Pontos onde f (x) = 0 e a < x < b. Suponha que f (x 0 ) existe para a < x 0 < b. Se x 0 é um ponto extremo então f (x 0 ) = 0.

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1 Resolver o seguinte PPNL M (min) f() s. [, ] Pr chr solução ótim deve-se chr todos os máimos (mínimos) locis, isto é, os etremos locis. A solução ótim será o etremo locl com mior (menor) vlor de f(). É clro que se = ou = o prolem pode não ter solução. = f() (i) M f() s. (-, ] = f() (ii) Min f() s. [, ) Eistem três tipos de pontos que podem ser cndidtos máimos (mínimos) ou cndidtos etremos: (i) Pontos onde f () = 0 e < < [ponto estcionário de f()]; (ii) Pontos onde f () não eiste e (iii) Pontos etremos do intervlo [, ]. Pontos onde f () = 0 e < <. Suponh que f ( 0 ) eiste pr < 0 <. Se 0 é um ponto etremo então f ( 0 ) = 0. Como determinr se 0 é um máimo ou mínimo locl qundo f ( 0 ) eiste. = f() 0 () f ( 0 ) = 0 () f ( 0 ) = 0 Pr < 0 f ( 0 ) > 0 Pr < 0 f ( 0 ) < 0 Pr > 0 f ( 0 ) < 0 Pr > 0 f ( 0 ) > 0 0 é um máimo locl 0 é um mínimo locl = f() 0 1

2 Pels figurs pode-se ver se f () pss de positivo pr negtivo qundo pss por 0 então 0 é um máimo locl. Assim se f ( 0 ) < 0, então 0 é um máimo locl. De form semelhnte pode-se ver se f () pss de negtivo pr positivo qundo pss por 0 então 0 é um mínimo locl. Assim se f ( 0 ) > 0, então 0 é um mínimo locl. Pontos onde f () = 0 e < <. Eistem pontos onde derivd é nul, no entnto, eles não são etremos. Oserve s ilustrções seguintes que mostrm que f ( 0 ) = 0 e 0 não é nem máimo e nem mínimo. f ( 0 ) eiste e é nul no ponto 0, ms ele não é um máimo nem um mínimo locl. = f() () f ( 0 ) = 0 f( 1 ) < f( 0 ) f( 2 ) > f( 0 ) 0 não é um etremo = f() () f ( 0 ) = 0 f( 1 ) > f( 0 ) f( 2 ) < f( 0 ) 0 não é um etremo Se f ( 0 ) = 0 e f ( 0 ) < 0, então 0 é um máimo locl. Se f ( 0 ) = 0 e f ( 0 ) > 0 então 0 é um mínimo locl. O que contece se f ( 0 ) = 0 e f ( 0 ) = 0? Nesse cso será necessário plicr o Teorem cinco. Se f ( 0 ) = 0, e 1. N derivção sucessiv ordem d primeir derivd não nul em 0 (f (3) ( 0 ), f (5) ( 0 ),...) é ímpr, então 0 não é nem um máimo e nem um mínimo; 2. N derivção sucessiv primeir derivd não nul em 0 é positiv e é de ordempr, então 0 é ummínimo locl; 3. N derivção sucessiv primeir derivd não nul em 0 énegtiv e é de ordempr, então 0 é ummáimo locl; 2

3 Pontos onde f () não eiste. Se f() não tem derivd no ponto 0, então ele pode ou não ser um ponto etremo. Neste cso pode-se determinr se 0 é um ponto etremo verificndo o vlor de f() nos pontos 1 < 0 e 2 > 0 próimos de 0. Os qutro csos possíveis estão colocdos n tel seguinte. Como determinr se o ponto onde f () não tem derivd é ou não um ponto etremo. Relção entre f( 0 ), f( 1 ) e f( 2 ) 0 Figur f( 0 ) > f( 1 ); f( 0 ) < f( 2 ) Não é etremo (i) f( 0 ) < f( 1 ); f( 0 ) >f( 2 ) Não é etremo (ii) f( 0 ) f( 1 ); f( 0 ) f( 2 ) Máimo Locl (iii) f( 0 ) f( 1 ); f( 0 ) f( 2 ) Mínimo Locl (iv) Como determinr se 0 é um máimo ou mínimo locl qundo f ( 0 ) não eiste. Como determinr se 0 é um máimo ou mínimo locl qundo f ( 0 ) não eiste. = f() = f() = f() = f() (i) 0 não é um etremo (ii) 0 não é um etremo (i) 0 é um máimo locl (ii) 0 é um mínimo locl Pontos e (etremos) do intervlo [, ] Pel figur pode-se ver que: Se f () > 0, então é um mínimo locl; Se f () < 0, então é um máimo locl; Se f () > 0, então é um máimo locl; Se f () < 0, então é mínimo um locl; Se f () = 0 ou f () = 0 trce um figur conforme nterior pr determinr se ou podem ser um etremo locl. Os eemplos seguintes ilustrm como esss idéis podem ser utilizds pr resolver um PPNL desse tipo. 3

4 Como determinr se 0 é um máimo ou mínimo locl qundo 0 é um ponto finl. Como determinr se 0 é um máimo ou mínimo locl qundo 0 é um ponto finl. = f() = f() = f() = f() (i) f () > 0 é um mínimo locl (ii) f () < 0 é um máimo locl (iii) f () > 0 é um máimo locl (iv) f () < 0 é um mínimo locl Um monopólio tem um custo de R$ 5,00 pr produzir um produto. Se ele produz uniddes do produto cd um pode ser vendido por 10 reis (0 10). Pr mimizr o lucro qunto o monopólio deve produzir? Sej P() o lucro do monopólio se for produzids uniddes. Então: P() = (10 ) 5 = 5 2 (0 10) Nesse cso o seguinte PPNL deve ser resolvido: M P() s É necessário clssificr todos os cndidtos etremos: Cso 1: P () = 5 2, então P (2,5) = 0. Um vez que P () = -2, = 2,5 é um máimo locl, que fornece um lucro de P(2,5) = 6,25. Cso 2: P () eiste em todos os pontos do intervlo [0; 10], ssim não eistem cndidtos nesse cso. Cso 3: = 0, tem P (0) = 5 > 0. Assim = 0 é um mínimo locl. = 10, tem P (10) = -15 < 0. Assim = 10 é um mínimo locl. 4

5 Assim = 2,5 é o único máimo locl. O lucro será mimizdo pel escolh de = 2,5. Oserve que P () = -2 pr todos os vlores de no intervlo. Isso mostr que P() é um função côncv. Assim qulquer máimo locl deve ser um solução ótim pr o PPNL. O teorem 2 implic que um vez conhecido que = 2,5 é um máimo locl ele será solução ótim. Sej f() = 2 ( 1) 2 se 0 < 3 = -3 + ( 4) 2 se 3 6 Resolv: M f() s. 0 6 Cso 1: Pr 0 < 3, f () = -2( 1) e f () = -2. Pr 3 6, f () = 2( 4) e f () = 2. Assim f (1) = f (4) = 0. Como f (1) = -2 < 0, = 1 é um máimo locl e como f (4) = 2 > 0, = 4 é um mínimo locl. Cso 1: Pr 0 < 3, f () = -2( 1) e f () = -2. Pr 3 6, f () = 2( 4) e f () = 2. Assim f (1) = f (4) = 0. Como f (1) = -2 < 0, = 1 é um máimo locl e como f (4) = 2 > 0, = 4 é um mínimo locl. 3,0 2,0 1,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0-1,0-2,0-3,0-4,0 Cso 2: Pel figur pode-se verificr que f() não present derivd no ponto = 3. Pr menor que 3, f () está próimo de -4 e pr mior que 3, f () está próimo de -2. Um vez que f(2,9) = -1,61, f(3) = -2 e f(3,1) = -2,19, = 3 não é um etremo locl. 5

6 Cso3: Como f (0) = 2 > 0, = 0 é um mínimo locl. E f (6) = 4 > 0, = 6 é um máimo locl. Assim em [0, 6] f() tem um máimo locl em = 1 e = 6. Como f(1) = 2 e f(6) = 1, verific-se que solução ótim do PPNL ocorre qundo = 1. BERTSEKAS, Dimitri P. Nonliner Progrmming. Belmont (MA): Athen Scientific, WINSTON, Wne L. Opertions Reserch: Applictions nd Algorithms. 3 ed. Belmont (CA): Duur Press,

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