1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

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1 Vriáveis Aletóris 1. VARIÁVEL ALEATÓRIA Suponhmos um espço mostrl S e que cd ponto mostrl sej triuído um número. Fic, então, definid um função chmd vriável letóri 1, com vlores x i2. Assim, se o espço mostrl reltivo o lnçmento simultâneo de dus moeds é S C, C, C, Co, Co, C, Co, Co e se represent o número de crs que precem, cd ponto mostrl podemos ssocir um número pr, de cordo com Tel 1. TABELA 1 Ponto Amostrl C, C 2 C, Co 1 Co, C 1 Co, Co 0 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Consideremos distriuição de freqüêncis reltiv o número de cidentes diários em um estcionmento: TABELA 2 Em um di, proilidde de: Frequêncis Não ocorrer cidente é: Acidentes 0, Ocorrer um cidente é: 1 5 0, Ocorrerem dois cidentes é: 0, Σ 30 Ocorrerem três cidentes é: 0,03 Podemos, então, escrever: TABELA 3 PROBABILIDADE Acidentes 0 0,73 1 0,17 2 0,07 3 0,03 Um vriável letóri é qulquer função que ssoci cd elemento do espço mostrl S um vlor numérico. As vriáveis letóris v.. podem ser clssificds em: discrets se ssumir vlores num conjunto enumerável com cert proilidde e contínu se seu conjunto de for de quisquer intervlos de vlores de números reis, o que seri um conjunto não enumerável. Est tel é denomind distriuição de proilidde. Sej um vriável letóri que pode ssumir os vlores x 1, x 2, x 3,..., x n. A cd vlor x i correspondem pontos do espço mostrl. Associmos, então, cd vlor x i proilidde p i de ocorrênci de tis pontos no espço mostrl. Assim, temos: 1 Os vlores x 1, x 2, x 3,..., x n e seus correspondentes p 1, p 2, p 3,..., p n definem um distriuição de proilidde. Notção: P x i p x i p i, i 1, 2,... Ou ind, 1 indicd por um letr miúscul. 2 indicdos por letrs minúsculs

2 TMA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS x 1 x 2 x 3... P x i p 1 p 2 p 3... Assim, voltndo à Tel 1, temos: TABELA 4 PONTO AMOSTRAL C, C 2 ½ x ½ 1/4 C, Co 1 ½ x ½ 1/4 Co, C 1 ½ x ½ 1/4 ¼ ¼ 2/4 Co, Co 0 ½ x ½ 1/4 Logo, podemos escrever: TABELA 5 CARAS 2 1/4 1 2/4 0 1/4 Ao definir distriuição de proilidde, estelecemos um correspondênci unívoc entre os vlores d vriável letóri e os vlores d vriável P. Est correspondênci define um função; os vlores x i i 1, 2, 3,..., n formm o domínio d função e os vlores p i i 1, 2, 3,..., n, o seu conjunto imgem. Ess função, ssim definid, é denomind função proilidde e representd por: f x P x i A função P x i determin distriuição de proilidde d vriável letóri. Assim, o lnçrmos um ddo, vriável letóri, definid por pontos de um ddo, pode tomr os vlores 1, 2, 3,..., 6. Como cd um destes vlores está ssocid um e um só proilidde de relizção e Σ P x i 1, fic definid um função de proilidde, d qul result seguinte distriuição de proilidde: TABELA 5 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Σ 1 Pr que um função P xi p xi sej um distriuição de proilidde, é necessário que: 1. P xi 0 e P xi 1 2. ΣP xi 1 3. P x p x 3. ESPERANÇA MATEMÁTICA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Um vlor esperdo é simplesmente um médi dos possíveis resultdos pesdos de cordo com su proilidde de ocorrênci, isto é: E x 1 P x 1 x 2 P x 2... x n P x n EEMPLO: 2 Bertolo

3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS TMA Um comercinte esper vender um utomóvel té sext feir. A expecttiv de que vend n segund feir é de 50%. N terç feir é de 30%, n qurt feir é de 10%, n quint feir e n sext feir de 5%. Seu lucro é de R$ se vender n segund feir e diminui 40% cd di. Clcule o vlor esperdo de lucro deste negocinte nest vend Solução: L ,80 P(L= x i ) 0,50 0,30 0,10 0,05 0,05 E(L) = x 0, x 0, x 0, x 0, ,88 x 0,05 = 2.199,84 Proprieddes do Vlor Esperdo Se e são constntes e um vriável letóri, então: 1. E 2. E E 3. E ± E ± 4. E ± ± E EERCÍCIO: Um lojist mntém extensos registros ds vends diáris de certo prelho. O qudro seguir d o número x i de prelhos vendidos em um semn e respectiv proilidde: Número xi Proilidde 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 Se é de R$ 20,00 o lucro por unidde vendid, qul o lucro esperdo ns vends de um semn? 4. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A vriânci d vriável letóri é definid por: σ 2 Vr E - μ 2 E 2 - μ 2 O desvio pdrão σ é riz qudrd d vriânci: Dp σ. Proprieddes 1. Vr 0 1. Dp 0 2. Vr ± Vr 2. Dp ± Dp 3. Vr 2 Vr 3. Dp Dp 4. Vr ± 2 Vr 4. Dp ± Dp Tel. Expressões pr cálculo d médi, vriânci e desvio pdrão de um vriável letóri. Médi Vriânci μ x P x σ 2 x μ 2 P x Vriânci σ 2 x 2 P x μ 2 Desvio Pdrão σ x 2 P x μ 2 1/2 EEMPLO: extrído de Triol, 1998, pg 96 N tel ixo são fornecids s proiliddes de ocorrêncis de um determindo evento. Entretnto, o ojetivo d mesm é enftizr o cálculo d médi, d vriânci e do desvio pdrão. Juntmente com tel será mostrdo o histogrm de proiliddes. Bertolo 3

4 TMA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Tel. Cálculo d médi, vriânci e desvio pdrão pr um distriuição de proiliddes. P x x P x x 2 x 2 P x 0 0,210 0, , ,367 0, , ,275 0, , ,115 0, , ,029 0, , ,004 0, , , , , ,000 Totl 1,000 1,398 3,066 μ x P x 1,398 1,4 σ 2 x 2 P x μ 2 3,066 1, , ,1 σ1, /2 1, ,1 4 Bertolo

5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS TMA 3. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Vriável letóri contínu é quel que pode ssumir inúmeros vlores num intervlo de números reis e é medid num escl contínu. Por exemplo, um vriável letóri contínu deve ser definid entre os números reis 0 e 1, ou números reis não negtivos ou, pr lgums distriuições, qulquer número rel. A tempertur, pressão, precipitção ou qulquer elemento medido num escl contínu é um vriável letóri contínu. Existem dus funções ssocids cd vriável contínu : função densidde de proilidde, simolizd por f, e função cumultiv de proilidde, ou função de distriuição de proilidde representd por F. A função f é quel cuj integrl de té dá proilidde de que ssum vlores compreendidos no intervlo,, ou sej, P ( ) = f ( ) d 1 A função cumultiv de proilidde F é tl que: ( ) = o( ) = f ( ) F Pr d 2 Qulquer função definid no cmpo rel só pode ser considerd como um função densidde de proilidde se forem stisfeits s seguintes condições: pr todo e f ( ) 0 3 F ( ) = d = 1 4 A proilidde de que vriável ssum vlores no intervlo, é dd por: P ( ) = f( ) d = F( ) F( ) 5 e proilidde de que vriável contínu ssum um vlor em prticulr,, por exemplo, é: ( ) = f ( ) d = F ( ) F ( ) P = 0 6 Bertolo 5

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