5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

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1 MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics x reis n qul M = f (M). ) Se M é um mtriz simétric x então M é do tipo b. b c 5) Pr b = temos: + e s mtrizes são: = = = ± M = ou M = Respost: As mtrizes M são,, e Dest form, f (M) = b c b e M b = f (M). b b = b c b c c b + b b + bc = b b + bc b + c c b + b = b (I) b + bc = (II) b + bc = c (III) b + c = b (IV) ) De (II) e (III) temos = c De (I) e (IV) temos = c = ± c = c ) Substituindo em (II) result b + b = b = (b ) = = ou b = ) Pr = temos: + b = b b = ou b = e s mtrizes são M = ou M = IME (onhecimentos Geris) Novembro/6

2 Resolv inequção, onde x Œ. ) x + x + x 9x ) > x + 9x > x + 9x + x +. > x + + x + Resolv o sistem de equções, onde x Œ e y Œ. log (log x) log (log y) = y x = ) ondições de existênci: ) x > e y > b) log x > log x > log x > log y > log y > log y > Assim, devemos ter x > e y > 9x + x + > 9x + x + > x + ( x) + x + > + x + < ou + x +> ) + x +< x + < x Œ, pois x + ) + x +> x +> x + > x > x > Respost: V = { x Œ x > } = R + * ) log log x log log y = log log x log log y = log log x log log y = log log x log log y = log x log x log = = log y log y log x = log y log x = log y (I) ) y x = log y x = log log y x = log y + log x log x = log y = log y + log x = 6 log y + log x = 9 (II) ) Ds equções (I) e (II), result: 6 log y + log y = 9 IME (onhecimentos Geris) Novembro/6

3 log y + log y = log y = ou log y = (que não serve, pois y > ) 5) Pr log y = result y = e log x =. () 6 log x = x = = x = 8. Respost: V = 8. ; lssifique o sistem bixo como determindo, possível indetermindo e impossível de cordo com os vlores reis de m. ) O determinnte do sistem é (m ) D = m = m (m + ) (m + ) = (m ). m (m + ) + 8m (m + ) + m (m + ) (m + ) (m ) D = m m + m D = m m + m = m =, m = ou m = ) Se m, m e m o sistem é possível e determindo. ) Se m =, o sistem fic: As mtrizes incomplet e complet desse sistem são MI = (m )x + y z = m + x + my + z = m + mx + (m + )y + (m + )z = m + x + y z = x + z = y + z = e M = tem crcterístics p e q tis que p = q = <. O sistem é possível e indetermindo. ) Se m =, o sistem fic: x + y z = x + y + z = x + y + z = Nestes csos MI = M = A crcterístic de MI é p =, pois q =, pois sistem é incomptível. 5) Se m =, o sistem fic: e e =. A crcterístic de M é y z = x + y + z = 6 x + 6y + z =. Assim, p q e o D primeir e segund equções, result: (y z) +. (x + y + z) = +. 6 x + 6y + z = 5, incomptível com terceir equção. O sistem é impossível. Respost: Se m, m e m, o sistem é possível e determindo. Se m =, o sistem é possível e indetermindo. Se m = ou m =, o sistem é impossível. IME (onhecimentos Geris) Novembro/6

4 5 Sejm os complexos z = + bi e w = 7 + ci, tis que z + w =. Determine o vlor de, b e c, sbendo que esses números são inteiros e positivos. ) Pr z = + bi e w = 7 + ci, temos: z + w = ( + bi) + (7 + ci) = = + bi b b i ci = = ( b + 7) + ( b b + c) i omo z + w =, result: (b ) = 7 (I) c = b b (II) ) Sendo, b e c inteiros e positivos, e sendo 7 um número primo, d equção (I) devemos ter =. Aind d equção (I), result:. (b ) = 7 b = 6 b =, pois b > ) Substituindo n equção (II), result: c =.. c = 5. Respost: =, b = e c = 5 6 b + 7 = b b + c = Um triângulo A tem o seu vértice A n origem do sistem crtesino, seu bricentro é o ponto D(,) e seu circuncentro é o ponto E(55/8, 5/6). Determine: equção d circunferênci circunscrit o triângulo A; s coordends dos vértices e ) Se o circuncentro é o ponto E ; e um dos 8 6 vértices do triângulo é A (, ), o rio d circun - ferênci circunscrit é A equção dess circunferênci é x + y = 8 6 x 55 5 x + + y 5 5 y + = = ) ) Sej M A (x m ; y m ) o ponto médio do ldo. Pel propriedde do bricentro, temos: AD = DM. Assim, x D x A = (x M x D ) = (x M ) x M = De modo nálogo y D y A = (y M y D ) = (y M ) y M = Dest form, M 9 A ; b) A meditriz (r) do ldo é ret EM A e tem coeficiente ngulr: m r = = = A ret suporte do ldo (s) é perpendiculr à ret r e tem coeficiente ngulr M s = = c) A ret s pss por M e tem equção y = x 9 y 9 = x x + y 8 = 55 5 x + y x y = 9 R = = + = = 6 = 5 8 d) Os vértices e são s intersecções d ret S com circunferênci circunscrit. x + y 55 x 5 y = (I) 9 x + y 8 = (II) IME (onhecimentos Geris) Novembro/6

5 D equção (II) result y = 6 Substituindo n equção (I), temos: x x 55 5 x + 6 x 6 = 9 x x + 6 8x + 55x x + = x + 7x + x 55x 9 + x = x 7x + = x 9x + 8 = x = ou x = 6 x. Pr x = tem-se y = 6 =. 6 Pr x = 6 tem-se y = 6 = y r M D 5 6 E s A x Respost: * A equção d circunferênci circunscrit é x + y 55 5 x y = 9 * As coordends dos vértices e são (; ) e (6; ) 5 IME (onhecimentos Geris) Novembro/6

6 7 cos x sen x Se + =, clcule o vlor S. cos y sen y cos y + cos y sen y sen y S = + cos x sen x Lembrndo que sen (y) = sen y sen y sen y sen (y) = sen y e cos (y) = cos y cos y cos y + cos (y) = cos y A expressão S é tl que cos S = y sen + y S cos = y sen + y (I) cos x sen x cos x sen x cos x sen x ) D expressão + = result cos y sen y cos y sen y sen y cos y =, = e sen (x + y) = sen y. cos y cos x (sen x + sen y) sen x (cos x + cos y) cos ) y sen + y = cos cos y y. + sen sen y y. = cos sen y y. + sen y = cos x sen x cos x sen x cos y sen x + sen y cos x + cos y cos y sen y = sen y. cos y. + = sen y. cos y. = sen x + sen y cos x + cos y cos x cos y + cos y + sen x sen y + sen y (sen x + sen y) (cos x + cos y) + cos (x y) = sen y. cos y = (sen x + sen y) (cos x + cos y) x y cos = sen y. cos y = x + y x y x + y x y sen cos. cos cos sen y. cos y sen (x + y) = sen y. cos y = = = x + y x + y sen (x + y) sen (x + y) sen cos cos Assim, y sen + y S =, que susbstituído n expressão (I) result = S = cos x sen x Observção: Pode-se obter S dotndo um vlor pr y (por exemplo 5 ) e, prtir d equção dd obter um vlor pr x (por exemplo 65 ), ms isto não grnte unidde de S. Respost: S = IME (onhecimentos Geris) Novembro/6 6

7 8 Sej A = {,,, }. Qunts funções de A pr A têm extmente ele - mentos em seu conjunto imgem? Entre s 56 funções de A pr A, sorteim-se s funções f e g, podendo hver repetição. Qul probbilidde d função compost f o g ser um fun - ção constnte? I) ) Existem P =! = funções cujo conjunto im - gem tem elementos. ) Qundo o conjunto imgem tem elementos, dois elementos do domínio estão ssocidos à mesm imgem. Existem ; forms de es - colher estes ele mentos, forms de escolher su imgem e A ; forms de ssocir os outros dois elementos, totlizndo ;.. A ; = funções. ) Qundo o conjunto imgem tem elementos, existem s seguintes possibiliddes:.) O domínio possui dois grupos de dois ele - mentos, cd um deles ssocido um imgem distint. Neste cso são ;. A ; = 6 funções..) O domínio possui um grupo de três ele - mentos ssocido um imgem e um elemento sozinho ssocido outr im - gem. Neste cso são ;. A ; = 8 fun - ções. Dest form existem = 8 funções, cujo conjunto imgem possui elementos. ) Qundo o conjunto imgem tem só elemento, função é constnte e neste cso só existem fun ções. II) ) Se o conjunto imgem de g tiver ele men - tos, f de verá ser constnte e, portnto exis - tem x = 96 funções fog constnte. ) Se o conjunto imgem de g tiver elementos, função f deverá ssociá-los um único ele mento e, neste cso, existem x x = funções fog constntes. ) Se o conjunto imgem de g tiver elementos, função g deverá ssociá-los um só elemento e, neste cso, existem 8 x x x = 576 funções fog constntes. ) Se o conjunto imgem de g tiver só elemento, (for constnte) função f poderá ser qulquer e, neste cso, existem x 56 = função fog constntes. 7 Ao ldo são = 88 funções fog constnte e probbilidde disso ocorrer é P = = = 56 x56 56 x 8 8 Resposts: ) 8 funções f: A Æ A cujo conjunto imgem tem elementos. 75 b) A probbilidde de fog ser constnte é. 8 IME (onhecimentos Geris) Novembro/6

8 9 Em um triângulo A, medid d bissetriz intern AD é médi geométric entre s medids dos segmentos D e D, e medid d medin AM é médi geométric entre os ldos A e A. Os pontos D e M estão sobre o ldo de medid. Pede-se determinr os ldos A e A do triângulo A em função de. ) c A A figur AM é medin reltiv o ldo e, conforme enuncido, é médi geométric entre os ldos A e A, portnto AM = b. c. Pel relção de Stewrt, temos: A. M + A. M AM. = M. M. c. + b. bc. =.. c + b bc = (b c) = M b ) Pelo teorem d bissetriz, D D p q p + q = = = = A A c b b + c b + c c b p = e q = b + c b + c Dess form, AD c b = D. D = p. q =. b + c b + c AD bc bc = AD = (b + c) b + c b) Assim, bc =. bcp (p ) b + c b + c p (p ) = ( + b + c) + b + c. = ( + b + c) (b + c ) = (b+ c) = (b+ c) = b + c = (II), pois b + c > ) Ds equções (I) e (II), resultm: b c = (I), supondo b > c b c = b + c = b + c = b = ) c A p D b q b = c = Resposts: Supondo A > A, tem-se: Lembrndo que o comprimento d bissetriz AD do ângulo interno ^A do triângulo A é ddo por + b + c AD =. bcp (p ), onde p =, e, b + c conforme enuncido AD = D. D, temos: A = e A = IME (onhecimentos Geris) Novembro/6 8

9 Em um cone equilátero são inscrits dus esfers de rios R e R, conforme figur bixo. Um plno secnte o cone é trçdo de form que este sej tngente às + dus esfers. Determine em termos de R o mior segmento possível que une dois pontos d curv formd pel interseção do referido plno com o cone. PF + PF = PA + P = A. omo distânci de A té é sempre constnte, independente d ger - triz considerd, o ponto P pertence um elipse de focos F e F, cujo eixo mior tem mesm medid de A (Teorem de Dndelin). ) Dest form, o mior segmento possível sobre curv formd pel interseção do referido plno é o eixo mior d elipse e tem mesm medid do segmento A d demonstrção nterior. ) V r r A O R R P M Q A onsidere O e os centros ds dus esfers. No triângulo VA, temos: F F P A r tg = = = VA VA O VA = r =. R = + = R = R P M ) Sejm F e F os pontos de tngênci do plno secnte com s esfers menor e mior, l e l s circunferêncis determinds pels tngêncis dests esfers com superfície cônic A, e P três pontos sobre um mesm gertriz qulquer do cone, com A Œ l, Œ l e P pertencente o plno secnte. ) Lembrndo que por qulquer ponto externo um esfer dois segmentos tngentes são sempre congruos, temos: Q 9 No triângulo VO, temos: O R tg = = = V = R V V Assim, A = V VA = R R = R Respost: R IME (onhecimentos Geris) Novembro/6

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