Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Análise Matemática I Frequência

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1 Instituto Politécnico de Brgnç Escol Superior de Tecnologi e Gestão Análise Mtemátic I Frequênci Durção d prov: h min Dt: // Tolerânci: 5 min Cursos: EQ, IG, GEI Resolução Grupo I g π. ) Considere função definid por ( ) = rccos + ) ( vl) Determine o domínio e o contrdomínio d função g. Dg = R : + = R : = R : = R : CD g =? π rccos + π rccos + π π π rccos + π CDg = ; π Pr Dg, result que : + Logo, rccos() rccos + rccos g ( ) Resolução: /

2 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) b) (,5 vl) Clcule, cso eistm, os zeros de g. g = + = rccos + = π + = cos( π ) + = = π rccos Logo, g não tem zeros. Imp. c) (,5 vl) Mostre que função g é pr. g ( ) = π rccos ( ) + = π rccos + = g Como g ( ) = g ( ), Dg, result que função g é pr. d) (,5 vl) Comente firmção: A função g não dmite invers. A firmção é fls. Pel líne c sbe-se que função g é pr, logo não é injectiv. Como não é injectiv tmbém não pode ser invertível. e) (,5 vl) Considere função g restrit o subconjunto não negtivo de D g e crcterize su invers. Resolução: /

3 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) = π + = rccos + = π y + = cos( π y) = cos( π y) g y rccos y = cos ( π y), porque = cos y, porque cos y = cos y ( π ) O contrdomínio d invers de g é o domínio de g, que pelo enuncido é o subconjunto não negtivo do D g, ou sej, ;. Pr este domínio de g, o contrdomínio mntém-se o π mesmo, um vez que g é pr. Logo, o domínio d invers de g é ; π. Crcterizção: π g : ; π ; cos( ) ) ( vl) Indique o vlor lógico ds seguintes firmções justificndo devidmente su opção. ) Pr que um função sej contínu num ponto bst que os limites lteris nesse ponto eistm. Afirmção fls., = Sej f ( ) =., Os limites lteris em = eistem e são iguis zero, no entnto função não é continu porque não se tem lim f ( ) = f ( ). Resolução: /

4 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) b) Um função contínu não pode ter ssímptots verticis. Afirmção fls. Considere-se função f ( ) =. Est função é continu (em todo o seu domínio, \{ } no entnto tem um ssimptot verticl, =. ) e c) Considere função f ( ) e = se se. Como < ( + e )' = ( ) e então ( ) ( ) f = + e. Afirmção fls. Pr se obter f ( ) é necessário recorrer à definição de derivd num ponto, um vez que f mud de rmo em =, ou sej, tem de se verificr se s derivds lteris são iguis ou não. d) O vlor de lim(cos ) é. Afirmção verddeir. sen ( ) ( ) ln( cos( ) ) cos sen ( ) ln cos lim lim lim cos( ) lim(cos ) lim e e = = = e = e = e = R. H.. Resolução: /

5 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) Grupo II ) Considere s funções reis de vriável rel definids por: = + f ( ) e g( ) = ln( ) ) ( vl) Determine o domínio d função g f. f pel definição e clcule ( g)( e ) { : } D = D g D fg g f { : + ln( ) } = = + ( ) ( ln ) f g e = f g e = f e = f = 5 C.A. D f = : + = c. u. g { : } D = > = + b) ( vl) Estude monotoni e os etremos de f. ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) f '( ) = = = f '( ) = = + = Cond. Universl Sinl de f '( ) - + Monotoni de f ( ) Min. Respost: f é decrescente em ] ;[ f é crescente em ] ;+ [ f tem um mínimo em =, que é f =. Resolução: 5/

6 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) c) (,75 vl) Escrev equção d rect tngente o gráfico de f em = A equção d rect é: y = m + b m = f ' = = ( + ) y = f () = ; rect = + b b = A equção d rect tngente f em = é: y = d) (,75 vl) Mostre que função f stisfz s condições do Teorem dos Vlores Intermédios (ou Teorem de Bolzno) no intervlo [,] e conclu que ele grnte eistênci de um elemento c [,] tl que ( c) f =. f é continu, porque é o quociente entre dois polinómios (funções continus) em que o denomindor nunc se nul. [,] é um intervlo fechdo. f ( ) = f = Então, pelo Teorem de Bolzno, f ssume todos os vlores entre e, i.e., Como ; y ;, [ ; ]: f ( ) = y, então f ssume o vlor, i.e., [ ] c ; : f c =. Resolução: 6/

7 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) ) (,5 vl) Determine dois números positivos, e b, cujo produto sej qutro e que minimizm som dos seus qudrdos, + b. Pretende-se minimizr função: f = + b, em que > e b >. Como b = b =, então Pontos críticos: f ( ) 6 = +. f '( ) = = f '( ) = = = 6 = = porque > + Sinl de f '( ) - + Monotoni de f ( ) Min. Respost: A som é mínim qundo = e b = =.. Resolução: 7/

8 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) Grupo III + f = e e tl que + ( ) 5) (,5 vl) Determine um função F cuj derivd sej lim F ( ) = 5. F ( ) = f ( ) d = e + ( + ) d = d + e ( + ) d = ln + e ( + ) d = = ln + e ( + ) + c e + c = + c = 5 c = ( + ) lim F = 5 lim ln + e + c = 5 ln 5 ( + ) Logo, função procurd é: F = ln + e + 6) Clcule s seguintes primitivs: ) (,5 vl) + d fzendo um substituição dequd Um substituição fzer pode ser: t =. t = dt = d dt = d Substituindo, vem: / ( + t) + d = + t dt = ( + t ) dt = + c / = ( + t) + t + c = ( + ) + + c / Resolução: 8/

9 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) b) ( vl) d g f ' / d = d ( ) ( ) / / = d / / = + d / / = ( ) + ( ) + c = ( ) + c = + c = ( ) = d u ' u ( ) = / ( ) / / f d = / / c) ( vl) d + Como o gru do numerdor é mior que o do denomindor, tem que se dividir os polinómios, = Logo, = e portnto, d d d d = + = (*) Or, 8 8 A + B + C + A A B + C = = + = Resolução: 9/

10 ESTiG IPB Análise Mtemátic I (//) Pr est iguldde ser verificd tem que se ter: A + B = B = C = C = A 8 = A = Assim, d = d + d + + = ln + d + = ln + d + = ln + d + = ln + rctg Substituindo em (*), vem que: d = + ln + rctg c + + # Resolução: /