Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles

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1 c L I S T A DE E X E R C Í C I O S CÁLCULO INTEGRAL Prof. ADRIANO PEDREIRA CATTAI Somos o que repetidmente fzemos. A ecelênci portnto, não é um feito, ms um hábito. Aristóteles Integrl Definid e Cálculo de Áre (Atulizd em de setembro de ) NOME: DATA: / / Sumário Integrl Definid Wolfrm Alph Referêncis Resposts dos Eercícios Integrl Definid Q Esboçndo região correspondente, clcule cd integrl definid utilizndo fórmul de cálculo de áre d geometri elementr. Depois, compre seu resultdo fzendo uso do TFC. () d; d; d; Q Em cd item, use os vlores () f()+ g() d; f() g() d; + d; f() d = e f() d; f() 8 g() d; d; d; d; d. g() d = pr clculr integrl definid. b b f() d; g() d; Q Identificndo região de integrção, determine os vlores e b que mimizm o vlor b f() d; g() d. d. Q Anlise cd firmtiv e julgue em verddeiro ou flso. () Se k é um constnte, então k d = k(b ); Se f for integrável e k é um constnte, então k f() d = k f() d;

2 Eercícios: um pur diversão Integrl Definid e Cálculo de Áre Se f e g forem integráveis, então Se f for integrável, então f() d = f()±g() d = c f() d± g() d; f() d+ f() d, em que c [, b]; c Se f e g forem integráveis tis que f() g(), [, b], então f() d g() d; Se f for contínu e compreendid entre dois números n e M, [, b] (isto é, n f() M), então n (b ) f() d M (b ); Se f for contínu em [, b], então eiste um número c [, b] tl que f() d = f (b ). Q Esboçndo o gráfico de cd função no integrndo (pr identificr os subintervlos de integrção) clcule cd integrl definid envolvendo vlor bsoluto. () + d; d; e d; d; sen() d. Atenção: Lembre-se que = {, se, se <. Q Enuncie o TFC e use-o pr clculr s seguintes integris definids: () d; + d; + d; d; d; (i) (j) d; ( + ) d; d; + d; (+ ) d; (k) (l) (m) (n) (o) + d; + d; (+) d; ( ) d; + d; (p) (q) (r) (s) (t) + d; + d; e d; + d; sec () d. Q 7 Com o uso de integrção, determine: () áre do triângulo delimitdo pels rets r : + =, s : = e t : = ; áre do triângulo cujos vértices são os pontos A(, ), B(, ) e C(, ). Q 8 Determine áre de cd região sombred. () = = ( cos()) sen() = sec () = sen () = = / Prof. Adrino Ctti

3 Eercícios: um pur diversão Integrl Definid e Cálculo de Áre = +cos() = = = sen() = / - = = sec() tg() - - Q Determine áre d região pln limitd simultnemente pels curvs. () = e = ; = e = + ; = ln(), = e o eio ; = 8+, =, = e = ; = e + = ; =, =, = e = ; = e, = + e = ; = e = ; (i) = ln(), = e = ; (j) =, = e = ; (k) = e = ; (l) =, = + ; = sec () = - - (m) =, = e = ; (n) =, = e = ; (o) elipse com semi eios e b; (p) + 8 e = ; (q) =, = e = ; (r) = e = +. Q Se um função f() stisfz equção f( ) = f(), Dom( f), isto é, o gráfico de f() é simétrico em relção o eio, então est função é chmd de função pr e, se um função g() stisfz equção g( ) = g(), Dom, isto é, o gráfico de g() é simétrico em relção à origem, então est função é chmd de função ímpr. Por eemplo, s funções f() = cos() e g() = sen() são eemplos de função pr e ímpr, respectivmente. () Determine: () () / / cos() d; sen() d; / () cos() d; () / sen() d; / () () / / / cos() d; sen() d. Compre o resultdos obtidos em (), () e (). Fç o mesmo com (), () e (); Verddeiro ou Flso? Se f for pr, então f() d = f() d; Se f for ímpr, então f() d =. Q Sbendo que f é um função pr e que () f() d; f() d; f() d =, determine: f() d; f() d. Q Sbendo que f() d =, é verdde que f() =, [, ]? Q Complete dequdmente: A integrl indefinid f() d denot um fmíli de de f, enqunto integrl definid f() d é., cd um ds quis é um Prof. Adrino Ctti

4 Eercícios: um pur diversão Integrl Definid e Cálculo de Áre Wolfrm Alph O Wolfrm Alph é um mecnismo de conhecimento computcionl desenvolvido por Stephen Wolfrm e su empres Wolfrm Reserch. Ecelente ferrment que se demonstr como um verddeir fonte dinâmic de conhecimento. Acesse pelo endereço ou bie seu plictivo pr ios ou Android. Alguns comndos úteis pr integris:. Digitndo int f() ele eibirá fmíli de primitivs de f();. Digitndo int f(),=..b ele eibirá o vlor d integrl definid f() d;. Digitndo f()=g() ele eibirá o conjunto solução dest equção, lém de d visulizção gráfic, uilindo n identificção e cálculo d áre de regiões limitds por funções. Referêncis. Jmes Stwrt Cálculo;. Louis Leithold O Cálculo com Geometri Anlític;. Piskunov N. Cálculo Diferencil e Integrl;. Div Flemming Cálculo A;. Elin Prtes UFBA. Resposts dos Eercícios Cso encontre lgum divegênci entre su respost e digitd qui, não entre em pânico. Vej se lghum juste lgébrico encerr ess divergênci. Aind persistindo, confir sus conts com uílio do WolfrmAlph pelo endereço ou me consulte. Identificndo lgum erro ns resposts presentds, ficrei muito grto com su coleborção envindo seu comentário pr ou, preferencilmente, me informe pessolmente. Q () áre de retângulo, ; áre de triângulo, 8; áre de triângulo, ; áre de triângulo mis áre de retângulo, ; áre de triângulo, /; áre de retângulo, ; áre de triângulo, /; áre de triângulo,. Q () + = 8; = ; ; 8 = ; ; ; ;. Q Primeiro esboce prábol de concvidde voltd pr bio e rízes e. Conclu que = e b =. Q Tods são verddeirs. Els representm s proprieddes d integrl definid. O item é o teorem do vlor médio pr integris. Use ilustrções gráfics pr rgumentr vercidde ds firmtivs. Q () d+ + d = ; d+ + d+ d = ; e + d+ / e d = /e+e ; + d+ d = /; sen() d+ sen() d =. / Prof. Adrino Ctti

5 Eercícios: um pur diversão Integrl Definid e Cálculo de Áre Q () 8/; /; /; 8 /; /; ln(/); /8; /; (i) ; (j) /; (k) ; (l) /; (m) 78; (n) ; (o) 8; (p) ; (q) ; (r) e e ; (s) ; (t). Q 7 () Mrque os pontos de interseção ds rets (dus dus), que são: t r = (, ), t s = (, ) e r s = (, ). Por fim, obtenh áre d região pel som de integris: d+ d = ; Mrque os três pontos no plno e, prtir de sus coordends, obtenh s três rets que pss por dois vértices, são els: r AB : =, r AC : = + e r BC : =. Por fim, use integrl pr clculr áre, obtendo + + ( ) d+ ( ) d =. Q 8 () A = d + d = /; A = sen()( cos()) d+ sen()( cos()) d = / sec () ; A = ( sen ()) d = /; A = / / d + / d = /; A = / (+cos()) d = ; A = sen() / d = / /; A = sec() tg() d = / ; / / / A = sec () d+ ( ) d = / + /. / Q () (k) (p) ( ) GRÁFICOS: (q) (l) (r) (m) (i) (n) (j) Prof. Adrino Ctti

6 Eercícios: um pur diversão Integrl Definid e Cálculo de Áre ( ) RESULTADOS: () d = ; (+ ) d = ; ln() d = ln() = ln(/e); 8+ d = ; d = 8 ln(); ( ) d = ln ; e (+) d = e ; d = ; (i) ln() d = 8 ln() ; (j) d+ / d = ln() ; (k) d+ ( ) d = 7 ; (l) ( + ) d+ + d = 7 [ ] ; (m) d+ d = 8 ln(); (n) d+ d = ln() ; (o) (por substituição trigonométric) b b d = b; (p) (por substituição trigonométric) 8 d = /+; (q) + d = rctg(/ ) = ; (r) ( ) d+ d = /+/ =. Q () ; () ; () ; () ; () ; (). () = () e () = (); () = () e () = ()+() =. Ambs são verddeirs. Use ilustrções gráfics pr perceber simetri e rgumentr os resultdos. Q () ; ; ;. Q Flso. Como contr-eemplo temos função f() = sen(), qundo =. Q Primitivs; primitiv; um constnte. Mteril escrito em LATEX ε, Ctti, de setembro de Prof. Adrino Ctti

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