Grandezas escalares e grandezas vetoriais. São grandezas que ficam completamente definidas por um valor numérico, com ou sem unidades.

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1 Sumário Unidde I MECÂNICA 1- Mecânic d prtícul Cinemátic e dinâmic d prtícul em movimentos mis do que um dimensão Operções com vetores. Grndezs esclres e grndezs vetoriis Grndezs Esclres: São grndezs que ficm completmente definids por um vlor numérico, com ou sem uniddes. Ex: Áre, Comprimento, Mss, Grndezs Vetoriis: São grndezs que pr lém do vlor numérico e unidde, ficm completmente definids se conhecermos su direção e o seu sentido. Ex: Posição, Velocidde, Acelerção, Forç, 1

2 Vetores Um vetor represent-se: Anliticmente, por um letr sore qul é desenhd um set,. Grficmente, por um segmento de ret orientdo, compreendendo direção, sentido e módulo (mgnitude, intensidde). Vetores A direção do vetor é definid pel ret suporte, ou linh de ção, que é coliner com o próprio vetor; O sentido é o que vi d origem pr extremidde do vetor; O módulo, intensidde ou mgnitude do vetor é o vlor numérico que mede o comprimento do segmento de ret orientdo, representndo-se por ou simplesmente por. Se o módulo de um vetor for igul zero, o vetor diz-se um vetor nulo e represent-se por 0. 2

3 Vetores Vetores com o mesmo módulo, ms direções diferentes (logo não se podem relcionr os sentidos) Vetores com mesm direção e sentido, ms módulos diferentes c d Vetores com mesm direção e módulo, ms sentidos diferentes (opostos) Vetor ligdo Um vetor diz-se ligdo e fic completmente definido desde que se conheç su origem (ponto de plicção), su direção, sentido e módulo. Vetor Ligdo Not: Mtemticmente origem (ponto de plicção) não é um crcterístic dum vetor. Origem (ponto de plicção) 3

4 Vetor desliznte Um vetor diz-se desliznte se não depender do ponto de plicção e se puder ser deslocdo ritrrimente sore su ret suporte. Vetor desliznte Vetor equipolente Um vetor diz-se equipolente em relção outro, se tiverem em comum direção, o sentido e módulo. Vetor equipolente 4

5 Vetor livre Um vetor diz-se livre se su origem puder ser deslocd ritrrimente no espço. Estes são definidos pel direção, sentido e módulo e entre si são equipolentes. Vetor livre Adição de vetores livres Adição de dois vetores Regr do triângulo c = + Regr do prlelogrmo c = + c = + Prticr dição de vetores livres Regr do triângulo 5

6 Multiplicção de um vetor por um esclr Sej k um número rel e v um vetor. w = k v Mesm direção de v Mesmo sentido de v se k > 0 Sentido oposto o de v se k < 0 Módulo w = k v Exemplo: v k = 2 w = k v k = - 0,5 w = k v Sutrção de vetores livres Sutrção de dois vetores c =

7 Vetor unitário Um vetor cujo módulo é igul à unidde chm-se vetor unitário ou versor; Um vetor unitário ou versor é utilizdo pr indicr um orientção (direção) e sentido positivo no espço. z e x = e y = ^ i ^ j e z e x = e y = e z = 1 e z = ^ k e x e y y x Módulo de um vetor Num sistem de eixos ortogonl, o módulo dum vetor v v = v x e x + v y e y + v z e z é ddo por: v = v x + v y + v z 7

8 Representção crtesin 2D Os versores ds direções XX e YY designm-se, normlmente, por e x e e y Um vetor com origem em O e extremidde em P, represent-se nliticmente por: y v = v x + v y P ou ind v y v v = v x e x + v y e y e y O e x v x x Representção crtesin 3D Um sistem crtesino três dimensões é definido por três rets orientds e perpendiculres entre si; Os eixos designm-se normlmente por eixo dos XX, eixo dos YY e eixo dos ZZ; Um ponto P fic perfeitmente definido por um conjunto ordendo do tipo (x, y, z). 8

9 Adição nlític de vetores Pr somr dois vetores nliticmente podemos proceder do seguinte modo: v = v x e x + v y e y + v z e z u = u x e x + u y e y + u z e z w = v + u = w x e x + w y e y + w z e z = (v x + u x ) e x + (v y + u y ) e y + (v z + u z ) e z Sutrção nlític de vetores Pr sutrir dois vetores nliticmente podemos proceder do seguinte modo: v = v x e x + v y e y + v z e z u = u x e x + u y e y + u z e z w = v - u = w x e x + w y e y + w z e z = (v x - u x ) e x + (v y - u y ) e y + (v z - u z ) e z 9

10 Multiplicção por um esclr Pr multiplicr um vetor por um esclr procede-se do seguinte modo: v = v x e x + v y e y + v z e z l = esclr w = l v = w x e x + w y e y + w z e z = l (v x e x + v y e y + v z e z ) = l v x e x + l v y e y + l v z e z Projeção de um vetor sore dois eixos ortogonis Consideremos um sistem de eixos ortogonl, como o d figur seguinte: y v y v e y e x v x x Chmm-se vetores projeção os vetores v x e v y v x = v x e x v = v x + v y v y = v y e y v = v x e x + v y e y 10

11 Produto esclr (ou interno) O produto esclr entre os vetores u e v é um esclr e é definido por: u. v = u v cos (u v ) Est operção goz ds seguintes proprieddes: Comuttiv: u. v = v. u Distriutiv em relção à dição: u. (v + w ) = u. v + u. w Produto esclr (ou interno) Considerndo os vetores: v = v x e x + v y e y + v z e z u = u x e x + u y e y + u z e z Aplicndo propriedde distriutiv do produto esclr em relção à dição, em como definição de produto esclr, otém-se fcilmente que: u. v = u v + u v + u v x x y y z z Então s expressões que se seguem permitem determinr o produto esclr entre dois vetores: u. v = u v cos (u v ) u. v = u v + u v + u v x x y y z z Em que: e x. e x = 1, e x. e y = 0, 11

12 Produto vetoril (ou externo) O resultdo do produto vetoril entre dois vetores u e v é um vetor w perpendiculr o plno por eles definido, e cujo módulo é ddo por: u x v = u v sen (u v ) O sentido do vetor resultnte do produto vetoril é ddo pel regr d mão direit ou regr do sc rolhs. Produto vetoril (ou externo) Considerndo os vetores: v = v x e x + v y e y + v z e z u = u x e x + u y e y + u z e z As componentes nlítics do vetor w = u x v são dds por: w = u x v = (u y v z - u z v y ) e x + (u z v x - u x v z ) e y + (u x v y - u y v x ) e z O módulo deste vetor pode ser clculdo pel riz d som ds componentes o qudrdo ou pel expressão d definição de produto vetoril: u x v = u v sen (u v ) u x v = e x e y e z u x u y u z v x v y v z Not: mis trde iremos prender como se determin este vetor. 12

13 TPC Concluir os exercícios, d APSA nº 01 Operções com vetores, que não form feitos n ul. 13