UM ESTUDO SOBRE FUNÇÕES VETORIAIS

Transcrição

1 45 UM ESTUDO SOBRE FUNÇÕES VETORIAIS Antonio d Silv Gomes Júnior, Eugeni Brunild Opzo Urie Universidde Federl de Mto Grosso do Sul, Três Lgos, MS. E-mil: ntonio_3lgos@hotmil.com Agênci de fomento: Progrm Institucionl de Bols de Inicição à Docênci (PIBID), Progrm de Educção Tutoril (PET) RESUMO O presente rtigo é resultdo de um tividde de pesquis pr conclusão do Curso de Mtemátic, visndo o estudo ds funções vetoriis e su plicção à demonstrção ds Leis de Kepler. A metodologi escolhid foi presentção de seminários ssocid à resolução de exercícios. Form explordos conceitos de limites, derivds e integris de funções vetoriis, em como lguns resultdos importntes. Finlmente form enuncids e demonstrds s Leis de Kepler. Concluímos que o trlho permitiu o profundmento de conceitos conhecidos de cálculo, em como possiilidde de conhecer tópicos que não são presentdos ns disciplins regulres do curso. Plvrs-chve: Cálculo Diferencil e Integrl; funções Vetoriis; Leis de Kepler A STUDY ON VECTOR FUNCTIONS ABSTRACT This rticle is the result of reserch ctivity to complete mth Course, imed t the study of vector functions nd its ppliction to demonstrte the Kepler s Lws. The methodology chosen ws the presenttion of seminrs ssocited with the resolution of exercises. Were explored concepts of limits, derivtives nd integrls of vector functions, s well s some importnt results. Were explored concepts of limits, derivtives nd integrls of vector functions, s well s some importnt results. Finlly stted nd demonstrted the lws of Kepler. We conclude tht the work hs enled the development of known concepts of clculus, s well s the possiility of meeting topics tht re not presented in the regulr disciplines of the course. Keywords: Differentil nd Integrl Clculus; Vector functions; Kepler's lws

2 INTRODUÇÃO Segundo Anton (2000), s funções são usds por mtemáticos e por cientists pr descrever s relções entre quntiddes vriáveis e, ssim, desempenhm um ppel centrl no cálculo e ns plicções. No estudo do Cálculo inicimos com s funções reis de vriável rel e em seguid trlhmos com funções de váris vriáveis, cujo estudo se justific porque els modelm diversos prolems mtemáticos lém de precer nturlmente em outrs ciêncis e n nturez. Podemos estudr tmém s funções vlores vetoriis, isto é, funções cujos vlores são vetores e que são úteis pr descrever superfícies e curvs espciis, em como pr descrever o movimento de ojetos no espço (Stewrt, 2007). O ojetivo do presente trlho é presentr os resultdos de um estudo sore s funções vetoriis e su plicção n demonstrção ds Leis de Kepler. METODOLOGIA O trlho foi desenvolvido trvés de um estudo teórico que incluiu presentção de seminários semnis e resolução de exercícios. RESULTADOS O trlho present os resultdos de pesquis desenvolvid pr conclusão do Curso de Licencitur em Mtemátic com o intuito de profundr os conhecimentos dquiridos durnte grdução. Assim, iniciremos com um revisão de conceitos teóricos sore funções vetoriis incluindo lguns exemplos de plicção e finlizremos utilizndo estes conceitos pr derivr s Leis de Kepler, seguindo o roteiro proposto como projeto plicdo por Stewrt Denominremos de função vetoril um função cujo domínio é um conjunto de números reis e cuj imgem é um conjunto de vetores. Nosso estudo ficrá restrito funções r cujos vlores são vetores tridimensionis, o que signific que pr todo número rel t no domínio de r existe um único vetor denotdo por r(t). Definição 1: Se f(t), g(t), h(t) são os componentes do vetor r(t), então f, g e h são funções de vlor rel chmds funções componentes de r e escrevemos r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k Podemos definir o limite e continuidde de um função vetoril r prtir d nálise de sus funções componentes, como feito ns definições 2 e 3. Definição 2 : Se r(t) = f(t), g(t), h(t), então lim t r(t) = lim t f(t), lim g(t), lim h(t) t t desde que os limites ds funções componentes existm. Definição 3: Um função vetoril r é contínu em se lim t r(t) = r(). Ou sej r é contínu em se, e somente se, sus funções componentes f, g e h são contínus em. Definição 4: Sejm f, g e h funções reis contínus em um intervlo I. Então o conjunto C de todos os pontos (x, y, z) no espço pr os quis x = f(t), y = g(t) e z = h(t) e t vri no intervlo I é chmdo de curv espcil. Definição 5: Definimos derivd r de um função vetoril r como 46 se o limite existir. dr = r(t + h) r(t) r (t) = lim h 0 h

3 O vetor r (t) será chmdo de vetor tngente à curv definid por r no ponto P, desde que exist r (t) e r (t) 0. A ret tngente à curv em P é definid como ret que pss por P e é prlel o vetor r (t). Além disso, considerremos o versor tngente T(t) = r (t) r (t). De mneir nálog o trlho feito com limite e continuidde, podemos estelecer um método de oter derivd de um função vetoril prtir ds derivds de cd um ds sus componentes, de cordo com o Teorem 1. Teorem 1: Se r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k onde f, g e h são funções diferenciáveis, então r (t) = f (t), g (t), h (t) = f (t)i + g (t)j + h (t)k A derivd segund de um função vetoril r pode ser otid de mneir nálog o cso de funções reis pel derivção d primeir derivd, isto é, r = (r ). Definição 6: Um curv dd por um função vetoril r(t) em um intervlo I é denomind lis se r for contínu e r (t) 0 (exceto possivelmente nos limites do intervlo I). Oservemos que, se curv que não é lis e é formd por um número finito de pedços lisos, el será denomind lis por prtes. No próximo teorem estelecemos s regrs de diferencição ds funções vetoriis incluindo regr d cdei, oservemos tmém que cd um ds regrs de diferencição pr funções reis têm um regr equivlente pr o cso ds funções vetoriis. Teorem 2: Suponhmos que u e v sejm funções vetoriis diferenciáveis, c sej um esclr e f, um função rel. Pode ser demonstrdo que, i) d [u(t) + v(t)] = u (t) + v (t), ii) d [cu(t)] = cu (t) iii) d [f(t)u(t)] = f (t)u(t) + f(t)u (t) iv) d [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) v) d [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) vi) d [u(f(t))] = f (t)u (f(t)) Teorem 3: Se r(t) = c, onde c é um constnte, então r (t) é ortogonl r(t) pr todo t. Demonstrção: Como r(t) r(t) = r(t) ² = c² e c² é um constnte, então do item (iv) do Teorem 2, temos d [r(t) r(t)] = r (t) r(t) + r(t) r (t) = 2r (t) r(t) = 0 Então, r (t) r(t) = 0, o que implic que r (t) é ortogonl r(t). Anlogmente o trlho feito com derivds, podemos definir integrl de funções vetoriis trvés d integrl ds sus funções componentes. Definição 7: Sej r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k onde f, g e h são funções contínus em [, ]. Definimos integrl definid no intervlo [, ] como integrl de sus funções componentes f, g e h como se segue r(t) = f(t), g(t), h(t) Ou sej, pr r(t) ser integrável tods s funções componentes f, g e h devem ser integráveis. 47

4 Teorem 3: Sej r(t) = f(t), g(t), h(t), t, onde f, g e h são funções contínus. Se curv não se intercept qundo o prâmetro t cresce pode ser mostrdo que o comprimento L de um curv r(t) é L = [f (t)] 2 + [g (t)] 2 + [h (t)]² A curvtur de C em um ponto é medid de quão rápido curv mud de direção no ponto. Definição 8: A curvtur de um curv é k = dt onde T é o versor d tngente. Teorem 4: A curvtur de um curv dd pel função vetoril r é r (t) r (t) k(t) = r (t) ³ ds Em um ponto ddo de um curv lis r(t) existem muitos vetores que são ortogonis o versor d tngente T(t), por exemplo, T (t). No entnto, T (t) pode não ser unitário. Definição 9: Se r for lis, definiremos o vetor norml unitário como N(t) = T (t) T (t) E o vetor B(t) = T(t) N(t), perpendiculr T e N e unitário como vetor inorml. Podemos plicr os conceitos de vetores tngentes e norml e curvtur pr estudr o movimento de ojetos, su velocidde e su celerção, qundo esses se movem o longo de um curv espcil. Definição 10: Se r(t) for o vetor posição de um prtícul o longo de um curv, então velocidde, celerção e rpidez d prtícul no instnte t são definids por Velocidde v(t) = dr = r (t) Acelerção (t) = dv = r (t) Rpidez v(t) = ds Qundo estudmos o movimento de um prtícul, é frequentemente útil decompor celerção em dus componentes, um n direção d tngente e outr n direção d norml. I. Primeir Lei de Kepler: Um plnet gir em torno do Sol em um Orit elíptic com o Sol em um dos focos. Segundo Stewrt (2007), o fto d forç grvitcionl do Sol sore um plnet ser muito mior que s forçs exercids por outros stros, podemos ignorr todos os outros corpos do universo, exceto o Sol e um plnet girndo em torno dele. Considerremos um sistem de coordends com origem no Sol e r = r(t) o vetor posição do plnet. Assim, o vetor velocidde será v = r e o vetor celerção será = r. Pr podermos fzer s demonstrções precisremos utilizr dus leis físics devids Isc Newton: F = m (Segund Lei do Movimento) F = GMm r = GMm u (Lei de Grvitção Universl), r³ r² onde F é forç d grvidde sore o plnet, m e M são s msss do plnet e do Sol, G é constnte grvitcionl, r = r e u = ( 1 r) r é o vetor r. Primeiro mostrremos que o plnet se move em um plno. Igulndo s dus expressões pr F otemos que = GM r, e, portnto é prlelo r. Teremos então que r = 0. Do r³ Teorem 2 item (v) podemos escrever 48

5 d ( r v) = r v + r v = v v + r = = 0 Assim, r v = h, onde h é um vetor constnte. (h 0, ou sej, r e v não são prlelos). Isso signific que o vetor r = r(t) é perpendiculr h pr todos os vlores de t, portnto o plnet está sempre em um plno que pss pel origem é perpendiculr h. Dess form, órit do plnet é um curv pln. Pr provr Primeir Lei de Kepler, vmos reescrever o vetor h d seguinte form: h = r v = r r = ru (ru) = ru (ru + r u) = r 2 (u u ) + rr (u u) = r²(u u ) Então, h = GM u r² (r2 u u ) = GMu (u u ) = GM[(u u )u (u u)u ] Ms u u = u ² = 1 e, como u(t) = 1 segue do Teorem 3 que u u = 0. Portnto, h = GMu. Então, (v h) = v h + v h = h + 0 = GMu. Integrndo mos os ldos d iguldde otêm v h = GMu + c (*) onde c é um vetor constnte. Por conveniênci escolheremos os eixos coordendos de form que o vetor d se pdrão k ponte n direção do vetor h. O plnet se move ssim no plno xy. Como v h e u são perpendiculres h, equção (*) mostr que c pertence o plno xy. Isso signific que podemos escolher os eixos x e y de form que i estej n direção de c. Agor, se θ é o ângulo entre c e r, então (r, θ) são s coordends polres do plnet. Fzendo produto esclr de r pel equção (*), teremos r (v h) = r (GMu + c) = GMr u + r c. Ms, r c = r c cos θ ssim r (v h) = GMru u + r c cos θ = GMr + rc cos θ onde c = c. Então, r (v h) r = GM + c cos θ = 1 r (v h) GM (1 + e cos θ) onde e = c GM. Ms, r (v h) = (r v) h = h h = h ² = h² onde h = h. Desse modo, h² GM r = eh² = c 1 + e cos θ 1 + e cos θ Escrevendo d = h² c, otemos equção ed r = 1 + e cos θ que represent form polr d equção d seção cônic com foco n origem e excentricidde e. Como semos que órit de um plnet é um curv fechd podemos concluir que órit precis ser um elipse. II. Segund Lei de Kepler: A ret que lig o sol um plnet percorre áres iguis em intervlos de tempos iguis. Em coordends polres podemos escrever que r = r cos θ i + r sen θ j. Aind, h = αk onde α > 0. Assim, sustituindo em h otemos, h = r v = r r = (r cos θ i + r sen θ j) [(r cos θ r sen θ dθ ) i + (r sen θ + r cos θ dθ ) j] = [rr sen θ cos θ + r² cos 2 θ dθ (rr sen θ cos θ r² sen² θ dθ )k] = r² dθ k (**) Como h = αk, α > 0 então α = h. Comprndo com equção (**) temos que α = h = r² dθ Assim, h = r² dθ, onde h = h. 49

6 Consideremos gor A = A(t) como sendo áre percorrid pelo vetor rdil r = r(t) no intervlo de tempo [t 0, t]. A áre A é dd por A(t) = 1 r² dθ, ssim, derivndo mos os ldos 2 dest equção, otemos da dθ = 1 2 r² Ms, utilizndo regr d cdei e sustituindo n equção cim, teremos da = da dθ dθ = 1 dθ r² 2 Logo, sustituindo h n equção cim otemos da = 1 2 h Ess equção nos diz que rzão pelo qul A é percorrid é constnte e prov 2ª Lei de Kepler. III. Terceir Lei de Kepler: O qudrdo do período de revolução de um plnet é proporcionl o cuo do comprimento do mior eixo de su órit. Sej T o período de um plnet em torno do Sol, ou sej, T é o tempo requerido pr o plnet dr um volt complet em torno do Sol, trvés de um órit elíptic. Suponhmos tmém que os comprimentos dos eixos mior e menor d elipse sejm 2 e 2. D segund Lei de Kepler, otemos da h, e ssim, integrndo mos os memros d = 1 2 iguldde otemos A(t) = 1 ht + c. Ms A(0) = 0 então, 0 = A(0) = 1 h0 + c = 0 + c = c. 2 2 Logo, A(t) = 1 ht. (#) 2 Como T é o tempo pr o plnet dr um volt complet em torno do sol, concluímos que áre no tempo T é áre d elipse com comprimentos de eixos definidos cim. Assim, A(T) = π. D equção (#) e d áre d elipse A(T) otemos, A(T) = 1 2π ht = π T = (##) 2 h N primeir lei de Kepler chmmos de e = c GM e d = h² c. Desss igulddes otemos que ed = h² GM. Ms, semos = (ed 1 e²) e (1 e 2 ) = ² ². Sustituindo primeir iguldde n segund otemos que ed = (1 e 2 ) = ². No entnto, ed = h² GM = ² t t 0 = ² ² Elevndo o qudrdo equção (##) e sustituindo h² = ²GM otemos finlmente que T² = 4π²² ² T² = 4π²² ² T² = 4π²² 4π² ³ T² = h² ²GM ²GM GM ³ Portnto, o qudrdo de T (período de revolução de um plnet) é proporcionl o cuo de (comprimento do mior eixo d elipse). DISCUSSÃO Atrvés d resolução de exercícios e seminários presentdos durnte o desenvolvimento do trlho foi possível perceer como os conceitos prendidos ns mis diverss disciplins de Mtemátic vão precendo e se misturndo os novos conceitos. Pr tingir o ojetivo do trlho utilizmos conhecimentos prendidos em cálculo de um e váris vriáveis, geometri, trigonometri, vetores e geometri nlític, físic, entre outrs. CONCLUSÃO Considermos nosso ojetivo tingido, no sentido de ter conseguido explorr os conceitos relciondos funções vetoriis e ssocir estes conceitos o estudo ds Leis de Kepler. Assim, o trlho relizdo judou profundr os conhecimentos e o mesmo tempo perceer o cálculo como um disciplin integrdor n qul são utilizdos diversos conceitos mtemáticos e inclusive físicos, sendo que lguns deles form prendidos em disciplins mis elementres. 50.

7 51 REFERÊNCIAS ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. 6ª. ed. Porto Alegre: Bookmn, BIANCHINI, W. Aprendendo Clculo de Váris Vriáveis Disponível em: < Consultdo em: 16/08/2016. STEWART, J. Cálculo, volume 2. São Pulo: Thomson Lerning, 2007.