Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

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1 Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões delimitds por curvs plns dds em coordends polres, ssim como o comprimento de tis curvs. Integris de funções vetoriis Agor que você sbe derivr s funções vetoriis, deve estr fzendo seguinte pergunt: o que pode ser dito respeito de sus integris? Muito bem, vej o próximo exemplo. Exemplo 35.1 Sbendo que um prtícul se move o longo de um curv no espço, com velocidde v = t, 4t, 1) e que su posição no intnte t = er 1, 1, ), o que podemos dizer sobre su posição num instnte t >? Bem, sbemos que vt) = s t) = ds t) e, portnto, gostrímos de dt dizer que st) = vt) dt com extr informção que s) = 1, 1, ). Isto é, queremos clculr um primitiv vetoril. Pr isso, bst integrr vt) coordend coordend: st) = t, 4t, 1) dt = t dt, = t + C 1, t + C, t + C 3 ). 4t dt, ) dt = Pr que st) stisfç condição inicil s) = 1, 1, ) temos que fzer C 1 = 1, C = 1 e C 3 =. Assim, respost à pergunt inicil é st) = t + 1, 1 t, t). 11 CEDERJ

2 Funções vetoriis Integris A notção vt) = t i 4t j + k, onde i = 1,, ), j =, 1, ) e k =,, 1), é conveniente e muito usd. Nossos cálculos, com ess nov notção, fic st) = vt) dt = t dt i 4t dt j + dt k = = t + C 1 ) i + C t ) j + t + C 3 ) k. Como st) = i + j, temos C 1 = 1, C = 1 e C 3 =. Portnto, st) = t + 1) i + 1 t ) j + t k. Ao longo dest ul estremos sempre considerndo funções que sejm, pelo menos, contínus. Relmente, se quisermos clculr integrl de um função vetoril αt), que será denotd por αt) dt, bst que integremos coordend coordend. Em prticulr, se αt) = α 1 t) i + α t) j + α 3 t) k, então αt) dt = α 1 t) dt) i + α t) dt) j + α 3 t) dt) k. I) Observção: N verdde, integrl d função vetoril αt), sobre um intervlo [, b], é definid em termos de soms de Riemnn, nos mesmos moldes que se fz no cso ds funções reis, de um vriável rel, tomndo limite de soms sobre s prtições do intervlo. A únic diferenç é que lá fzemos soms de números enqunto que qui temos soms vetoriis. Um vez isto estbelecido, pode-se provr que iguldde I), que usmos pr clculr s integris vetoriis, é verddeir. Antes de prosseguir, que tl você fzer um tenttiv? Aqui está: Exercício 1 por A celerção de um prtícul em movimento, no instnte t é dd t) = d v dt t) = 1 cos t i 8 sen t j + 1t k. Sbendo que v) = e que s) =, determine velocidde e posição d prtícul. CEDERJ 1

3 Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 fto O fto que você verá seguir se deve às proprieddes de limite e do v 1 + v + + v n v 1 + v + + v n. [, b], Ele firm que, pr qulquer função contínu αt), sobre um intervlo αt) dt αt) dt. Você encontrrá este tipo de desiguldde diverss vezes em su crreir de mtemático. Por gor, bst observr o seguinte exemplo, que ilustr situção onde desiguldde é estrit. Exemplo 35. Vmos mostrr que desiguldde II) e estrit no cso em que αt) = 1, t), com t [, 1]. II) Primeiro, clculmos 1 αt) dt. 1 αt) dt = 1 dt i + 1 t dt j = i + 1 j. Portnto, 1 αt) dt = = 5. Pr resolver est integrl Agor, vmos clculr o outro termo d inequção. αt) = 1 + t, temos 1 αt) dt = 1 = t dt t 1 + t + ln t + ) t = 1 + ln 1 + ) ). = Or, como usmos substituição trigonométric t = tg θ. 1 A desiguldde estrit se verific pois, 5 1 αt) dt = 1, 118 < αt) dt = 1 ) +ln 1+ ) 1, CEDERJ

4 Funções vetoriis Integris Interpretção físic d integrl Impulso Sej F t) um forç que tu sobre um prtícul. Chm-se o impulso de F no intervlo [t 1, t ] o vetor I = t t 1 F t) dt. Suponh que prtícul tenh um mss m e que se move devido ção d forç F. O impulso de F é igul m v v 1 ), onde v 1 e v são s velociddes d prtícul nos respectivos instntes t 1 e t. Relmente, Lei de Newton nos diz que F = m. Portnto, t t I = F t) dt = m t) dt = t 1 t 1 t = m vt) = m v v 1 ). t 1 t t 1 m d v t) dt = dt Comprimento de um curv αt) N ul 9 você prendeu clculr o comprimento do gráfico de um função contínu f : [, b] R. A fórmul que define este comprimento é L = 1 + f x) ) dx. Agor, queremos estender est definição pr o cso de trços de curvs. Isto é, dd um função vetoril α : [, b] R n, de clsse C 1, queremos estbelecer um fórmul que defin o comprimento de seu trço e que sej um extensão nturl d fórmul que já conhecemos. A motivção é mesm que foi usd nteriormente. Vmos considerr, por simplicidde, o cso que α : [, b] R. Vmos proximr curv por um seqüênci de segmentos de rets, que chmmos de um linh poligonl. Sej = t < t 1 < t < < t n = b um prtição P do intervlo [, b]. Agor, considermos os segmentos de ret que conectm os pontos αt i 1 ) té αt i ), i = 1,,..., n. Vej figur. CEDERJ 14

5 Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 αt n 1 ) αt ) αt n ) αt 1 ) αt ) αt 3 ) O comprimento dest poligonl é LP) = αt 1 ) αt ) + αt ) αt 1 ) + + αt n ) αt n 1 ). Vej um desss prcels: αt i ) αt i 1 ) = α1 t i ) α 1 t i 1) ) + α t i ) α t i 1) ). Como fizemos n ul 9, podemos usr o Teorem do vlor médio pr grntir existênci de números ξ i e ζ i [t i 1, t i ], tis que α 1 t i ) α 1 t i 1 ) = α 1ξ i ) t i t i 1 ) α t i ) α t i 1 ) = α ζ i ) t i t i 1 ) Assim, αt i ) αt i 1 ) = = = α 1ξ i ) t i t i 1 ) ) + α ζ i ) t i t i 1 ) ) = α 1ξ i ) ) + α ζ i )) t i t i 1 = α 1ξ i ) ) + α ζ i )) t i. Portnto, o comprimento d linh poligonl pode ser escrit como LP) = n i=1 α 1ξ i ) ) + α ζ i )) t i. III) 15 CEDERJ

6 Funções vetoriis Integris α Como α t) = 1t) ) + α t)), equção III) nos motiv usr seguinte definição pr o comprimento do trço d curv α, sobre o intervlo [, b]: Lα) = α t) dt. A primeir observção é que est definição é extensão d definição dd n ul 9, pois curv αt) = t, ft)) é um prmetrizção do gráfico de f, no intervlo [, b]. Neste cso, α 1t) = 1 e α t) = f t). Vej como el funcion num exemplo. Exemplo 35.3 Vmos clculr o comprimento d circunferênci do círculo de rio r. Primeiro, considermos prmetrizção αt) = r cos t, r sen t), com t [, π]. Agor, clculmos α t) = r sen t, r cos t), pr poder clculr α t) = α 1t) ) + α t)) = = r sen t + r cos t = r. Portnto, o comprimento do trço de α é como sbemos. Exercício [, kπ]. π α1t) dt = π r dt = π r, Clcule o comprimento d curv αt) = cos t, sen t, t), com t Curvs em coordends polres Vej como fic fórmul do comprimento d curv qundo el é dd em coordends polres. Sej r = rθ) um curv dd em coordends polres, com < θ < b. Pr clculrmos seu comprimento, usmos prmetrizção { xθ) = rθ) cos θ yθ) = rθ) sen θ. CEDERJ 16

7 Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Derivndo ests equções em relção θ, obtemos Portnto, dx + dy dx = dr cos θ r sen θ dy = dr sen θ + r cos θ. = dr cos θ r dr cos θ sen θ + r sen θ + + dr sen θ + r dr sen θ cos θ + r cos θ = = dr = dr cos θ + dr + r. sen θ + r cos θ + r sen θ = Portnto, fórmul do comprimento de um curv dd, em coordends polres, pel equção r = rθ), onde θ [, b], é L = dr ) + r. Vej no próximo exemplo como el funcion. Exemplo 35.4 Vmos clculr o comprimento d espirl de Arquimedes, dd pel equção r = θ, qundo θ [, π]. π Vej que dr = 1. Portnto, π π 1 L = 4π + θ 4π = = 1 π 1 + θ = π 1 + 4π = + ln π π ) 3, π 1 Observe que pr integrr + θ, usmos um substituição trigonométric. De um modo gerl, o cálculo do comprimento de curvs cb dndo em integris que demndm muito trblho. No entnto, o próximo exercício não demndrá muito esforço. Exercício 3 Use fórmul do comprimento de curvs dds em coordends polres pr clculr o comprimento d circunferênci do círculo de rio R. 17 CEDERJ

8 Funções vetoriis Integris Áres de regiões limitds por curvs em coordends polres Este tem foge um pouco dos ssuntos que estmos cobrindo ms é tão bonito que vle pen incuí-lo. Além disso, à prtir d próxim ul, nossos tems mudrão completmente, de modo que, lá vi. fb) A f) Queremos um fórmul que nos permit clculr áre de um região limitd por um curv dd em coordends polres, definid por r rθ) < θ < b. θ onde r = rθ) é um função contínu. A idéi é de sempre: rrnjr um proximção em termos de soms de Riemnn e definir áre como um integrl. Observe que áre do setor circulr de rio r, correspondente um vrição θ = θ θ 1 é r θ, devido à proporcionlidde com π r, áre totl do círculo. Procedemos como ntes, em csos semelhntes, tomndo um prtição θ 1 P de [, b]: = θ < θ 1 < θ < < θ n = b. Se θ i = θ i θ i 1 é suficientemente pequeno, e ξ i [θ i 1, θ i ], áre do setor limitdo por r rθ), θ [θ i 1, θ i ] é proximd por A i = 1 rξ i). rξ i ) Portnto, um proximção pr áre que queremos é dd por A 1 n rξ i ) θ i. i=1 Assim, definimos áre do setor definido por r rθ), θ [, b], por com A = 1 rθ). Vej dois exemplos: CEDERJ 18

9 Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Exemplo 35.5 ) A região limitd pel curv r = 1 + cos θ, com θ [, π], que metde de um crdióide. b) A região limitd pel lç menor d limçon r = 1 + cos θ. 1 + cos θ 1 + cos θ No cso ), sbemos vrição de θ pel descrição do problem. Portnto, pr clculr áre, bst usr fórmul: A = 1 π 1 + cos θ ) = 1 π 1 + cos θ + cos θ ) = 3 4 π. O cso b) demnd um pouco mis de trblho pois, precismos encontrr o intervlo de vrição de θ. A síd é seguinte: lç menor d limçon inici o momento em que curv cruz origem. Isto é, precismos resolver equção rθ) =. Isto é, 1 + cos θ = cos θ = 1. Portnto, podemos percorrer pequen lç fzendo θ [ π, ] 4π 3 3. Isto é, entre os ângulos 1 o e 4 o.) Com isso, o problem tem seguinte solução: A = 1 4π/3 π/3 1 + cos θ ) = π 3 3, Terminmos ess ul com um resumo ds fórmuls que você prendeu: Resumo ds fórmuls ) Se α : [, b] R 3, dd por αt) = α 1 t) i+α t) j +α 3 t) k, é contínu, então αt) dt = α 1 t) dt) i + α t) dt) j + α 3 t) dt) k 19 CEDERJ

10 Funções vetoriis Integris e αt) dt αt) dt b) Se, lém disso, α é um função de clsse C 1, o comprimento do trço de α é Lα) = α t) dt. c) Se um curv é dd em coordends polres pel função contínu r = rθ), θ [, b], áre d região delimitd por r rθ) é dd pel fórmul A = 1 rθ) e, se lém disso, rθ) é um função de clsse C 1, o comprimento d curv é L = dr ) + r. Você pode usá-ls pr resolver list de exercícios seguir, que começ com s soluções dos exercícios propostos o longo d ul. Exercícios Exercício 1 por A celerção de um prtícul em movimento, no instnte t, é dd t) = d v dt t) = 1 cos t i 8 sen t j + 1t k. Sbendo que v) = e que s) =, determine velocidde e posição d prtícul. CEDERJ

11 Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Solução: Vej, t) = d v dt t) = d s dt t). Portnto, obtemos vt) integrndo t): vt) = 1 cos t dt i 8 sen t dt j + 1t dt k = = 6 sen t + C 1 ) i + 4 cos t + C ) j + 6t + C 3 ) k. Como v) =, C 1 =, C = 4 e C 3 =. Assim, vt) = 6 sen t i + 4cos t 1) j + 6t k. Agor, clculmos st): st) = 6 sen t dt i + 4 cos t 4) dt j + 6t dt k = Logo, = 3 cos t + D 1 ) i + sen t + D ) j + t 3 + D 3 ) k. Usndo condição inicil s) =, obtemos D 1 = 3, D = e D 3 =. st) = 3 3 cos t) i + sen t 4t) j + t 3 k. Exercício Clcule o comprimento d curv αt) = cos t, sen t, t), com t [, kπ]. Solução: Est curv é um helicóide que, qundo t percorre o intervlo [, kπ], gir k volts sobre seu eixo de rotção. Pr clculr o comprimento dest curv, clculmos inicilmente norm de su derivd: α t) = sen t) + cos t) + 1 =. Agor, usmos diretmente fórmul do comprimento pr obter L = kπ dt = k π. 1 CEDERJ

12 Funções vetoriis Integris Exercício 3 Use fórmul do comprimento de curvs dds em coordends polres pr clculr o comprimento d circunferênci do círculo de rio R. Solução: A equção do círculo de rio R em coordends polres é r = R isto é, o rio é um constnte). Pr completr circunferênci temos que fzer θ [, π]. Portnto, dr L = = e o comprimento fic π + R = R π = π R. Os próximos exercícios ficm o seu encrgo. Divirt-se! Exercício 4 Clcule integrl ds seguintes funções vetoriis sobre os correspondentes intervlos. ) αt) = t 1 + t, 1 + t), t [, 1]; b) βt) = t e t, t e t ), t [ 1. 1]; c) γt) = cos πt, sen πt, t), t [, 1/]; Exercício 5 Um prtícul de mss m descreve um movimento circulr uniforme sobre o círculo de rio 1 e centro n origem. A equção d celerção do movimento é t) = 4π cos πt, sen πt). Sbendo que v) =, π) e que s) = 1, ), mostre que velocidde é ortogonl à posição e que celerção tem mesm direção que posição ms pont no sentido contrário que est. Clcule o impulso d forç centrípet F = m, tundo n prtícul nos intervlos de tempo [, 1/], [, 1] e [, ]. Exercício 6 Um prtícul de mss 1 uniddes de peso desloc-se num plno devido ção de um forç F t) = 3t i + t cos πt j. Sbendo que velocidde e posição d prtícul no instnte t =, são iguis, clcule velocidde no instnte t. Clcule o impulso d forç F no intervlo de tempo [, 1]. Sugestão: Use fórmul F = m. CEDERJ

13 Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Exercício 7 Clcule o comprimento ds curvs seguir, nos correspondentes intervlos. ) αt) = 4t, 3t), t [, b]; b) βt) = sen πt, cos πt, e t ), t [, ] c) γt) = 1, t, ln t), t [1, e] d) δt) = t sen t, 1 cos t), t [, π]; e) µt) = t, et + e t ), t [ 1,, 1]. Sugestão pr o item d): use identidde cos x = cos x). Exercício 8 Clcule o comprimento ds curvs seguir, dds em coordends polres, nos correspondentes intervlos. ) rθ) = sen θ, θ [, π]; b) rθ) = 1 + cos θ, θ [, π/] c) rθ) = e θ, θ [, kπ] d) rθ) = e θ, θ [, ). Exercício 9 A curv definid pel equção αt) = cos 3 t, sen 3 t) é chmd de hipociclóide. Seu trço pode ser visto n figur. Clcule o seu comprimento. Exercício 1 Esboce região definid em coordends polres pel inequção 1 r cos θ. Clcule su áre. 3 CEDERJ

14 Funções vetoriis Integris Exercício 11 A equção r = cos θ define um rosáce de qutro pétls. Vej figur. Clcule áre de um de sus pétls. Exercício 1 A equção r = sen θ define um limçon. Vej figur. Clcule áre entre lç mior e lç menor dest limçon. CEDERJ 4

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