8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3
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- Andreia Castanho de Sintra
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1 1 LIVRO Funções com Vlores Vetoriis 8 AULA META Estudr funções de um vriável rel vlores em R 3 OBJETIVOS Estudr movimentos de prtículs no espço. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido os conceitos de funções reis e de curvs no plno.
2 Funções com Vlores Vetoriis 8.1 Introdução Nest ul, vmos estudr funções que cd número rel de um intervlo d ret (domínio ssoci um único vetor no espço. Tis funções serão úteis no estudo de curvs espciis, que fremos n próxim ul. 8.2 Definições e Proprieddes Um função de um vriável rel vlores em R 3 ou função vetoril é um função F : I R 3 onde I é um subconjunto de R. Um tl função ssoci cd t I, um único vetor F (t R 3. O conjunto I é o domínio de F e será indicdo por D F. A imgem ou trjetóri de F é o lugr geométrico, em R 3, descrito por F (t, qundo t vri em I. Como um função vetoril ssoci cd t I, um único vetor F (t R 3, então existem, e são únics, 3 (três funções vlores reis F i : I R, i=1, 2, 3, tis que, qulquer que sej t I, F (t =(F 1 (t, F 2 (t, F 3 (t ou F (t =F1 (t i+f 2 (t j+f 3 (t k. Tis funções são denominds funções componentes de F. Exemplo F (t =(t 2, sen t, 2 é um função vetoril e sus funções componentes são: F 1 (t =t 2, F 2 (t =sen t e F 3 (t =2. Exemplo Sej F (t = t i + t j + sen 3t k. componentes de F são s funções: As funções F 1 (t =t, F 2 (t = t e F 3 (t =sen 3t. 124
3 Livro de Cálculo II Sejm F, G : I R 3 dus funções de um vriável rel vlores em R 3, f : I R um função vlores reis e k um constnte. Definimos: ( função F + G : I R 3 dd por 8 AULA ( F + G(t =F (t+ G(t denomin-se som de F e G. (b função k F : I R 3 dd por (k F (t =k F (t+ G(t é o produto de F pel constnte k. (c função f F : I R 3 dd por (f F (t =f(t F (t é o produto de F pel função esclr f. (d função F G : I R dd por (F G(t =F (t G(t onde F (t G(t =F 1 (t G 1 (t+f 2 (t G 2 (t+f 3 (t G 3 (t, éo produto esclr de F e G. (e função F G : I R 3 dd por i j k ( F G(t = F (t G(t = F 1 (t F 2 (t F 3 (t G 1 (t G 2 (t G 3 (t = [F 2 (tg 3 (t F 3 (tg 2 (t] i +[F 3 (tg 1 (t F 1 (tg 3 (t] j +[F 1 (tg 2 (t F 2 (tg 1 (t] k denomin-se produto vetoril de F e G. 125
4 Funções com Vlores Vetoriis Exemplo Sejm F (t =(t, sen t, 2, G(t =(3, t, t 2 e f(t =e t. Temos: ( o produto esclr de F e G é função H dd por H(t = F (t G(t =3t + t sen t +2e t. (b o produto de F pel função esclr f é função com vlores em R 3 dd por f(t F (t =e t (t, sen t, 2=(te t,e t sen t, 2e t. (c o produto vetoril de F e G é função vlores em R 3 dd por i j k ( F G(t = F (t G(t = t sen t 2 3 t t 2 = [t 2 sen t 2t] i +[6 t 3 ] j +[t 2 3sen t] k 8.3 Limite e Continuidde O limite de um função vetoril F é definido tomndo-se os limites de sus funções componentes como se segue: Se lim F (t =L, ess t definição equivle dizer que o comprimento, direção e o sentido do vetor F (t se proximm do comprimento, d direção e do sentido do vetor L. Definição 8.9. Se F (t =(F 1 (t,f 2 (t,f 3 (t, então lim F (t =(lim F 1(t, t t lim F 2(t, t lim F 3(t t desde que os limites ds funções componentes existm. Exemplo Determine lim F (t onde F (t =(t 2, t +1, 5 t. Solução: lim F (t = ( lim t 2, lim t +1, lim 5 t =(0, 1,
5 Livro de Cálculo II Um função vetoril F é contínu em t 0 se lim t t 0 F (t = F (t0. 8 AULA Segue d Definição 8.9 que F é contínu em t 0 se e somente se sus funções componentes F 1,F 2 e F 3 são contínus em t 0. Dizemos que F é contínu em J I de F for contínu em todo t J; dizemos, simplesmente, que F é contínu se for contínu em cd t do seu domínio. 8.4 Derivd A derivd d F de um função vetoril F é definid do mesmo dt modo como foi feito pr s funções reis: Definição Um função vetoril F tem derivd d F dt se d F dt = lim 0 Notção 1. d F dt (t = F (t Observção 8.4. Observe que = lim ( 0 lim 0 F (t + F (t F 1 (t + F 1 (t, lim 0 = (F 1(t,F 2(t,F 3(t. F (t + F (t. F 2 (t + F 2 (t, lim 0 O próximo teorem mostr que s fórmuls de diferencição pr funções reis têm sus equivlentes pr s funções vetoriis. Teorem Sejm F, G : I R 3, f : I R deriváveis em A. Então, f F e F G serão, tmbém, diferenciáveis em I e d 1. dt [f F ]= df dt F + f d F dt ; F 3 (t + F 3 (t 127
6 Funções com Vlores Vetoriis Geometricmente, esse resultdo indic que, se curv está em um esfer com o centro n origem, então o vetor tngente é sempre perpendiculr o vetor posição F (t. d 2. dt [ F G] = d F dt G + F d G dt ; d 3. dt [ F G]= d F dt G + F d G dt ; d 4. dt [ F (f(t] = df dt d F dt (f(t. A demonstrção desse teorem segue diretmente d Observção 8.4 e ds fórmuls de diferencição correspondentes pr função rel. Deste modo, tl demonstrção ficrá pr exercício. Exemplo Mostre que, se F (t = c (um constnte, então F (t é ortogonl F (t pr todo t. Demonstrção: Como F (t F (t = F (t 2 = c 2 e c 2 é um constnte, segue d Fórmul 4 do Teorem 8.20 que 0= d dt [ F (t F (t] = F (t F (t+ F (t F (t =2 F (t F (t. Então, F (t F (t =0, o que implic que F (t é ortogonl F (t. 8.5 Integrl Sej F =(F 1, F 2, F 3 definid em [, b]. Dizemos que F é integrável em [, b] se cd componente de F o for. Além disso, se F for integrável em [, b], então ( F (tdt = F 1 (tdt, = F 1 (tdt i + F 2 (tdt, F 2 (tdt j + F 3 (tdt F 3 (tdt k. Se F for integrável em [, b] e G for um primitiv de F em [, b] teremos F (tdt = G(t ] b = G(b G(. 128
7 Livro de Cálculo II De fto, dg dt = F dg i dt = F i,i=1, 2, 3. 8 AULA então F (tdt = ( F 1 (tdt, F 2 (tdt, F 3 (tdt = (G 1 (b G 1 (, G 2 (b G 2 (, G 3 (b G 3 ( = G(b G(. Exemplo Se F (t =e t i +2 j + t k, então ( ( ( F (tdt = e t dt i + 2dt j + tdt k = e t i +2t j + t2 2 k + C onde C é um vetor constnte de integrção, e 1 0 F (tdt = [ ] 1 e t i +2t j + t2 2 k = e 1 i +2 j k e 0 i = (e 1 i +2 j k. 8.6 Resumo Um função de um vriável rel vlores em R 3 é um função do tipo F : I R R 3 dd por F (t =(F 1 (t, F 2 (t, F 3 (t ou F (t =F1 (t i+f 2 (t j+f 3 (t k. Se F (t =(F 1 (t,f 2 (t,f 3 (t, então lim F (t =(lim F 1(t, t t lim F 2(t, t lim F 3(t t desde que os limites ds funções componentes existm. 129
8 Funções com Vlores Vetoriis Um função vetoril F é contínu em t 0 se se lim F (t = F (t0. t t 0 Um função vetoril F =(F 1 (t,f 2 (t,f 3 (t tem derivd d F dt df dt = lim 0 Vimos, tmbém, que F (t + F (t. F (t =(F 1(t,F 2(t,F 3(t. Sej F =(F 1, F 2, F 3 definid em [, b]. Dizemos que F é integrável em [, b] se cd componente de F o for. Além disso, se F for integrável em [, b], então ( F (tdt = F 1 (tdt, F 2 (tdt, F 3 (tdt = F 1 (tdt i + F 2 (tdt j + F 3 (tdt k. N próxim ul, usremos esss funções vetoriis pr estudr os movimentos de prtículs no espço. 8.7 Atividdes 01. Sejm F (t = (t, 2, t 2 e G(t = (t, 1, 1. Clcule: ( F (t G(t (b e t F (t (c F (t 2 G(t 02. Clcule: ( lim t 1 F (t, onde F (t = ( t 1 t 1,t2, (b lim F (t, onde F (t =(t, cos t, sen t (d F (t G(t t 1 t 130
9 Livro de Cálculo II 03. Determine o conjunto dos pontos de continuidde. Justifique su respost. ( F (t =t i + t j +3 k. (b F (t = t 1 i + t +1 j + e t k. 8 AULA 04. Sejm F, G : I R 3 e f : I R contínus em t 0 I. Prove que F + G, f F, F G e F G são contínus em t Determine r = r(t sbendo que d r dt = sen t i + cos 2t j t k, t 0, e r(0 = i j +2 k. 06. Clcule 1 ( (t i + e t jdt; 0 1 ( 1 (b sen 3t, 1+t 2, 1 dt Sejm F (t =t i + j + e t k e G(t = i + j + k. Clcule 1 ( ( F (t G(tdt; 0 1 ( (b F (t G(t dt Comentário ds Atividdes Esss tividdes, são referentes os ssuntos discutidos no decorrer dest ul e têm o objetivo de você (luno exercitr os conceitos prendidos. Lembre-se, sempre, que existem tutores pr jud-los n resolução desss tividdes. 131
10 Funções com Vlores Vetoriis 8.9 Referêncis GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 2. Rio de Jneiro: LTC Editor, STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2. São Pulo: Pioneir Tomson Lerning, THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2. São Pulo: Addison Wesley,
Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1
Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é
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