Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:

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1 Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples, s dupls e s tripls. As integris simples são clculds num intervlo, s dupls num região do plno e s tripls num região do espço tridimensionl. Vmos gor considerr integris o longo de curvs em espços i e tridimensionis. Relemremos que o processo utilizdo n definição ds três integris já vists consistiu em: Sudividir região de integrção em su-regiões: intervlos, no cso d integrl simples, retângulos, no cso d dupl e prlelepípedos no cso d tripl. onsiderr um ponto ritrário P dentro d região. Multiplicr o elemento de integrção ( x, A ou V) pelo vlor d função nesse ponto, f(p ) onsiderr o somtório dos vlores em cd região e clculr o limite qundo o número de su-regiões tende infinito Vmos utilizr o mesmo procedimento pr o cso do cálculo d integrl o longo de um curv. Dizemos que é um curv suve se dmite um prmetrizção x = x(t); y = y(t); z = z(t); t tl que x (t), y (t) e z (t) são contínus e não simultnemente nuls em [,] Sejm um curv suve entre dois pontos do plno XY e f(x,y) um função contínu e nãonegtiv em. onsideremos o seguinte prolem: lculr áre d cerc limitd inferiormente pel curv e superiormente pel função f(x,y) z f(x,y) y x

2 Dividimos em n rcos trvés de um seqüênci de pontos P, P,...P n, entre os pontos inicil e finl de, n direção de crescimento do prâmetro de. P n- P P onsideremos o rco de curv entre os pontos P e P de comprimento s e tir limitd inferiormente por esse rco de curv e superiormente pel função f(x,y). Sej (x, y ) um ponto ritrário neste intervlo e consideremos o retângulo de se s e ltur f(x, y ). Podemos proximr áre d tir pel áre desse retângulo. f(x, y ) P P (x, y ) Se umentrmos o número de divisões de modo que o comprimento de cd rco tend zero, é rzoável dmitir que o erro n proximção tend zero e áre d superfície sej, cso exist, o limite n lim f (x, y )Δs = f (x, y)ds n A integrl f (x, y)ds é chmd de integrl de linh de f em relção s o longo de A mesm definição se estende pr o cso de f ser contínu e dmitir vlores tnto positivos qunto negtivos. álculo de Integris de Linh Não são necessários métodos especiis pr o cálculo de integris de linh. Podemos expressr um integrl de linh como um integrl definid comum, como veremos seguir. x x(t) Suponhmos que curv sej representd pels equções prmétrics : t e y y(t) que os pontos ds sudivisões P e P correspondm os vlores t e t do prâmetro t. Supondo t = t t, podemos proximr s por

3 Δx Δy ( Δx ) (Δy ) = Δt Δt Δt e reescrever integrl de linh como segue f (x, y)ds = lim n f (x, y )Δs = n Δx n Δy lim f (x, y ) Δt n Δt Δt f (x, y)ds f (x(t), y(t)) dx dy Oservção: No cso em que função é de três vriáveis f(x,y,z) e um curv no espço dd x x(t) por equções prmétrics y y(t) t expressão fic z z(t) f (x, y, z)ds f (x(t), y(t), z(t)) dx dy dz Exemplo: lcule s seguintes integris de linh ) ( x y)ds onde é metde superior do círculo unitário x + y = Solução: As equções prmétrics do semi-círculo são x cos t y sen t t dx dy Temos que x (t) = sent e y (t) = cost. Portnto ( sent) (cos t). dx dy Sustituindo em f (x, y)ds f (x(t), y(t)) otemos: cos t f (x, y)ds ( cos tsent) t

4 4 ) ( xy z ) ds de (,,) (,, ) o longo d hélice dd pels equções prmétrics x cos t y sent t z t Solução: f (x, y, z)ds f (x(t), y(t), z(t)) dx dy dz cos tsent t sent cos t = (cos tsent t ) 4 sen t t Oservção: Se é união de curvs suves,,..., n, então integrl de f o longo de é som ds integris o longo de cd trecho f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds... f (x, y)ds ) xds, sendo formd pelo rco de práol : y = x de (,) (,) e por o segmento de ret verticl de (,) (,) n x t Solução: As equções prmétrics de e são respectivmente: : ; t y t x : ; t y t e ( 4 A integrl sore fic: (5 ) f (x, y)ds t A integrl sore fic: f (x, y)ds t 4 5 / Logo, f (x, y)ds 6 4t 4t / ) 6 / Algums oservções sore s integris de linh. O vlor d integrl de linh o longo de um curv não depende d prmetrizção de

5 5. Se é um curv prmétric que começ em A e termin em B qundo percorrid no sentido do prâmetro crescente e for reprmetrizd de mneir que percorr o sentido crescente de B pr A, indicmos curv por, temos que f (x, y)ds f (x, y)ds Integris de Linh em relção x, y e z Até gor só considermos integris de linh de funções esclres de dus ou três vriáveis: f(x,y) ou f(x,y,z). Existem outros tipos de integris de linh que serão importntes pr o cálculo de integris de linh de cmpos vetoriis, como, por exemplo, n definição do trlho como um integrl de linh. x x(t) onsideremos o cso de dus vriáveis: Sej f(x,y) e : t e vmos integrr f y y(t) o longo de, em relção à vriável x. Sustituindo ds por dx e expressndo o integrndo n vriável t otemos: f (x, y)dx f (x(t), y(t))x(t) ( ) Anlogmente, sustituindo ds por dy e expressndo o integrndo n vriável t otemos: f (x, y)dy f (x(t), y(t))y (t) () hmmos s integris () e () de integris de linh em relção x e y respectivmente. No cso d integrl f (x, y)ds que é em relção s dizemos que integrl é em relção o comprimento de rco. As expressões se estendem nturlmente pr o cso de três vriáveis Oservções: As integris em relção x e y, em gerl ocorrem em conjunto, cso em que, por comodidde, desprezmos um sinl de integrção e escrevemos simplesmente f (x, y)dx g(x, y)dy f (x, y)dx g(x, y)dy É fácil mostrr que f (x, y)dx, o longo de qulquer segmento de ret prlelo OY e f (x, y)dy o longo de qulquer segmento de ret prlelo OX.

6 6 Exemplo: lcule ( x y)dx (x y)dy, sendo : x = cost; y = 4sent; t /4 Solução: i) = ( x y)dx (cos t 8sent)( sent) 4 sent cos t 6 sen cos t cos t = sent 4 sent cos t t ( ) 8 4 = ii) 8 ( x y)dy (cos t 4sent)(4 cos t) 8 cos t 6 sent cos t = cos t sent 6 sent cos t 4 t Somndo os resultdos de i) e ii) otemos t 8 sen t O Trlho como um Integrl de Linh Relemremos d Físic que Se um forç constnte de mgnitude F for plicd n direção do movimento do ojeto e se esse ojeto move-se de um distânci d, então definimos o trlho W relizdo pel forç sore o ojeto como sendo W = F.d Suponhmos gor que um ojeto se move n direção positiv o longo do eixo OX no intervlo [,], sujeito um forç vriável F(x) que é plicd n direção do movimento. Então definimos o trlho relizdo pel forç sore o ojeto como sendo W F(x)dx onsideremos gor o vetor forç F de mgnitude igul F = F gindo n direção do movimento de um ojeto que se move em linh ret de P Q tl que d = PQ. O trlho pode ser escrito n form vetoril por W = F PQ = F.d No cso em que forç é constnte e fz um ângulo com o vetor deslocmento, o trlho relizdo por F é definido como W = F PQ cos = F. PQ

7 7 Nosso ojetivo gor é estender o conceito de trlho pr o cso mis gerl em que um forç vriável tu sore um prtícul que se desloc o longo de um curv no espço i ou tridimensionl, situção que surge em muits plicções de cmpos de forç. Suponhmos que um prtícul se move o longo de um curv prmétric suve, trvés de um cmpo de forç contínuo F(x,y) ( ou F(x,y,z) ). O trlho relizdo por F será chmdo de trlho relizdo pelo cmpo de forç. O procedimento pr definição do trlho é nálogo o que fizemos pr definição de integrl de linh: Suponhmos que prtícul se move o longo de do ponto A pr o ponto B no sentido de crescimento do prâmetro. Dividimos em n rcos trvés de um seqüênci de pontos P, P,...P n, entre A e B A P P Vmos considerr o -ésimo rco suficientemente pequeno de mneir que forç F tenh vlor constnte. Logo, o trlho relizdo pel forç F qundo seu ponto de plicção (x,y ) se move o longo de P P ( que corresponde o vetor x i + y j) é ddo por W = F (x,y ). (x i + y j ) Fzendo o comprimento de cd rco tender zero, tomndo o somtório de W e pssndo o limite otemos seguinte definição que enunciremos pr o cso tridimensionl: B P n- Se F(x,y,z) = f(x,y,z) i + g(x,y,z) j + h(x,y,z) é um cmpo de forç com f, g e h contínus e é um curv suve prmetrizd : x = x(t), y = y(t), z = z(t), o trlho relizdo o longo d curv é ddo por f (x, y, z)dx g(x, y, z)dy h(x, y, z)dz Ou, n form vetoril, W F dr Sendo r(t) = xi + yj + z e dr = dx i + dy j + dz Exemplos: ) Determine o trlho relizdo pelo cmpo de forç F(x,y) = x i + xy j o longo d curv : r(t) = cost i + sent j ( t ) Solução: Usndo fórmul W F dr = ( x i xyj) (dxi dyj) = x dx xydy = ( cos t) ( sen t) (4cos t sen t)(cos t) 8 cos t sen t 8 cos t sen t

8 8 ) lcule o trlho relizdo pelo cmpo de forç F(x,y) = xyi + x j n prtícul que se move o longo d curv : x = y de (,) pr (,) Solução: x t onsiderndo y o prâmetro d curv temos que ; t y t W F dr = xydx x 5 4 t dy t t t 5 5 t 5 5 Oservção: As uniddes de W dependem ds uniddes escolhids pr forç e distânci Referêncis Biliográfics:. O álculo com Geometri Anlític Swoowsi vol. álculo Um novo horizonte Anton vol. álculo Div Fleming