Projecções Cotadas. Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente (2006)

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1 1 Projecções Cotds Luís Miguel Cotrim Mteus, Assistente (2006)

2 2 Nestes pontmentos não se fz o desenvolvimento exustivo de tods s mtéris, focndo-se pens lguns items. Pelo indicdo, estes pontmentos não substituem frequênci ds uls nem consult d bibliogrfi indicd no início do semestre.. Representção do ponto; unidde ltimétric; cots inteirs; escls 1 U.A. α A (visto em Perspectiv) (visto em Cotds) No sistem ds Projecções Cotds os pontos são definidos pel su projecção horizontl num plno HORZONTAL ou de REFERÊNCA, ssocid um vlor numérico em índice. Esse índice corresponde à cot do ponto medid em UNDADES ALTMÉTRCAS (U.A.). Um unidde ltimétric pode ser, por exemplo: 1cm, 1m, 3cm, 1dm, etc. Se cot do ponto for express por um número inteiro de uniddes ltimétrics então diz-se que o ponto tem cot NTERA ou REDONDA. Neste Sistem de Representção é fundmentl indicção d ESCALA que se produzem os desenhos. A escl pode ser NUMÉRCA ou GRÁFCA. exemplos de escls numérics: 1/10 1/ ,01 exemplo de escl gráfic: 0 0, m

3 3. Representção d rect; noção de declive de um rect; grdução d rect A DV AB π B exemplo: A 5 DH AB B 2 U.A.=1cm esc. =1/1 α DV = distânci verticl B 2 DH = distânci horizontl (visto em Perspectiv) (visto em Cotds) A rect fic definid pels projecções de dois dos seus pontos. O ponto de cot 0 d rect é o seu TRAÇO HORZONTAL. À distânci horizontl entre dois pontos, de um rect, de cot redond consecutiv, dá-se o nome de NTERVALO (). 1 U.A. A B C D B 4 C 3 D 2 E E 1 F0 F G -1 G exemplo: U.A. = 1cm esc. = 1/1 α B 4 C 3 D 2 E 1 F0 G -1 (visto em Perspectiv) (visto em Cotds) O DECLVE (d) de um rect pode ser determindo pel rzão entre s distâncis, verticl e horizontl, de dois dos seus pontos, e corresponde à tngente trigonométric do ângulo π que mede NCLNAÇÃO (i) d rect. Pode ind ser determindo pel rzão entre unidde ltimétric e o intervlo. d = DV / DH d = tg π d = U.A. /

4 4 i = rc tg π O declive de um rect vem expresso por um índice, por exemplo: 0,4 ou 40%. A inclinção de um rect vem express em grus, por exemplo exemplo: U.A. = 2cm Esc. = 1/1 ddos: B 12 DH AB = 28 cm problem: ) determine o declive rect A.B resolução: d = DV AB / DH AB d = ((12-5)x2)/28 d= 14 / 28 = 0.5 = 50% Dus rects são PARALELAS se tiverem projecções prlels, o mesmo declive, e subirem no mesmo sentido. A operção de GRADUAÇÃO de um rect corresponde à determinção dos seus pontos de cont redond. exemplo: ddos do problem: U.A. = 1cm esc. = 1/1 resolução do problem: U.A. = 1cm esc. = 1/1 E A E 1 0 A resolução gráfic deste problem pss por dividir um segmento em prtes iguis. Primeiro conduz-se, por A ou B, um rect qulquer. Sobre ess rect efectu-se um divisão em número e proporção equivlentes à que se pretende.

5 5 Une-se o ponto d divisão que corresponde o ponto d rect pelo qul não foi conduzid rect inicil. Pelos restntes pontos d divisão conduzem-se prlels à últim rect desenhd. Est resolução fez-se pel plicção de um Teorem de Thlles.. Representção do plno; rect de mior declive; declive do plno; grdução do plno Um plno fic definido por três dos seus pontos. A operção de grdução de um plno pss pel grdução de dus rects do π A C plno, e consiste n determinção ds rects de nível com cot redond. A d d T 0 α B B 2 C4 H0 0nπ rect de nível com cot 0 é o TRAÇO HORZONTAL do plno. As rects de MAOR DECLVE de um plno tem direcção ortogonl à ds rects de nível, pelo que s sus projecções horizontis são perpendiculres às projecções horizontis ds rects de nível. O declive (visto em Perspectiv) de um rect de mior declive de um plno é o declive do plno. A rect de mior declive é representd por dus rects prlels entre si e trço contínuo, correspondendo à projecção horizontl d rect que tiver mior espessur, servindo outr de notção.. Superfícies de igul pendente [α] d' π d δ Sej d um rect de mior declive, d superfície regrd* [α], reltivmente δ.

6 6 Sej π = K Se pr qulquer rect d [α], π = K, então [α] é um superfície de igul pendente reltivmente δ. * superfície regrd é tod superfície gerd pelo movimento de rects. [α] g1 g2 gn [ε] V //g1 //g2 //gn δ Um superfície de igul pendente é, em gerl, um superfície de cone director, isto é, tods s sus gertrizes rects são prlels às gertrizes de um superfície cónic de revolução de eixo perpendiculr o plno que está ser referid pendente. [] [α] ['] n0 PH Um superfíce de igul pendente é sempre superfície envolvente do movimento de um superfície cónic cujo vértice se poi n directriz []. Vejmos gor, trvés de exemplos, o que se pss qundo directriz [] é de diferentes nturezs. ddos: U.A. = 1cm Esc: 0 5cm

7 7 problem: Conduz por [] um superfície de pendente constnte 70%. resolução: ndependentemente d nturez d directriz [], o primeiro psso d resolução deste tipo de problem consiste smpre n determinção do ntervlo que corresponde pendente. Este cálculo pode ser lgébrico ou gráfico. U.A. Pr o cso em questão rzão 70%, isto é 70/100, é igul à rzão 35/50, 7/10, etc.. Pr determinr o intervlo constrói-se um triângulo rectângulo em que rzão entre os ctetos sej rzão dd. Neste cso um dos ctetos mede 10cm (n horizontl) e o outro mede 7cm (n verticl). A determinção do intervlo corresponde à determinção do cteto horizontl de um triângulo rectângulo (semelhnte o construído) em que o cteto verticl corresponde 1 Unidde Altimétric (neste cso 1cm). 1) sej [] um rect horizontl dα infinit respectivmente. 3 n2 n1 n0 Este é o cso mis simples e resume-se à condução de um plno, pssnte pel rect, com pendente prestendid. O intervlo trás determindo é o intervlo d rect de mior declive do plno e é o intervlo entre s rects de nível. Este problem pode ter dus soluções ou um solução, consonte pendente sej finit ou 2) sej [] um rect oblíqu n3 n2 n1 O primeiro psso, neste cso, é grdução d rect. De seguid elegem-se dois pontos de cot redond consecutiv, por n0 A0 1 2 B3 exemplo o ponto de cot 0 e o ponto de cot 1. Tom-se o ponto de cot 1 como vértice de um superfície cónic, de eixo verticl, em que s gertrizes fzem com o plno

8 8 horizontl pendente pretendid. Determin-se o trço d superfície cónic no plno de cot 0 (o que result, grficmente, num circunferênci ce centro em 1 e rio igul o ntervlo). A rect de nível de cot 0 do plno pssrá pelo ponto de cot 0 e será tngente à circunferênci referid. Com isto temos direcção ds rects de nível o que nos permite conduzir s que quisermos. Este problem pode ter dus soluções, um solução ou nenhum solução. Tem dus soluções sempre que pendente for finit e superior à d rect dd. Tem um solução sempre que pendente for infinit ou igul à d rect dd. Não tem soluções sempre que pendente for inferior à d rect dd. 3) sej [] um curv de nível Neste cso deveremos trtr curv ponto ponto. Elejmos lguns pontos d 3 curv. n2 Por cd um desses pontos n1 vmos conduzir rects n0 normis à curv ( zul n figur); pr mior rigor desse trçdo é conveniente considerr s tngentes à curv nos pontos eleitos (ests, mesmo com trçdo proximdo são de mior rigor que s outrs) e pelos pontos de tngênci poderemos então conduzir s normis. Cd um dests normis é projecção de um rect de mior declive d superfície. Grduem-se s rects de mior declive por form obter os pontos por onde pssm s restntes curvs de nível. Note-se que s tngentes às restntes curvs de nível são prlels às tngentes à curv dd, pelo que, o seu trçdo jud-nos conduzir com mis rigor gráfico s restntes curvs. 4) sej [] um curv espcil Neste cso vmos servir-nos directmente d propriedde d superfície de igul pendente ser envolvente do movimento de um superfície cónic de revolução com vértice sempre poido n directriz dd e mntendo direcção do eixo. B1 C2 Tome-se cd ponto de cot inteir como vértice de um superfície A0 D3 E4 cónic de revolução cujs gertrizes têm pendente desejd. Cd um dests superfícies cónics n3 é intersectd pelos plnos de cot n2 redont segundo circunferêncis cujo n1 n0

9 9 rios vrim segundo múltiplos do intervlo. Cd um ds curvs de nível, um determind cot, é tngente às circunferêncis que estão ness cot. Pr grntir mior rigor gráfico deve conduzir-se (ind que sej um trçdo proximdo) curv de nível mis brngente (neste cso de cot 0), definir os pontos de tngênci com s circunferêncis respectivs e por esses pontos conduzir s rects de mior declice que intersectm s restntes circunferêncis nos pontos por onde pssm s restntes curvs.. Representção de Superfícies Topográfics; norte e ltitude Superfície Topográfic Um SUPERFÍCE TOPOGRÁFCA, não tendo definição geométric rigoros, pode ser representd trvés de curvs de nível. Existem, essencilmente, seis tipos de superfícies topográfics: Festo ou Tergo Vle ou Tlvegue Elevção

10 Depressão Colo ou Portel Esporão Qundo se represent um TERRENO (superfície topográfic) é importnte, pr lém d indicção d escl e d unidde ltimétric (no cso de terrenos unidde ltimétric corresponde à EQUDSTÂNCA NATURAL, isto é, distânci entre os plnos de dus curvs de nível de cot redond consecutiv), deve indicr-se tmbém o NORTE e LATTUDE. U.A. = 1m 234 Esc. = 235 1/ Ltitude = 39 0 N N 240. Linhs notáveis de um Superfície Topográfic Um superfície topográfic dmite, em princípio, s seguintes linhs notáveis: P ( vermelho) Linhs de CUMEERA ( zul) Linhs de ÁGUA ( verde) Linhs de MAOR DECLVE * * por cd ponto de um superfíce topográfic pss um linh de mior declive

11 11 O trçdo dests linhs, sobre um superfície topográfic, é sempre proximdo, um vez que superfície não é pssível de definição geométric. Pr determinr s linhs de Cumeeir ou de Águ unem-se os pontos, ds linhs de nível, em que curvtur é máxim. Se s concviddes estiverem voltds no sentido descendente ds cots temos um linh de ÁGUA; se s concviddes estiverem voltds no sentido scendente ds cots temos um linh de CUMEERA. Pr determinr o trçdo de um linh de mior declive pssnte por um ponto P, une-se o ponto P os pontos mis próximos (distânci medid sobre superfície) ds linhs de nível seguintes às de P. Est linh é tmbém um linh GEODÉSCA d superfíce. O seu trçdo proximdo pode se efectudo por meio de circunferêcis tngentes às linhs de nível (ver figur cim).. Trçdo, sobre um superfície topográfic, de um Linh com declive constnte exemplo: problem: Pretende-se trçr, sobre superfície topográfic bixo definid, um linh com pendente de 50% pssnte pelo ponto P (neste cso P é um ponto de cot inteir). resolução: Pr resolver o problem é necessário determinr o intervlo que corresponde pendente dd. A seguir, começndo em P, trçm-se rcos com rio igul o vlor obtido (tendendo à escl do desenho) que são intersectdos com s curvs de nível seguintes às de P. Pelos 4 pontos obtidos volt repetir-se o processo. Note-se que o resultdo é pens proximdo P N m U.A. = 1m Ltitude = 39 0 N d = 50 % 239 d = U.A. = = = = = 2 m. ntersecção de um superfície topográfic com um plno Pr intersectr um superfície topográfic com um plno determinm-se os pontos de intersecção entre s curvs e s rects com mesm cot. De seguid unem-se os pontos com um linh curv, sem quebrs. Se o plno for horizontl linh de intersecção é um curv de nível.

12 12. Plnt, Crt e Mp Um PLANTA é um representção de um terreno num escl mior ou igul 1/5000. Um CARTA é um representção de um terreno num escl menor que 1/5000 e mior ou igul 1/ Um MAPA é um representção de um terreno num escl menor que 1/ Geometri d nsolção AZMUTE: nclinção que projecção horizontl d direcção luminos solr fz com direcção Norte-Sul. ALTURA: ddo ponto. nclinção que direcção luminos solr fz com superfície do plnet num CARTA SOLAR: O digrm solr, que represent s linhs do movimento prente do Sol no céu em cd mês do no pr um determind ltitude geográfic, indic s lturs e zimutes solres pr cd hor do di. in Energi Solr Pssiv de Frncisco Moit,.NC.M. in Energi Solr Pssiv de Frncisco Moit,.NC.M.