8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3

Save this PDF as:
Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3"

Transcrição

1 1 LIVRO Funções com Vlores Vetoriis 8 AULA META Estudr funções de um vriável rel vlores em R 3 OBJETIVOS Estudr movimentos de prtículs no espço. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido os conceitos de funções reis e de curvs no plno.

2 Funções com Vlores Vetoriis 8.1 Introdução Nest ul, vmos estudr funções que cd número rel de um intervlo d ret (domínio ssoci um único vetor no espço. Tis funções serão úteis no estudo de curvs espciis, que fremos n próxim ul. 8.2 Definições e Proprieddes Um função de um vriável rel vlores em R 3 ou função vetoril é um função F : I R 3 onde I é um subconjunto de R. Um tl função ssoci cd t I, um único vetor F (t R 3. O conjunto I é o domínio de F e será indicdo por D F. A imgem ou trjetóri de F é o lugr geométrico, em R 3, descrito por F (t, qundo t vri em I. Como um função vetoril ssoci cd t I, um único vetor F (t R 3, então existem, e são únics, 3 (três funções vlores reis F i : I R, i=1, 2, 3, tis que, qulquer que sej t I, F (t =(F 1 (t, F 2 (t, F 3 (t ou F (t =F1 (t i+f 2 (t j+f 3 (t k. Tis funções são denominds funções componentes de F. Exemplo F (t =(t 2, sen t, 2 é um função vetoril e sus funções componentes são: F 1 (t =t 2, F 2 (t =sen t e F 3 (t =2. Exemplo Sej F (t = t i + t j + sen 3t k. componentes de F são s funções: As funções F 1 (t =t, F 2 (t = t e F 3 (t =sen 3t. 124

3 Livro de Cálculo II Sejm F, G : I R 3 dus funções de um vriável rel vlores em R 3, f : I R um função vlores reis e k um constnte. Definimos: ( função F + G : I R 3 dd por 8 AULA ( F + G(t =F (t+ G(t denomin-se som de F e G. (b função k F : I R 3 dd por (k F (t =k F (t+ G(t é o produto de F pel constnte k. (c função f F : I R 3 dd por (f F (t =f(t F (t é o produto de F pel função esclr f. (d função F G : I R dd por (F G(t =F (t G(t onde F (t G(t =F 1 (t G 1 (t+f 2 (t G 2 (t+f 3 (t G 3 (t, éo produto esclr de F e G. (e função F G : I R 3 dd por i j k ( F G(t = F (t G(t = F 1 (t F 2 (t F 3 (t G 1 (t G 2 (t G 3 (t = [F 2 (tg 3 (t F 3 (tg 2 (t] i +[F 3 (tg 1 (t F 1 (tg 3 (t] j +[F 1 (tg 2 (t F 2 (tg 1 (t] k denomin-se produto vetoril de F e G. 125

4 Funções com Vlores Vetoriis Exemplo Sejm F (t =(t, sen t, 2, G(t =(3, t, t 2 e f(t =e t. Temos: ( o produto esclr de F e G é função H dd por H(t = F (t G(t =3t + t sen t +2e t. (b o produto de F pel função esclr f é função com vlores em R 3 dd por f(t F (t =e t (t, sen t, 2=(te t,e t sen t, 2e t. (c o produto vetoril de F e G é função vlores em R 3 dd por i j k ( F G(t = F (t G(t = t sen t 2 3 t t 2 = [t 2 sen t 2t] i +[6 t 3 ] j +[t 2 3sen t] k 8.3 Limite e Continuidde O limite de um função vetoril F é definido tomndo-se os limites de sus funções componentes como se segue: Se lim F (t =L, ess t definição equivle dizer que o comprimento, direção e o sentido do vetor F (t se proximm do comprimento, d direção e do sentido do vetor L. Definição 8.9. Se F (t =(F 1 (t,f 2 (t,f 3 (t, então lim F (t =(lim F 1(t, t t lim F 2(t, t lim F 3(t t desde que os limites ds funções componentes existm. Exemplo Determine lim F (t onde F (t =(t 2, t +1, 5 t. Solução: lim F (t = ( lim t 2, lim t +1, lim 5 t =(0, 1,

5 Livro de Cálculo II Um função vetoril F é contínu em t 0 se lim t t 0 F (t = F (t0. 8 AULA Segue d Definição 8.9 que F é contínu em t 0 se e somente se sus funções componentes F 1,F 2 e F 3 são contínus em t 0. Dizemos que F é contínu em J I de F for contínu em todo t J; dizemos, simplesmente, que F é contínu se for contínu em cd t do seu domínio. 8.4 Derivd A derivd d F de um função vetoril F é definid do mesmo dt modo como foi feito pr s funções reis: Definição Um função vetoril F tem derivd d F dt se d F dt = lim 0 Notção 1. d F dt (t = F (t Observção 8.4. Observe que = lim ( 0 lim 0 F (t + F (t F 1 (t + F 1 (t, lim 0 = (F 1(t,F 2(t,F 3(t. F (t + F (t. F 2 (t + F 2 (t, lim 0 O próximo teorem mostr que s fórmuls de diferencição pr funções reis têm sus equivlentes pr s funções vetoriis. Teorem Sejm F, G : I R 3, f : I R deriváveis em A. Então, f F e F G serão, tmbém, diferenciáveis em I e d 1. dt [f F ]= df dt F + f d F dt ; F 3 (t + F 3 (t 127

6 Funções com Vlores Vetoriis Geometricmente, esse resultdo indic que, se curv está em um esfer com o centro n origem, então o vetor tngente é sempre perpendiculr o vetor posição F (t. d 2. dt [ F G] = d F dt G + F d G dt ; d 3. dt [ F G]= d F dt G + F d G dt ; d 4. dt [ F (f(t] = df dt d F dt (f(t. A demonstrção desse teorem segue diretmente d Observção 8.4 e ds fórmuls de diferencição correspondentes pr função rel. Deste modo, tl demonstrção ficrá pr exercício. Exemplo Mostre que, se F (t = c (um constnte, então F (t é ortogonl F (t pr todo t. Demonstrção: Como F (t F (t = F (t 2 = c 2 e c 2 é um constnte, segue d Fórmul 4 do Teorem 8.20 que 0= d dt [ F (t F (t] = F (t F (t+ F (t F (t =2 F (t F (t. Então, F (t F (t =0, o que implic que F (t é ortogonl F (t. 8.5 Integrl Sej F =(F 1, F 2, F 3 definid em [, b]. Dizemos que F é integrável em [, b] se cd componente de F o for. Além disso, se F for integrável em [, b], então ( F (tdt = F 1 (tdt, = F 1 (tdt i + F 2 (tdt, F 2 (tdt j + F 3 (tdt F 3 (tdt k. Se F for integrável em [, b] e G for um primitiv de F em [, b] teremos F (tdt = G(t ] b = G(b G(. 128

7 Livro de Cálculo II De fto, dg dt = F dg i dt = F i,i=1, 2, 3. 8 AULA então F (tdt = ( F 1 (tdt, F 2 (tdt, F 3 (tdt = (G 1 (b G 1 (, G 2 (b G 2 (, G 3 (b G 3 ( = G(b G(. Exemplo Se F (t =e t i +2 j + t k, então ( ( ( F (tdt = e t dt i + 2dt j + tdt k = e t i +2t j + t2 2 k + C onde C é um vetor constnte de integrção, e 1 0 F (tdt = [ ] 1 e t i +2t j + t2 2 k = e 1 i +2 j k e 0 i = (e 1 i +2 j k. 8.6 Resumo Um função de um vriável rel vlores em R 3 é um função do tipo F : I R R 3 dd por F (t =(F 1 (t, F 2 (t, F 3 (t ou F (t =F1 (t i+f 2 (t j+f 3 (t k. Se F (t =(F 1 (t,f 2 (t,f 3 (t, então lim F (t =(lim F 1(t, t t lim F 2(t, t lim F 3(t t desde que os limites ds funções componentes existm. 129

8 Funções com Vlores Vetoriis Um função vetoril F é contínu em t 0 se se lim F (t = F (t0. t t 0 Um função vetoril F =(F 1 (t,f 2 (t,f 3 (t tem derivd d F dt df dt = lim 0 Vimos, tmbém, que F (t + F (t. F (t =(F 1(t,F 2(t,F 3(t. Sej F =(F 1, F 2, F 3 definid em [, b]. Dizemos que F é integrável em [, b] se cd componente de F o for. Além disso, se F for integrável em [, b], então ( F (tdt = F 1 (tdt, F 2 (tdt, F 3 (tdt = F 1 (tdt i + F 2 (tdt j + F 3 (tdt k. N próxim ul, usremos esss funções vetoriis pr estudr os movimentos de prtículs no espço. 8.7 Atividdes 01. Sejm F (t = (t, 2, t 2 e G(t = (t, 1, 1. Clcule: ( F (t G(t (b e t F (t (c F (t 2 G(t 02. Clcule: ( lim t 1 F (t, onde F (t = ( t 1 t 1,t2, (b lim F (t, onde F (t =(t, cos t, sen t (d F (t G(t t 1 t 130

9 Livro de Cálculo II 03. Determine o conjunto dos pontos de continuidde. Justifique su respost. ( F (t =t i + t j +3 k. (b F (t = t 1 i + t +1 j + e t k. 8 AULA 04. Sejm F, G : I R 3 e f : I R contínus em t 0 I. Prove que F + G, f F, F G e F G são contínus em t Determine r = r(t sbendo que d r dt = sen t i + cos 2t j t k, t 0, e r(0 = i j +2 k. 06. Clcule 1 ( (t i + e t jdt; 0 1 ( 1 (b sen 3t, 1+t 2, 1 dt Sejm F (t =t i + j + e t k e G(t = i + j + k. Clcule 1 ( ( F (t G(tdt; 0 1 ( (b F (t G(t dt Comentário ds Atividdes Esss tividdes, são referentes os ssuntos discutidos no decorrer dest ul e têm o objetivo de você (luno exercitr os conceitos prendidos. Lembre-se, sempre, que existem tutores pr jud-los n resolução desss tividdes. 131

10 Funções com Vlores Vetoriis 8.9 Referêncis GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 2. Rio de Jneiro: LTC Editor, STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2. São Pulo: Pioneir Tomson Lerning, THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2. São Pulo: Addison Wesley,

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1 Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é

Leia mais

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2]

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2] 6 Cálculo Integrl. (Eercício VI. de []) Considere função f definid no intervlo [, ] por se [, [ f () = se = 3 se ], ] () Mostre que pr tod decomposição do intervlo [, ], s soms superior S d ( f ) e inferior

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico

f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico FFCLRP-USP AULA-INTEGRAL - CÁLCULO II- ECONOMIA Professor: Jir Silvério dos Sntos PROPRIEDADES DA INTEGRAL Sejm f,g : [,b] R funções integráveis. Então (i) [f(x) + g(x)]dx = (ii) Se λ é um número rel,

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos

Leia mais

1 Definição de integral (definida) de Riemann

1 Definição de integral (definida) de Riemann 1 Definição de integrl (definid) de Riemnn Sej seguir sempre f : [, b] R limitd (com [, b] limitdo); logo existem m, M tis que m f(x) M. Definição: chmmos Prtição de [, b] um conjunto finito de pontos

Leia mais

Usando qualquer um dos métodos de primitivação indicados anteriormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. e x e 2x + 2e x + 1

Usando qualquer um dos métodos de primitivação indicados anteriormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. e x e 2x + 2e x + 1 Instituto Superior Técnico Deprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC-ALAMEDA o SEM. 7/8 6 FICHA DE EXERCÍCIOS I. Treino Complementr de Primitivs. CÁLCULO INTEGRAL

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III

Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III Cálculo Diferencil e Integrl II Págin Universidde de Mogi ds Cruzes UMC Cmpos Vill Lobos Cálculo Diferencil e Integrl II Prte III Engenhri Civil Engenhri Mecânic mrili@umc.br º semestre de 05 Cálculo Diferencil

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari MATEMÁTICA II Prof. Dr. Amnd Liz Pcífico Mnfrim Perticrrri mnd.perticrrri@unesp.r DEFINIÇÃO. Se f é um função contínu definid em x, dividimos o intervlo, em n suintervlos de comprimentos iguis: x = n Sejm

Leia mais

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b).

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b). 1 Lembrete: curvs Definição Chmmos Curv em R n : um função contínu : I R n onde I R é intervlo. (link desenho curvs) Definimos: Trço d curv: imgem equção prmêtric/vetoril d curv: lei (t) =... Dizemos que

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Escol Superior de Agricultur Luiz de Queiroz Universidde de São Pulo Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl Teori d Integrção e Aplicções Professor Rent Alcrde Sermrini Nots de ul do professor Idemuro

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8 TÓPICO Gil d Cost Mrques Fundmentos d Mtemátic II 8.1 Diferencil totl de um função esclr 8.2 Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl 8.3 Perpendiculr um superfície

Leia mais

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ

Leia mais

NOTAS DE AULA CURVAS PARAMETRIZADAS. Cláudio Martins Mendes

NOTAS DE AULA CURVAS PARAMETRIZADAS. Cláudio Martins Mendes NOTAS DE AULA CURVAS PARAMETRIZADAS Cláudio Mrtins Mendes Segundo Semestre de 2005 Sumário 1 Funções com Vlores Vetoriis 2 1.1 Definições - Proprieddes.............................. 2 1.2 Movimentos no

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ Tópicos Especiis de Mtemátic Aplicd Márleson Rôndiner dos Sntos Ferreir mrleson p@yhoo.com.br Unifp-AP 23/junho/2010 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

META: Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis complexas.

META: Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis complexas. Integrção omplex AULA 7 META: Introduzir o conceito de integrção de funções de vriáveis complexs. OBJETIVOS: Ao fim d ul os lunos deverão ser cpzes de: Definir integrl de um função complex. lculr integrl

Leia mais

Cálculo III-A Módulo 6

Cálculo III-A Módulo 6 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic Deprtmento de Mtemátic Aplicd álculo III-A Módulo 6 Aul urvs Prmetrids Objetivo Prmetrir curvs plns e espciis. Prmetrição de curvs Prmetrir

Leia mais

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são: MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics

Leia mais

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl A integrl de Riemnn e Aplicções Aul 28 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 16 de Mio de 2014 Primeiro Semestre de

Leia mais

Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo: Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo:

Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo: Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo: mta0 geometri nlític Referencil crtesino no plno Referencil Oxy o.n. (ortonormdo) é um referencil no plno em que os eixos são perpendiculres (referencil ortogonl) s uniddes de comprimento em cd um dos

Leia mais

Mudança de variável na integral dupla

Mudança de variável na integral dupla UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 6 Assunto: Mudnç de Vriável n Integrl Dupl Plvrs-chves: mudnç de vriável, integris dupls, jcobino Mudnç de vriável n integrl dupl Vmos ntes

Leia mais

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

Leia mais

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1. Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

CÁLCULO I. Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então. f(x) dx = F (b) F (a) x dx = F (b) F (a), x dx = x2 2

CÁLCULO I. Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então. f(x) dx = F (b) F (a) x dx = F (b) F (a), x dx = x2 2 CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o 5: Teorem Fundmentl do Cálculo I. Áre entre grácos. Objetivos d Aul Apresentr o Teorem Fundmentl do Cálculo (Versão Integrl).

Leia mais

Do programa... 2 Descobre o teu livro... 4

Do programa... 2 Descobre o teu livro... 4 Índice Do progrm........................................... Descobre o teu livro....................................... 4 Atividde zero: Record.................................. 6 1. T de vrição e otimizção...........................

Leia mais

< 9 0 < f(2) 1 < 18 1 < f(2) < 19

< 9 0 < f(2) 1 < 18 1 < f(2) < 19 Resolução do Eme Mtemátic A código 6 ª fse 08.. (B) 0 P = C 6 ( )6 ( ).. (B) Como f é contínu em [0; ] e diferenciável em ]0; [, pelo teorem de Lgrnge, eiste c ]0; [tl que f() f(0) = f (c). 0 Como 0

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds

Leia mais

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.. b) a circunferência x y z

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.. b) a circunferência x y z INSTITTO DE MATEMÁTICA DA FBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A LISTA DE CÁLCLO IV SEMESTRE 00. (Função vetoril de um vriável, curv em R n. Integrl dupl e plicções) ) Determine um função vetoril F: I R R tl

Leia mais

Aula 5 Plano de Argand-Gauss

Aula 5 Plano de Argand-Gauss Ojetivos Plno de Argnd-Guss Aul 5 Plno de Argnd-Guss MÓDULO - AULA 5 Autores: Celso Cost e Roerto Gerldo Tvres Arnut 1) presentr geometricmente os números complexos ) Interpretr geometricmente som, o produto

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

v é o módulo do vetor v, sendo

v é o módulo do vetor v, sendo Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori Operções com Vetores no Espço R 3 : Representção: Determinção dos ângulos,, : rc rc rc Representção dos ângulos no espço R 3 : Representção:

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

Atividade Prática como Componente Curricular

Atividade Prática como Componente Curricular Universidde Tecnológic Federl do Prná Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Atividde Prátic como Componente Curriculr - Propost - Nome: Mtrícul: Turm: Justique su respost, explicitndo

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto:

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: www.engenhrifcil.weely.com Resumo com eercícios resolvidos do ssunto: (I) (II) Teorem Fundmentl do Cálculo Integris Indefinids (I) Teorem Fundmentl do Cálculo Ness postil vmos ordr o Teorem Fundmentl do

Leia mais

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2 Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo

Leia mais

13 AULA. Regra da Cadeia e Derivação Implícita LIVRO. META Derivar funções compostas e funções definidas implicitamente.

13 AULA. Regra da Cadeia e Derivação Implícita LIVRO. META Derivar funções compostas e funções definidas implicitamente. 1 LIVRO Regra da Cadeia e Derivação Implícita 13 AULA META Derivar funções compostas e funções definidas implicitamente. OBJETIVOS Estender os conceitos da regra da cadeia e da derivação implícita de funções

Leia mais

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a)

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a) A integrl definid Prof. Méricles Thdeu Moretti MTM/CFM/UFSC. - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA Já vimos como clculr áre de um tipo em específico de região pr lgums funções no intervlo [, t]. O Segundo

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

1 Integral de Riemann-Sieltjes

1 Integral de Riemann-Sieltjes Cálulo Avnçdo - 2009 Referêni: Brtle, R. G. The Elements of Rel Anlysis, Seond Edition, Wiley. 1 Integrl de Riemnn-Sieltjes 1.1 Definição No que segue vmos onsiderr f e g funções reis definids em J = [,

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por SÉRIES DE FOURIER 1. Um série trigonométric e su sequênci ds soms prciis (S N ) N são dds por (1) c n e inx, n Z, c n C, x R ; S N = n= c n e inx. Tl série converge em x R se (S N (x)) N converge e, o

Leia mais

Integrais de Linha. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão. Cálculo Diferencial e Integral 3B

Integrais de Linha. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão. Cálculo Diferencial e Integral 3B Integris de Linh âmpus Frncisco Beltrão Disciplin: álculo Diferencil e Integrl 3 Prof. Dr. Jons Jocir Rdtke Integris de Linh O conceito de um integrl de linh é um generlizção simples e nturl de um integrl

Leia mais

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade 1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio

Leia mais

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02. IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i)

Leia mais

14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO

14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO 1 LIVRO Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 14 AULA META Definir o vetor gradiente de uma função de duas variáveis reais e interpretá-lo geometricamente. Além disso, estudaremos a derivada direcional

Leia mais

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

UM ESTUDO SOBRE FUNÇÕES VETORIAIS

UM ESTUDO SOBRE FUNÇÕES VETORIAIS 45 UM ESTUDO SOBRE FUNÇÕES VETORIAIS Antonio d Silv Gomes Júnior, Eugeni Brunild Opzo Urie Universidde Federl de Mto Grosso do Sul, Três Lgos, MS. E-mil: ntonio_3lgos@hotmil.com Agênci de fomento: Progrm

Leia mais

CÁLCULO INTEGRAL. e escreve-se

CÁLCULO INTEGRAL. e escreve-se Primitivs CÁLCULO INTEGRAL Prolem: Dd derivd de um função descorir função inicil. Definição: Chm-se primitiv de um função f, definid num intervlo ] [ à função F tl que F = f e escreve-se,, F = P f ou F

Leia mais

6.1 Derivação & Integração: regras básicas

6.1 Derivação & Integração: regras básicas 6. Derivção & Integrção: regrs básics REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO. Regr d som:........................................ (u + k v) = u + k v ; k constnte. Regr do Produto:.....................................................

Leia mais

CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES

CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 5.- Teorems Fundmentis do Cálculo Diferencil Os teorems de Rolle, de Lgrnge, de Cuch e regr de L Hospitl são os qutro teorems fundmentis do cálculo diferencil

Leia mais

1. Prove a chamada identidade de Lagrange. u 1,u 3 u 2,u 3. u 1 u 2,u 3 u 4 = u 1,u 4 u 2,u 4. onde u 1,u 2,u 3 e u 4 são vetores em R 3.

1. Prove a chamada identidade de Lagrange. u 1,u 3 u 2,u 3. u 1 u 2,u 3 u 4 = u 1,u 4 u 2,u 4. onde u 1,u 2,u 3 e u 4 são vetores em R 3. Universidde Federl de Uberlândi Fculdde de Mtemátic Disciplin : Geometri Diferencil Assunto: Cálculo no Espço Euclidino e Curvs Diferenciáveis Prof. Sto 1 List de exercícios 1. Prove chmd identidde de

Leia mais

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece

Leia mais

Profª Cristiane Guedes DERIVADA. Cristianeguedes.pro.br/cefet

Profª Cristiane Guedes DERIVADA. Cristianeguedes.pro.br/cefet Proª Cristine Guedes 1 DERIVADA Cristineguedes.pro.br/ceet Ret Tngente Como determinr inclinção d ret tngente curv y no ponto P,? 0 0 Proª Cristine Guedes Pr responder ess pergunt considermos um ponto

Leia mais

CÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido.

CÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido. CÁLCULO I Aul n o 3: Comprimento de Arco. Trblho. Pressão e Forç Hidrostátic. Objetivos d Aul Denir comprimento de rco; Denir o trblho relizdo por um forç vriável; Denir pressão e forç exercids por um

Leia mais

9 AULA. Curvas Espaciais LIVRO. META Estudar as curvas no espaço (R 3 ). OBJETIVOS Descrever o movimento de objetos no espaço.

9 AULA. Curvas Espaciais LIVRO. META Estudar as curvas no espaço (R 3 ). OBJETIVOS Descrever o movimento de objetos no espaço. 1 LIVRO Curvas Espaciais META Estudar as curvas no espaço (R 3 ). OBJETIVOS Descrever o movimento de objetos no espaço. PRÉ-REQUISITOS Funções vetoriais (Aula 08). Curvas Espaciais.1 Introdução Na aula

Leia mais

A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi

A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi A forç não provém d cpcidde físic, e sim de um vontde indomável. Mhtm Gndhi Futuros militres, postos! É hor de meter o ggá! Este é o módulo 8 do curso de MATEMÁTICA d turm AFA-EN-EFOMM- EsPCE-EEAr. Nesse

Leia mais

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson LGEBR LINER UTOVLORES E UTOVETORES Prof. demilson utovlores e utovetores utovlores e utovetores são conceitos importntes de mtemátic, com plicções prátics em áres diversificds como mecânic quântic, processmento

Leia mais

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana. INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente.

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. .5.- Derivd d função compost, derivd d função invers, derivd d função implícit e derivd de funções definids prmetricmente. Teorem.3 Derivd d Função Compost Suponh-se que g: A R é diferenciável no ponto

Leia mais

Lista 5: Geometria Analítica

Lista 5: Geometria Analítica List 5: Geometri Anlític A. Rmos 8 de junho de 017 Resumo List em constnte tulizção. 1. Equção d elipse;. Equção d hiperból. 3. Estudo unificdo ds cônics não degenerds. Elipse Ddo dois pontos F 1 e F no

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II Cálculo Diferencil e Integrl II List 1 - Técnics de Integrção 1 Técnics de Integrção 1. Integrção por Substituição. 3cosx 1 + 3senx sec x tgx sen 4 xcos 5 x sen (πx)cos (πx) cotg 3 xcossc x x( x + 1) 1

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS Equção Liner * Sej,,,...,, (números reis) e n (n ) 2 3 n x, x, x,..., x (números reis) 2 3 n Chm-se equção Liner sobre

Leia mais

Simulado EFOMM - Matemática

Simulado EFOMM - Matemática Simuldo EFOMM - Mtemátic 1. Sejm X, Y, Z, W subconjuntos de N tis que: 1. (X Y ) Z = {1,,, },. Y = {5, 6}, Z Y =,. W (X Z) = {7, 8},. X W Z = {, }. Então o conjunto [X (Z W)] [W (Y Z)] é igul (A) {1,,,,

Leia mais

Cálculo de Limites. Sumário

Cálculo de Limites. Sumário 6 Cálculo de Limites Sumário 6. Limites de Sequêncis................. 3 6.2 Exercícios Recomenddos............... 5 6.3 Limites de Funções.................. 7 6.4 Exercícios Recomenddos...............

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo MAT46 - Cálculo I - Teorems Fundmentis do Cálculo Alexndre Mirnd Alves Anderson Tigo d Silv Edson José Teixeir Os Teorems Fundmentis do Cálculo Os próximos teorems fzem conexão entre os conceitos de ntiderivd

Leia mais

CURSO de FÍSICA - Gabarito

CURSO de FÍSICA - Gabarito UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o semestre letivo de 010 e 1 o semestre letivo de 011 CURSO de FÍSICA - Gbrito Verifique se este cderno contém: PROVA DE REDAÇÃO com um propost; INSTRUÇÕES

Leia mais

Thomas Kahl 2008/2009

Thomas Kahl 2008/2009 Análise Mtemátic Thoms Khl 2008/2009 Conteúdo 1 Cálculo diferencil em R 3 1.1 Preliminres................................... 3 1.1.1 Subconjuntos de R........................... 3 1.1.2 Funções.................................

Leia mais

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I INFORMAÇÕES GERAIS. Prof.

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I INFORMAÇÕES GERAIS. Prof. CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I INFORMAÇÕES GERAIS Prof. Bruno Fris Arquivo em nexo Conteúdo Progrmático Biliogrfi HALLIDAY,

Leia mais

. Estas equações são equações paramétricas da curva C.

. Estas equações são equações paramétricas da curva C. Universidde Federl d Bhi -- UFBA Deprtmento de Mtemátic, Cálculo IIA, Prof. Adrino Ctti Cálculo de áres de figurs plns (curvs sob equções prmétrics) (por Prof. Elin Prtes) Exemplo : Sej o círculo C de

Leia mais

6-1 Determine a primitiva F da função f que satisfaz a condição indicada, em cada um dos casos seguintes: a) f(x) = sin 2x, F (π) = 3.

6-1 Determine a primitiva F da função f que satisfaz a condição indicada, em cada um dos casos seguintes: a) f(x) = sin 2x, F (π) = 3. 6 Fich de eercícios de Cálculo pr Informátic CÁLCULO INTEGRAL 6- Determine primitiv F d função f que stisfz condição indicd, em cd um dos csos seguintes: ) f() = sin, F (π) = 3. b) f() = 3 + +, F (0) =

Leia mais

Seja f : D R uma função, a R um ponto de acumulação D ) diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a ou { }

Seja f : D R uma função, a R um ponto de acumulação D ) diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a ou { } .4- Limites e continuidde de unções. De. Deinição de Limite Sej : D R um unção, R um ponto de cumulção D diz-se que tende pr b qundo tende pr ou b se : { } > ε > V ε D \ V b b b b ε ε De.. Dd um unção

Leia mais

Cálculo IV EP15 Aluno

Cálculo IV EP15 Aluno Fundção entro de iêncis e Educção uperior istânci do Estdo do Rio de Jneiro entro de Educção uperior istânci do Estdo do Rio de Jneiro álculo IV EP5 Aluno Objetivo Aul 25 Teorem de tokes Estudr um teorem

Leia mais

Grandezas escalares e grandezas vetoriais. São grandezas que ficam completamente definidas por um valor numérico, com ou sem unidades.

Grandezas escalares e grandezas vetoriais. São grandezas que ficam completamente definidas por um valor numérico, com ou sem unidades. Sumário Unidde I MECÂNICA 1- Mecânic d prtícul Cinemátic e dinâmic d prtícul em movimentos mis do que um dimensão Operções com vetores. Grndezs esclres e grndezs vetoriis Grndezs Esclres: São grndezs que

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS. : Variáveis e parâmetros. : Conjuntos. : Pertence. : Não pertence. : Está contido. : Não está contido.

CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS. : Variáveis e parâmetros. : Conjuntos. : Pertence. : Não pertence. : Está contido. : Não está contido. CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS,,... A, B,... ~ > < : Vriáveis e prâmetros : Conjuntos : Pertence : Não pertence : Está contido : Não está contido : Contém : Não contém : Existe : Não existe : Existe

Leia mais

f(x) dx for um número real. (1) x = x 0 Figura A

f(x) dx for um número real. (1) x = x 0 Figura A FFCLRP-USP Integris Imprópris - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Professor Dr Jir Silvério dos Sntos Integris Imprópris Definição Sej f : ; x ) R um função Suponh ret x = x é um Assíntot Verticl o gráfico

Leia mais

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em: Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples,

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

MÉTODOS MATEMÁTICOS 2 a Aula. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta

MÉTODOS MATEMÁTICOS 2 a Aula. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta MÉTODOS MATEMÁTICOS Aul Clui Mzz Dis Snr Mr C. Mlt Introução o Conceito e Derivs Noção: Velocie Méi Um utomóvel é irigio trvés e um estr cie A pr cie B. A istânci s percorri pelo crro epene o tempo gsto

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prov Escrit de MATEMÁTICA A - o Ano 08 - Fse Propost de resolução Cderno... Como eperiênci se repete váris vezes, de form independente, distribuição de probbiliddes segue o modelo binomil P X k n C k p

Leia mais

Resposta: Basta fazer integração por partes. Seja j = 1 (para j 1, o argumento é o mesmo). Logo. i x 1. lim. lim. (R n ), temos.

Resposta: Basta fazer integração por partes. Seja j = 1 (para j 1, o argumento é o mesmo). Logo. i x 1. lim. lim. (R n ), temos. LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP 57-4 PO: PEDO T P LOPES WWWIMEUSPB/ PPLOPES/DISTIBUICOES Os eercícios seguir form seleciondos do livro do Duistermt e Kolk denotdo por

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x. Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil

Leia mais

CÁLCULO III - MAT Encontrar o vetor gradiente em cada ponto em que ele exista para os campos escalares definidos pelas seguintes equações:

CÁLCULO III - MAT Encontrar o vetor gradiente em cada ponto em que ele exista para os campos escalares definidos pelas seguintes equações: UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Ltino-Americno de Ciêncis d Vid e d Nturez Centro Interdisciplinr de Ciêncis d Nturez CÁLCULO III - MAT0036 7 List de exercícios 1. Encontrr

Leia mais

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR 3 CÁLCULO INTEGRAL EM IR A importâni do álulo integrl em IR reside ns sus inúmers plições em vários domínios d engenhri, ms tmém em ísi, em teori ds proiliddes, em eonomi, em gestão 3 Prtição de um intervlo

Leia mais

Profª Cristiane Guedes VETORES. Cristianeguedes.pro.br/cefet

Profª Cristiane Guedes VETORES. Cristianeguedes.pro.br/cefet VETORES Cristinegedesprobr/cefet Espço R 3 Exercício: Sej P m prlelepípedo com fces prlels os plnos coordendos Sbendo qe A = () e B = (345) são dois dos ses értices determine os otros értices 3 Distânci

Leia mais