. (4) Se c e é divisor de, então c é múltiplo de. (8) Se e são números reis tis que, então é positivo. (6) Pr quisquer números reis e,. () Ddos quisquer números reis, e c, se, então.c.c. () VERDADEIRO. Sej o mior múltiplo de 7 pertencente o intervlo ], [. Como divisão : 7 tem quociente 4 e resto 6, então o mior múltiplo de 7 pertencente o intervlo considerdo é E som dos lgrismos de 994 é. () VERDADEIRO. Sendo um múltiplo de, e um múltiplo de 4, então. é múltiplo de, e, portnto múltiplo de 6. (4) FALSO. Se é divisor de, k.. Então, c k (k ). Logo c é múltiplo de. Eemplo: Considerndo c, 8 e 4, 8 4. O número não é múltiplo de 8. (8) FALSO. O número rel é sempre um número rel não negtivo e sendo, então é um número não negtivo podendo então ter-se e. (6) FALSO. Se e são números reis, sendo > e <,. Tomndo-se 8 e, por eemplo, 8 8 e 8 > () Flso, pois sendo e quisquer números reis com e c um número negtivo, então.c.c.

2 Questão Um comercinte compr determindo produto pr revender. A diferenç entre o preço de vend e o preço de custo, qundo positiv, é chmd de lucro por unidde. O comercinte esteleceu um preço de vend tl que o seu lucro sej 5% do preço de custo. Com se nesss informções, é correto firmr: () O lucro totl otido é diretmente proporcionl à quntidde vendid. () O preço de vend é 5% mior que o preço de custo. (4) Se o comercinte conceder um desconto de % sore o preço de vend, então terá um lucro de % sore o preço de custo. (8) Se o preço de custo umentr em %, e o preço de vend for mntido, então o lucro será 4% do preço de custo pós o umento. (6) Se o comercinte fizer um promoção do tipo Leve 4 uniddes e pgue pens, então isso representrá, pr o cliente, um desconto totl de 5%. () Se, nos meses de jneiro e fevereiro de 6, o lucro do comercinte cresceu eponencilmente um t mensl de % em relção o mês nterior, então, o finl de fevereiro, o lucro foi 4,4% mior que o lucro o finl de dezemro de 5. () VERDADEIRO. OBJETOS CUSTO VENDA LUCRO,5,5,, 4,5,5 : : : : n n,5n,5n Qundo se multiplic o custo por determindo vlor, vend e o lucro são utomticmente multiplicdos pelo mesmo vlor, logo s três grndezs são diretmente proporcionis. () FALSO. Se o preço de vend fosse 5% mior que o preço de custo, o preço de vend seri,5n e não,5n. (4) VERDADEIRO. Concedendo um desconto de % sore o preço de vend, mercdori seri vendid por,8.,5,. Nesse cso o lucro sore o preço de custo seri de %. (8) FALSO. Se o preço de custo umentr em %, então o novo custo será de,. Ficndo mntido o preço de vend, então o lucro será de (,5,),4, ou sej, 4% do custo inicil e não do custo pós o umento.

3 (6) VERDADEIRO. N promoção do tipo Leve 4 uniddes e pgue pens, o cliente pgrá por 4 ojetos o invés de 4, o que lhe dá um desconto no vlor de, 4 que corresponde um desconto de 5%. () VERDADEIRO. DEZEMBRO/5 JANEIRO/6 FEVEREIRO/6 L,L,44L A diferenç entre os lucros dos meses de fevereiro e dezemro é de,44l L,44L 4,4%L. Questão Com se nos conhecimentos sore funções, é correto firmr: () Se função fim m(),, é crescente, então > ou >. () Se função fim p(),, é decrescente, então função é negtiv pr todo <. (4) Se função qudrátic n() c é pr, então. (8) Se figur represent um esoço do gráfico d função qudrátic r() c, então é um número rel negtivo. (6) Se função qudrátic h() 4 c dmite vlor máimo no ponto de sciss, então c 4. () Se função rel f() 4 c, com, possui pens dus rízes reis positivs distints, entre sus rízes, então função qudrátic g() c possui dus rízes reis positivs distints. () VERDADEIRA. Considerndo o gráfico o ldo como gráfico de m(). Como função fim m(),, é crescente, então >, logo proposição > ou > é verddeir.

4 () FALSA. Considerndo o gráfico o ldo como gráfico de p(). Se função fim p(),, tem como riz. então é positiv pr todo <. (4) VERDADEIRA. Se, então função qudrátic n() c é do tipo n() c que é pr, pois nos seus dois termos vriável está sumetid epoente pr, ou sej, f() f( ). (8) VERDADEIRA. Se figur represent um esoço do gráfico d função qudrátic r() c, então >. A sciss do vértice d práol o ldo, >. Sendo um número positivo, é positivo e como > > <. (6) VERDADEIRA. Considere-se s proposições: ) p: função qudrátic h() 4 c dmite vlor máimo no ponto de sciss e ) q : c 4. Se função qudrátic h() 4 c dmite vlor máimo no ponto de sciss, então o vértice d função é V (, ). Sendo h() () 4() c 4 8 c c 9 4 h() ( 6 4( 9 4) ) ( 9 4) 4 ± que p é um proposição fls, pois função h() dmite vlor mínimo e não máimo. Sendo, c c 4 proposição q é verddeir. Como p é um proposição fls, conclui-se então que proposição Se função qudrátic h() 4 c dmite vlor máimo no ponto de sciss, então c 4 é verddeir, qulquer que sej o vlor lógico de q. () VERDADEIRA. Se função rel f() 4 c, com, possui pens dus rízes reis positivs distints, entre sus rízes, então função qudrátic g() c possui dus rízes reis positivs distints, pois s rízes d função iqudrd 4

5 f() 4 c, com, são s rízes qudrds ( e seus simétricos) ds dus rízes d função g() c. Questão 4 A vitmin C é hidrossolúvel, e seu proveitmento pelo orgnismo humno é limitdo pel cpcidde de sorção intestinl, sendo o ecesso de ingestão elimindo pelos rins. Supondo-se que, pr doses diáris inferiores mg de vitmin C, quntidde sorvid sej igul à quntidde ingerid e que, pr doses diáris miores ou iguis mg, sorção sej sempre igul à cpcidde máim do orgnismo que é de mg, pode-se firmr, sore ingestão diári de vitmin C, que são verddeirs s proposições () Pr ingestão de té mg, quntidde sorvid é diretmente proporcionl à quntidde ingerid. () Pr ingestão cim de mg, qunto mior for ingestão, menor será porcentgem sorvid de vitmin ingerid. (4) Se um pesso ingere 8mg em um di e mg no di seguinte, então médi diári d quntidde sorvid nesses dois dis foi de mg. (8) A rzão entre quntidde ingerid e quntidde sorvid pelo orgnismo é igul. (6) A função f que represent quntidde de vitmin C sorvid pelo orgnismo, em função d quntidde ingerid, é dd por, se < f(), se () FALSO. O gráfico io represent quntidde de vitmin C sorvid pelo orgnismo em função d quntidde que foi ingerid. () VERDADEIRA. Supondo-se que, pr doses diáris inferiores mg de vitmin C, quntidde sorvid sej igul à quntidde ingerid, então pr ingestão de té mg, quntidde sorvid é diretmente proporcionl à quntidde ingerid e rzão de proporcionlidde. 5

6 () VERDADEIRA. Pr ingestão cim de mg, qunto mior for ingestão, menor será o percentul d cpcidde máim de vitmin C sorvid pelo orgnismo em relção à quntidde mg ingerid ( qundo ) é. O número será menor à medid que ument de vlor. (4) FALSO. Se um pesso ingere 8mg em um di seu orgnismo sorve 8mg e se ingere mg no di seguinte, nesse di o seu orgnismo sorve mg. A médi diári d 8 quntidde sorvid nesses dois dis foi de 9mg. (8) FALSO. A rzão entre quntidde ingerid e quntidde sorvid pelo orgnismo somente é igul qundo ingerir um quntidde inferior mg. (6) VERDADEIRA. A função f que represent quntidde de vitmin C sorvid pelo orgnismo, em função d quntidde ingerid, é dd por, se < f(), se () FALSO. O gráfico io é o que represent quntidde de vitmin C sorvid pelo orgnismo em função d quntidde que foi ingerid. Questão 5 Considerndo-se s funções f() e g(), definids pr todo rel, e função h () log, definid pr todo rel positivo, é correto firmr: () O domínio d função h g é o conjunto dos números reis positivos. f. h () A função se nul em dois pontos. f o g (4) A função compost h o g é um função liner. (8) O gráfico d função h o f intercept o eio O em um único ponto. (6) O gráfico d função f o g intercept o gráfico de h() no ponto de sciss igul. () Se g(h()) 8 e h(g()) log 8, então 8. 6

7 () FALSO. O domínio d função g h log é solução do sistem > > e S { R *, com } log () FALSO. Considerndo-se s funções f() e g(), definids pr todo rel, e função h () log, definid pr todo rel positivo, é correto firmr: f.h f o g ( ).log ou log e ou Considerndo-se s funções f() e g(), definids pr todo rel, e função h () log, definid pr todo rel positivo, é correto firmr: (4) VERDADEIRO. A função compost h o g log ( ) log é um função liner. (8) VERDADEIRO. O gráfico d função h o f log ( ) intercept o eio O em um único ponto (,). (6) VERDADEIRO. f o g() f o g() e h() log fog() h() () VERDADEIRO. g(h()) 8 g(h()) h() 8 h() log 7. h(g()) log 8 log (g()) log8 g() Questão 6 Com se nos conhecimentos sore mtrizes, determinntes e sistems lineres, é correto firmr: () Se dus mtrizes qudrds de mesm ordem, A e B, são simétrics, então mtriz (A B) tmém é simétric. () Se mtriz é inversível, então é um número rcionl. 7

8 8 (4) Se é um número rel não nulo e, então. (8) Se o sistem liner é impossível, então 7. (6) O sistem liner ( ) ( ) ( ) ( ) c é possível e determindo, quisquer que sejm os vlores reis de, e c. () Eiste um número rel, não nulo, tl que o sistem liner homogêneo z z dmite um únic solução. () VERDADEIRO. Tomemos os seguintes eemplos de mtrizes simétrics A c f e f d e d e B z p n p m n m. Determinemos mtriz (AB) z c p f n e p f m d n e m d que é simétric, pois,,,,, e,,. () FALSO. Se mtriz é inversível, então ± pode ser um número rcionl ou um número irrcionl diferente de ±, ou sej R { ± } (4) VERDADEIRO.. ) ( ) ( (8) VERDADEIRO.. Sendo o sistem ddo um sistem liner impossível, então e 7

9 (6) VERDADEIRO. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c de, e c. pr qulquer vlor rel de. pr qulquer vlor rel de, então o sistem liner é possível e determindo, quisquer que sejm os vlores reis () FALSO. z z z z z z z z 5z 5z z 5z S,, z z z que solução não é únic, pois z é um número rel qulquer. Questão 7 Considerndo-se um triângulo retângulo isósceles ABC, um ponto D tl que AD BD e o ângulo D Bˆ C, que mede 5º, representdos n figur, é correto firmr: () O qudrilátero ADBC é um trpézio. () O triângulo ADB é equilátero. (4) O ângulo CÂD mede 5º. AB 4. DC (6) Se, então < <. AB () Se P(, ) é o ponto de interseção ds medins do triângulo ABC, sendo B(,) e C(4, ), então. () FALSO. O qudrilátero ADBC não possui um pr de ldos prlelos. (8) A áre do qudrilátero ADBC é igul ( ) 9

10 () VERDADEIRO. Sendo o triângulo ADB isósceles e o ângulo DBˆ A mede 6 o, então ele é equilátero. (4) VERDADEIRO. O ângulo CÂD mede 6 o 45 o 5º. (8) VERDADEIRO. A áre S do qudrilátero ADBC é igul à som ds áres dos triângulos ABD (equilátero) e ABC (retângulo isósceles), logo AB (6) FALSO. No triângulo DBC, isósceles, por um ds proprieddes l l l S ( ) ( ) dos triângulos, temos DC <l. Dividindo os dois memros d desiguldde pel medid AB, vem DC l DC DC < <. Então se, é flso que AB l AB AB < <. () VERDADEIRO. Como o triângulo ABC é isósceles, A e C são vértices do ldo AC prlelo O e C(4, ), então A (,). Sendo P(, ) interseção ds 4 5 medins, e, e. Questão 8 Com se nos conhecimentos sore geometri espcil, pode-se firmr: () Se um ret r e um plno α são prlelos, então tod ret perpendiculr à ret r é tmém perpendiculr o plno α. () Se um ponto P não pertence um ret s, então eiste um único plno pssndo por P, prlelo à ret s. (4) Se um ret r está contid em um plno α, e ret s é revers r, então ret s intercept o plno α. (8) Se α e β são dois plnos perpendiculres, e r é um ret perpendiculr α, que não está contid em β, então r é prlel β. (6) Se dois plnos são perpendiculres, então tod ret de um deles é perpendiculr o outro. () Três plnos distintos interceptm-se segundo um ret ou um ponto.

11 () FALSO. N figur, o ldo, ret r é prlel o plno α; ret s é perpendiculr à ret r ms não é perpendiculr o plno α. () FALSO. Eistem infinitos plnos pssndo pelo ponto P e prlelo à ret s. Ver n figur o ldo os plnos α e β, pssm mos pelo ponto P e são prlelos à ret s. (4) FALSO. A ret r está contid no plno α, e ret s é revers r, porém ret s é prlel o plno α. (8) VERDADEIRO. Os plnos α e β são perpendiculres, e r é um ret perpendiculr α, que não está contid em β, então r é prlel β. (6) FALSO. Os plnos α e β são perpendiculres. A ret r está contid no plno β, ms não é perpendiculr o plno. α. () FALSO. N figur o ldo, interseção dos três plnos distintos α, β e γ é um conjunto vzio.

12 Questão 9 N figur o ldo, todos os triângulos são retângulos isósceles, e ABCD é um qudrdo. Nesss condições, determine o quociente GH CE Como todos os triângulos são retângulos e isósceles, portnto são semelhntes. As medids dos ctetos do triângulo GCH são o quádruplo ds medids dos ctetos do triângulo CED, logo rzão de semelhnç GH é igul 4. CE RESPOSTA: 4. Questão Considerndo que os números reis, e c formm, ness ordem, um progressão geométric e stisfzem iguldde log log4c 9 determine o vlor de. log Se os números reis, e c formm, ness ordem, um progressão geométric, então c. Como, e c stisfzem iguldde log log4c 9 : log log log4c 9 log log. /.logc 9 log(c) 9 log / c 9. c 9 9 Temos então. 8 9 c Respost: 8.

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