ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

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1 Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho pretende zer um breve estudo d teori d integrção de Drboux, culminndo com o teorem que mostr equivlênci entre s integris de Riemnn e Drboux. Dess orm, integrl de Drboux herd todos os resultdos e proprieddes conhecids d integrl de Riemnn. Plvrs-chve: Integrl, Equivlênci, Riemnn-Drboux Introdução Este texto é prte de um Monogr de conclusão de curso de Grdução em Mtemátic d Universidde Federl de Ouro Preto. O que qui presentmos pretende nlisr, de mneir clr e cessível estudntes de grdução, evolução ds idéis do cálculo, em prticulr ds teoris de integrção destcndo sus trnsormções. Pretendemos tmbém ornecer errments básics que possibilitem o estudnte um primeiro contto com teoris moderns de integrção e possibiliddes de estudos uturos. Pr esse m, presentmos s construções d Integrl de Drboux, d Integrl de Riemnn e lguns spectos de sus teoris e proprieddes. Posteriormente veremos que os conceitos de Integrl de Riemnn e de Drboux são equivlentes, isto é, que um unção é integrável por integrl de Drboux se e somente se é integrável pel integrl de Riemnn, e os vlores ds dus integris, se existem, são iguis. Prtição de um Intervlo Denição 1. Um prtição P de um intervlo [, b] é um conjunto nito P = {x 0, x 1,..., x n } tl que = x 0 < x 1 <... < x n = b. Um prtição P de [, b] divide [, b] em n intervlos [x i 1, x i ], i = 1, 2, 3,..., n =x 0 x 2 x 3... x i-1 x i... x n-1 x =b x 1 n Figur 1: Prtição de um Intervlo O comprimento do intervlo [x i 1, x i ] será indicdo por x i = x i x i 1. Assim, x 1 = x 1 x 0, x 1 = x 1 x 0, x 2 = x 2 x 1, etc. Os números x 1, x 2,..., x n não são necessrimente iguis, o mior deles denomin-se mplitude d prtição P e indic-se por mx x i. Ao considerrmos um prtição P = {x 0, x 1,..., x n } de [, b], denotremos simplesmente por 1 Deprtmento de Mtemátic, ICEB,UFOP P : = x 0 < x 1 <... < x n = b. 16

2 A Integrl de Drboux Sej : [, b] R um unção limitd e considere m = in {(x) : x b} e M = sup {(x) : x b} tis que m (x) M pr todo x [, b]. Sej P = {x 0, x 1,..., x n } um prtição de [, b], e pr cd subintervlo [x i 1, x i ], i = 1, 2,..., n, denimos M i e m i por: M i = sup {(x) : x i 1 x x i } e m i = in {(x) : x i 1 x x i }. Denimos s chmds Soms de Drboux, som superior S(, P ) e som inerior s(, P ), dds pels expressões: S(, P ) = n M i(x i x i 1 ) e s(, P ) = n m i(x i x i 1 ). (Vej um interpretção geométric á seguir.) y m 5 m 1 y=(x) m 4 m 2 m 3 =x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5=b x Figur 2: Som Inerior. y M 5 M 4 M 1 M 2 y=(x) M 3 =x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5=b x Figur 3: Som Superior Observe gur (3) onde áre hchurd represent som superior e gur (2), onde áre indicd represent som inerior. Note que s denições de som superior e inerior vlem pr qulquer unção limitd, pesr de esss ilustrções serem eits pr o cso de um unção contínu. Observe, que não é necessrimente positiv pr todo x em seu domínio. Um observção interessnte é que m(b ) s(, P ) S(, P ) M(b ). Denição 2. Sej : [, b] R um unção rel limitd em [, b]. A integrl superior, que se design por (x)dx, é o ínmo ds soms superiores. Assim, (x)dx = in{s(, P ) : P é um prtição de [,b]}. 17

3 A integrl inerior, que se design por (x)dx é o supremo ds soms ineriores. Assim, (x)dx = sup{s(, P ) : P é um prtição de [,b]}. Denição 3 (Função Drboux-Integrável). Um unção limitd : [, b] R é integrável, segundo Drboux se =. O vlor comum ds integris superior e inerior é chmdo integrl de Drboux de em [, b] e se design por (x)dx. Portnto, se é integrável, temos = =. Exemplo: A unção de Dirichlet, : [0, 1] R dd por { 1, se x Q d(x) = 0, se x / Q não é integrável à Drboux. Como o conjunto dos rcionis e dos irrcionis é denso em [0, 1], temos que pr qulquer prtição P, os supremos são todos iguis 1 e os ínmos são todos iguis 0. Logo, som superior é igul 1 e som inerior é igul 0. Portnto, integrl superior é 1, enqunto integrl inerior é 0. Assim, não é Drboux-integrável. Denição 4. Sejm P e P prtições de [, b]. Dizemos que prtição P é um renmento de P se x P implic em x P, isto é todo ponto d prtição P é tmbém um ponto d prtição P. O próximo resultdo mostr que pssgem pr um renmento diminui som superior e ument som inerior. Proposição 1. Sej : [, b] R um unção limitd e sejm P e P dus prtições do intervlo [, b]. Se P é um renmento de P, então s(, P ) s(, P ) e S(, P ) s(, P ). Um simples consequênci deste resultdo é que cd som inerior é menor ou igul cd som superior. Corolário 1. Sej : [, b] R um unção limitd e sejm P 1 e P 2 prtições do intervlo [, b]. s(, P 1 ) S(, P 2 ). Prov. Sejm P 1 e P 2 dus prtições do intervlo [, b]. P = P 1 P 2 é um prtição de [, b] que é um renmento de P 1 e P 2. Pel proposição nterior, s(, P 1 ) s(, P ) S(, P ) S(, P 2 ). Logo, s(, P 1 ) S(, P 2 ). Agor, podemos provr que integrl inerior é menor ou igul integrl superior. Proposição 2. Sej : [, b] R um unção limitd.. Prov. Sejm P e P dus prtições de [, b]. Pelo corolário nterior, s(, P ) S(, P ), de modo que S(, P ) é um limite superior pr o conjunto {s(, P ) : P é um prtição de [,b]}, o que implic que S(, P ). Um vez que est desiguldde vle pr tods s prtições P, vemos que é um limite inerior pr o conjunto {S(, P ) : P é um prtição de [,b]}, e conseqüentemente, como querímos demonstrr. 18

4 Condições pr Integrbilidde à Drboux No próximo resultdo iremos dr um condição necessári e suciente pr integrbilidde à Drboux. Teorem 1 (Critério de Integrbilidde). Sej : [, b] R um unção limitd em [, b]. Então é integrável à Drboux se, e somente se, pr qulquer > 0 ddo, existir um prtição P do intervlo [, b] tl que S(, P ) s(, P ) <. Prov. ( ) Suponh que : [, b] R é limitd e integrável à Drboux. Fixe > 0. Por denição d integrl inerior como um ínmo, existe um prtição P s tl que s(, P s) < 2 e um prtição P S tl que S(, P S ) <, pel denição d integrl superior como supremo. Sej 2 P = P s P S. 2 < s(, P s) s(, P ) S(, P ) S(, P S ) + 2. Desde que =, vemos que S(, P ) s(, P ) <. De to, 2 < s(, P ) S(, P ) < + 2. (0.1) Subtrindo s(, P ) de (0.1) temos: 2 s(, P ) < 0 S(, P ) s(, P ) < + 2 s(, P ) S(, P ) s(, P ) < Subtrindo S(, P ) de (0.1), temos: Somndo (0.2) e (0.3) obtemos: Isto é equivlente + s(, P ). (0.2) 2 2 S(, P ) < s(, P ) S(, P ) 0 < + 2 S(, P ) S(, P ) s(, P ) < s(, P ) + 2 (0.3) 2[S(, P ) s(, P )] < S(, P ) s(, P ) + S(, P ) s(, P ) <. ( ) Suponh que pr todo > 0, existe um prtição P de [, b] tl que S(, P ) s(, P ) <. Então: s(, P ) S(, P ) < s(, P ) +. 19

5 Dí, s(, P ) Subtrindo de (0.4) temos: s(, P ) Subtrindo de (0.4) temos: s(, P ) 0 Somndo (0.5) e (0.6) obtemos: [ 2 Isto é equivlente < s(, P ) + (0.4) 0 < s(, P ) + s(, P ) + < s(, P ) + ] < + (0.5) < s(, P ) + <. (0.6) Por outro ldo, 0. Então <. Dí temos que < e como é rbitrário, temos =. Portnto é integrável. Utilizndo o teorem nterior, pode-se provr o seguinte resultdo. Teorem 2. Sej : [, b] R um unção limitd em [, b]. é integrável à Drboux se, e somente se, ddo > 0, existe δ > 0 tl que S(, P ) s(, P ) < pr qulquer prtição P com mx x i < δ. A Equivlênci Entre s Integris de Riemnn e Drboux Nest seção mostrremos que s denições de integrl dd por G. Drboux e B.Riemnn, trtm n relidde de um mesm integrl. Isto é que ests denições são equivlentes. 20

6 c 1 c 2 c 3 c i c n =x 0 x 2 x 3... x i-1 x i... x n-1 x =b x 1 n Figur 4: Smple Points em cd subintervlo [x i 1, x i ]. A Integrl de Riemnn Denição 5. Sejm um unção denid em [, b] e P : = x 0 < x 1 <... < x n = b um prtição de [, b]. Pr cd i = 1, 2,..., n sej c i um número em [x i 1, x i ] escolhido rbitrrimente. Vej gur bixo. Temos que o número: n (c i) x i = (c 1 ) x 1 + (c 2 ) x (c n ) x n denomin-se som de Riemnn de, reltiv à prtição P e os números c i. Denição 6 (Função Riemnn-Integrável). Sejm um unção denid em [, b] e L um número rel. Dizemos que (c i ) x i tende L qundo mx x i 0, e escrevemos lim mx x i 0 se pr todo > 0, existe δ > 0 tl que (c i ) x i = L (c i ) x i L < pr tod prtição P de [, b], com mx x i < δ e qulquer escolh de c i [x i 1, x i ]. Tl número L, que qundo existe é único, pel denição de limite, denomin-se integrl de Riemnn de em [, b] e é denotd por (x)dx = lim mx x i 0 (c i ) x i. Se (x)dx existe, diremos que é integrável (segundo Riemnn) em [, b]. A vriável x que í prece é vriável de integrção e os números e b são os limites de integrção, inerior e superior respectivmente. Assim, denimos integrl como o limite ds soms de Riemnn. Us-se tmbém notção. Teorem 3. Sej : [, b] R. é integrável à Riemnn se, e somente se, é limitd e integrável à Drboux. Prov. ( ) Suponh que é integrável à Riemnn. Sbemos pelo teorem 1 que é limitd. Pelo teorem 2.19, pr mostrr que é integrável à Drboux é suciente encontrr um prtição P tl que S(, P ) s(, P ) <. Como é integrável à Riemnn, pr todo > 0, existe δ > 0 tl que se P é um prtição com mx x i < δ, então (c i ) x i < 4 pr qulquer conjunto de pontos {c i } n. Sej prtição P = {x 0, x 1,..., x n }. Pel denição de M i e m i, existem pontos α i, β i [x i 1, x i ] tl que M i < (α i ) + (β i ) 4(b ) < m i, pr i = 1, 2,..., n. 21 4(b ) e

7 Consequentemente, S(, P ) = < = < = M i (x i x i 1 ) [ ] (α i ) + (x i x i 1 ) 4(b ) (α i )(x i x i 1 ) + (x i x i 1 ) 4(b ) Anlogmente, usndo {c i } n, vemos que s(, P ) > 2. Portnto,S(, P ) s(, P ) < e é Drboux integrável. Conseqüentemente vmos nos reerir às unções integráveis à Drboux como sendo unções integráveis à Riemnn. ( ) Suponh que é limitd e integrável à Drboux, isto é, = = A. Fixe > 0 e escolh δ > 0 com mx x i < δ, pelo teorem Sej P um prtição com norm menor que δ e sej {c i } n um conjunto de pontos pr P. por denição, s(, P ) A S(, P ) e s(, P ) n (c i)(x i x i 1 ) S(, P ) e pelo Teorem (2), S(, P ) s(, P ) <. Deste modo, multiplicndo primeir desiguldde por 1 e somndo à segund, mx x i < δ implic n (c i)(x i x i 1 ) A < pr qulquer conjunto de pontos {c i } n. Portnto, é integrável à Riemnn com integrl igul A. Conclusão Espermos que esse trblho poss despertr interesse e contribuir pr cilitr cpcidde de compreensão dos conceitos de tis teoris por estudntes e que estes uturmente dêem continuidde seus estudos. Destcmos ind que em noss monogr, disponibilizremos um mteril complementr evolução ds idéis d integrção, culminndo n presentção e justictiv d teori d Integrção de Lebesgue. Convidmos o leitor conhecer o nosso trblho n íntegr. Reerêncis [1] Ávil,G., Introdução à Análise Mtemátic - 2 ed.,são Pulo, [2] Kurtz,D.S.-Swrtz,C.W, Theories o integrtion - The integrls o Riemnn, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, nd Mcshne,Dnvers, [3] Lim,E.L., Curso de Análise - vol 2,Rio de Jneiro, [4] Lim,E.L., Curso de Análise - vol 1,Rio de Jneiro, [5] Guidorizzi,H.L., Cálculo - vol 1,Rio de Jneiro,

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